湘教版七年级数学上册3.4.3 相遇、追及问题学案(无答案)-word文档资料
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.4 一元一次方程模型的应用 第3课时 行程问题教案1 (新版)湘教版
第3课时行程问题1．能分析行程问题中已知数与未知数之间的数量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系式，列出一元一次方程解应用题．2．会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．一、情境导入亲爱的同学们，你们读过名著《西游记》吗？关于孙悟空的故事你一定知道很多吧．有这样一首描述孙悟空捉妖的诗：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准．请你帮孙悟空算算当时的风速每分钟是多少里？二、合作探究探究点一：用一元一次方程解决相遇问题小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10.答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．探究点二：用一元一次方程解决追及问题敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程．解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．根据题意，得8x－5x＝25－1.解得x＝8.答：战斗是在开始追击后8小时发生的．探究点三：用一元一次方程解决环形问题甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？解析：(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者追上慢者一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米． 解：(1)设x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x －240x ＝400.解得x ＝103. ⎝ ⎛⎭⎪⎫103×360＋103×240÷400＝5(圈)． 答：两人一共走了5圈．(2)设x 分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x ＋240x ＝400.解得x ＝23(分钟)＝40(秒)．答：40秒后两人第一次相遇． 方法总结：环形问题中的相等关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长．三、板书设计行程问题→⎩⎪⎨⎪⎧相遇问题追及问题环形问题教学过程中，通过对开放性问题的探讨与交流，体验生活中数学的应用与价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识、团队精神和克服困难的勇气．。
追及和相遇问题专题教案
追及问题和相遇问题专题学习目标：１．知道两种问题的各种处理方法２．能归纳两种问题的临界条件３．理解数学方法和图象法在处理物体问题中的重要性课时安排：1课时教学过程追及问题的实质就是：当两物体在同一直线上运动，分析讨论两物体在同一时刻是否能达到同一空间位置的问题．在分析追及问题时，必须明确以下几点：一个条件，两个关系，三种解题方法．１. 一个条件即两物体的速度相等，它往往是追上追不上（两物体间距离有极值（最大值，最小值））的的临界条件，也是分析判断此类问题的切入点．２.两个关系即两物体运动的时间关系和位移关系．（１）若两物体同时开始运动则运动时间相等，若不同时开始运动则应找出时间关系．（２）若两物体从同一位置开始运动则追上的位移关系是ｓ１＝ｓ２；若开始运动时两物体相距ｓ０，则追上的位移关系是ｓ１－ｓ２＝ｓ０３．三种解题方法解这类问题一般可用物理分析法，数学极值法，图象法．（１）物理分析法 基本的解题思路是：①分别对两物体研究②画出运动过程示意图③列出位移方程④找出时间关系速度关系，位移关系⑤解出结果，必要时进行讨论．例１. 甲物体作匀速直线运动的速度是５m/s ，经过乙物体时，乙物体从静止开始以１m/s 2的加速度追赶甲物体，求：①乙在追上甲之前，经过多长时间甲乙相距最远？此距离是多少？②什么时候乙追上甲？此时乙物体的速度是多少？解析：①乙物体运动后速度由零逐渐增大，而甲的速度不变，在乙的速度小于甲物体的速度前，二者间的距离将越来越大，一旦乙的速度超过甲物体的速度时两物体间的距离就将缩小，因此当两物体的速度相等时，两物体相距最远．因此有：甲乙乙v t a v == ∴s 5s 15a v t ===乙甲t v x 甲甲= 2at 21x =乙 由位移关系：乙甲x x x -=∆ 带入数据得Δx ＝１２.５ｍ②设经过ｔ１时间乙追上甲，此时甲乙的位移相等． 则121t v at 21甲= s 10a v 2t 1==∴甲s /m 10at v 1==乙 （２）数学极值法运用物理规律将物理问题转化成数学问题，通过函数运算得出结果．上题也可以用数学极值法求解．解析：①设乙在追上甲之前经ｔ时间两物体相距最远．乙甲x x x -=∆＝2at 21t v -甲＝5ｔ－0.5ｔ２ 由二次函数求极值公式知：当s 5a2b t ==时Δｓ最大，代入数据得Δx ＝１２.５ｍ ②同物理分析法②（３）图象法①甲乙的ｖ－ｔ图像如图所示，根据速度图像的物理意义，图像与坐标轴所围面积表示位移的大小由图像可看出：在乙追上甲之前的t 时刻，两物体的速度相等，甲的位移（矩形面积）与乙的位移（三角形的面积）之差（画斜线部分）达最大，所以：甲乙乙v t a v == ∴s 5s 15a v t ===乙甲乙甲s s x -=∆=S 矩形-S 三角形 =12.5m②由图像可知：在t 时刻后，由甲与乙的速度图线所围三角形的面积与阴影三角形的面积相等时，两物体的位移相等（即追上），所以由图可得：乙追上甲时，t ＇=2t=10s ， 10v 2v ==甲乙m/s 点评：（１）追和被追两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。
湘教版七年级上册数学3.4.3课题：行程问题
2. 一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生 甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以 6km/h的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队 伍？
答：该生用了1小时追上了队伍.
2．A、B两地相距30千米，甲骑自行车以15千米/时 的速度从A地驶向B地，1小时后，乙开汽车从A地以 60千米/时速度追赶，x小时后，乙追上了甲，则可 列方程为_1_5_＋__1_5_x_＝__6_0_x__ ．
3．甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地出 发，相向而行，2小时后相遇，若甲每小时比乙多骑 2.5千米，设乙的速度为x，则可列方程为 __2_(_2_._5_＋__x_＋__x_)_＝__6_5__．
自学互研
知识模块一 相遇问题 (一)合作探究
动脑筋 星期天早晨，小斌和小强分
别骑自行车从家里同时出发去参 观雷锋纪念馆. 已知他俩的家到 雷锋纪念馆的路程相等，小斌每 小时骑10km，他在上午10时到 达；小强每小时骑15km，他在
上午9时30分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程.
我们知道，速度×时间=路程
分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时， 他们走的路程的和等于两家之间的距离.不管两人是同时出发， 还是有一人先走，都有小明走的路程+小红走的路程=两家之间 的距离(20km).
解（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇， 则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得
x = 0.8 .
变式：若上题中两人的速度不变，甲先出发40分钟 后乙再出发，问乙出发多久后与甲相遇？
解：设乙出发x小时后两人相遇，依题意得：
2 17．5(x＋3)＋15x＝65.
数学初一上湘教版4.3一元一次方程的应用相遇问题教案
3、要注意出发的时间，同时时间单位要注意统一，用“时”或“分”均可，但答案要与所问的一致、
学以致用
学习了一元一次方程相遇问题的应用，老师还有一个实际问题需要同学们来解决。
出示学以致用
学校距雷锋纪念馆多远？
斌斌和强强骑自行车从学校出发去雷锋纪念馆参观，出发前他俩一起算了一下：0分便可到达。
新课讲解
〔一〕、师生共同分析问题中等量关系
〔出示〕抛“砖”引“玉”
写出以下式子的等量关系式：
甲乙两人站在笔直的跑道上练习长跑，两人相距100米，甲的速度为7米／秒，乙的速度为6米／秒.
假设两人同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？
〔教师活动〕读题，演示动画→线段图
〔学生活动〕认真观察，分析题中数量关系，找问题中等量关系。
情感、态度与价值观：从生活的现实问题入手，使学生积极参与数学学习活动，体会数学建模思想；通过将数学问题和实际问题相联系的过程，使学生初步体验数学与人生活的密切联系；通过学生之间的交流合作过程，培养学生合作意识。
重点
列方程解相遇问题、
难点
理解行程问题三个关系量，正确地寻找相遇问题中的相等关系、
教学用具
〔教师活动〕教师演示环形跑道同时同向出发，找问题中等量关系，得出结论。
〔学生活动〕根据问题中等量关系，建立方程，解决问题。
教师指出：环形跑道同时同向出发，此类问题可以化归为行程问题的追击问题，以后的课堂我们会进一步学习。
课堂小结
在师生共同回顾本节课所学的内容的基础上，教师应强调：
1、相遇问题，列方程依据的等量关系是，相遇时，两车走的距离等于全路程；
教师指出：出示问题中等量关系→甲走的路程＋乙走的路程＝100
2.追赶和相遇问题导学案
b、若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则能否追上（
c、 匀减速运动的物体避免碰撞上同向的匀速运动的物体时， 当二者到达同一位置时， 若后者速度大于前者，则二者能不能避免相碰？（ 若后者速度小于前者，则二者能不能避免相碰？（ 若后者速度等于于前者，则二者能不能避免相碰？（ 所以避免碰上的临界条件是 问题探究二：匀速运动的物体追赶同方向的匀减速运动的物体 例题：A、B 两物体相距 X=7 米，A 正以 V1=4 米/秒的速度向右做匀速直线运 动，而物体 B 此时速度 V2=10 米/秒，方向向右，做匀减速直线运动（不能返回） ， 加速度大小 a=2 米/秒 ，试分析 ○ 1 .经多长时间 A 追上 B。 ○ 2 追上前什么时候相距最远？最远距离是多少？ （1）审题（写出或标明你认为的关键词） （2）分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点 课堂小测 （3）仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意 v-t 图象的应用
Vt =
2
2.推论 V s =
2
ห้องสมุดไป่ตู้
X n -X n1 = 3.一物体做匀变速直线运动，第 3s 的位移为 15m，第 8s 的位移为 5m，求物体的初 速度和加速度？
自主学习 追击相遇问题在实际生活中经常遇到，如图
V 后
V 前
3）从同一位置，做初速度为零的匀加速运动的物体甲与同方向的做匀速运动的物体 乙同时开始运动，甲的速度逐渐 速度相等时，甲乙间距 ，甲乙间距逐渐 ，此后甲的速度逐渐 ，当甲乙 ，甲乙间距逐
运动的物体乙同时开始运动，甲乙有最大距离的条件：两物体速度 二、匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 a、若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则能否追上（ 者之间的距离 。 （最大？最小？） ） 。 ） ，此时两 练习： 汽车正以 10m/s 的速度在平直公路上前进， 突然发现正前方有一辆自行车 以 4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动， 汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s2 的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？
初中追击相遇问题教案
初中追击相遇问题教案教学目标：1. 理解追击相遇问题的概念和条件；2. 学会运用追击相遇问题的解决方法；3. 能够解决实际生活中的追击相遇问题。
教学重点：1. 追击相遇问题的概念和条件；2. 追击相遇问题的解决方法。
教学难点：1. 理解追击相遇问题中的相对速度概念；2. 应用追击相遇问题的解决方法。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入追击相遇问题的概念，让学生思考在日常生活中遇到的追击相遇情况；2. 提问学生对追击相遇问题的理解，引导学生思考追击相遇问题的条件和解决方法。
二、讲解追击相遇问题的概念和条件（15分钟）1. 解释追击相遇问题的定义，即两个或多个物体在运动过程中，按照一定的速度和方向运动，最终相遇的问题；2. 讲解追击相遇问题的条件，包括物体的初始位置、速度、运动时间等；3. 通过示例图和实例，让学生更好地理解追击相遇问题的概念和条件。
三、讲解追击相遇问题的解决方法（15分钟）1. 介绍追击相遇问题的解决方法，包括设定变量、列出方程和求解方程等步骤；2. 讲解如何设定变量，例如设第一个物体的速度为v1，第二个物体的速度为v2等；3. 讲解如何列出方程，例如根据追击相遇问题的条件列出距离方程、时间方程等；4. 讲解如何求解方程，例如解一元一次方程、二元一次方程等；5. 通过示例题，让学生跟随讲解步骤，一起解决追击相遇问题。
四、练习和应用（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立解决追击相遇问题；2. 引导学生思考如何应用追击相遇问题的解决方法解决实际生活中的问题，例如相遇问题、追击问题等；3. 让学生分享自己的解题过程和应用实例，互相学习和交流。
五、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结追击相遇问题的概念、条件和解决方法；2. 引导学生反思自己在解决追击相遇问题时的困难和不足，并提出改进措施；3. 鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，运用追击相遇问题的解决方法解决实际问题。
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.4 一元一次方程模型的应用教案 (新版)湘教版-(新版)湘
3.4一元一次方程模型的应用（第1课时）【教学目标】知识与技能掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并能解答一元一次方程的和、差、倍分问题的简单应用题.过程与方法通过列方程解应用题，提高分析问题、解决问题的能力.情感态度理解和体会数学建模思想在实际问题中的应用，形成用数学知识解决问题的意识.教学重点找出等量关系，列出方程.教学难点找出等量关系，列出方程.【教学过程】一、情景导入，初步认知，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较有什么优越性?某数的3倍减2等于它与4的和，求某数.(用算术方法解由学生回答)解:(4+2)÷(3-1)=3答:某数为3.如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x-2=x+4此式恰是关于x的一元一次方程.解得x=3.上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.2.我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系.对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后将这个相等的关系表示成方程.下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.【教学说明】采用提问的形式，方法与方程解决实际问题的方法对比，让学生明白方程的优越性.二、思考探究，获取新知1.探究:某湿地公园举行观鸟活动，其门票价格如下，全价票为20元/人，半价票为10元/人.该公园共售出1 200X门票，得总票款为20 000元，问：全价票和半价票分别售出多少X?(1)在此问题中，有何等量关系?全价票款+半价票款=总票款.(2)怎样设未知数?设售出全价票xX，则售出半价票(1 200-x)X.(3)根据等量关系列出方程，并求解.x·20+(1 200-x)·10=20 000解得:x=800所以半价票为1 200-800=400(X)即全价票售出800X，半价票售出400X.【教学说明】让学生体会找相等关系是列方程的关键所在.，你能总结出一元一次方程解实际问题的一般步骤吗?【归纳结论】一元一次方程解实际问题的一般步骤为:【教学说明】培养学生观察、概括及语言表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P98例1.，，今年的是去年的2倍，这三年的总产值为550万元，前年的产值是多少?解:设前年的产值为x，，，则x+1.5x+2×1.5x=550，解得x=100.答:前年的产值为100万元.3.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500 kg，这个仓库原来有多少面粉?分析:题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出15%；仓库中还剩余42 500 kg.未知量为仓库中原来有多少面粉.已知量与未知量之间的一个相等关系:原来质量-运出质量=剩余质量设原来有x千克面粉，运出15%x千克，还剩余42 500千克.解:设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，根据题意，得x-15%·x=42 500即x-x=42 500x=42 500解得x=50 000.经检验，符合题意.答:原来有50 000千克面粉.，生产特种螺栓和螺母，一个螺栓的两头均套上一个螺母配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，问：多少工人生产螺栓，多少工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套?解:设x名工人生产螺栓，(28-x)名工人生产螺母，列方程得2×12x=18(28-x).解得x=12.生产螺母的人数为28-x=16.答:12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套. ，蜻蜓有6条腿，现在有蜻蜓、蜘蛛若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数比蜘蛛的2倍少5，问：蜘蛛、蜻蜓分别有多少只?解:设有蜘蛛x只，蜻蜓有(2x-5)只，则8x+6(2x-5)=270，解方程得x=15，2x-5=25.答:蜘蛛有15只，蜻蜓有25只.，，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应分别调往甲、乙两处多少人?分析:(1)审题:从外处共调20人去支援.若设调往甲处的是x人，则调往乙处的是多少人?一处增加x人，另一处便增加(20-x)人.看下表:调动前调动后甲处27人(27+x)人乙处19人[19+(20-x)]调人后甲处人数=调人后乙处人数的2倍.解:设应该调往甲处x人，则，得27+x=2[19+(20-x)].解方程得x=17.20-x=20-17=3.经检验，符合题意.答:应调往甲处17人，调往乙处3人.，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用1h整理，随后又增加6人和他们一起又做了2h，，那么先安排整理的人员有多少?解:设先安排整理的人员有x人，依题意，得+=1解得x=6.经检验，符合题意.答:先安排整理的人员有6人.【教学说明】通过练习，巩固本节课所学的内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第4、7、8题.3.4一元一次方程模型的应用（第2课时）【教学目标】知识与技能学会用方程表示实际问题中的数量关系和变化规律.过程与方法通过探索实际问题，培养学生应用数学的意识，体会数学的价值.情感态度培养学生观察、分析、推理能力，渗透建模思想、方程思想、分类讨论思想.教学重点正确地分析出应用题中的已知数、未知数.教学难点能够准确地找出应用题的等量关系.【教学过程】一、情景导入，初步认知某超市把一种羊毛衫按进价提高50%标价，再按8折(标价的80%)出售，这样该超市每卖出一件羊毛衫就可盈利80元.这种羊毛衫的进价是多少元?如果按6折出售，该超市还盈利吗?为什么?【教学说明】通过学生进行实际调查，激发学生的学习兴趣，使每一名学生都成为知识的探索者、创新者，渗透方程思想、建模思想，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.二、思考探究，获取新知1.探究:某商店将某型号彩电按标价的八折出售，则此时每台彩电的利润率是5%，已知该型号彩电的进价为每台4 000元，求该型号彩电的标价.(1)在此问题中，有何等量关系?售价-进价=利润.(2)怎样设未知数?设彩电标价为每台x元，则售价为0.8x元.(3)根据等量关系列出方程，并求解.0.8x-4 000=4 000×5%解得:x=5 250即:彩电的标价为每台5 250元.2.交流讨论:在销售问题中进价、售价、利润、利润率的关系式有哪些?【归纳结论】销售问题中的等量关系式有:①商品利润=商品售价-商品进价②商品售价=商品标价×折扣数③×100%=商品利润率④商品售价=商品进价×(1+利润率)，杨明将一笔钱存入某银行，定期3年，年利率是5%，若到期后取出，他可得到本息和23 000元，求杨明存入的本金是多少元.(1)引导学生分析、解决问题.(2)在存款问题中有哪些等量关系式?【归纳结论】存款问题中的等量关系式有:①利息=本金×年利率×年数②本息和=本金+利息【教学说明】明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式，，要好好把握各种问题的数量关系，可以作为一种知识的储备!三、运用新知，深化理解，这件衣服是按标价的3折出售的，这件衣服的标价是多少元?解:设这件羊毛衫的标价是x元，根据题意，得x=69.解得x=230答:这件衣服的标价是230元.，每件可盈利2元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，:该文具每件的进价是多少元?基本关系式:进价=标价×折数-利润解:设该文具每件的进价是x元.根据题意得x= (x+2)-0.2.解得x=4.答:该文具每件的进价是4元.，标价为400元，商店要求利润率不低于25%的价格出售，求:售货员最低可以打几折出售此商品?解:设打x折出售此商品.400x-200=200×25%则x=0.625.答:售货员最低可以打6.25折出售此商品.4.某企业存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元.甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获利9500元，求甲、乙两种存款分别是多少元?解:设甲种存款为x元，依题意，得5.5%x+(200 000-x)×4.5%=9 500，解得:x=50 000，乙存款:200 000-50 000=150 000(元).答:甲存款50 000元，乙存款150 000元.，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折，，那么书包和文具盒的标价分别是多少元?解:设一个文具盒标价为x元，则一个书包标价为(3x-6)元，依题意，得解此方程，得x=18，经检验，符合题意.3x-6=48(元)答:书包和文具盒的标价分别是48元/个，18元/个.，其中一个亏本20%，另一个盈利60%.请你计算一下，在这次买卖中，这家商店是赚还是赔?若赚，共赚了多少元?若赔，赔了多少元?解:设一个价钱为x元，另一个价钱为y元，依题意得:x(1+60%)=64，y(1-20%)=64，所以x=40，y=80，则64×2-(x+y)=128-120=8.故盈利8元.答:在这次买卖中，这家商店是赚了，共赚了8元.，电脑价格不断下降，某一品牌电脑，每台先降价m元，后连续两次降价，每次降价25%，现售价为n元，那么该电脑原来每台售价是多少元?解:设原来的售价是x元.根据等式列方程得:(1-25%)2(x-m)=n，解得x=n+m，答:原来每台的售价是(n+m)元.【教学说明】通过练习提高学生思维的广度；培养学生的发散思维和创新精神.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第1、2题.3.4一元一次方程模型的应用(第3课时)【教学目标】知识与技能进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力. 过程与方法通过自主探究与小组合作交流，能合理清晰地表达自己的思维过程，掌握根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力.情感态度进一步体会数学中的化归思想，引导学生关注生活实际，建立数学应用意识，热爱数学. 教学重点利用线形示意图分析行程问题中的数量关系.教学难点找出问题中的等量关系.【教学过程】一、情景导入，初步认知在行程问题中，最基本的等量关系式是什么?【教学说明】为本节课的教学做准备.二、思考探究，获取新知1.探究:星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达，求他们的家到雷锋纪念馆的路程.【教学说明】引导学生分析题意，找出题目中的等量关系式，并列出方程解答.2.讨论:在行程问题中还存在什么样的等量关系式?【归纳结论】相遇问题的基本关系:各路程之和=总路程.追及问题的基本关系:追及者的路程-被追者的路程=相距的路程.3.探究:为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定:所交水费分标准内水费与超标部分水费两部分，，，某家庭6月份用水12t，需缴水费27.44元.求该市规定的家庭月标准用水量.本问题首先要分析所缴的，因为1.96×12=23.52(元)，，所以含有超标部分的水费，则等量关系式为:月标准内水费+超标部分水费=该月所缴的水费设月标准用水量为x t，根据等量关系，得解得:x=8所以，该市家庭月标准用水量是8吨.，我们先要确定所给的数据所处的分段，再根据它的分段合理地解决.，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元.(1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，则圆珠笔、钢笔分别买了多少支?(2)若购圆珠笔可按9折付款，钢笔可按8折付款，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案.解:(1)设圆珠笔买了x 支，则钢笔买了(22-x)支，根据题意得:5x+6(22-x)=120，解得:x=12.所以22-x=22-12=10.答:圆珠笔、钢笔分别买了12支、10支.(2)是一道方案设计题，也是一道开放型题，答案不唯一，根据题意，圆珠笔的单价为109×5=4.5(元)；钢笔的单价为108×6=4.8(元)，由于圆珠笔的单价小而钢笔的单价大，因此尽量圆珠笔多买些.①当买圆珠笔19支，钢笔3支时，19×4.5+3×4.8=99.9(元)<100(元)满足条件；②当买圆珠笔20支，钢笔2支时，20×4.5+2×4.8=99.6(元)<100(元)满足条件；③当买圆珠笔21支，钢笔1支时，21×4.5+1×4.8=99.3(元)<100(元)满足条件.故有三种方案，圆珠笔19支，钢笔3支或圆珠笔20支，钢笔2支或圆珠笔21支，钢笔1支.【教学说明】 这一层次及时鼓励学生通过观察、分析、小组讨论，找出其中的等量关系，并尝试用文字语言表述出来，有利于提高学生的分析问题能力和语言表达能力.三、运用新知，深化理解1.教材P101例3、P103例4.2.某城市出租车起步价为8元(3km 以内)，以后每千米2元(不足1km 按1km 算)，某人乘出租车花费20元，那么他大概行驶了多远?解:设这个人大概行驶了xkm ，根据题意得:8+2(x-3)=20解得:x=9答:这个人大概行驶9km.3.甲、乙两列火车的长为144m 和180m ，，从相遇到全部错开需9s ，问：两车的速度分别是多少?解:设乙车每秒行驶x m ，则甲车每秒行驶(x+4) m ，根据题意得:9(x+x+4)=144+180，整理得:2x=32，解得:x=16，x+4=20.答:甲车每秒行驶20m ，乙车每秒行驶16m.4.甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米.(1)若两列火车同时开出，相向而行，经过多长时间两车相遇?(2)若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多长时间两车相遇?解:(1)设两车同时开出相向而行，经过x 小时两车相遇，即72x+48x=360，解得:x=3，答:经过3小时两车相遇.(2)设慢车行驶y 小时两车相遇.根据题意有:48y+72(y+6025)=360， 解得y=411. 答:慢车行驶了411小时两车相遇. ，用气量如果不超过60m 3，；如果超过60m 3，为，求该用户10月份应缴的煤气费是多少元.解:由10月份的煤气费平均每立方米为，可得10月份用气量一定超过60 m 3，设10月份用了煤气x 立方米，由题意得:60×0.8+(x -60)×1.2=0.88×x，解得:x=75，则所缴的电费为75×0.88=66(元).答:10月份应缴的煤气费是66元.6.某水果批发市场香蕉的价格如下表:二次分别购买香蕉多少千克?分析:由于X强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，因此第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克.因为50千克香蕉共付264元，，所以第一次购买香蕉的价格必然为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能是5元，也可能是4元.我们分两种情况讨论即可.解:(1)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉20千克以上但不超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:6x+5(50-x)=264解得:x=1450-14=36(千克)(2)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:6x+4(50-x)=264解得:x=32(不符合题意)答:第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉.信公司开设了两种业务:一是“全球通”，使用者先缴纳50元月租费，；二是“快捷通”，使用者不缴纳月租费，每通话1分钟付通话费0.60元.(1)小明的爸爸一个月的通话时间约为200分钟，你认为他应选择哪种通讯业务，可使费用较少?请说明理由.(2)当每月通话时间为多少分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样?解:(1)他应选择快捷通业务；使用全球通业务需要50+0.4×200=130(元)，使用快捷通业务需要0.6×200=120(元)，120元<130元，所以他应选择快捷通业务.(2)设当每月通话时间为x分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.，解得x=250.所以当每月通话时间为250分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.，在市场上若直接销售，每吨利润为1 000元，经粗加工后销售，每吨利润4 000元，经精加工后销售，，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，，，公司研制了三种方案:方案一:将蔬菜全部进行粗加工；方案二:尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；方案三:将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成.如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由.解:方案一:4 000×140=560 000(元)；方案二:15×6×7 000+(140-15×6)×1 000=680 000(元)；方案三:设精加工x吨，则+=15；解得:x=60，7 000×60+4 000×(140-60)=740 000(元)；答:选择第三种方案.【教学说明】通过练习，检测学生的掌握情况；教师做适当地提示.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】布置作业:教材“习题3.4”中第5、6、7题.。
湘教版(2012)初中数学七年级上册 3.4.3 实际问题与一元一次方程行程问题中的相遇与追及 课件
想一想：
甲、乙两车分别从相距S千米的A、B两地同时出发，
相向而行，两车会相遇吗？如果两车相遇，则相遇时 甲乙两车所走的路程 、 与两地的距离S有什么关 系？请画出线段图表示：
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甲车
乙车
A 甲车路程
B 乙车路程
A
甲车路程＋乙车路程＝总路程
B
一、相遇问题：
例1：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，
相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几
小时后可以相遇？ 1、画出示意图：
3km/h甲
3x
2x 乙2km/h
2、甲行A走的时间与乙行50走的时间有B什么关系？
时间角度：甲行走的时间=乙行走的时间 3、甲乙相遇时,两人所走的路程与AB两地的距离有
二、追及问题
例2：甲、乙从一点出发，同向而行，甲每小时 走3km，乙每小时走2km，乙先出发3小时，甲再 出发追赶乙，问甲要多久才能追上乙？
1、画出示意图：
乙 23 甲
2x
3x
A
B
时间角度：甲行驶的时间＝乙后行的时间
路程角度：乙先行路程 ＋ 乙后行路程 =甲的路程
变式 练习
分
析
3、小王、叔叔在400 米长的环形跑道上练习 跑步，小王每秒跑4米， 叔叔每秒跑6米。
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
（2）同向
叔叔 小王
相等关系： 小王路程 + 400 = 叔叔路程
归纳小结：在列一元一次方程解行程问题时,我们常画出线段图
来分析数量关系。从而帮助我们更好的理解题意，找到题目中的 等量关系式，设出适合的未知数，列出方程。
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3.4.3相遇、追及问题
教学目标
1、利用路程、时间、速度三者之间的关系，借助化示意图列一元一次方程解以现实为背景的应用题。
2、运用画图直观分析。
探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。
3、结合实际，创造活跃有趣的情景，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。
教学重点与难点
重点：通过分析题意，寻找等量关系，列方程。
难点：从不同的角度来找等量关系，列方程。
学法指导:自学启导法
教学过程：
一、复习与练习
1、甲乙两人从相距10千米的两地相向而行，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，则______小时后两人相遇。
2、甲乙两人从相距10千米的两地同向而行，甲在后面追乙，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，则______小时后甲追上乙。
二、例题分析
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。
一天，小明以80米/分的速度出发，5
分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
分析：爸爸追上小明时，两人的_________相等，爸爸所用时间比小明______ 可抓住等量关系_________
解：
三、知识应用：列方程解应用题
1、甲乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。
甲用多长时间登山？这座山有多高？
相等关系：
2、电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/小时，半小时后两人相遇。
两车的速度各是多少？
相等关系：
3、甲列车从A地开往B地，速度是60千米/小时，乙列车从B地开往A地，速度是90千米/小时。
已知两地相距300千米，两车相遇的地方离A地多远？
相等关系:
四、小结
相遇问题的相等关系：甲走路程+乙走路程=全程
追及问题的相等关系：追及路程=被追及路程+先走路程（相隔距离）
五、5分钟测评
1、甲乙两人骑自行车，同时从相距45千米的两地相向而行，经过两小时两人相遇，已知甲与乙每小时多走2.5千米。
求两人每小时各走多少千米？
解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走千米
2、跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
解：设
六、作业：
1、小兵和小明每天早晨坚持跑步，小兵每秒跑4米，小明每秒跑6米。
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小兵站在他前面10米，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小兵？
2、运动场的跑道一周长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑350米，乙练习跑步，每分钟跑250米，两人从同一处同时出发反向而行，经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？七：拓展题
1、一个自行车队进行训练，训练时所有的队员都以35千米/小时的速度前进。
突然，一号队员以
45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其它队员汇合。
一号队员从离队到与其它队员汇合，经过了多少时间？
2、A、B两地相距480千米，一列慢车以60千米/小时的速度从A地开出，一列快车以65千米/小时的速度从B地开出
（1）若两车同时开出，相向而行，多少时间相遇？
（2）若慢车先开出1小时，两车同向而行，快车开出多少小时追上慢车?
(3) 若两车同时开出，相背而行，多少时间后两车相距620千米？
（4）若慢车先开出1小时，相向而行，慢车开出多少小时后两车相距620千米？
3、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进。
已知两人在上午
8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。
八、教学反思。