2017_18学年高中数学第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件
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人教版高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系(共32张PPT)教育课件
练习
1、正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与 A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
2、在正方体AC1中，求异面直线 A1B和B1C所成的角
D1 A1
C1 A1B和B1C所
B1
成的角为60°
D A
和A1B成角为
C
60°的面对角 线共有 8 条。
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常， 让得 失利 弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ，不 计较 ，也 不 刻意执 着； 让生 命中 各种的 喜怒 哀乐 ，就 像风 儿一 样，来 了， 不管 是清 风拂 面，还 是寒 风凛 冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦 然的 接受 命运的 馈赠 ，把 是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
高中教材数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件
Ｂ、互相平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行 . （ √ ） 新疆 王新敞 奎屯
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只
有两条. （×）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平
一组对边平行，但不相等。
B
D G
F C
同一平面内：
A'
B'
B
C'
A
C
AB// A'B', AC// A'C' BAC B' A'C'
A
B
C
D
E
F
等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A
B
C
D
F
E
夹角
在平面内两直线相交成四个角，不大于 90°的角成为夹角。
空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A
l2
记作：l1 l2 A
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
①在同一平面内
两直线相交 两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
(3) 直线 AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA
与直线 AA都垂直.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
注意证明中常常要说明两个平面是重合的， 其基本模式如： ①点A、B、C、D共面于α，点A、B、C、 E共面于β，经过不共线三点A、B、C的平 面有且仅有一个，∴α与β重合，从而A、B、 C、D、E共面． ②直线a、b、c共面于α，直线a、b、d共 面于β，但直线a与b确定一个平面(a∥b或a 与b相交)，∴α与β重合，∴a、b、c、d共 面．
(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般 先据公理2或其推论结合题设条件确定一 个平面α，再由公理1或公理3说明其它元 素也在平面α内． 证明直线共面的一般方法有两种：一是先 由两条平行或相交直线确定一个平面，再 依据平面的基本性质证明其它直线在此平 面内；二是先分别确定两个平面，再依据 平面的基本性质证明两个平面是同一个平 面(即两平面重合)．
2．怎样检查一张桌子的四条腿的下端是 否在同一个平面内． [解析] 用两条细绳沿桌子对角两腿的下 端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同 一个平面内，否则不在同一个平面内．
3．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C，求证：a、b、c、l共面． [证明] ∵a∥b，∴a、b确定一个平面α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α，故l⊂α，∴a、b、l共面于 α. 又∵a∥c，∴a、c确定一个平面β， 同理可证：l⊂β，∴a、c、l共面于β， ∵a∩l＝A， 过两条相交直线有且只有一个平面． ∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．
制作人：豆猛刚
1．确定平面的条件． 我们已知不共线三点可以确定一个平面， 请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面 吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？
[解析] (1)可以．如图，在直线l上任取相 异两点，∵P∉l，∴P、A、B三点不共线， 由公理2，P、A、B三点可确定一个平面α， ∴经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平 面．
2.1.2_空间中直线与直线之间的位置关系
求证：直线AB和a是异面直线。
证明:(反证法)
A
假设直线AB和a不是异面直线。
则直线AB和a一定共面，设为
B, a 又 B a,
a
B
a与B确定一平面（公理2的推论1）
与重合， A，这与已知A∉α矛盾，
所以直线AB和a是异面直线。
2 、空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
巩固：
1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角
D1
C1
（1）如图，观察长方体
A1
ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱
D
所在 的直线是相互垂直的异面直线？ A
B1 C
B
（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 另一条直线是否与这条直线垂直？
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
例3
直线有 （C）
（A）2对 （B）3对
（C）6对 （D）12对
3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则 直线a，b的位置关系是（D） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D)
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
例3、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分 别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。 求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ １３ＡＣ
Ｐ
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
Ｄ
Ｅ
Ａ Ｍ
Ｃ Ｎ
Ｂ
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交，
那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行
号 语 设a，b，c为直线
言
a∥b
a∥c
c∥b
a
b c
a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
例１、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ 分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、 ＣＤ上的中点，求证：四边形ＥＦＧＨ是平行四边形.
A
F
E
D
H
B
G
c
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
Ｂ、相交
Ｃ、异面
Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
２、两条异面直线指的是（ ）
Ａ、没有公共点的两条直线
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线
Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
３、两条直线不相交是这两条直线异面的条
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
６、三个平面两两相交，所得的三条交线（ ）
Ａ、交于一点 Ｃ、有两条平行
Ｂ、互相平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
Ｐ
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
Ｄ
Ｅ
Ａ Ｍ
Ｃ Ｎ
Ｂ
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交，
那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行
号 语 设a，b，c为直线
言
a∥b
a∥c
c∥b
a
b c
a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
例１、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ 分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、 ＣＤ上的中点，求证：四边形ＥＦＧＨ是平行四边形.
A
F
E
D
H
B
G
c
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
Ｂ、相交
Ｃ、异面
Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
２、两条异面直线指的是（ ）
Ａ、没有公共点的两条直线
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线
Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
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３、两条直线不相交是这两条直线异面的条
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
６、三个平面两两相交，所得的三条交线（ ）
Ａ、交于一点 Ｃ、有两条平行
Ｂ、互相平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
2. 空间中直线与直线PPT完美课件
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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系ppt
.
在正方体A 在正方体 1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对直线的位 中 置关系
（1）AB和C1D1； ） 和 （2）A1C和D1B： ） 和 ： （3）AB和CC1； ） 和 ； A1 D A B D1 B1 C C1
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线。 异面直线
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A D C F B
作业： 作业：P51
习题 2.1
4、6、 、 、
空间两直线的位置关系： 空间两直线的位置关系： （1）从公共点的数目来看可分为： ）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线 ②没有公共点则 两直线为异面直线 （2）从是否共面，可分为： ）从是否共面，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 则两直线为异面直线。 ②不同在任何一平面内,则两直线为异面直线。 不同在任何一平面内 则两直线为异面直线
2.1.2空间中直线与直线 空间中直线与直线 之间的位置关系
在初中几何中，我们学过平行公理： 在初中几何中，我们学过平行公理： 平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。 另外，我们还学过平行线的另一条重要性质： 另外，我们还学过平行线的另一条重要性质： 重要性质 在同一平面内， 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平 行，那么这两条直线也互相平行。 那么这两条直线也互相平行。
O
.
α
a
Oห้องสมุดไป่ตู้
.
a1
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 相垂直. 相垂直
【课件】高中数学必修2公开课课件-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
（3）求异面直线 BC 和 AA1 的距离．
解：(3) ∵AB⊥AA1，AB∩AA1=A，
D1
AB⊥BC，AB∩BC=B， A1
C1 B1
∴AB是BC和AA1的公垂线段
∵AB=a，
D A
C B
∴BC和AA1的距离是a .
12
例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与B1D1所成角; (2)AC与BD1所成角.
BD.
C
又在△BCD
中， CF
CG
2
2
，∴FG//BD,FG=
2
BD.
CB CD 3
3
根据公理4，EH//FG
又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等
∴四边形EFGH是梯形.
6
例例2 2 如图， A 是平面 BCD外的一点 G, H 分别是
ABC, ACD 的重心.求证： GH // BD ．
异面直线所成的角的范围： (0, ] 2
17
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
18
]
2
b a
O b′
a'
a
b' Ob
9
四、异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异
面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作a⊥b.
异面直线所成的角的范围：(0, ]
D1
C1
2
A1
B1
两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂
D
C
直相交的直线，我们称之
课件高中数学_人教版必修二：空间中直线与直线之间的位置关系PPT课件_优秀版
D G
F
C
立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的
一种方法。 变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？
定理：空间中如果两个角的两边分别平
行，那么这两个角相等或互补.
(1)BE与CG所成的角？ (1)BE与CG所成的角？ 异面直线所成角的定义： AD、HE、FG、BC、 行，那么这两个角相等或互补. 空间两直线平行的判定公理 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 定理：空间中如果两个角的两边分别平 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 例2：正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行. 助一个或两个平面来衬托. 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线a和b所成的角的范围： 取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF ∴EH ∥BD且EH = BD 定理：空间中如果两个角的两边分别平
2.1.2空间中直线与直线 公理4 平行于同一条直线的两直线互相
则∠EBG即为所求角. 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 说明: 画异面直线时 , 为了体现 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
之间的位置关系 行，那么这两个角相等或互补.
平行直线：同一平面内，没有公共点；
b
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
同理，FG ∥BD且FG = BD
则 a//c. 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
公理4 平行于同一条直线的两直线互相 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
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2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
1.掌握空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义中“不同 在”的含义. 2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两条直线垂直的含义. 3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.
1
2
3
4
5
1.异面直线 (1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用 一个或两个平面衬托.
1
2
3
4
5
(2)异面直线所成的角α的范围:0°<α≤90°. (3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么 就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b. 【做一做5】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,与棱AA'垂直且异面的 棱有 . 答案:BC,B'C',CD,C'D'
1
2
3
4
5
【做一做1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱 是( )
A.AB B.BB1 C.DD1 D.B1C1 解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1与B1C1是异面直线. 答案:D
1
2
3
4
5
2.空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行 异面 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 不同在任何一个平面内 公共点个数 1 0 0
������������
������������
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
求两条异面直线所成的角
【例4】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为 BC,AD的中点,求EF和AB所成的角的大小.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:如图,取 BD 的中点 G,连接 EG,FG.
名师点拨 1.若无特别说明,本书中的两条直线均指不重合的两 条直线. 2.空间两条直线的位置关系 相交 共面 空间两条直线 平行 异面
1
2
3
4
5
【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不 平行的两条直线的位置关系是相交或异面. 答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
反思证明两条直线平行的方法: (1)平行线的定义; (2)三角形中位线、平行四边形的性质等; (3)公理4.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】
如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB和△PBC 的重心.求证:DE∥AC.
题型一
题型二AB,BC于点M,N,如图所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 空间两条直线位置关系的判定
【例1】 已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的 位置关系?并画图说明. 解:直线a与c的位置关系有三种情况. 直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用 平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连 接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线来判断.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ; (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
题型一
题型二
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交 于点O,求直线OB1与A1C1所成的角的大小.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:
如图,连接AB1,B1C,因为AC∥A1C1,所以∠B1OC(或其补角)是异面 直线OB1与A1C1所成的角. 因为AB1=B1C,O为AC的中点,所以B1O⊥AC,即∠B1OC=90°.故 OB1与A1C1所成的角的大小为90°.
1
2
3
4
5
5.两条异面直线所成的角(夹角) (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线 a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角). 名师点拨在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定 异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置 无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要 的量,是通过转化为相交直线所成的角来解决的.
1
2
3
4
5
3.公理4
文字语言 图形语言 符号语言 作用 说明 直线 a,b,c,且 a∥b,b∥c⇒a∥c 证明两条直线平行 公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的传 递性 平行于同一条直线的两条直线互相平行
1
2
3
4
5
【做一做3】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是 AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.
题型三
等角定理的应用
【例3】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中 点,求证:∠BEC=∠B1E1C1. 证明:如图,连接EE1. 因为E,E1分别是AD,A1D1的中点, 所以AE∥A1E1,且AE=A1E1, 即四边形AEE1A1是平行四边形. 所以AA1∥EE1,且AA1=EE1. 又AA1∥BB1,且AA1=BB1, 所以EE1∥BB1,且EE1=BB1,即四边形BEE1B1是平行四边形. 所以BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1. 又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出两条异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:寻找或作出含有此角的三角形,求解计算; (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成 的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. 2.过一点作两条异面直线所成的角时,常把这个点取在其中一条 直线上的特殊位置,或是图形的特殊点,这样可方便于求这个角的 大小. 3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段,是解决立体几何 问题最重要的辅助线.
1
2
用符号语言表示为:B∉α,A∈α,a⊂α,A∉a,则a与直线AB为异面直线. 图形如图所示. (2)排除法:排除两条直线共面(平行或相交),则这两条直线是异面 直线.
1
2
2.作出两条异面直线所成的角
剖析:根据异面直线所成角的定义,通常在两条异面直线中的一 条直线上取一点,然后作另一条直线的平行线即可.但是,在作辅助 线之前最好观察图形,看看在所给的图形中,有没有满足定义的角, 如果没有,再作辅助线.
因为 E,F 分别为 BC,AD 的中点,AB=CD,
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所以 EG∥CD,GF∥AB,且 EG= 2 ������������, ������������ = 2 ������������. 所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,且 EG=GF. 因为 AB⊥CD,所以 EG⊥GF. 所以∠EGF=90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形. 所以∠GFE=45°,即 EF 与 AB 所成的角的大小为 45°.
题型三
题型四
解析:对于(1),因为A1D1������ B1C1,B1C1������ BC,所以A1D1������ BC,即四 边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥D1C. 对于(2),因为直线A1B⊂平面A1B,B1∈平面A1B,且B1∉直线A1B,直 线CB1⊄平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.同理(4)中直 线AB与直线B1C也是异面直线;对于(3)直线D1D与直线D1C显然相 交. 答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
因为D,E分别是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中 ������������ ������������ 2 点,连接MN,则MN∥AC.在△PMN中,因为 = = ,所以 ������������ ������������ 3 DE∥MN,所以DE∥AC.
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:在正方体ABCD-A'B'C'D'中, 因为E,E'分别是AB,A'B'的中点, 所以BE∥B'E',且BE=B'E'. 所以四边形EBB'E'是平行四边形. 所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB', 所以EE'∥FF'.
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4.等角定理
文字 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 语言 个角相等或互补 图形 语言 符号 语言 作用 OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB= ∠A'O'B'或∠AOB+∠ A'O'B'=180° 证明两个角相等或互补
空间中直线与直线之间的位置关系
1.掌握空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义中“不同 在”的含义. 2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两条直线垂直的含义. 3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.
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1.异面直线 (1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用 一个或两个平面衬托.
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(2)异面直线所成的角α的范围:0°<α≤90°. (3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么 就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b. 【做一做5】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,与棱AA'垂直且异面的 棱有 . 答案:BC,B'C',CD,C'D'
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【做一做1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱 是( )
A.AB B.BB1 C.DD1 D.B1C1 解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1与B1C1是异面直线. 答案:D
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2.空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行 异面 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 不同在任何一个平面内 公共点个数 1 0 0
������������
������������
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
求两条异面直线所成的角
【例4】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为 BC,AD的中点,求EF和AB所成的角的大小.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:如图,取 BD 的中点 G,连接 EG,FG.
名师点拨 1.若无特别说明,本书中的两条直线均指不重合的两 条直线. 2.空间两条直线的位置关系 相交 共面 空间两条直线 平行 异面
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【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不 平行的两条直线的位置关系是相交或异面. 答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
反思证明两条直线平行的方法: (1)平行线的定义; (2)三角形中位线、平行四边形的性质等; (3)公理4.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】
如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB和△PBC 的重心.求证:DE∥AC.
题型一
题型二AB,BC于点M,N,如图所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 空间两条直线位置关系的判定
【例1】 已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的 位置关系?并画图说明. 解:直线a与c的位置关系有三种情况. 直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用 平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连 接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线来判断.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ; (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
题型一
题型二
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交 于点O,求直线OB1与A1C1所成的角的大小.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:
如图,连接AB1,B1C,因为AC∥A1C1,所以∠B1OC(或其补角)是异面 直线OB1与A1C1所成的角. 因为AB1=B1C,O为AC的中点,所以B1O⊥AC,即∠B1OC=90°.故 OB1与A1C1所成的角的大小为90°.
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5.两条异面直线所成的角(夹角) (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线 a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角). 名师点拨在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定 异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置 无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要 的量,是通过转化为相交直线所成的角来解决的.
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3.公理4
文字语言 图形语言 符号语言 作用 说明 直线 a,b,c,且 a∥b,b∥c⇒a∥c 证明两条直线平行 公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的传 递性 平行于同一条直线的两条直线互相平行
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【做一做3】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是 AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.
题型三
等角定理的应用
【例3】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中 点,求证:∠BEC=∠B1E1C1. 证明:如图,连接EE1. 因为E,E1分别是AD,A1D1的中点, 所以AE∥A1E1,且AE=A1E1, 即四边形AEE1A1是平行四边形. 所以AA1∥EE1,且AA1=EE1. 又AA1∥BB1,且AA1=BB1, 所以EE1∥BB1,且EE1=BB1,即四边形BEE1B1是平行四边形. 所以BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1. 又∠BEC与∠B1E1C1的两边方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.
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题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)作:根据所成角的定义,用平移法作出两条异面直线所成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的角; (3)计算:寻找或作出含有此角的三角形,求解计算; (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成 的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. 2.过一点作两条异面直线所成的角时,常把这个点取在其中一条 直线上的特殊位置,或是图形的特殊点,这样可方便于求这个角的 大小. 3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段,是解决立体几何 问题最重要的辅助线.
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用符号语言表示为:B∉α,A∈α,a⊂α,A∉a,则a与直线AB为异面直线. 图形如图所示. (2)排除法:排除两条直线共面(平行或相交),则这两条直线是异面 直线.
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2.作出两条异面直线所成的角
剖析:根据异面直线所成角的定义,通常在两条异面直线中的一 条直线上取一点,然后作另一条直线的平行线即可.但是,在作辅助 线之前最好观察图形,看看在所给的图形中,有没有满足定义的角, 如果没有,再作辅助线.
因为 E,F 分别为 BC,AD 的中点,AB=CD,
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所以 EG∥CD,GF∥AB,且 EG= 2 ������������, ������������ = 2 ������������. 所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,且 EG=GF. 因为 AB⊥CD,所以 EG⊥GF. 所以∠EGF=90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形. 所以∠GFE=45°,即 EF 与 AB 所成的角的大小为 45°.
题型三
题型四
解析:对于(1),因为A1D1������ B1C1,B1C1������ BC,所以A1D1������ BC,即四 边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥D1C. 对于(2),因为直线A1B⊂平面A1B,B1∈平面A1B,且B1∉直线A1B,直 线CB1⊄平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.同理(4)中直 线AB与直线B1C也是异面直线;对于(3)直线D1D与直线D1C显然相 交. 答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
因为D,E分别是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中 ������������ ������������ 2 点,连接MN,则MN∥AC.在△PMN中,因为 = = ,所以 ������������ ������������ 3 DE∥MN,所以DE∥AC.
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:在正方体ABCD-A'B'C'D'中, 因为E,E'分别是AB,A'B'的中点, 所以BE∥B'E',且BE=B'E'. 所以四边形EBB'E'是平行四边形. 所以EE'∥BB'.同理可证FF'∥BB', 所以EE'∥FF'.
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4.等角定理
文字 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 语言 个角相等或互补 图形 语言 符号 语言 作用 OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB= ∠A'O'B'或∠AOB+∠ A'O'B'=180° 证明两个角相等或互补