2020年高考数学(文)之纠错笔记专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(含答案解析)
2020高考数学(理)(课标III)大一轮复习(PDF版教师用书)：第十三章 算法初步
考查．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它
是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．
条件结构与函数的综合考查主要集中在：根据算法框图识
别其功能，根据分段函数的定义域求出相应的值域． 需要注意两
点：①弄清初始变量的初始值；②注意每一个判断后的条件所对
应的结果．
（２０１８ 云南师大附中 ３ 月月考，５） 如图所示的程序框
第十三章
算法初步
真题多维细目表
考题
涉分 题型 难度
考点
考向
解题方法
核心素养
２０１９ 课标Ⅲ，９ ５ 分 选择题 中等
程序框图
程序框图的理解
分析与综合法 数学运算；逻辑推理
２０１７ 课标Ⅲ，７ ５ 分 选择题 易
程序框图
程序框图的理解
分析与综合法 数学运算；逻辑推理
２０１６ 课标Ⅲ，７ ５ 分 选择题 易
ａ．ＩＦ—ＴＨＥＮ 格式
对应学生用书起始页码 Ｐ２５０
ｂ．ＩＦ—ＴＨＥＮ—ＥＬＳＥ 格式
４．循环语句 （ １） 算法中的循环结构是由循环语句来实现的． （ ２） 循环语句的格式及框图 ａ．ＵＮＴＩＬ 语句
ｂ．ＷＨＩＬＥ 语句
对应学生用书起始页码 Ｐ２５１
一、条件结构与分段函数
条件结构是算法的最基本结构之一，一般与分段函数结合
（ ）
Ａ．ｎ≤２ ０１６ Ｂ．ｎ≤２ ０１７ Ｃ．ｎ≤２ ０１８ Ｄ．ｎ≤２ ０１９ ３－２ 答案 Ｃ
解析 计算该数列的第 ２ ０１９ 项，即当 ｎ ＝ ２ ０１８ 时，执行 “ 是” ，当 ｎ ＝ ２ ０１９ 时，执行“ 否” ，所以判 断框 内的 条件 是 ｎ ≤ ２ ０１８．
０５ 关联考点 算法初步的考查常结合数列、分段函数、立
2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题：算法、复数、推理与证明(全国版含解析)
故选 C．
【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念.利用复数代数形式的乘除运算化简，
再由复数的基本概念逐一核对四个选项得答案．
调研 2 若复数 z m(m 1) (m 1)i 是纯虚数，其中 m 是实数，则 1 z
A． i
B． i
C． 2i
D． 2i
【答案】A
【答案】D
【解析】
m m
i i
m i2 m im i
பைடு நூலகம்
m2 m2
1 1
2mi m2 1
，
因为对应的点
(
m2 m2
1 1
,
2m m2
) 1
在第一象限内，所以满足
2m m2 1 m2 1 m2 1
0 0
，
所以 m 1, ，故选 D.
A． 1 5
B． 9 5
2
C． 9 5
【答案】B
D． 9 i 5
【解析】因为 z 1 i i2 i3 i2018 3 4i i 5 3 9i ， 3 4i 3 4i 5 5
所以 z 的共轭复数为 z 3 9 i ，虚部为 9 ，故选 B．
3
【名师点睛】本道题结合复数的四则运算化简该复数，结合复数的几何意义建立不等式即可.
调研 7 “复数 z 3 ai 在复平面内对应的点在第三象限”是“ a 0 ”的
i
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
z
3
i
ai
2020年高考数学学霸纠错笔记函数含解析202101142105
换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f 法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t =，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0），即f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．【参考答案】f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1fx =+()f x =A ．()211x x -≥ B ．21x -C ．()211x x +≥D ．21x +【解析】（换元法）：令1t ，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ． 【答案】A注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122a f a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝，方程恒成立，故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.②当23≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a ff a －－＝＝，故()()()2a f f f a ＝.③当1a ≥时，()21af a >＝，()()22aff a ＝，()222a af ＝，故()()()2af ff a ＝.综合①②③知a ≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(]0,3 C ．(0,2)D ．(]0,2【解析】∵()f x 为R 上的减函数，∴1x ≤时，()f x 单调递减，即30a -<，则3a <；1x >时，()f x 单调递减，即0a >,即2a ≤. 综上，a 的取值范围是02a <≤,故选D. 【答案】D对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2. 【参考答案】a ＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数2()6f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是 A ．()4,16 B ．[]4,16 C ．[)16,+∞D ．][(),416,-∞+∞【解析】根据题意，函数2()6f x x kx =--的对称轴为x 2k =， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有2k ≤2或2k≥8， 解可得：k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选D ． 【答案】D忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2） ()f x -， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性． 【试题解析】（1）由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}， ∵f （x ）定义域关于原点不对称， ∴f （x ）为非奇非偶函数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f （x ）＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x，∵()()f x f x x-=--， ∴f （x ）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数是奇函数的是 A ．cos y x x =+ B ．3sin y x x =C ．)ln y x =D ．e e x x y -=+【解析】cos11cos(1)1,cos11[cos(1)1]+≠--+≠---，所以A 为非奇非偶函数，33sin [()sin()],x x x x x =--∈R ，所以B 为偶函数，210,,x x x x +->≥∴∈R ())2lnln()ln10x x x ++-==，所以C 为奇函数，()e e e e ,x x x x x ----+=+∈R ，所以D 为偶函数，故选C. 【答案】C判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）12]12＝________.【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）12 ]12＝（1－a）（a－1）－1·（－a）14＝－（－a）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a）12，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[（a－1）－2]12≠（a－1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a）12知－a≥0，故a－1<0.∴（1－a）[（a－1）－2（－a）12 ]12＝（1－a）（1－a）－1·（－a）14＝（－a）14 .【参考答案】（－a）14在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a-，则必须有－a≥0，即a≤0.5．已知a=b=c=则A．a b c>>B．a c b>>C．b a c>>D．c b a>>【解析】a=b=c=则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257，c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，又b70＝514＝（57）2＝（78125）2c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，∴a＞b＞c，故选A．【答案】A忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A ．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数． 【试题解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D ．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则113x y+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．【解析】∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg （2x•8y）＝lg2，∴2x +3y＝2，∴x +3y ＝1．∵x ＞0，y ＞0，∴()1111333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭2323y x x y ++≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号． 故选：C ． 【答案】C复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f （x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）．【试题解析】要使函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，应使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正数， 要使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a ≥0，∴a ≥－14，∴所求a 的取值范围为[－14，＋∞）．【参考答案】[－14，＋∞）．1．求复合函数单调性的具体步骤是： （1）求定义域； （2）拆分函数；（3）分别求y ＝f （u ），u ＝φ（x ）的单调性； （4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y ＝f [g （x ）]及其里层函数μ＝g （x ）与外层函数y ＝f （μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a <≤.故选A ．【答案】A不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.零点存在性定理使用条件不清致误函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <.所以函数()f x 没有零点，故选A ．【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞【解析】函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）． 故选D ． 【答案】D一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A→非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度. ②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点． （2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x--B ．e 1x-+C ．e 1x--- D ．e 1x--+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()x f x f x --=-=-， 得()e 1x f x -=-+． 故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算. 5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦ D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法. 7．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f = A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】C【解析】设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =⨯+=． 故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 10．函数()exx f x =，关于x 的方程()()()2110fx m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值范围是A ．22e e(,1)e e-+B ．22e e +1(,)e e-+∞+C ．22e e 1(,1)e e-++D ．22e e (,)e e-+∞+【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x值，故有两种情况：1201(0,)e t t =⎧⎪⎨∈⎪⎩①；121e 1(0,)e t t ⎧>⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩②.当属于情况①时，将0t =代入()2110t m t m -++-=得到1m =，此时方程()2110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况②时，2221110e e 1, 1.e ee e 10m m m m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−b， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−b＜0且{−b ＞013(b +1)3−12(b +1)(b +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 12．已知函数()()()ln 2ln 6f x x x =-+-，则A ．()f x 在()2,6上单调递增B ．()f x 在()2,6上的最大值为2ln2C ．()f x 在()2,6上单调递减D ．()y f x =的图象关于点()4,0对称 【答案】B【解析】()()()()()ln 2ln 6ln 26f x x x x x ⎡⎤=-+-=--⎣⎦，定义域为()2,6，令()()26t x x =--，则ln y t = ,二次函数()()26t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在()2,4上单调递增，在()4,6上单调递减，A错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以()()()max ln 42ln 642ln2f x =-+-=，B 正确．13．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+,若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++=A ．2018-B ．2C ．0D ．50【答案】B【解析】f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数， 可得f （﹣x ）=﹣f （x ），f （1﹣x ）=f （1+x ）即有f （x +2）=f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ），进而得到f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），f （x ）是周期为4的函数，若f （1）=2，可得f （3）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （2）=f （0）=0，f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0， 可得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2018） =504×0+2+0=2． 故选：B ．14．若函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =__________．【答案】1或1-【解析】令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，可知()211e 1xa u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-.【名师点睛】该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特征，可得()211e 1x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝__________．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 16．设函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<的解集为__________． 【答案】()0,2【解析】易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，+∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，+∞）上为增函数，即()g x 在[0，+∞）上为增函数，且g （2）=f （2+1）=0， ∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2），即g （|2﹣2x |）＜g （2），则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．17．已知函数()212,632,x x af x x x x a ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞1a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==【答案】1,36⎛- ⎝【解析】函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，就是函数()f x 与y ax =有三个交点，也就是函数y ax =与()232,f x x x x a =++≤的图象有两个交点，y ax =与()12,6f x x x a =+>的图象有一个交点，画出函数()f x 与y ax =的图象如图，函数y ax =，看作直线斜率为a ，由图象可知，1,6a a >小于直线与抛物线相切的斜率，由232y ax y x x =⎧⎨=++⎩，可得()()22320,380x a x a ∆+-+==--=，解得3a =-综上1,36a ⎛∈- ⎝时，函数()f x与y ax =的图象有三个交点，即函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，故答案为1,36⎛- ⎝.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .18．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[][]2.72, 1.32=-=-，则函数()()[]ln 1f x x x =+-的所有零点之和为__________． 【答案】1e 2e+-【解析】由题意可知：[]1x x x -<≤ . 令()ln(1)(1)g x x x =+--.则()1101g'x x =-<+. 所以()g x 在[)3,+∞上单调递减，有()()3ln420g x g <=-<， 所以()()[]ln 1f x x x =+-在[)3,+∞上无零点，只需考虑：()10ln 11x x -<<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，()01ln 10x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()12 ln 11x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()23ln 12x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩可得三个零点分别为11,e 1,0e--， 故答案为:1e 2e+-． 【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.19．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】1,34⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根， 要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴13k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素. 20．设函数32()31f x x x ．已知0a ≠，且2()()()()f x f a x b x a ，x R ，则实数a =__________，b =__________．【答案】2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．【思路点睛】先计算()()f x f a ，再将2()()x b x a 展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．21．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()()44f x f x f x =-=-，当[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，则函数()()()2log 1g x f x x =--的零点个数为__________． 【答案】512 【解析】定义在R 上的函数()f x ，满足()()44f x f x -=-，∴()f x 为R 上的偶函数，因为()f x 满足()()4f x f x -=，∴函数()f x 为周期为4的周期函数，且为R 上的偶函数， 因为[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，所以，在[]0,2上()f x 递增，且值域为[]0,10，根据周期性及奇偶性画出函数()y f x =的图象和()2log 1y x =-的图象，如图，易知()2log 1y x =-的图象在()2,+∞上单调递增，且当1025x =时，2log 102510=， 当1025x >时，()2log 1y x =-的图象与函数()y f x =的图象无交点， 结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有_______________对关于原点成中心对称的点． 【答案】3【解析】()y f x =关于原点的对称图象的解析式为()y f x =--，因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数． 又当0x >时，()sin2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图象的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有3对关于原点成中心对称的点．23．已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是__________． 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.。
2020年高考数学(理)总复习：算法、复数、推理与证明(解析版)
法三：∵ i( x＋ yi) ＝ 3＋ 4i ∴ |i(x＋ yi)| ＝ |3＋4i|
∴ |i||x＋ yi|＝ 5，∴ |x＋ yi|＝ 5. 法四：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，
所以－ y＋ xi ＝3＋ 4i，
所以 x＝4， y＝－ 3， 故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝ 42＋ － 3 2＝ 5.
1－ 2i
1－ 2i 1＋ 2i
A.
【答案】 A
【例 3】．已知 a∈ R，若 a＋ 2i是纯虚数，则在复平面内，复数 4－ i
位于 ( )
z＝ ai ＋ i2018 所对应的点
A ．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D ．第四象限
【解析】
依题意， a4＋－2ii＝
a＋ 2i 4－ i
4＋ i 4＋ i
7
据图象可知， 线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方， 因此有结论 ax1＋ ax2＞ ax1＋x2
2
2
成立．运用类比思想方法可知，若点 A(x1， sin x1)、 B(x 2， sin x2)是函数 y＝ sin x[ x∈(0 ，π )]
图象上的不同两点，则类似地有 ________成立．
π－
π 6(k∈
Z
)
．
∴
z＝ sin
1 θ＋ cos
－ θ·i
1( 2
其中
i 是虚数单位
)是纯虚数．
”是 “θ＝π6＋ 2kπ”的必要不充分条
件．故选 B.
【答案】 B
题型二 程序框图
3
【题型要点】 解答程序框图问题的三个关注点 (1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向执行直至结束． (2)关注输出的是哪个量，何时结束． (3) 解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，同时注意区分 计算变量与循环变量． 【例 4】执行如图所示的程序框图，输出的 n 为 ( )
2020高考数学复习纲要(附例题与解析)
内容要点： 每个章节内容包括：高考知识点、知识点解读、备考策略、知识整合、命题方向、规律 总结、答题示例。各要点内容都附有例题与解析。 第一部分 专题强化突破 专题一 集合、逻辑用语、向量、复数、算法、 推理与证明、不等式及线性规划 第一讲 集合与常用逻辑用语 第二讲 向量运算与复数运算、算法、推理与证明 第三讲 不等式及线性规划 专题二 函数与导数 第一讲 函数的图象与性质 第二讲 函数与方程及函数的应用 第三讲 导数的简单应用(文理) +定积分(理) 第四讲 导数的综合应用 专题二 规范答题示例 专题三 三角函数及解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质 第二讲 三角恒等变换与解三角形 专题三 规范答题示例 专题四 数 列 第一讲 等差数列、等比数列 第二讲 数列求和及综合应用 专题四 规范答题示例 专题五 立 体 几 何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系 第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题(理) 专题五 规范答题示例 专题六 解析几何 第一讲 直线与圆 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 第三讲 定点、定值、存在性问题 专题六 规范答题示例 专题七 概率与统计 第一讲 统计与统计案例 第二讲 概率及其应用(文) 第二讲 计数原理与二项式定理(理) 第三讲 概率、随机变量及其分布列(理) 专题七 规范答题示例 专题八 选修系列 4 第一讲 坐标系与参数方程 第二讲 不等式选讲
易混易错的概念、性质相结合考查 2．利用充要性求参数值或取值范围 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决 问题． (2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命 题的区别． (3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 预测 2019 年命题热点为： (1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、 值域、方程的解集等知识结合在一起考查． (2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一 起考查．
2020高考数学 专题练习 十三 推理与证明 文 精品
高考专题训练十三 推理与证明班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2020·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72020的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543…由此可知数列{7n＋1}的每项末两位数字每隔4项出现一项循环，又2020＝(4×502＋2)＋1， ∴72020的末两位数字为43.答案：B2．(2020·郑州市高中毕业班质量预测)已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <bc ＋a，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a解析：由已知得c (b ＋c )<a (a ＋b )，a (c ＋a )<b (b ＋c )，即(c －a )(a ＋b ＋c )<0，(a －b )(a ＋b ＋c )<0.又a ＋b ＋c >0，因此有c －a <0，a －b <0，故c <a <b ，选A.答案：A3．(2020·四川省绵阳市高三诊断性测试)记a ＝sin(cos2020°)，b ＝sin(sin2020°)，c ＝cos(sin2020°)，d ＝cos(cos2020°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d解析：注意到2020°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2020°＝－sin30°＝－12，cos2020°＝－cos 30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>d＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32>0，因此选C. 答案：C4．(2020·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是( )A ．|b －a ＋1c －b|≥2 B ．a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 4＋b 4＋c 4C ．b 2>ac D ．|b |－|a |≤|c |－|b |解析：设等差数列a ，b ，c 的公差为d (d ≠0)，则|b －a ＋1c －b |＝|d ＋1d |＝|d |＋|1d|≥2 |d |×1|d |＝2，因此A 成立；b 2－ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－ac ＝a －c 24>0，因此C 成立；由2b ＝a＋c 得|2b |＝|a ＋c |≤|c |＋|a |，即|b |－|a |≤|c |－|b |，因此D 成立；对于B ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，a 3b ＋b 3c ＋c 3a ＝53，a 4＋b 4＋c 4＝98，此时B 不成立．综上所述，选B.答案：B5．(2020·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.答案：B6．(2020·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2020·南昌一模)观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.答案：(－1)n ＋1n 2＋n28．(2020·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________________________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝09．(2020·苏北四市调研(三))已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R 2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．解析：将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，则内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2·tan α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2.答案：R 2tan α210．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若 6＋a t ＝6a t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1，所以当n＝6时，a ＝6，t ＝35，所以a ＋t ＝41.答案：41三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a n －2S n ＝1，数列{b n }满足b n ＝2log12a n ，n ∈N *.(1)求函数{a n }的通项公式a n 与{b n }的前n 项和T n ； (2)设数列{b n a n}的前n 项和为U n ，求证：0<U n ≤4.解：(1)易得a 1＝12.当n ≥2时，4a n －2S n ＝1， ① 4a n －1－2S n －1＝1， ② ①－②得2a n －4a n －1＝0⇒a n ＝2a n －1， ∴a na n －1＝2(n ≥2)， ∴数列{a n }是以a 1＝12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －2，a 1＝12也适合此式，故a n ＝2n －2.从而b n ＝4－2n ，其前n 项和T n ＝－n 2＋3n .(2)证明：∵{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，b n a n ＝4－2n2n －2.∴U n ＝212＋01＋－22＋…＋6－2n 2n －3＋4－2n2n －2， ③12U n ＝21＋02＋－222＋…＋6－2n 2n －2＋4－2n2n －1， ④ ③－④得12U n ＝4－21－22－222－…－22n －2－4－2n 2n －1，∴U n ＝4n2n －1.易知U 1＝U 2＝4，当n ≥3时，U n －U n －1＝2－n2n －3<0，∴当n ≥3时，数列{U n }是递减数列， ∴0<U n ≤U 3＝3. 综上，0<U n ≤4.12．(13分)在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝3，且数列{a n ＋1＋a n }是公比为2的等比数列，数列{a n ＋1－2a n }是公比为－1的等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：当k 为正奇数时，1a k ＋1a k ＋1<32k ＋1；(3)求证：当n ∈N *时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n<1.解：(1)依题意有a n ＋1－2a n ＝(a 2－2a 1)(－1)n －1＝3(－1)n ，a n ＋1＋a n ＝(a 2＋a 1)·2n －1＝3·2n ，两式相减有a n ＝2n＋(－1)n ＋1，n ∈N *.(2)证明：当k 为正奇数时，1a k ＋1a k ＋1＝12k ＋1＋12k ＋1－1＝3·2k22k ＋1＋2k －1<32k ＋1.(3)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1＋1a 2n <322＋324＋…＋322n ＝1－14n <1，n ∈N *.。
2020版高考理数：专题(13)算法初步ppt课件二
7
考点一 算法初步
方法3 补全程序框图中的条件
解决此类问题，应结合初始条件和输出的结果，分析控制循 环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式，明确进 入循环体时变量的情况、累加或累乘变量的变化．具体解题方 法有以下两种：一是先假定空白处填写的条件，再正面执行程 序，来检验填写的条件是否正确；二是根据结果进行回溯，直 至确定填写的条件．
（例4)如图给出的是计算 框内应填入的条件是( )
的值的一个程序框图，其中判断
【解析】因为该程序框图是计算
这9个数的和，所以共循环
9次，即i从1变到10，要输出这9项的和，判断条件“i>9？”．故选A.
【答案】A
11
考点一 算法初步
方法4 算法语句
（例5)[湖南师大附中2018月考]计算机执行如图所示的程序，则输出的S的值为( )
【答案】D
5
考点一 算法初步 方法2 含有循环结构的程序框图
对于循环结构，要先弄清循环体、变量的初始值和循环的终止条 件．当循环次数较少时，可列出每一步的运行结果，直至程序结束， 自然就得出答案；当循环次数较多时，可逐一列出前面的若干步骤， 观察、归纳其中的规律，从而得出答案．这是最常用、最有效、最适 合学生认知水平的方法．
去)．即输入的x值为－6或6.
【答案】－6或6
13
考点一 算法初步
方法5 算法案例
(1)求两个数的最大公约数 （例7)用辗转相除法求528和12 155的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果． 【分析】12 155作为较大数，528作为较小数，执行辗转相除法和更相减损术的步 骤即可． 【解】用辗转相除法： ∵12 155＝528×23＋11， 528＝11×48， ∴12 155与528的最大公约数为11. 更相减损术验证：12 155－528＝11 627，11 627－528＝11 099，… 539－528＝11，528－11＝517，517－11＝506，… 22－11＝11，∴12 155与528的最大公约数为11.
2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第十二章 推理与证明、算法、复数12.3 Word版含答案.docx
§12.3算法与程序框图1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a ．UNTIL 语句b ．WHILE 语句题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × ) (2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．( × ) (3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( × )(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( √ ) (5)5＝x 是赋值语句．( × )(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．( √ )题组二 教材改编2．[P30例8]执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 按照程序框图依次循环运算，当k ＝5时，停止循环，当k ＝5时，S ＝sin5π6＝12.3．[P25例5]如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填．答案x<0?解析输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？.题组三易错自纠4．(2016·全国Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于()A．7 B．12 C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C.5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？答案 C解析 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s ≤1112？”．6．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是 ．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．题型一 算法的基本结构1．(2017·厦门质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128 答案 C解析 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.2．(2017·全国Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是N 的最小值． 故选D.3．(2016·全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1， x 2＋y 2<36；第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.思维升华 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、循环结构．特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键． (2)解决程序框图问题要注意几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .题型二 程序框图的识别与完善命题点1 由程序框图求输出结果典例 (1)(2017·全国Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7＞6，输出S＝3.结束循环．故选B.(2)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0答案 D解析当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.∴输出a＝0.故选D.命题点2完善程序框图典例(2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入()A．A>1 000？和n＝n＋1B．A>1 000？和n＝n＋2C．A≤1 000？和n＝n＋1D．A≤1 000？和n＝n＋2答案 D解析因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以▭内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n，所以◇内填入“A≤1 000？”．故选D.命题点3辨析程序框图的功能典例如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则()A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 答案 C解析 不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3， 则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1； k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2； k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3， 故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C.思维升华 (1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果． (2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．跟踪训练 (2018·唐山模拟)根据下面的程序框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析 由程序框图可知，第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C.题型三 基本算法语句典例 (2017·宜春模拟)如图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2＋4n (n ∈N *)的项，则所得y 值的最小值为( )A ．4B ．9C ．16D ．20答案 C解析 由条件语句，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <5，5x ，x ≥5.又n 2＋4n ＝n ＋4n ≥4(当且仅当n ＝2时等号成立)，所以当x ＝4时，y 有最小值42＝16.思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．跟踪训练 (2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S ＝ .答案 7解析 I ＝1，S ＝1；S ＝1＋2＝3，I ＝1＋3＝4＜8； S ＝3＋2＝5，I ＝4＋3＝7＜8； S ＝5＋2＝7，I ＝7＋3＝10＞8. 退出循环，故输出S ＝7.程序框图中变量的取值典例 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A 等于( )A．2 047 B．2 049 C．1 023 D．1 025现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2 047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．1．(2016·全国Ⅲ)执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．2．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v 的值为()A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.3．(2017·天津)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 第一次循环执行条件语句，此时N ＝24,24能被3整除，则N ＝24÷3＝8. ∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N ＝8,8不能被3整除，则N ＝8－1＝7. ∵7≤3不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时N ＝7,7不能被3整除，则N ＝7－1＝6. ∵6≤3不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时N ＝6,6能被3整除，则N ＝6÷3＝2. ∵2≤3成立，∴此时输出N ＝2. 故选C.4．(2017·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53 D.85答案 C解析 开始：k ＝0，s ＝1； 第一次循环：k ＝1，s ＝2； 第二次循环：k ＝2，s ＝32；第三次循环：k ＝3，s ＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.故选C.5．(2018·南宁质检)已知实数x ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于121的概率为( )A.34B.58C.78D.12 答案 B解析 由题意可知，当输入x ＝1时，进入循环体，输出x ＝40；当输入x ＝2时，进入循环体，输出x ＝67；当输入x ＝3时，进入循环体，输出x ＝94；当输入x ≥4时，输出的x 均不小于121，因此输出的x 不小于121的概率为58.6．(2018·佛山模拟)如图，若依次输入的x 分别为5π6，π6，相应输出的y 分别为y 1，y 2，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定答案 C解析 由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin 5π6＝12； 当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2.7．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.9．(2017·江苏)如图是一个程序框图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.故输出y 的值为－2.10．(2017·安徽江南名校联考)某程序框图如图所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出的S ＝26，则判断框内的n ＝ .答案 4解析 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26.因此当输出的S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.11．如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．答案 3解析 由x 2－4x ＋3≤0，解得1≤x ≤3.当x ＝1时，满足1≤x ≤3，所以x ＝1＋1＝2，n ＝0＋1＝1； 当x ＝2时，满足1≤x ≤3，所以x ＝2＋1＝3，n ＝1＋1＝2； 当x ＝3时，满足1≤x ≤3，所以x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3； 当x ＝4时，不满足1≤x ≤3，所以输出n ＝3.12．(2017·西安模拟)执行如图所示的程序框图，如果输出S ＝3，那么判断框内应填入的条件是 ．答案 k ≤7?解析 首次进入循环体，S ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，S ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k ＝4；依次循环，第六次进入循环体，S ＝3，k ＝8， 此时结束循环，则判断框内填k ≤7？.13．(2018·泉州模拟)下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．14 答案 B解析 由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则 第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4；第五次执行循环结构时，由a ＜b 知， a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.14．阅读下面的程序，当分别输入实数x ＝3和x ＝0时，其输出的结果是 ．答案3－2和0解析 由程序可知，它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题，显然，当x ＝3时，y ＝3－2；当x ＝0时，y ＝0.故输出的结果是3－2和0.15．(2016·山东)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为 ．答案 3解析 第1次循环：i ＝1，a ＝1，b ＝8，a <b ；第2次循环：i ＝2，a ＝3，b ＝6，a <b ；第3次循环：i ＝3，a ＝6，b ＝3，a >b ，输出i 的值为3.16．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝ .答案 495解析 取a 1＝815，则b 1＝851－158＝693≠815，则a 2＝693；由a 2＝693知b 2＝963－369＝594≠693，则a 3＝594；由a 3＝594知b 3＝954－459＝495≠594，则a 4＝495；由a 4＝495知b 4＝954－459＝495＝a 4，则输出b ＝495.17．(2018·太原模拟)关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是 ．答案 [0,1]解析 由程序框图的第一个判断条件为f (x )>0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．18．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为 ．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.19．(2018·沈阳质检)以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是 ；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为 ．答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15.(2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则，即x ＝3，y ＝2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.20．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0172 018，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是 ．(填序号)①n ≤2 017?②n ≤2 018? ③n >2 017?④n >2 018?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0，得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ， 即g (x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由1－1n ＋1>2 0172 018，得n >2 017. 故可填入②.。