2、控制系统的数学描述
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最新东北大学自动化复习精品课件6计算机控制系统数学描述
东北大学·
1.1 学习本教学模块所需掌握的基础知识
熟悉
1、连续系统的s传递函数模型
2、连续系统的稳定性分析问题
掌握
1、z变换与z反变换方法 2、零阶保持器的作用特性
1.2 本教学模块解决的问题
被控对象—数学模型 控制器设计 控制系统—性能指标
• 系统的稳定性 • 系统的稳态指标 • 系统的暂态指标
1.3 关于被控对象的模型表达
传递函数模型 （外部描述）
1、连续 s 传递函数 2、离散 z 传递函数
状态空间模型 （内部描述）
1、连续状态空间模型 2、离散状态空间模型
1.4 关于系统的稳定性
一个系统稳定是指该系统在平衡状态下（其输出量为
不随时间变化的常数或零），受到外部扰动作用而偏 离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能 够回到原来的平衡状态（这种意义下的稳定通常称为 渐进稳定）。 如果不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。 线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的，
· 教学单元一结束·
而与系统外部输入信号的有无和强统稳定的充要条件是： 系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递 函数的所有极点都分布在s平面的左半平面，s平面的 虚轴为稳定边界。
关于系统的稳定性
连续系统稳定性判断方法： （1）代数判据：劳斯判据，胡尔维茨判据等 （2）根轨迹方法 （3）频率域方法：奈奎斯特判据，波特图法等
计算机控制系统
教学模块3 计算机控制 系统数学描述与性能分 析
东北大学·
本教学模块内容:
教学单元1-模块导学 教学单元2-脉冲传递函数模型的建立
教学单元3-计算机控制系统的稳定性分析
教学单元4-计算机控制系统的稳态与暂态
1.1 学习本教学模块所需掌握的基础知识
熟悉
1、连续系统的s传递函数模型
2、连续系统的稳定性分析问题
掌握
1、z变换与z反变换方法 2、零阶保持器的作用特性
1.2 本教学模块解决的问题
被控对象—数学模型 控制器设计 控制系统—性能指标
• 系统的稳定性 • 系统的稳态指标 • 系统的暂态指标
1.3 关于被控对象的模型表达
传递函数模型 （外部描述）
1、连续 s 传递函数 2、离散 z 传递函数
状态空间模型 （内部描述）
1、连续状态空间模型 2、离散状态空间模型
1.4 关于系统的稳定性
一个系统稳定是指该系统在平衡状态下（其输出量为
不随时间变化的常数或零），受到外部扰动作用而偏 离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统能 够回到原来的平衡状态（这种意义下的稳定通常称为 渐进稳定）。 如果不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。 线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的，
· 教学单元一结束·
而与系统外部输入信号的有无和强统稳定的充要条件是： 系统的特征方程的所有特征根，亦即系统传递 函数的所有极点都分布在s平面的左半平面，s平面的 虚轴为稳定边界。
关于系统的稳定性
连续系统稳定性判断方法： （1）代数判据：劳斯判据，胡尔维茨判据等 （2）根轨迹方法 （3）频率域方法：奈奎斯特判据，波特图法等
计算机控制系统
教学模块3 计算机控制 系统数学描述与性能分 析
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本教学模块内容:
教学单元1-模块导学 教学单元2-脉冲传递函数模型的建立
教学单元3-计算机控制系统的稳定性分析
教学单元4-计算机控制系统的稳态与暂态
自动控制系统的数学模型
[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述 的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数， 则这类系统为线性时变系统。
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
第2章 自动控制系统的数学模型(2)
1/R2
I2(s)
Uc
I2
1/C2S
Uc(s)
双RC网络动态结构图
2.4.2. 动态结构图的等效与简化
1 串联连接的传递函数
X 2 (S ) G2 (S ) X 3 (S ) X1(S) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描 述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
例 试绘制如图所示无 1 源网络的结构图i i1
Ui
i i1 i2 ui i 1R1 u0 u0 iR2 1 i2dt R1i1 c 由(1)式有 I1(S)
i2
C
பைடு நூலகம்
R1
R2
U0
解:
I(S) I1 (S) I 2 (S) (1) U i (S) I1 (S)R1 U 0 (S) (2) U 0 (S) R 2 I(S) (3) R 1I1 (S) 1 I2(S ) CS (4)
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
基本要求-控制系统数学模型
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
2.12.2线性系统的微分方程
上式中各量纲是：[La]=亨，[Ra]=欧，[Kb]=伏/ 弧度/秒，
[ω]=弧度/秒，[Ua]=伏，[ia]=安，[ML]公斤⋅ 米，[Cm]=公斤米/安，[f]=公斤⋅米/弧度/秒， [J]=公斤⋅米⋅秒 以上二式分别是以转角和转速为输出量的电 动机的动态方程。
23
考虑到电机中的La一般较小，可以忽略不计，上两式 可简化为
6
7
线性元件的微分方程
列写线性元件微分方程的基本步骤
确定输入 根据机理 列写相应微
输出量
分方程
消去中间变量
标准形式 整理 微分方程
8
标准形式
输出量 及其各阶导数列写在方程式左 端；输出项的系数为1；
输入项及其各阶导数项列写在方程式右 端；
一阶导数前面的系数为时间； 二阶导数前面的系数为时间的平方； 三阶导数前面的系数为时间的立方；
28
消去中间变量 Q2 ，则有：
C dh + k dt
h = Q1
上式为一个一阶非线性微分方程。
29
2.2.2 非线性数学模型的线性化
在一定的条件下或在一定 范围内把非线性的数学模型化 为线性模型的处理方法称为非 线性数学模型的线性化。
线性化的方法有很多种， 例如图所示的具有饱和特性的 放大器，在小信号输入时，输 入与输出的关系是线性的，可 视为线性元件。
u r = R 1 i1 + u c 1
du c 1 dt
=
1 C1
( i1
−
u c1 = R 2 i2 + u c
du c dt
=
1 C2
i2
i2 )
16
由所得方程组消去中间变量得：
控制系统的动态数学模型
)
1
其是m 中由d 2d系,yt(at统i),本bcj身d(yd的i(=tt0)结,1构,K2,y参…(t数),n;所jf 决=(t0)定,1,。2,…G,m(s))均 为YF((实ss)) 数 m，S
2
1 cS
k
不传考递虑函初数始:值零，初对始上条式件两下边，进系行统拉输氏出变与换输，入可拉得氏：变换之比.
其传(G1不(传输将)传中递(C考s(微递入a递s,函)a)虑ni,分函函数bS初jLR(rCi[Rn数性方数=c(C(始(0t((bSt只质,))ss程1:(m值]),,))s极2适：S零),，R拉…m点用系(GsK对初Rb,氏)naa于m(;0统(上nnS始jLS变s线S([=()1式)SrmS0Sn条(性换t,两1)n],定b件2便)C1边a,bpmczC…常n1m1((下进可S))1(t,1(m(系S1)s)S行S，SS)求)m统是nm拉系输得11。由.R1z氏p.统.2出传系2().变)s.....输统..)递a..换..(1(本S出SSa函，.b1.1身1.CS可与数S的1z(得1p输mbs,结n表1))：)Sa入b构0示10Ra拉参G0为(C数s氏()：s(零所s)变)点决b换0CR定R之((的(sss))比实) 数. 。
ic (t )
1
uA
(t
)
R4
ic
(t)
C
ic (t )dt
对角相乘后进行拉氏反U A变( S )换得微分方程:
Ui((TS2)S
1)U R1
o
(S)
R2K (TR15S
1)URi4(
S
)1 CS
西安电子科技大学843自动控制原理2020年考研专业课初试大纲
843 自动控制原理复习大纲一．总体要求本课程要求学生深刻领会控制系统的基本原理，掌握单输入单输出、线性定常连续控制系统的常用分析与综合方法。
能够建立线性定常控制系统的数学模型，对简单的线性定常系统能够分别采用时域分析法、频率响应法和根轨迹法进行分析与综合。
能够进行采样控制系统的建模和性能分析。
掌握非线性控制系统的基本分析方法。
二．考试范围、要点1.自动控制的基本概念（1）自动控制的基本概念；开环、闭环（反馈）控制系统的原理及特点；（2）自动控制系统的分类；自动控制系统的构成；对自动控制系统的基本要求。
2.控制系统的数学描述（1）控制系统的数学模型及建立方法；非线性数学模型的微偏线性化；（2）传递函数、典型环节、控制系统的动态结构图；（3）反馈控制系统的传递函数；（4）控制系统的频率响应特性及表示法，如频率特性函数、伯德（Bode）图和奈奎斯特（Nyquist）图。
3.控制系统的稳定性分析（1）稳定性的定义；（2）劳斯（Routh）判据，Nyquist判据，Bode判据；（3）非最小相位系统的稳定性分析。
4.线性定常连续控制系统的运动分析（1）时域分析法：控制系统的稳态误差，典型信号作用下的稳态误差分析，扰动信号作用下的稳态误差分析及抑制；控制系统的动态性能指标；一阶、二阶系统的动态响应分析；主导极点和高阶系统的动态响应分析；闭环传递函数零极点分布对动态响应的影响。
（2）根轨迹法：常规根轨迹及广义根轨迹（零度根轨迹、参量根轨迹）；基于根轨迹图的系统性能分析与估算；根轨迹法校正。
（3）频率响应法：稳定裕度的计算；从开环频率特性计算闭环系统的动态性能；二阶系统时域与频域性能的对应关系；开环对数频率特性低、中、高频段特征与闭环系统性能的关系。
5.线性定常连续控制系统的校正1。