2017届北师大版三角函数与平面向量的综合应用专项强化训练

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数学北师大版高中必修4解三角形与平面向量检测题

------解三角形与平面向量检测题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1、下列命题中，正确的是( B )A 、||||||a b a b ⋅=⋅B 、若()a b c ⊥-，则a b a c ⋅=⋅C 、2a ≥||aD 、()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅2、在四边形ABCD 中，0=⋅，BC AD =，则四边形ABCD 是（ C ）A 、直角梯形B 、菱形C 、矩形D 、正方形3、已知m n ，是夹角为o 60的单位向量，则2a m n =+和32b m n=-+的夹角是（ D ）A 、o 30B 、o 60C 、o 90D 、o 1204、已知平面上有三点A （1，1），B （－2，4），C （－1，2），P 在直线AB 上，使||31||AB AP =，连结PC ，Q 是PC 的中点，则点Q 的坐标是（ C ）A 、（21-，2）B 、（21，1）C 、（21-，2）或（21，1） D 、（21-，2）或（－1，2） 5、若||||1a b ==，a b ⊥且(23)a b +⊥(k4a b -)，则实数k 的值为（ B ）A 、－6B 、6C 、3D 、－36、若a =(2,－3), b =(1,－2)，向量c 满足c ⊥a ,b ∙c =1,则c的坐标是（ C ）A 、(3,－2)B 、(3,2)C 、(－3,－2)D 、(－3,2)7、设1l ，2l 是基底向量，已知向量AB =1l k -2l ，CB 2=1l ＋2l ，3CD =1l －2l ，若D B A ，，三点共线，则k 的值是（ A ）A 、2B 、3C 、－2D 、－38、已知BE AD ，分别是ABC ∆的边AC BC ，上的中线，且=a ，=b ，则AC 是(A )A 、4233a b + B 、2433a b + C 、4233a b - D 、2433a b - 二、填写题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【世纪金榜】高三文科数学总复习专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用

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专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选B.因为a∥b,所以sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ.故tanθ=.2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为( )A. B. C. D.【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解.【解析】选D.因为m∥n,所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B,所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-.又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).所以2B=,所以B=.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a 与b一定满足( )A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥bC.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,)D.(0,]【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|====,因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).故|a-b|∈(0,).5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于( )A. B. C.4 D.【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析】选A.由已知cosC=,·=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为.【解析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sin β=,cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×-×=.答案:8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为. 【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.由0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,所以,sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.答案:三、解答题9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).(1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值.(2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值.【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),a+b=(sin x+cos x,-),a-b=(sin x-cos x,),所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0,即cos2x=-.(2)因为a∥b,所以-sin x-cos x=0,即tan x=-,所以cos2x-sin2x====.10.已知向量a=（sin(x+),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数f(x)=m(a·b+sin2x),m为正实数.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数.【解析】(1)f(x)=m(a·b+sin2x)=m[sin(x+)cos x-sin2x+sin2x]=m(cos2x-sin2x+sin2x)=2msin(2x+).由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数的递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍,得y=2msin(x+),再向右平移个单位,得y=2msin[(x-)+],所以:g(x)=2msin x.由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m,所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点.当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点,当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.【解析】(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0°<A<180°,所以A=30°.(2)选择①③可确定△ABC.因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以S△ABC=bcsinA=×××=.【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b===,所以S△ABC=absinC=×1××=.12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin α,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.则y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-时,y min=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为<x<π,所以<x+<π,所以x+=π,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos==cosαcosx+sinαsinx =cos(x-α).因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,所以x-α=.因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0,所以sin(x+α)+2sin2α=0,即sin+2sin2α=0.所以sin2α+cos2α=0,所以tan2α=-.关闭Word文档返回原板块。

2020高考数学解答题核心素养题型《专题04 三角函数与平面向量综合问题》(专项训练)(解析版)

专题04 三角函数与平面向量综合问题1．(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)由图象知A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，解得ω＝1，所以f (x )＝2sin(x＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．【答案】见解析【解析】因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知可知上式对任意x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ＜π，所以π3＋φ＝2π3，φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .4．已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【答案】见解析【解析】(1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.易知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 5．(2019·山东、湖北部分重点中学联考)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x －32.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，且△ABC 能够盖住的最大的圆面积为π，求AB →·AC →的最小值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x －32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ·cos x －32＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以－5π6＋2k π≤2x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，则－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，A ∈(0，π)，所以A ＝π3.由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b2＋c 2－bc .由题意可知△ABC 的内切圆半径为1，如图所示，可得b ＋c －a ＝23，即a ＝b ＋c －2 3.所以(b ＋c －23)2＝b 2＋c 2－bc ，所以43＋3bc ＝4(b ＋c )≥8bc ，解得bc ≥12或0<bc ≤43(舍)．所以A B →·A C→＝12bc ∈[6，＋∞)，当且仅当b ＝c 时，A B →·A C →取得最小值6.6．(2019·三门峡调考)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)， |OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．【答案】见解析【解析】(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，当x ＝3π4时，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2取得最小值为12，故|OC →＋OD →|的最小值为22.(2)易得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x－sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4.所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，m·n＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最小值1－2，所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。

专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值．【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ，解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

高考数学一轮复习统考第5章平面向量高考大题冲关系列(2)三角函数的综合问题学案(含解析)北师大

三角函数的综合问题命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质．题型1 三角函数图象与性质的综合例1 (2019·揭阳模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．[冲关策略] 解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 等)的解析式，然后把ωx ＋φ看成一个整体研究函数的性质．变式训练1 (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又因为θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －32sin2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32. 题型2 解三角形与数列的综合问题例2 (2020·广东深圳外国语学校第一次热身)已知△ABC 中∠ACB ＝2π3，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； (2)若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 周长的最大值．解 (1)∵a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2， ∴b －a ＝c －b ＝2，∴b ＝c －2，a ＝c －4， ∵∠ACB ＝2π3，由余弦定理得cos 2π3＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c －42＋c －22－c 22c －2c －4＝－12，整理得c 2－9c ＋14＝0，解得c ＝7或c ＝2，又a ＝c －4>0，则c >4，∴c ＝7.(2)设B ＝θ，外接圆的半径为R ，则πR 2＝π，解得R ＝1，由正弦定理可得asin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ＝2， ∴b sin θ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝csin2π3＝2，可得b ＝2sin θ，a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，c ＝3， ∴△ABC 的周长＝2sin θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋3，＝2sin θ＋2sin π3cos θ－2cos π3sin θ＋ 3＝sin θ＋3cos θ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋3，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，∴π3<θ＋π3<2π3，∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，f (θ)取得最大值2＋ 3.[冲关策略] 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．变式训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知a cos 2C2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若B ＝π3，S ＝43，求b .解 (1)证明：由正弦定理，得sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝32sin B ，即sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，∴sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B .∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，即a ＋c ＝2b ， ∴a ，b ，c 成等差数列．(2)∵S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，由(1)得a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－48，∴b 2＝16，即b ＝4. 题型3 三角变换与解三角形的综合例3 (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin 120°－C sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [冲关策略] 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．变式训练3 (2019·江西吉安一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求角C 的大小；(2)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m cos2x (m ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝C 2且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝65，求cos(2α＋C )的值．解 (1)由题意，根据正弦定理，可得 2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，又由A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，可得2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，即2sin B cos C ＋sin B ＝0，又因为B ∈(0，π)，则sin B >0，可得cos C ＝－12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)由(1)可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m cos2x ＝2sin2x cos π6＋2cos2x sin π6＋m cos2x＝3sin2x ＋(m ＋1)cos2x ，因为函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π3，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，得m ＋1＝3sin 4π3＋(m ＋1)cos 4π3，即m ＝－2，所以f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，所以cos(2α＋C )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－1＝－725.题型4 三角函数与平面向量的综合例4 (2019·龙岩模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(sin2x,2sin 2x －1)，x ∈R . (1)若a ∥b ，且x ∈[0，π]，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b (x ∈R )，若将函数f (x )的图象上的所有点向左平移π6个单位得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数g (x )的值域．解 (1)因为a ∥b ，所以3(2sin 2x －1)－sin2x ＝0，即sin2x ＝－3cos2x .若cos2x ＝0，则sin2x ＝0，与sin 22x ＋cos 22x ＝1矛盾，故cos2x ≠0.所以tan2x ＝－3，又x ∈[0，π]，所以2x ∈[0,2π]，所以2x ＝2π3或2x ＝5π3，即x ＝π3或x ＝5π6，即x 的值为π3或5π6. (2)因为f (x )＝a ·b ＝(3，1)·(sin2x ，－cos2x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,2]，即当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的值域为[－1,2]．[冲关策略] (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．变式训练4 已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由(1)及已知条件可知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝f (x 1)＝13.题型5 解三角形与平面向量的综合例5 (2019·昆明模拟)已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，－2，m ⊥n . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．解 (1)已知m ⊥n ，所以m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，－2＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63. 由正弦定理知a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin Bsin A＝2×6332＝423.[冲关策略] 解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．变式训练5 (2019·成都模拟)锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知c tan B 是b tan A 和b tan B 的等差中项．(1)求角A 的大小；(2)若m ＝(sin B ，sin C )，n ＝(cos B ，cos C )，求m ·n 的取值范围．解 (1)由题意知b tan A ＋b tan B ＝2c tan B ， ∴sin B sin A cos A ＋sin B sin B cos B ＝2sin C ·sin B cos B，∵sin B ≠0，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos A ， ∴sin C ＝2sin C cos A ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)m ·n ＝sin B cos B ＋sin C cos C ＝12sin2B ＋12sin2C＝12sin2B ＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2B ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6，∵⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<C <π2，B ＋C ＝2π3，∴π6<B <π2. ∴34<m ·n ≤32，即m ·n 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤34，32.。

高中数学专题强化训练1三角函数含解析北师大版必修4

专题强化训练(一) 三角函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知sin (π＋θ)＜0，cos (π－θ)＜0，则角θ所在的象限是( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限A [因为sin (π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0，又因为cos (π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0，所以角θ所在象限为第一象限．] 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( ) A.－25B ．－15C.15D ．25C [∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α＝15， ∴cos α＝15.]3．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，故只需将函数y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，故选B.] 4．函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由题图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.] 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增；④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B ．②③ C.①②③D ．①③④D [如图，根据题意知，x A ≤2π＜x B ，根据图像可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π＜x B ，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增，所以③正确．]二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.－8 [r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝yr＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.]7．化简：1－sin 2440°＝________． cos80° [原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 280° ＝cos 280°＝cos80°.]8．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________． 34 [由0≤ωx ≤π2，得0≤x ≤π2ω，所以y ＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤0，π2ω上是递增的．又ω∈(0，1)，所以⎣⎡⎦⎤0，π3⊆⎣⎡⎦⎤0，π2ω，故f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤0，π3上是递增的，即2sinωπ3＝2，所以ω＝34.] 三、解答题9．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．求7月份的出厂价格为多少元？[解] 作出函数简图如图．三角函数模型为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B ，由题意知，A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图像的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *).∴f (7)＝2 000×sin7π6＋7 000＝6 000. 故7月份的出厂价格为6 000元．10．已知函数y ＝f (x )＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图像过点⎝⎛⎭⎫0，－32. (1)求φ的值，并求函数y ＝f (x )图像的对称中心的坐标； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时求f (x )的值域． [解] (1)因为函数图像过点⎝⎛⎭⎫0，－32，所以sin φ＝－32，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). (2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.1．函数f (x )＝A sin (ωx ＋θ)(A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (x )等于( )A.2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C.2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 A [由题图知A ＝2，∵5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3T 4， ∴T ＝π，∴ω＝2.∵2×5π12＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴可取θ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.] 2．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于( )A.23 B ．43C.2D ．4B [由函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，可得f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4ω＝3，代入选项检验可得ω＝43，所以选B.]3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D ．⎣⎡⎦⎤5π6，πC [∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z ).∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.]4．设函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．π [由f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫π6知，f (x )有对称中心⎝⎛⎭⎫π3，0，由f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3知，f (x )有对称轴x ＝12⎝⎛⎭⎫π2＋2π3＝7π12，记T 为最小正周期，则T 2≥π2－π6⇒T ≥2π3，从而7π12－π3＝π4，故T ＝π.]5．已知函数f (x )＝log 12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． [解] 令u (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， f (x )＝log 12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝－12＋log 12sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)要使f (x )有意义，则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0，所以2k π<x －π4<(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). 因为0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，所以0<2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. x －π4∈⎝⎛⎭⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数．所以x ∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数．同理可求得x ∈⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数． (2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数．又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π－π4 ＝－12＋log 12sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝f (x )，所以f (x )是周期函数，最小正周期为2π.。

2017届高考数学大一轮复习专题2 三角函数、平面向量综合题的解答课件文北师大版

【求解】 (1)由已知得f(x)＝12sin2x＋π6＋34，则T＝22π＝π
令t＝2x＋
π 6
，由2kπ－
π 2
≤t≤2kπ＋
π 2
(k∈Z)，得单调递增区间
为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．
(2)法一：(先进行周期变换再进行相位变换)
①把函数f(x)的图像向下平移
3 4
对本部分知识的备考，在注重基础的同时，更要注重平面向量的工具性作用，特别是三角与向量的交汇综合．三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查：(1)利用平面向量知识，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图像与性质等解决问题．(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
探究三三角函数与平面向量平面向量与三角函数的综合问题中，一方面是用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系、用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题、表述平面向量问题等，如已知一个模是1的向量可以设为(cos α，sin α)，在平面向量与三角函数的综合问题中，难点是三角函数和平面向量的这些相互表述关系的转化，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立其联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
(2)由A→C·B→C＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝23.①
又2sin12＋α＋tansinα
2α＝2sin2α1＋＋2cssoiinsn
αcos α α

三角函数与平面向量的综合应用

ʏ山东省威海市第二中学丛丽伟三角函数与平面向量之间的交汇与综合问题,一直是高考数学试卷中比较常见的一类热点问题,通过平面向量的工具性加以转化问题,结合三角函数中的概念及相应公式加以恒等变换,有时涉及正㊁余弦定理等相关知识,用来综合考查三角函数的基础知识㊁基本公式㊁基本技能与基本应用等㊂一㊁三角函数的求值与平面向量的综合以平面向量为载体,利用诱导公式㊁同角三角函数关系式㊁两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数中的求值问题,是高考的重要考向,考查同学们分析问题㊁解决问题的能力㊂例1已知向量m=(s i n x,3c o s x),n=(s i n x,s i n x),函数f(x)=m㊃n㊂(1)求fπ12的值;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的最大值与最小值㊂分析:(1)根据题设条件,利用平面向量的数量积公式,通过数量积的坐标运算来构建函数f(x)的解析式,把x=π12代入即可;(2)利用题设中x的取值范围所对应角的取值范围,结合三角函数的图像与性质来确定三角函数在给定区间上的最大值与最小值㊂解:(1)依题意可得f(x)=m㊃n=(s i n x,3c o s x)㊃(s i n x,s i n x)=s i n2x+3c o s x s i n x=1-c o s2x2+32s i n2x=32s i n2x-12c o s2x+12=s i n2x-π6+12,故fπ12=s i n2ˑπ12-π6+12=12㊂(2)当xɪ0,π2时,有2x-π6ɪ-π6,5π6㊂故当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)m a x=s i nπ2+12=1+12=32;当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)m i n=s i n-π6+12=-12+12=0㊂规律方法:平面向量在三角函数求值中的应用步骤:(1)利用平面向量的基本性质㊁运算公式㊁数量积等构建对应的三角函数关系式,特别是涉及向量的平行与垂直关系等;(2)利用三角恒等变换公式,以及题设条件中的角的取值限制等,通过三角函数的图像与性质来分析与求解㊂二㊁三角函数的性质与平面向量的综合以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性㊁周期性㊁最值㊁取值范围及三角函数的图像变换等㊂例2已知向量m=(s i n x,-1),n=c o s x,32,函数f(x)=(m+n)㊃m㊂(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)当xɪ0,π2时,求函数f(x)的值域;(3)将函数f(x)的图像左移3π8个单位32解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月长度后得函数g (x )的图像,求函数g (x )在-π3,π3上的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,通过向量的坐标运算及数量积公式,构建三角函数f (x )的解析式,并通过三角恒等变换转化为正弦型函数,进而求解对应的基本性质;(2)结合题设条件中角的取值范围,通过三角函数的图像与性质来确定函数的最值,进而得以确定函数f (x )的值域;(3)利用三角函数图像的平移变换可得函数g (x )的解析式,进而利用三角函数的图像与性质来求解最大值问题㊂解:(1)由已知可得f (x )=(m +n )㊃m =s i n x +c o s x ,12㊃(s i n x ,-1)=s i n 2x +s i n x c o s x -12=12s i n 2x -12c o s 2x =22s i n 2x -π4㊂故f (x )的最小正周期T =2π2=π㊂由2k π-π2ɤ2x -π4ɤ2k π+π2,k ɪZ ,可得k π-π8ɤx ɤk π+3π8,k ɪZ ,所以函数f (x )的单调递增区间是k π-π8,k π+3π8(k ɪZ )㊂(2)当x ɪ0,π2时,有2x -π4ɪ-π4,3π4 ,故-22ɤs i n 2x -π4 ɤ1,所以-12ɤ22s i n 2x -π4ɤ22㊂所以当x ɪ0,π2 时,函数f (x )的值域为-12,22㊂(3)根据题意可得函数g (x )=22s i n 2x +3π8-π4 =22s i n 2x +π2=22c o s 2x ㊂当x ɪ-π3,π3时,有2x ɪ-2π3,2π3㊂所以当2x =0,即x =0时,g (x )m a x =22c o s 0=22㊂规律方法:平面向量与三角函数的基本性质的综合问题的解法:(1)利用向量的相关概念㊁公式等构建相应的三角函数解析式;(2)利用三角恒等变换公式等将相应的三角函数关系式转化为正弦型(或余弦型)函数;(3)根据三角函数的图像与性质来研究相关函数的基本性质问题㊂三、平面向量在三角形计算中的应用以平面向量的线性运算㊁数量积为载体,考查三角形中正㊁余弦定理的应用,以及简单的三角恒等变换,主要解决三角形中的边㊁角及面积等问题㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知s i n C =2s i n (B +C )㊃c o s B ㊂(1)判断әA B C 的形状;(2)设向量m =(a +c ,b ),n =(b +a ,c -a ),若m ʊn ,求A ㊂分析:(1)利用三角形的内角和公式A +B +C =π转化角后,结合题设条件进行消元处理,进而得到涉及角A ,B 的基本关系,结合三角函数值及三角形的性质来分析与判断;(2)利用两平面向量平行的关系,结合向量的坐标加以转化与应用,合理构建三角形中边与角的关系式,进而利用余弦定理加以分析与求解㊂解:(1)在әA B C 中,因为s i n C =s i n (A +B ),s i n A =s i n (B +C ),所以s i n C=s i n (A +B )=2s i n (B +C )c o s B =2s i n A c o s B ,所以s i n A c o s B +c o s A s i n B=2s i n A c o s B ,即s i n A c o s B -c o s A s i n B =0,即s i n (A -B )=0㊂又因为-π<A -B <π,所以A -B =0,即A =B ,故әA B C 为等腰三角形㊂(2)由m ʊn 得(a +c )(c -a )=b (b +a ),展开整理得b 2+a 2-c 2=-a b ,所以c o s C =a 2+b 2-c 22a b =-12㊂42 解题篇创新题追根溯源高考数学 2024年1月因为0<C<π,所以C=2π3㊂又A=B,故A+B=π3,所以A=π6㊂规律方法:平面向量与三角形计算综合问题的解法:(1)借助平面向量的基本概念㊁基本公式等,往往可以合理构建三角函数关系式,为利用解三角形来处理问题奠定基础;(2)合理综合解三角形㊁三角函数及平面向量的相关知识加以合理转化与巧妙应用㊂特别地,在解决三角形中的向量夹角问题时需注意向量的方向㊂四㊁三角函数㊁平面向量与其他知识的综合应用以平面向量为问题场景,通过坐标公式㊁数量积公式等变形,转化为相应的三角函数问题,综合函数与方程㊁不等式等其他相关知识来分析与综合,也是高考中比较常见的一类综合应用问题㊂例4设向量a=(4s i n x,c o s x-s i n x),b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,函数f(x)=a㊃b㊂(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在-π2,2π3上是增函数,求ω的取值范围;(3)设集合A=xπ6ɤxɤ2π3,B= {x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围㊂分析:(1)利用向量的数量积把三角函数关系式加以转化,即可得到函数f(x)= 2s i n x+1;(2)根据三角函数在给定区间上的单调性,通过不等式组的求解来确定参数的取值范围;(3)结合绝对值不等式的求解㊁集合的包含关系㊁三角关系式的最值,以及三角函数的图像与性质来加以直观转化与求解㊂解:(1)因为a=(4s i n x,c o s x-s i n x), b=s i n2π+2x4,c o s x+s i n x,所以函数f(x)=a㊃b=4s i n xˑs i n2π+2x4+(c o s x-s i n x)ˑ(c o s x+s i n x)= 4s i n x㊃1-c o sπ2+x2+c o s2x= 2s i n x(1+s i n x)+1-2s i n2x=2s i n x+1㊂(2)由于f(ωx)=2s i nωx+1,由2kπ-π2ɤωxɤ2kπ+π2,kɪZ,可得函数y= f(ωx)的增区间是2kπω-π2ω,2kπω+π2ω,kɪZ㊂又因为y=f(ωx)在区间-π2,2π3上是增函数,所以-π2,2π3⊆-π2ω,π2ω,即-π2ωɤ-π2,2π3ɤπ2ω,解得0<ωɤ34㊂所以ω的取值范围为0,34㊂(3)由|f(x)-m|<2解得-2<m-f(x)<2,即f(x)-2<m<f(x)+2㊂因为A⊆B,所以当π6ɤxɤ2π3时,不等式f(x)-2<m<f(x)+2恒成立㊂所以[f(x)-2]m a x<m<[f(x)+2]m i n,即[f(x)]m a x-2<m<[f(x)]m i n+2㊂因为f(x)=2s i n x+1,所以在π6,2π3上,[f(x)]m a x=fπ2=3, [f(x)]m i n=fπ6=2,所以1<m<4㊂故实数m的取值范围为(1,4)㊂规律方法:本题巧妙地把平面向量㊁三角函数㊁集合㊁不等式等相关知识加以交汇,以平面向量为问题背景,通过平面向量的数量积为媒介,结合三角函数的图像与性质来考查数学基本知识点,得以达到提高数学品质与提升数学能力的目的㊂注意高考中三角函数与平面向量的交汇综合问题往往以平面向量的相关概念与数量积等来建立相应的三角函数关系式,结合三角函数的基本公式与三角恒等变换公式㊁解三角形公式等来综合考查,一般难度中等,真正达到考查能力,注意应用的目的㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学2024年1月。

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专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=( )A. B. C.- D.-【解析】选B.因为a∥b,所以sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ.故tanθ=.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(bcosC,-1),n=((c-3a)cosB,1),且m∥n,则cosB的值为( )A. B.- C. D.-【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解.【解析】选A.由m∥n,得bcosC+(c-3a)cosB=0.所以=.则c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2).所以2a2c=3a(a2+c2-b2),则=.于是cosB==.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a 与b一定满足( )A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥bC.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选 D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,)D.(0,]【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|====,因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).故|a-b|∈(0,).5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于( )A. B. C.4 D.【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析】选A.由已知cosC=,·=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为.【解析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sinβ=,cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×-×=.答案:8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为. 【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.由0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有=,所以,sinB==.由题知a>b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.答案:三、解答题9.(2015·潍坊模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且m·n=0.(1)求角B的大小.(2)设函数f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x,求函数f(x)的最小正周期,最大值及当f(x)取得最大值时x的值.【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+b cosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,即2sinAcosB+sinA=0.因为0<A<π,所以sinA≠0.所以2cosB+1=0,所以cosB=-.又0<B<π,所以B=.(2)因为f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x=-sin2x·cosB-cos2x=sin2x-cos2x=sin.故f(x)的最小正周期T==π.当2x-=2kπ+,k∈Z即当x=kπ+,k∈Z时,f(x)m a x=1.已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ),其中0<φ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的图象过点.(1)求φ的值及函数f(x)的单调增区间.(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在上的最大值和最小值.【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式,由函数f(x)的图象过定点确定φ的值,并由此求函数f(x)的单调增区间.(2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式,并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.【解析】(1)因为a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x),b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x).所以f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),即f(x)=cos(2x-φ),所以f=cos=1,而0<φ<π,所以φ=.所以f(x)=cos,由2kπ-π≤2x-≤2kπ.得kπ-≤x≤kπ+,即f(x)的单调增区间为(k∈Z).(2)由(1)得,f(x)=cos,平移后的函数为y=cos=cos,于是g(x)=cos.当x∈时,-<x-<.所以≤cos≤1,即当x=时,g(x)取得最小值,当x=时,g(x)取得最大值1.10.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC 的面积.【解析】(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为A+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=,又0°<A<180°,所以A=30°.(2)选择①③可确定△ABC.因为A=30°,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理12=b2+-2b·bcos30°,整理得b2=2,b=,c=.所以S△ABC=bcsinA=×××=.【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=,由正弦定理=,得b===,所以S△ABC=absinC=×1××=.11.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sin α,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值.【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=,所以f(x)=b·c=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+(sinx+cosx).令t=sinx+cosx,则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<.则y=t2+t-1=-,-1<t<,所以t=-时,y min=-,此时sinx+cosx=-,即sin=-,因为<x<π,所以<x+<π,所以x+=π,所以x=.所以函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.(2)因为a与b的夹角为,所以cos==cosαcosx+sinαsinx=cos(x-α).因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,所以x-α=.因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0, 所以sin(x+α)+2sin2α=0,即sin+2sin2α=0.所以sin2α+cos2α=0,所以tan2α=-.。