教学课题 等差数列前n项和的公式[精品高中数学说课稿]

教学课题 等差数列的前n 项和
授课教师 江苏省苏州市苏苑高级中学 殷容仪
教 材 全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）
一、教学目标：
(1)使学生掌握求等差数列前n 项和的公式及其推导过程；
(2)使学生初步掌握利用等差数列前n 项和的公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题； (3)培养学生观察、分析、提出问题和解决问题的能力. 二、教学重点、难点：
(1)本堂课的教学重点是等差数列n 项和公式的理解、推导及应用；
(2)本堂课的教学难点是灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的求和问题. 三、教学方法、手段：
(1)在教学方法的选择方面，主要以引导和师生互动探究为主； (2)在教学手段的选择方面，主要以板演并适当采用一些投影片. 四、教学过程：
（1）复习回顾，旨在为公式推导作铺垫
（师）经过前面的学习，我们知道，在等差数列中 1、d a a n n =--1（n ≥1），d 为常数；（板书） 2、)()1(1N n d n a a n ∈-+=；（板书） 3、若q p n m +=+，则q p n a a a a m +=+.
特别地, =+=+=+--23121n n n a a a a a a .(板书) (2)高斯求和, 旨在为推导公式提供思路
(师)今天我们首先要研究的问题是,探索首项为1a ,公差为d,项数为n,第n 项为n a 的等差数列前n 项和n S 的计算公式.
为了得到n S 的计算公式,我们先看下面一个具体的求和问题.
?100321=++++ (投影片)
(师)显然,我们可以采用连加的方法把它算出来.但除此之外,我们可否根据等差数列的性质,找到更有趣的算法呢?
(生)我们可以发现,1019839921001==+=+=+ ,这里有50个101,所以505010150100321=⨯=++++ .
(师)很好!上面的问题,实际上可以看成是求等差数列
,,,3,2,1n
的前100项的和.在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示,且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和,这能给我们求一般等差数列前n 项和带来怎样的启发呢?
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即
n n a a a a S ++++= 321. (1)
(生)把项的次序反过来, n S 又可以写成
121a a a a S n n n n +++=-- . (2)
把(1)、(2)两边分别相加,再根据 =+=+=+--23121n n n a a a a a a 可以得到
)()()()(21111n n
n n n n a a n a a a a a a S +=+++++=
.
由此得到等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式
公式一)板书 又因为
d n a a n )1(1-+=
所以上面的公式又可以写成
公式二)板书 设计意图:高斯求和的方法,学生早在小学时便已知道,情景是熟悉的.这里把课本的内容作了一点变化,那就是利用刚学过不久的等差数列的性质:
=+=+=+--23121n n n a a a a a a 直接推导n S 的公式,改变了书本的推导过程.这样的改变,
可使公式的推导一气呵成,有利于学生迅速形成有效的认知结构,同时为学生正确灵活地运用公式打下坚实的基础.
(3)例题练习题,旨在培养学生运用公式的能力 例1、口答下列各题: (投影片)
(1)7500+8000+8500+9000+9500+10000+10500=？(答：63000.) (2)?)1(321=+-++++n n (答:2
)
1(+=
n n S n .) (3)求自然数列中前n 个奇数的和. (答: 2
n S n =.) (4)求自然数列中前n 个偶数的和. (答: )1(+=n n S n .)
设计意图:第1题即为书本的例1,由于是直接把数据代公式进行运算,故设计为口答题；第2,3,4的结果以后常要用到,所以应使学生熟练掌握.四个小题的运算都是直接代公式即可,目的在于让学生尽快熟悉公式.
例2、等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S
则54,4)10()6(,101==---=-=n S d a ,由等差数列前n 项和公式可得
5442
)
1(10=⨯-+
-n n n 整理,得
02762=--n n .
解之得：
3,921-==n n （舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.
练习题1、在实数a 、b 之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.
(师)设插入的10个数依次为1021,,,x x x ,则b x x x a ,,,,,1021 成等差数列.令
1021x x x S ++=,怎么算?
(生))(5)(2
)
(12)(12b a b a b a b a S S +=+-+=+-=.
(师)对.还有其他解法吗?
(生)有.因为b a x x +=+101,所以)(52
)
(10101b a x x S +=+=
.
(师)很好!这种解法灵活地运用了公式一.
练习题2、求集合{}
100,,7<∈==*
m N n n m m M 中元素的个数,并求这些元素的和. (师)该题的题意是什么?
(生)在小于100的自然数中,有多少个数能被7整除?并求这些数的和.
(师)非常好.请同学们自行解答.(巡视课堂,对个别学生进行指导.)解完后,请同学们对照课本第117页例3的解答.
这里再布置一个思考题:在小于100的自然数中,有多少个数既是4的倍数,又是6的倍数,并求这些数的和.请同学们课后完成.
设计意图:一个例题具体讲解,两个练习题,其一作分析,其二学生练,目的在于具体运用公式.另外,布置思考题,想使学生的认识得到“升华”,发展学生的思维,并期望起到触类旁通、举一反三的效果；同时亦可避免“课结束,题就凉”的尴尬局面. 例3、在等差数列{}n a 中,
(1)已知36151252=+++a a a a ,求16S ； (2)已知206=a ,求11S .
(师)研究第1题的已知条件,你有什么发现?
(生)根据等差数列的性质,有181********=+=+=+a a a a a a ,所以
1441882
)
(1616116=⨯=+=
a a S .
(师)直接用公式一,这个解法很好,能用公式二吗? (
生
)
可
以
.
由
36151252=+++a a a a 可得36
3041=+d a ,而
144364)304(4120162
15
161611116=⨯=+=+=⨯+
=d a d a d a S .但显然,前面的解法更简洁.
(师)对于第2题,你又有什么打算? (生)6a 是1a 与11a 的等差中项,因此2202011112
)
(11611111=⨯==+=
a a a S . (师)注意到6a 恰好是1a 与11a 的等差中项,所以11S 就可以立即求出来.反之,如果已知11S 的值,也可以马上求出6a 的值.推广到一般情况,若已知n a 的值,就可以求出)(12N n S n ∈-的值,反之亦可.
思考题:已知数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且5234++=n n T S n n ，求8
8
b a 的值. 设计意图:选择例3,目的在于训练学生的思维能力和培养学生灵活运用公式的能力.思考题
的布置,同样是为了“升华”知识,促成学生养成自主探索的精神.
(4)学习建议, 旨在小结
1、高斯求和的方法为我们推导等差数列前n 项和公式提供了思路.
2、掌握等差数列前n 项和公式的二种形式:
2)(1n n a a n S +=
,d n n na S n 2
)
1(1-+=. 3、循序渐进,直至能灵活运用公式解决有关等差数列前n 项和的问题.
(5)作业：
1、课本第118页习题3.3第1、
2、
3、4； 2、独立思考并完成课中布置的2道思考题.
(1)本堂课的教学内容主要有两部分构成,那就是等差数列前n 项和的公式的推导以及等差
数列前n项和公式的运用.在公式推导的过程中,本教案对课本相关内容作了改变,直接利用反序相加得到了涉及首项、末项的求和公式，然后再利用通项公式得到关于首项、公差的求和公式.这种改变,可使公式推导变的顺理成章,更符合学生的认知规律,同时便于学生快速有效地形成认知结构.
(2)关于公式运用方面的教学,教案设计了三个层次的例题与练习题.例1中的4个口答题,直接代公式计算即可,目的在于让学生尽快熟悉公式；例2及两个练习题,通过讲练结合, 目的在于让学生具体运用公式,以便学生进一步巩固公式；例3的选择,其出发点在于训练和提高学生的思维能力,最终是想提升学生灵活运用公式的能力.此外,根据教学内容布置了两个思考题,主要是基于以下两个方面的考虑:一是“升华”教学内容,避免“人走题凉”的尴尬；二是希望借助于这种形式,努力培养学生积极主动的探究精神.
(3)本堂课的教学内容不难,因此教学氛围容易变的平淡无味.基于这种担忧,笔者试图通过师生互动的探究方式来调节气氛,使学生的思维始终处于一种积极的状态,台阶式的题型结构的设计正是其具体的体现.另外,在公式的推导和题目的讲解分析过程中,尽可能的考虑采用启发的方式来完成教学.。