追及问题的分析和解答

追及与相遇问题专题
追及与相遇问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个或两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。

对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。

（1）解决运动学中两个物体的追及、相遇问题的关键在于寻找追及过程中两物体的位移关系
．．．．；
．．．．、速度关系
．．．．或时间关系
（2）解题方法：选同一坐标原点、同一正方向、计时起点，分别列出两个物体的位移方程及速度方程。

（3）求解追及与相遇问题的常用方法：
A：通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如：
a)追与被追的两个物体的速度相等
．．．．通常是能追上与不能追上或者两者距离有极值的临界条件。

如匀减速运动的物体追及同向匀速运动的物体，若二者速度相等了仍未追上，这时两者距离最短，以后永远也追不上了；若二者速度相等时刚好追上，则是二者避免碰撞的临界条件；若二者位移相等时，追者速度仍大于被追者速度，则被追者还有一次被追上的机会；
b)初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追
赶者的速度等于被追赶者的速度。

B：利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。

C：在追击问题中还常常利用速度－时间图像，通过求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。

D.：采用相对运动方法求解。

先试做一下再看参考答案
例一：汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。

求关闭油门时汽车离自行车多远？
例二：车从静正开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。

例三：甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。

当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。

问经多少时间乙车可追上甲车？
例四：甲、乙两车在同一条平直公路上运动，甲车以10 m/s 的速度匀速行驶，经过车站A时关闭油门以4m/s2的加速度匀减速前进，2s后乙车与甲车同方向以1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速运动，问乙车出发后多少时间追上甲车？
例五：慢车以10 cm/s2加速度从车站起动开出，同时在距车站2km处，在与慢车平行的另一轨道上，有一辆以 72 km/h的速度迎面开来的列车开始做匀减速运动，以便到站停下，问两车何时错车.
★例六：甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系.
参考答案
例一：解析：汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断缩小，当这个距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足题设的汽车恰好不碰上自行车的条件，所以本题要求的汽车关闭油门时离自行车的距离s，应是汽车从关闭油门减速运动，直到速度与自行车速度相等时发生的位移s汽与自行车在这段时间内发生的位移s自之差，如图1所示.
解1 汽车减速到4m/s 时发生的位移和运动的时间
这段时间内自行车发生的位移
s自=v自t=4×1=4m，
汽车关闭油门时离自行车的距离
s=s汽-s自=7-4=3m.
解2 利用v-t图进行求解.如图2所示.直线Ⅰ、Ⅱ分别是汽车与自行车的运动图线，其中划斜线部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s. 图线1的斜率即为汽车减速运动的加速度，所以应有
常见错误之一
错误的原因在于未抓准两追及运动物体间的位移关系.
常见错误之二
错误的原因在于未搞清两车恰不相碰的物理含义.
例二：解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t。

当人追上车时，两者之间的位关系为：
s人+s0=s车
即：v人t+ s0= at2／2
由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。

代入数据并整理得：
t2－12t+50=0
△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
所以，人追不上车。

在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速当于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。

因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。

at′=6
t′=6s
在这段时间里，人、车的位移分别为：
s人=v人t=6×6=36m
s车=at′2/2=1×62/2=18m
△s=s0+s车－s人=25+18－36=7m
例三：解析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。

究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。

解答：设经时间t追上。

依题意：
v甲t-at2/2+L=v乙t
15t-t2/2+32=9t
t=16s t=-4s(舍去)
甲车刹车的时间
t′=v0/a=15s
显然，甲车停止后乙再追上甲。

甲车刹车的位移
s甲=v02/2a=152/2=112.5m
乙车的总位移
s乙=s甲+32=144.5m
t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s
例四：解析乙车出发时甲车具有的速度为
v甲t=v甲0-a甲t=10-4×2=2m/s.
此时到甲车停止运动的时间
根据题设条件，乙车在0.5s 时间内追不上甲车，因此本题求解时应先求出甲车停止时离车站的距离，乙车运动这段距离所需的时间，即为题中所求的时间.
常见错误
代入数据得 t=2.6s.
错误的原因在于对车、船等运输工具做匀减速运动的实际规律理解不深，本题中甲车在被乙车追赶过程中并不是都做匀减速运动，而是在中间某时刻已经停止。

例五：解析如图3所示，两车错车时，应为s1＋s2=2km，而在求解s1和s2时应先判定两车的运动规律，为此需通过仔细审题，挖掘题文中隐含的已知条件.如题文中“……起动开出”说明慢车是做初速为零的匀加速运动；“……做匀减速运动，以便到站停下”，说明列车以72km/h的初速做匀减速运动，经过2km距离速度减为零，则可知列车运动的加速度a2=v02/2s.同时注意解题过程中统一已知条件的单位.
将已知条件统一单位后代入上式，得
例六：解析由于两车同时同向运动，故有
v甲=v0+a2t， v乙=a1t.
①当a1＜a2时，a1t＜a2t，可得两车在运动过程中始终有v甲＞v乙.由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次.
②当a1=a2时，a1t=a2t，可得v甲=v0+v乙，同样有v甲＞v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次.
③当a1＞a2时，a1t＞a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化.刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲＞v乙；随着时间的推移，a1t和
a2t相差越来越大；当a1t-a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t-a2t＞v0，则有v甲＜v乙.若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲＜v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后v甲＜v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲车已超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v
甲＜v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次.
①当a1＜a2时，①式t只有一个正解，则相遇一次.
②当a1=a2时
t只有一个解，则相遇一次.
③当a1＞a2时，若v02＜2(a1-a2)s，①式无解，即不相遇.
若v02=2（a1-a2）s，①式t只有一个解，即相遇一次.
若v02＞2（a1-a2）s.①式t有两个正解，即相遇两次.
解2 利用v-t图象求解.
①当a1＜a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图4中的Ⅰ和Ⅱ，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次.
②当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图5中的Ⅰ和Ⅱ，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次.
③当a1＞a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图6中的Ⅰ和Ⅱ，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移.若划实斜线部分的面积小于S，说明甲车追不上乙车，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于 S，说明甲车刚追上乙车又被反超.则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于S.如图中0～t1内划实斜线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1～t时间内，甲车超前乙车的位移为t1～t时间内划实斜线部分的面积，随后在t～t2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次.
这类问题并不难，需要的是细心.首先把可能的情况想全，然后逐一认真从实际情况出发来分析，以得到正确的结果.。