追及问题种类及其分析

追及问题种类及其分析
湖北应城一中何飞 432400
两个物体在同一条直线上运动，两物体间的距离发生变化时，可能会出现最大距离、最小距离或者是相遇的情况，我们把这类问题称为追及相遇问题。

相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇，可见相遇问题即是追及问题。

一、追及问题分析：
追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界条件。

速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）：
①.两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离；
②.若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件；
③.若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值。

速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）：
①.当两者速度相等时，二者间有最大距离；
②.当两者位移相等时，即后者追上前者。

二、追及问题分类：
1.匀加速追匀速
①.图像：如图1所示。

t，如
②.分析：能追及且只能相遇一次，相遇时刻
2
图中，两阴影部分面积相等时即相遇。

以后匀加速的速度越来越快，匀速的追不上匀加速的了，故只能相遇一次。

t时刻），此时两物体相距最远，
③.交点意义：速度相等（
1
以后距离逐渐的减小，直到追及为止。

2.匀减速追匀速：
①.图像：如图2所示。

②.分析：当v v =减匀时，a .若0s s ∆=，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；b .若0s s ∆，则不能追及；若0s s ∆（即当10s s ∆=时，v v 减匀），此时能相遇两次（0s 为开始追及时两物体的距离）。

③.交点意义：速度相等时若还未追及则距离最远（用此可
以来判断相遇几次）。

3.匀速追匀加速：
①.图像：如图3所示。

②.分析：在v v =加匀时，a .若0s s ∆=，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；b .若0s s ∆，则不能追及；若0s s ∆（即当
10s s ∆=时，v v 加
匀），此时能相遇两次（0s 为开始追及时两物体
的距离）。

③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离。

4.匀速追匀减速：
①.图像：如图4所示。

②.分析：能追及且只能相遇一次（即在1t 时刻，两阴影部分面积相等）。

③.交点意义：速度相等时（即0t 时刻），两物体相距最远。

5.匀加速追匀减速：
①.图像： 如图5所示。

②.分析：能追及且只能相遇一次（即在1t 时刻，两阴影部分
面积相等）。

③.交点意义：速度相等时（即0t 时刻），两物体相距最远。

6.匀减速追匀加速：
①.图像：如图6所示。

②.分析：在v v =减加时，a .若0s s ∆=，则恰好能追及，
这也是避免相撞的临界条件，此时只能相遇一次；b .若
0s s ∆，则不能追及；若0s s ∆（即当10s s ∆=时，v v 加减），此时能相遇两次（0s 为开始追及时两物体的距离）。

③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离。

三、追及问题方法：
在处理追及相遇问题的时候，往往用到的下列方法：1.物理分析法；2.相对运动法；3.极值法；4.图像法。

例：火车以速度1v 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度2v 做匀速运动，已知1
2v v ，司机立即以加速度a 紧急刹车，为使两车不相撞，加速
度a 大小应满足什么条件？ 解析：方法一（物理过程分析法）：
后车刹车后虽然做匀减速运动，但在速度减小到和2v 相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大，可见，当两车速度相等时，两车距离最近，若后车减速的角速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，这根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。

综合上述分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：
210212
v t a t v t s -=+ 102v a t v -= 联立上式可解得：2
210()2v v a s
-= 所以：当2
21()2v v a s
-≥时，两车即不会相撞。

方法二（数学极值法）：
要使两车不相撞，其位移关系应为：
21212v t at v t s -≤+ 即：2211()02
at v v t s +-+≥ 对于位移s 和时间t ，上面不等式都成立的条件为：
221()20v v as ∆=--≤
由此得：2
21()2v v a s
-≥ 所以：当2
21()2v v a s
-≥时，两车即不会相撞。

方法三（相对运动法）：
以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速为021v v v =-、加速度为a 的匀减速直
线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s s '≤，则不会相撞。

由202v s a
'=得： 212()2v v s s a -'=≤得：2
21()2v v a s
-≥ 所以：当2
21()2v v a s
-≥时，两车即不会相撞。

方法四（图像法）：
作出前后两车的v t -图像，如下图7所示，由此图可直观看出：要使两车不相撞，只要满足图中阴影部分的那个三角形的所谓面积s '小于或等于s 即可。

在阴影部分的三角形中，由v t -图线的物理意义知：
tan a α=，
121211()()tan 2s v v v v α'∴=-•-•• 得： 12
2()2v v s a -'= 所以：2
21()2v v a s
-≥ 所以：当2
21()2v v a s -≥时，两车即不会相撞。