第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
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工程力学C-第9章 扭转
T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
《工程力学》课程的知识体系和内容结构
《工程力学》课程的知识体系和内容结构1、课程的知识体系《工程力学》是一门是既与工程又与力学密切相关的技术基础课程，在基础课程和专业课程之间起桥梁作用。
通过本课程的学习，使学生掌握工程力学的理论和方法，具备从力学角度对工程问题的思维能力和初步解决此类问题的实践能力，并且获得大量的工程背景知识，为学习后续课程、掌握机械等工程设计技术打下牢固的基础。
本课程涵盖了“静力学”和“材料力学”两部分的内容。
“静力学”主要研究刚体的受力和平衡的规律；“材料力学”主要研究构件强度、刚度和稳定性的问题，在保证构件既安全适用又经济的条件下，为合理设计和使用材料提供理论依据。
静力学主要研究的问题：物体的受力分析、力系的简化和力系的平衡条件。
材料力学主要研究的问题：杆件在发生拉伸或压缩、剪切、扭转和弯曲基本变形时内力、应力和变形的计算，在各种基本变形下的强度和刚度计算；应力状态的基本理论；材料在复杂应力作用下破坏或失效规律及其应用；压杆稳定性问题。
2、课程的内容结构第一章介绍静力学的基本概念，常见的几类典型约束及约束力的特征，物体的受力分析。
第二章介绍汇交力系的简化和平衡条件。
第三章介绍力偶的概念及其对刚体的作用效应，力偶系的合成与平衡条件。
第四章介绍平面任意力系的简化、平衡条件和平衡方程，刚体系的平衡问题求解。
第五章介绍空间任意力系的简化和平衡条件。
第六章静力学专题：桁架杆件内力的求解；滑动摩擦、摩擦角和自锁现象、以及滚动摩擦的概念。
第七章介绍材料力学的研究对象、基本假设、外力和内力、应力和应变的概念。
第八章介绍拉压杆的内力、应力、变形及材料在拉伸与压缩时的力学性能，拉压杆的强度和刚度问题，简单静不定问题，拉压杆连接部分的强度计算。
第九章介绍圆轴扭转的外力、内力、应力与变形，圆轴的强度和刚度计算，静不定轴的扭转问题。
第十章介绍梁的外力和内力（剪力与弯矩），内力图的绘制。
第十一章介绍对称弯曲时梁的正应力、切应力、强度计算和梁的合理强度设计。
——扭转的强度和刚度计算
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
第九章 扭转
§9 圆轴扭转的力学模型
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
工程力学-圆轴扭转变形分析
P=7.5kW,轴的转速n=80r/min。试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外
径d 2。己知空心圆轴的内外径之比=d 1/d 2=0.8,许用扭转切应力 [τ]=40MPa。
解：（1）外力偶矩为
M e 9550 7.5 N m 895 .3 N m 80
（2）扭矩为 T = Me = 895.3N· m （3）实心圆轴直径 根据强度条件
各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布 规律如图
圆轴扭转时，最大切应力 max 发生在圆轴表面。当ρ=R 时，其值为：
TR T max Ip IP / R
令 Wp
Ip R
max
T Wp
Wp称为扭转截面系数，它表示截面抵抗扭转破坏的能 力，单位是（mm）3。
工程中承受扭转的圆轴通常采用实心圆轴和空心圆轴两种形
max
T 16T 3 Wp πd
16 T 3 16 895.3 d 3 m 0.048m 48mm 6 [ ] 3.14 40 10
（4）空心圆轴外径
根据强度条件
max
T 16T 3 4 Wp πd 2 (1 )
16 T 16 895.3 3 d2 m 4 6 4 [ ](1 ) 3.14 40 10 (1 0.8 )
3
0.058m 58m m
内径d 1=α×d 2= 0.8×58 mm = 46.4mm
（5）比较重量
在长度相等、材料相同的情况下，空心圆轴与实心圆 轴重量之比等于横截面面积之比，即
四、圆轴扭转时的强度 计算
圆轴的扭转的强度条件
max
Tmax Wp
工程力学
现代远程教育《工程力学》课程学习指导书张洛明张军编⏹课程内容与基本要求工程力学是一门重要的专业基础课。
它将理论力学中的静力学、材料力学、结构力学等课程中的主要内容，依据自身的内在连续性和相关性，重新组织形成的知识体系。
本课程的任务是使学生对工程中物体的机械运动、杆件的强度、刚度和稳定性问题具有明确的基本概念、必要的基础知识和初步的计算能力；从而使学生能对简单工程实际问题进行定性的力学分析。
⏹课程学习计划与指导第0章工程力学总论一、章节学习目标与要求1、理解工程力学的学习目的。
2、掌握工程力学的学习方法和研究思路。
二、考核要求与考点三、章节练习题第1章工程静力学基础一、章节学习目标与要求1、掌握力和力矩的概念。
2、掌握静力学公理。
二、考核要求与考点1、理解工程力学的研究对象及其研究内容。
了解工程力学的研究方法。
2、掌握力、力矩、力偶的概念和性质。
3、掌握工程中常见约束的约束力，理解平衡的概念及其二力平衡，三力平衡的条件。
4、理解加减平衡力原理。
5、掌握受力分析的方法和步骤。
三、章节练习题1、受力分析2、求力F对A点的矩3、齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。
为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。
第2章力系的简化一、章节学习目标与要求1、掌握力的平移定理2、平面任意力系的简化3、平面任意力系简化结果分析二、考核要求与考点1、平面任意力系的简化。
三、章节练习题1、平行力（F,2F）间距为d，试求其合力。
2、试求机构的滑块在图示位置保持平衡时两主动力偶的关系3、折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。
试求支承处的约束力。
第3章工程构件的静力学平衡问题一、章节学习目标与要求1、平面力系的平衡条件及其平衡方程2、掌握平面情况下刚体平衡问题的求解方法3、掌握平面情况下刚体系平衡问题的求解方法4、了解空间情况下刚体的平衡方程。
二、考核要求与考点1、平面力系的平衡条件及其平衡方程；2、刚体及刚体系统的平衡问题。
工程力学—第九章 扭转
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1
(9.55103
500)N 300
m
15.9 103
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9.55103
150) 300
N
m
4.78103
Nm
4.78
kN m
M4
(9.55103
200) 300
Nm
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d
2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
工程力学
彭雅轩 2019年9月16日
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
材料力学-第9章 扭转
Pk
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
其中， 为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时， 扭转角 与扭转力偶矩 M e 成正比。 由式 (9 3) 和 式 (a ) 可以看出, 与 只相差一个比例常数，而 M e 与 也只差一个比例常数。 所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变 与 切应力 成正比（图 9-9） 。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ， 原来相互垂直的两个棱边的夹角， 改变了一个微量 ， 这就是切应变。 由图 9-7 (b) 可以看出，若 为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应 为
式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩 图。 解 按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m
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0.8 10 π 16
3
6
31.66 10 Pa=31.66MPa
6 9
50 10
第4类习题
扭转超静定问题(1)
轴AB和CD在B处用法兰连接，在A、D二处为固定约束，受力及 尺寸如图所示，材料的G = 80GPa。试求轴AB和CD中的最大切应力 和最大拉应力。
TSINGHUA UNIVERSITY
图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN· m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩 的 百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
TSINGHUA UNIVERSITY
解： 2. 轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部 横截面上扭矩的百分比：
TSINGHUA UNIVERSITY
3. 结构所能承受的最大扭转力偶： 根据上述结果，
m T1 3387 N· m T2 2883 N·
整个结构所能承受的最大扭转力偶为 m Tmax＝min 1 ,T2 T2 2883 N· T
第3类习题
开口与闭口薄壁圆管扭转切应力比较
图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为 ，横截面上的扭矩均为T = Mx。试：
第4类习题
扭转超静定问题(2)
直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm 的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T = 73.6N· m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后 再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。 试： 1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。
TSINGHUA UNIVERSITY
解：1．证明闭口圆管受扭时横截 面上最大切应力：这时可以近似认为 切应力沿壁厚均匀分布
M
x
D
A
dA
D 2
π D
2
m ax
2M x
π D
2
第3类习题
开口与闭口薄壁圆管扭转切应力比较
图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为 ，横截面上的扭矩均为T = Mx。试：
TSINGHUA UNIVERSITY
解： 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力 ：这时可以将开 口的薄壁圆环近似看成狭长的矩形截面，扭转时，切应力沿壁厚线性 分布。根据狭长的矩形截面杆扭转时的切应力公式
max
3M x hb
现在 h=πD，b=δ
max
3M x hb
max
变形协调方程
AD AB＋ BC＋CD＝0
物性关系方程
AB
M A 250 G π 32 60
4
M Al AB GI PAB
， BC 0，CD
M D lCD GI PCD
，
M D 500 G π 32 50
4
0
第4类习题
扭转超静定问题(1)
轴AB和CD在B处用法兰连接，在A、D二处为固定约束，受力及 尺寸如图所示，材料的G = 80GPa。试求轴AB和CD中的最大切应力。
3
60 10
6
16
第2类习题
扭转强度设计
图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚δ= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
TSINGHUA UNIVERSITY
根据对最大切应力切应力的限制，有
轴 max
Mx Wp1 T1 πd
3
60 10
6
16
因此得到芯轴所能承受的最大扭矩
T1 60 10
6
π 66 16
3
10
9
m 3387 N·
第2类习题
扭转强度设计
图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚δ= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
Mr
dA
A1
0
r
Mx Ip
2π d
2π M x Ip
r
4
4
Mr Mx
2 r π 4I p4Biblioteka 42 r π
4 4
π d 4 32
15 60
16r d
4
16 (
)
4
1 16
6.25%
第1类习题
扭转切应力计算
图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN· m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩 的 百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
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解： 2. 轴横截面上半径r = 15mm以内部分承 受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：
M r dA
A1
r
0
M x 2 d π I p
r
4
2 Mx π Ip
4
第1类习题
扭转切应力计算
3
60 10
6
因此得到轴套所能承受的最大扭矩
T2 60 10
6
π 80 16
3
10
9
17 4 m 1 ( ) 2883 N· 20
第2类习题
扭转强度设计
图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚δ= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
范钦珊教育与教学工作室
工程力学解题指南 (9)
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2005年11月24日
材料力学
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第9章 圆轴扭转时的应力变形分析 与强度刚度设计
第1类习题
扭转切应力计算
图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN· m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩 的 百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
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思考问题
圆轴表面的圆，在圆轴受扭转后 将变成什么形状？
第4类习题 扭转超静定问题(2)
直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm 的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T = 73.6N· m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后 再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。 试： 1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。
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MA = 3.2×106 N· mm
M D 4 10 3.2 10 0.8 10 N m
6 6 6
τmax
3.2 10 π 16
3 6
轴AB：
max
75.99 10 Pa=75.99MPa
6 9
60 10
轴CD：
max
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思考问题
1．去掉r = 15mm以内部分，所用材料将 会减少多少？ 2．如果中心r = 15mm以内部分所用的 是另一种材料，这时，横截面上的最大切 应力将发生在哪里？计算这时的最大切应 力，还需要什么条件？
第2类习题
扭转强度设计
图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚δ= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
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MA MD T 0
AD AB＋ BC＋CD＝0
AB
M Al AB GI PAB ， BC 0，CD M D lCD GI PCD ，
M A M D 4 10
M A 250 G π 32 60
4
6
M D 500 G π 32 50
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解：1．轴横截面上的最大切应力
1max
Mx WP
T π d 16
3
T WP
3 10 16
3
π 0.06
3
70.7 MPa
第1类习题
扭转切应力计算
图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN· m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩 的 百分比； 3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
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1．证明闭口圆管受扭时横截面 上最大切应力