厦大《高代》讲义第6章+特征值
3. 对每个特征值0, 求齐次线性方程组 (0In A)X 0
的基础解系, Xs. 则k1 X1 +
k即2X20+的…特+征k子sX空s,即间是V对0的应基于, 特X1征, X值2, …λ0 ,
的全部特征向量, 其中ki为K上不全为零的数.
厦门大学数学科学学院 网址:
• 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩 阵并应用于讨论问题;
• 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法; • 注意矩阵与线性变换的对应结论; • 注意特征值的概念与数域有关.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值和特征向量_1
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
例子
例5:设A Knn , g( x) K[x],
(1) 若 是A的特征值, 则 g( )是 g( A)的特征值.
(2) 若1, 2 , ..., n是A的全部特征值, 则g(1 ),
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值和特征向量_2
定义: 设λ是 的一个特征值, 则 V { V | ( ) }
是V的子空间, 且是称为 子空间, 称为 的
属于特征值λ的 特征子空间.
注: 设α是 的关于λ的特征向量, β是 的关于
IP: http://59.77.1.116
例子
1
例2:
求
a
b
的特征值与特征向量,
其中
d
a d,b 0,a 1,d 1.
3 1 1
例3:
求
2
2
1的特征值与特征向量.
2 2 0
例4:
在有理数域上求
0 1
1 0
的特征值.
厦门大学数学科学学院 网址:
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值与特征向量_6(特征多项式)
命题: fA( ) fA ( )
命题: 相似矩阵具有相同的特征多项式. 反之
未必.
例1
1
0
0 1
与
1 0
1 1
不相似.
注1: 设 L(V), 在V的某组基下表示矩阵为 A, 定义 f ( ) fA( ). (合理)
an = (-1)n |A| = (-1)n λ1λ2 …λn.
即
λ1 +λ2+…+ λn = tr(A)
λ1λ2 …λn = |A|.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值与特征向量_8(特征多项式)
定理: 设 A (aij )nn , A的特征多项式
下的矩
n
阵是A, V, 在1,2 ,...,n下的坐标向量是X.
则有
(1,2 , ...,n )X (1,2 , ...,n ) X ( ) ((1,2, ...,n )X ) (1,2, ...,n )X
(1,2 , ...,n )AX
所以 ( ) AX X .
厦门大学数学科学学院 网址:
记为 (1,2 ...n ) (1,2...n )A,这里
a11 a12
A
Байду номын сангаас
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2
ann
称为线性变换 在给定基下的表示矩阵.
厦门大学数学科学学院
网址:
IP: http://59.77.1.116
复习:线性变换与矩阵_3
注2: 若A相似于三角阵U, 则U的对角元即为A 的特征值.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值与特征向量_7(特征多项式)
注3: 令 fA(λ) =λn+ a1λn-1 +…+an-1λ+ an. 设 fA(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn), 则 a1= - (λ1 +λ2+…+ λn) = - (a11+a22+…+ann) = -tr(A)
• 不变子空间与块上三角矩阵的关系
设U是V上线性变换 的不变子空间,且设U的基为1,2, ,r ,
将1,2 , ,r ,扩充为V的一组基: 1,2 , ,r ,r1, ...,n, 则 在该 基下的矩阵具有如下形状:
a11
ar
1
0
0
a1r a1,r 1
arr ar ,r 1
0
ar 1,r 1
g(2 ), ..., g(n )是g( A)的全部特征值.
例6:设A Knn ,| A | 0, A的特征值为 1,2,...,n.
(1) | i | 0,1 i n;
(2)
1 1
,
1 2
,
...,
n1是
A1
的全部特征值;
(3)
|
A
|
1 1
,
|
A
|
1 2
,
...,
|
A
|
n1是
A*
的全部特征值.
定义: 设λ是A的一个特征值, 则 Vλ= {X∈Kn×1 | AX = λX }
称为A的属于特征值λ的特征子空间.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值和特征向量_4
注:
设
L(V),
在V的一组基
1
,2
,
...,
2(Im) Im A,1(Ker) KerA. V V
1
2
K n1 A K n1
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
复习:线性变换与矩阵_6
• 不变子空间 V的不变子空间U称为线性变换的不变子空
间，如果(U) U.
IP: http://59.77.1.116
特征值与特征向量_5(特征多项式)
定义：设A=(aij)n×n,
a11
a 21
| In A |
a12
a22
a1n a2n
an1 an2
ann
称为A的特征多项式,记为fA(λ). 注: 矩阵A在K上的特征值必是A的特征多项式
在K上的根, 反之亦然.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
例子
例10:设 (a1, a2 , ..., an ) R1n ,且 1,求 In 2 的特征值.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
复习:线性变换与矩阵_4
• 线性变换与表示矩阵的关系 设V是n维线性空间, 1,2, ,n 是V的一组基, L(V)
是V的全体线性变换构成的代数, 则存在代数同构
满足
: L(V) K nn
μ特征向量, λ≠μ, 则α+β不是 的特征向量.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
特征值和特征向量_3
定义: 设A是数域K上的n 阶方阵，若存在 λ∈K, X∈Kn×1 , 且 X ≠ 0, 使得 AX =λX .则 称λ是矩阵A的一个特征值, X为A的属于特 征值λ的特征向量.
第六章 特征值 Eigenvalue
复习:线性变换与矩阵_1
设V是数域K上n维向量空间, 1,2 ...n是V的
一组基, 则存在线性空间同构
: V Kn1
n
aii i 1
a1
a2
an
线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
厦门大学数学科学学院 网址:
fA( ) | I A | n b1 n1 ... bn1 bn
则
a a ... a i1i1
i1i2
i1ik
bk
(1)k
1i1 i2 ...ik n
ai2i1 ...
ai2i2 ...
... ai2ik ... ...
a a ... a iki1
ik i2
ik ik
其中 1 k n,1i1i2...ik n 表示对所有可能的1至
定义: 设 是数域K上n维线性空间V的线性变
换, 若存在 K, 0 V, 使得 ( ) ,
则称 是线性变换 的一个特征值, 为 的 属于特征值 的特征向量.
注1: 设 是 的属于特征值 的特征向量, 则 不是 的属于另一个特征值 的特征向量.
注2: 属于不同特征值的特征向量必线性无关.
(1) | I AB | mn | I BA |;
(2) tr( AB) tr(BA);
(3) 设B1, B2 , ..., Bm 是m个同阶矩阵A1, A2 , ..., Am 的任何循环排列, 则 A1 A2 ...Am 与 B1B2 ...Bm 有相同多项式, 因而有相同特征值和迹.
IP: http://59.77.1.116
特征值与特征向量_10
定理:任一复方阵必复相似于一个上三角阵.
注1: 若数域K上的n阶方阵的特征值全在K中, 则存在K上可逆阵P, 使P－1AP是上三角矩阵.
注2: 一般地, K上矩阵未必都相似于上三角阵.
注3: 在同构意义下, 定理为
定理: 设 是C上n维空间V上的线性变换, 则存 在V的一组基, 使 在其下的矩阵是上三角阵, 这时主对角线上元素就是 的所有特征值.
厦门大学数学科学学院 网址:
IP: http://59.77.1.116
例子
例7:设n阶方阵A适合多项式 g( x), 即 g( A) 0. 则A的特征值也适合 g( x), 即 g( ) 0.
高代讲义5-6
第五章 二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式)1(222),,,(2222222112112211121n nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(2) 称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式0≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成 )3(),,,(11222112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=n i nj j i ij nnn n n n n nn nn n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (4)它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,n j i a a ji ij ==所以A A ='把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令()()∑∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n i nj ji ij n nn n n n n n n n n nn n n n n n x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x a a a a a a a a a x x x AX X 11221122221211212111212121222211121121,,,,,, 或AX X x x x f n '=),,,(21应该看到二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且B B A A ='=',,则B A =.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,, 于是线性替换（4）可以写成 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21(7)是一个二次型，作非退化线性替换 CY X = (8)得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ' ，二、矩阵的合同关系现在来看矩阵A 与B 的关系.把（8）代入（7），有.)()()(),,,(21BY Y Y AC C Y ACY C Y CY A CY AX X x x x f n '=''=''='='= 易看出，矩阵AC C '也是对称的，由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵的关系。
高代第六章
第六章二次型·合同矩阵例在直角坐标系{O; x, y}中，任一条中心在原点的有心二次曲线(centered conic)的方程均有如下形式22++=ax bxy dcyΓ225564x y xy +-=例在直角坐标系{O; x , y }中，设二次曲线的方程为该方程等号左端是x , y 的二次齐次多项式(quadratic homogeneous polynomial)。
45{};,'O x y '将坐标系逆时针旋转得到坐标系相应的坐标变换公式为45454545cos sin sin cos x x y y x y ⎧''=-⎪⎨''=+⎪⎩Γ221224x y ''+=,'x y '由此可得曲线的新方程为其等号左端是的二次齐次多项式。
例在前面讨论过的弹簧振动系统中，利用两质点偏离平衡位置的位移可得系统的动能T 与势能V21 ,x x 22121[()()]2dx dx T m dt dt=+2221212111()()222V kx k x x k x =+-+-记dtdx x dt dx x 2211 ,==∙∙，则221211()()22T m x m x ∙∙=+221212V kx kx kx x =+-12, x x ∙∙12, x x 上式中，T 是关于的二次齐次多项式，V 是关于的二次齐次多项式。
§6.1二次型和它的标准形1．二次型与线性替换K 定义系数在数域中的n 个变量的二次齐次多项式12211112121313112222232322233333 ()222 22 2 n n nn nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x =+++++++++++++，，，2nn na x称为数域K 上的一个n 元二次型(quadratic form)2ixj i x x 称为二次型的平方项，称为二次型的交叉项或混合项。
高代第六章第6节
首页
上页
下页
返回
结束
4
定理6 如果V1 ,V2是V的两个子空间, 则它们的 和V1 V2也是V的子空间.
首页
上页
下页
返回
结束
5
称V1 V2 {1 2 | 1 V1 , 2 V2 }为V1 ,V2 的和空间,简称V1 ,V2的和.
注： (1) V1或 V2 V1 V2 , 但 V1 V2 , V1或 V2
(k11 k22 ks s ) (l1 1 l2 2 lt t )
k11 k22 ks s l1 1 l2 2 lt t
L(1 ,2 ,, s , 1 , 2 ,, t ).
首页
上页
下别是 P 3 中齐次方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 , a x a x a x 0 , 21 1 22 2 2n n a s1 x1 a s 2 x2 a sn xn 0
首页
上页
下页
返回
结束
15
推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1, V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公 共向量.
首页
上页
下页
返回
结束
21
例5 设V P 4 ,V1 L(1 , 2 , 3 ),V2 L( 1 , 2 ), 其中 1 (1, 2, 1, 3), 2 ( 1, 1, 2,1), 3 ( 1, 3, 0, 5),
1 (1, 2, 0,1), 2 (0,1,1, 0) ,
高等代数第6章(2)
集合间的运算
设M和N是两个集合，既属于M又属于N 集合的交： 的全体元素所成的集合称为M与N的交。 记为 M∩N 即 M ∩ N = { x x ∈ M 且x ∈ N } 显然有 M∩N⊂M M∩N⊂N 属于集合M或者属于集合N的全体元素 集合的并： 所成的集合称为M与N的并。 记为 M∪N 即 M ∪ N = { x x ∈ M 或x ∈ N } 显然有 M∪N⊃M M∪N⊃N 集合的和：M + N = { x = m + n m ∈ M ,n ∈ N }
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
所谓给出一个集合就是规定这个集合 是由哪些元素组成的。因此给出一个集合 的方式分为两种： 集 合 的 表 示 法 列举法:列举出它全部的元素 例如：集合 M={1,2,…,n,…} 描述法:给出此集合的元素所具有的特征性质 M={ a ⎪a具有的性质} 例如：集合 M={a∈C⎪存在正整数n,使得an=1}
南昌大学理学院数学系
sihuabin@
线性空间的定义
定义 设V是一个非空集合，P是一个数域 在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法： 即对任意的α,β∈V，在V中都存在唯一的一个元素 γ与它们对应，称γ为α与β的和，记为γ =α+β； 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算， 叫做数量乘法： 即对任意的α∈V，k∈P，在V中都存在唯一的一 个元素δ与它们对应，称δ为k与α的数量乘积， 记为δ =kα。 如果加法和数量乘法还满足下述规则，那么称 V为数域P上的线性空间：
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
加法满足下列四条规则： ∀α , β , γ ∈ V ① α+β=β+α ② (α+β)+γ =α+(β+γ) ③ 在V中有一个元素0，对∀α∈V，有α+0=α (具有这个性质的元素0称为V的零元素) ④ 对∀α∈V，都有V中的一个元素β，使得α+β=0 (β称为α的负元素) 数量乘法满足下列两条规则: ⑤ 1α =α ⑥ k(lα)=(kl)α 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑧ k(α+β)=kα+kβ ⑦ (k+l)α =kα+lα
高等代数课件 第六章
加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是
的 M n (F) 一个子空间。
W {A M n (F) | | A | 0}不是 M n (F) 的子空间， 因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I (I ) O W
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
§6.1 向量空间的定义和例子
一、 引例——定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 F mn 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
一、 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空 子集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内.如果W
中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V
的加法是封闭的.
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的
乘法是封闭的.
定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个 非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法 是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.
PowerPoint Presentation 高等代数.
2 1 xo 2000 4000 3 1
1 A的特征值为1＝1，2＝ ， 2 2 1 特征向量1＝ 3 ， 2＝ 1
2）椭圆的长半轴和短半 轴的长 分别为1
y2
1 和1
2 。
x1
3）椭圆的长半轴和短半 轴的所在 的直线即为特征向量 e1和e2所在的直线
其他例子：
1.“地球自转一个小时（不考虑公转）”，此变换 的 特征向量及特征值。
2.“把门推开”这一变换的特征向量和特征值。
思考：假设社会财富在某一阶段内在不同阶层中的分配的 变化看成是一线性变换。若社会财富的初始状态是“两头 小中间大” （穷人，中产者，富人）健康稳定型的占有 状态，并假设变换的特征向量所在的方向分别代表穷人， 中产者，富人所在的方向。
k222 k22
1)
A k111 k222
n n 1 1 1 n
2) A k k22 2
k111
A
当 | 1 || 2 | 时，空间中的向量在 A作用下的变化趋势
例 1 在Markov过程中的应用
在某城镇里，若每年有30%已婚妇女离婚，20%的单身女士结婚， 假定该镇总体女士人口数保持不变，现假设有8000已婚女士， 2000单身女士，试求： n年后此两类女性人数各为多少?
2）此变换对应的变换矩阵A=?
2 2
2 1
A(1, 2 ) ( A1, A2 ) (21, 2 )
A (21,2 )(1,2 )1
例5.特征值特征向量在二次曲线中的几何意义
高等代数第六章
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
2) M 中元素的象要唯一、且M´中每个元素都要有象.
3) M 中不同元素的象可能相同. 4) 函数可以看成是映射的一个特殊情形：任意一个 在实数集R上的函数 y＝f(x)都是实数集R到自身 的映射. Ex
4. 映射的性质与运算
定义：映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M '' ， 乘积 定义为： (a)＝τ(σ(a)) a M
1. 若集合A有n个元素，则含有k(k<n)个元素的A 的子集有多少个？ 2. 已知 M { Ann | A A}, N {Bnn | B B},求 M N , M N , M N
3.映射的定义
定义：映射指一个对应法则，
设M、M´是给定的两个非空集合，通过法则σ，有 对于 a M , | a M 与之对应，则称 σ为M到M´的4来自 上两种运算满足下列8条规则：
① ② ( ) ( )
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
0 ;（β 称为 的负元素） ⑤ 1 ⑥ k (l ) (kl )
6特征值
特征值和特征向量_2
► 定义：设A是数域K上的n 阶方阵，若存在
λ∈K , X∈Kn , 且 X ≠ 0 , 使得 AX = λX 则称λ是矩阵A的一个特征值 , X为A的属于特 征值λ的特征向量 . 定义：设λ是A的一个特征值 , 则 V λ= {X∈Kn | AX = λX }∪{ 0 } 称为A的属于特征值λ的特征子空间. ► 定理: 设A与B相似，则B与A有相同的特征值 .
Ψ适合一个 首项系数为1的多项式m(x) , 且mΨ(x)是Ψ的所 适合的多项式中次数最小者 , 则称mΨ(x)是Ψ的 极小多项式 .
极小多项式_2
► 命题:
(1) . 若f (x)是A适合的一个非零多项式 , 则 m(x)|f(x) . (2) . 任一n 阶矩阵的极小多项式必唯一 . (3) . 相似的矩阵具有相同的极小多项式 .
对角化问题_3
► 定理:设ψ是数域K上n维线性空间V的线性变换
, 则下
列命题等价 (1) . Ψ可对角化 (2) . V有n个线性无关的特征向量 λs , 这里λ1 , λ2 , … , (3) . V = Vλ1 Vλ2 … V λs 是Ψ的全部特征值 s (4) . dim V i n .这里λ1 , λ2 , … , λn是Ψ i 1 的全部特征值 (5) . Ψ的所有特征根在K上并且任意特征值的代数重数 等于几何重数
► 注: 令 fA(λ)
=λn+ an-1λn-1 +…+a1λ+ a0 . 设 fA(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn), 则 an-1= - (λ1 +λ2+…+ λn) = - (a11+a22+…+ann)= -Tr(A) a0=(-1)n|A|=(-1)n λ1 λ2 … λn .
高等代数第六章1
结论得证。▌ 注 （1）式①称为二次型 f = X T AX 的标准形； 线性替换 X = QY 称为 （2） 当 Q 为正交矩阵时， 正交替换； （3）从 x , y, z 到 x ′, y′, z ′ 的正交替换
⎛ x⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = Q ⎜ y′ ⎟ ⎜z⎟ ⎜ z′ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2
令
⎛ 2 ⎜− 5 ⎜ 1 η3 ] = ⎜ ⎜ 5 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 2 3 5 4 3 5 5 3 5 1⎞ − ⎟ 3⎟ 2 − ⎟， 3⎟ 2 ⎟ ⎟ 3 ⎠
Q = [η1 η 2
则 Q 是正交矩阵且
⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ −1 Q AQ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎠ ⎝
取正交替换 X = QY ，其中
12
X = [ x1 , x2 , x3 ]T , Y = [ y1 , y2 , y3 ]T ，
则二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 被化为标准形
2 2 2 y1 + y2 + 10 y3
▌
例 设实二次型
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 + 2 sx1 x 2 + 2tx1 x3 + 2 x 2 x3
其中 λ1 , λ2 , L, λn 是实对称矩阵 A 的全部特征值。 取线性替换
X = QY
这里 Y = [ y1 y2 L yn ]T ，则
9
f = X T AX = (QY )T A(QY ) = Y T (QT AQ )Y ⎛ λ1 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ λ2 y2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y2 L yn ]⎜ ⎟⎜ M ⎟ O ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λn ⎠⎝ yn ⎟ ⎝ ⎠
线性代数-厦门大学高等代数精品课程
杨柳 朱本喜 张丽静 吕洪波 张蕾 梁媛 高天玲 张杰 王博
华东赛区“线性代数” 获赛区特等奖、全国二等奖名单
线性相关、线性无关的概念 福建 福建师范大学
施密特正交化方法
福建
厦门大学
逆矩阵
福建
厦门大学
逆矩阵
江苏 江苏开放大学
矩阵的相似对角化
山东
山东大学
线性相关、线性无关的概念 山东 齐鲁工业大学
周德旭 林鹭 杜妮 凌佳
华东赛区报名课程数总计为563。各省报名课程数
如下表：
高数：304 线代：139 概率：120
省份 浙江省 福建省 上海市 山东省 江苏省 安徽省
高等数学 54 65 14 100 10 61
线性代数 30 22 18 42 5 22
概率统计 21 26 10 46 2 15
合计 105 113 42 188 17 98
全国奖项情况
高等数学
特等奖/ 特别奖
一等奖
1 43（1）
线性代数 概率论与数理统计
1
1
9
18
二等奖 75（5） 20（3）
22
特等奖 概率与数理统计 空军预警学院 杨延飞
特等奖 高等数学 长安大学 王维琼
筹备
2014.6 高等学校大学数学课程教学指导委员会2014年暑期工作会议 2014.10 全评审规则、组织形式 确定组委会名单、竞赛方案
关于全国高校数学微课程 教学设计竞赛
林亚南 2015年12月12日
首届全国高校数学微课程教学设计竞赛
2014.11-2015.8
7大赛区 30个省/市/自治区 1883件参赛作品
华北赛区 289件
华东赛区 563件