厦大《高代》讲义第6章+特征值

g(2 ), ..., g(n )是g( A)的全部特征值.
例6:设A Knn ,| A | 0, A的特征值为 1,2,...,n.
(1) | i | 0,1 i n;
(2)
1 1
,
1 2
,
...,
n1是
A1
的全部特征值;
(3)
|
A
|
1 1
,
|
A
|
1 2
,
...,
|
A
|
n1是
A*
的全部特征值.
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例子
例5:设A Knn , g( x) K[x],
(1) 若 是A的特征值, 则 g( )是 g( A)的特征值.
(2) 若1, 2 , ..., n是A的全部特征值, 则g(1 ),
n中整数i1 , i2 , ..., ik求和.
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特征值与特征向量_9
求特征值和特征向量的方法:
1. 计算A的特征多项式fA(λ) = |λIn－A |;
2. 求fA(λ) 的所有根, 在K中是特征值;
下的矩
n
阵是A, V, 在1,2 ,...,n下的坐标向量是X.
则有
(1,2 , ...,n )X (1,2 , ...,n ) X ( ) ((1,2, ...,n )X ) (1,2, ...,n )X
(1,2 , ...,n )AX
所以 ( ) AX X .
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μ特征向量, λ≠μ, 则α+β不是 的特征向量.
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特征值和特征向量_3
定义: 设A是数域K上的n 阶方阵，若存在 λ∈K, X∈Kn×1 , 且 X ≠ 0, 使得 AX =λX .则 称λ是矩阵A的一个特征值, X为A的属于特 征值λ的特征向量.
an = (-1)n |A| = (-1)n λ1λ2 …λn.
即
λ1 +λ2+…+ λn = tr(A)
λ1λ2 …λn = |A|.
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特征值与特征向量_8(特征多项式)
定理: 设 A (aij )nn , A的特征多项式
(1) | I AB | mn | I BA |;
(2) tr( AB) tr(BA);
(3) 设B1, B2 , ..., Bm 是m个同阶矩阵A1, A2 , ..., Am 的任何循环排列, 则 A1 A2 ...Am 与 B1B2 ...Bm 有相同多项式, 因而有相同特征值和迹.
注2: 若A相似于三角阵U, 则U的对角元即为A 的特征值.
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特征值与特征向量_7(特征多项式)
注3: 令 fA(λ) =λn+ a1λn-1 +…+an-1λ+ an. 设 fA(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn), 则 a1= - (λ1 +λ2+…+ λn) = - (a11+a22+…+ann) = -tr(A)
记为 (1,2 ...n ) (1,2...n )A,这里
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2
ann
称为线性变换 在给定基下的表示矩阵.
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复习:线性变换与矩阵_3
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复习:线性变换与矩阵_2
• 线性变换的表示矩阵
设 是V V 的线性变换,取V的一组基 1,2...n,则有
(1 ) a111 a212 ... an1n
(2 ) a121 a222 ... an2n
......
(n ) a1n1 a2n2 ... annn
• 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩 阵并应用于讨论问题;
• 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法; • 注意矩阵与线性变换的对应结论; • 注意特征值的概念与数域有关.
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特征值和特征向量_1
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特征值与特征向量_10
定理:任一复方阵必复相似于一个上三角阵.
注1: 若数域K上的n阶方阵的特征值全在K中, 则存在K上可逆阵P, 使P－1AP是上三角矩阵.
注2: 一般地, K上矩阵未必都相似于上三角阵.
注3: 在同构意义下, 定理为
定理: 设 是C上n维空间V上的线性变换, 则存 在V的一组基, 使 在其下的矩阵是上三角阵, 这时主对角线上元素就是 的所有特征值.
3. 对每个特征值0, 求齐次线性方程组 (0In A)X 0
的基础解系, Xs. 则k1 X1 +
k即2X20+的…特+征k子sX空s,即间是V对0的应基于, 特X1征, X值2, …λ0 ,
的全部特征向量, 其中ki为K上不全为零的数.
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A
(1,2 , ...,n ) (1,2, ...,n )A
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复习:线性变换与矩阵_5
• 交换图
设A Knn ,则A导出线性变换 A : Kn1 Kn1, x Ax, 则有下图所示的交换图, 即2 A1,且
• 线性变换在不同基下的矩阵表示 设V是数域K上的n维向量空间, 是V上的线性变 换,若V有两组基: 1,2, ,n和1,2, ,n,已知从第一 组基到第二组基的过渡矩阵是P, 即
1,2 , ,n 1,2 , ,n P.
假定在第一组基下的表示矩阵为A, 在第二组基下 的表示矩阵为B, 则
B P1 AP.
的一组基 {1,2 , ,n }, 则在V的这组基下 的表示矩阵具
有下列分块对角阵的形状:
A11
A22
Amm
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§6.1 目的与要求
• 掌握特征值与特征向量、特征子空间、特 征多项式的概念;
第六章 特征值 Eigenvalue
复习:线性变换与矩阵_1
设V是数域K上n维向量空间, 1,2 ...n是V的
一组基, 则存在线性空间同构
: V Kn1
n
aii i 1
a1
a2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
an
线性空间同构保持线性关系, 保持直和分解.
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2(Im) Im A,1(Ker) KerA. V V
1
2
K n1 A K n1
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复习:线性变换与矩阵_6
• 不变子空间 V的不变子空间U称为线性变换的不变子空
间，如果(U) U.
• 不变子空间与块上三角矩阵的关系
设U是V上线性变换 的不变子空间,且设U的基为1,2, ,r ,
将1,2 , ,r ,扩充为V的一组基: 1,2 , ,r ,r1, ...,n, 则 在该 基下的矩阵具有如下形状:
a11
ar
1
0
0
a1r a1,r 1
arr ar ,r 1
0
ar 1,r 1
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复习:线性变换与矩阵_4
• 线性变换与表示矩阵的关系 设V是n维线性空间, 1,2, ,n 是V的一组基, L(V)
是V的全体线性变换构成的代数, 则存在代数同构
满足
: L(V) K nn
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例子
例10:设 (a1, a2 , ..., an ) R1n ,且 1,求 In 2 的特征值.
定义: 设λ是A的一个特征值, 则 Vλ= {X∈Kn×1 | AX = λX }
称为A的属于特征值λ的特征子空间.
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特征值和特征向量_4
注:
设
L(V),
在V的一组基
1
,2
,
...,
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特征值与特征向量_5(特征多项式)
定义：设A=(aij)n×n,
a11
a 21
| In A |
a12
a22
a1n a2n
an1 an2
ann
称为A的特征多项式,记为fA(λ). 注: 矩阵A在K上的特征值必是A的特征多项式
在K上的根, 反之亦然.
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特征值与特征向量_6(特征多项式)
命题: fA( ) fA ( )
命题: 相似矩阵具有相同的特征多项式. 反之
未必.
例1
1
0
0 1
与
1 0
1 1
不相似.
注1: 设 L(V), 在V的某组基下表示矩阵为 A, 定义 f ( ) fA( ). (合理)
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例子
例7:设n阶方阵A适合多项式 g( x), 即 g( A) 0. 则A的特征值也适合 g( x), 即 g( ) 0.
例8:设A, B为n阶方阵, 则 fAB ( ) fBA( ). 例9:设A Kmn , B Knm , 且 m n.求证:
定义: 设 是数域K上n维线性空间V的线性变
换, 若存在 K, 0 V, 使得 ( ) ,
则称 是线性变换 的一个特征值, 为 的 属于特征值 的特征向量.
注1: 设 是 的属于特征值 的特征向量, 则 不是 的属于另一个特征值 的特征向量.
注2: 属于不同特征值的特征向量必线性无关.
0
an,r 1
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a1n
arn
ar1,n
ann
复习:线性变换与矩阵_7
• 不变子空间直和分解
设是数域K上向量空间V的线性变换, V1,V2,…Vm是 的
不变子空间, 且V V1 V2 Vm , 若将Vi的基拼凑成V
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特征值和特征向量_2
定义: 设λ是 的一个特征值, 则 V { V | ( ) }
是V的子空间, 且是称为 子空间, 称为 的
属于特征值λ的 特征子空间.
注: 设α是 的关于λ的特征向量, β是 的关于
fA( ) | I A | n b1 n1 ... bn1 bn
则
a a ... a i1i1
i1i2
i1ik
bk
(1)k
1i1 i2 ...ik n
ai2i1 ...
ai2i2 ...
... ai2ik ... ...
a a ... a iki1
ik i2
ik ik
其中 1 k n,1i1i2...ik n 表示对所有可能的1至
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例子
1
例2:
求
a
b
的特征值与特征向量,
其中
d
a d,b 0,a 1,d 1.
3 1 1
例3:
求
2
2
1的特征值与特征向量.
2 2 0
例4:
在有理数域上求
0 1
1 0
的特征值.
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