广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(文科)精编含解析(中山二模)
2015年广州二模文科数学试题参考答案
2
3 ．…………………………………………6 分 2
由正弦定理
a …………………………………………………………………………………7 分 = 2R ， sin A
数学（文科）试题 A 第 1 页 共 9 页
得 a = 2 R sin A = 2 ´ 14 ´
数学（文科）试题 A 第 2 页 共 9 页
18． （本小题满分14分） （1）证明：连接 A1 B ， 在四边形 A1 BCD1 中， A1 D1 P BC 且 A1 D1 = BC ， 所以四边形 A1 BCD1 是平行四边形． 所以 A1 B P D1C ．…………………………………………2分 在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AA1 = AB = 3 ， 所以 M D C N B A1 D1 C1 B1
( a2 , b2 ) ， ( a3 , b1 ) ， ( a3 , b2 ) ， ( a4 , b1 ) ， ( a4 , b2 ) ， ( b1 , b2 ) 共 9 种.……………………………………11 分
故所求的概率为
9 3 = . ………………………………………………………………………………12 分 15 5
1 æ1 1 9 9ö 13 ´ç + ´ + ÷ ´ 3 = ，………………………………………………11分 ç ÷ 3 è2 2 2 2ø 2
13 41 = ，…………………………………………………13分 2 2
从而 V2 = VABCD - A1B1C1D1 - VAMN - DD1C = 27 所以
b 2 + c 2 - a 2 ( 5k ) + ( 3k ) - ( 7 k ) cos A = = …………………………………………………………3 分 2bc 2 ´ 5k ´ 3k
广东省中山市高三数学下学期第二次模拟考试试题 理(答
广东省中山市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理（答案不全）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ． 53C ．5D ．732．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A ＝120°，则a = （ ）A ．2 B ．6 C ．2 或6 D ．27 3．设a ＞1＞b ＞0，则下列不等式中正确的是 （A ）(-a)7＜(-a)9 （B ）b- 9＜b- 7 （C ）11lglg a b > （D ）11ln ln a b >4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( )A.28y x =B. 28y x =-C. 24y x =-D.24y x = 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 6．已知某锥体的三视图（单位：cm ） 如图所示，则该锥体的体积为 （A ）23cm （B ）43cm （C ）63cm （D ）83cm7．251(1)(2)x x --的展开式的常数项是（A ）48 （B ）﹣48 （C ）112 （D ）﹣1128．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是（A ）14 （B ）13 （C ）27 （D ）311（第6题图）正视图侧视图俯视图2221二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．已知复数z 满足22z z +-= i （其中i 是虚数单位），则z =．10．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是 ．11．已知抛物线23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ．12．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X ，则随机变量X 的数学期望是 ．13．在△ABC 中，∠C=90︒，点M 满足3BM MC =u u u u r u u u u r，则sin ∠BAM 的最大值是 ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
广东省中山市高考数学二模试卷 文(含解析)
广东省中山市2 015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f（x）=的定义域为( )A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）3．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若与垂直，则||等于( )A．1 B．2 C．D．44．一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，65．函数是( )A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.67．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③8．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是( )A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=ln（﹣x）10．若两个分类变量x和y的列联表为：y1y2合计x110 45 55x220 30 50合计30 75 105则x与y之间有关系的可能性为( )A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25%二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．（一）必做题（11～13题）11．设函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则a=__________．12．在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是__________．13．阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是__________和__________．（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（《几何证明选讲》选做题）14．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于__________．（《坐标系与参数方程》选做题）15．已知直线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．17．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．18．某校2015届高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．19．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．20．已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），且b1=3，求数列的前n项和T n．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．广东省中山市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．解答：解：复数=故选C．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．2．函数f（x）=的定义域为( )A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式，列出不等式，求出解集即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴lg（1﹣2x）≥0，即1﹣2x≥1，解得x≤0；∴f（x）的定义域为（﹣∞，0]．故选：A．点评：本题考查了根据函数的解析式，求函数定义域的问题，是基础题目．3．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若与垂直，则||等于( ) A．1 B．2 C．D．4考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0得到﹣1+n2=0，所以n=±1，得到=（1，±1），利用向量模的坐标公式进而求出||的值．解答：解：因为向量=（1，n），=（﹣1，n），并且与垂直，所以•=0所以﹣1+n2=0，解得n=±1，所以==（1，±1）所以||=故选C．点评：本题考查向量垂直的充要条件以及向量的求模的计算公式，此题属于基础题．4．一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6考点：分层抽样方法．分析：先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．解答：解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，故选D．点评：本题主要考查分层抽样方法．5．函数是( )A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项．解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π故选B．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题．6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．解答：解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则=（x1+x2+…+x n），方差为s2=，每一组数据都加60后，′=（x1+x2+…+x n+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s′2=+…+（x n+60﹣62.8）2]=s2=3.6．故选D点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．解答：解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选：C点评：分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．8．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；四种命题．专题：计算题．分析：根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系．解答：解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在2015届高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系．9．下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是( )A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=ln（﹣x）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据增函数的定义便知要找的函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，所以根据一次函数，二次函数，指数函数，以及对数函数的单调性即可找到正确选项．解答：解：根据已知条件知f（x）需在（﹣∞，0）上为增函数；一次函数f（x）=﹣x+1在（﹣∞，0）上为减函数；二次函数f（x）=x2﹣1在（﹣∞，0）上为减函数；指数函数f（x）=2x在（﹣∞，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x）=ln（﹣x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴C正确．故选C．点评：考查增函数、减函数的定义，以及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性．10．若两个分类变量x和y的列联表为：y1y2合计x110 45 55x220 30 50合计30 75 105则x与y之间有关系的可能性为( )A．0.1% B．99.9% C．97.5% D．0.25%考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：由列联表中的数据代入公式查表求解即可．解答：解：代入公式K2=≈6.11查表可得，P（K2≥5.024）=0.025；故1﹣0.025=97.5%；故选：C．点评：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．（一）必做题（11～13题）11．设函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则a=0．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则可得f（0）=0，从而可求解答：解：因函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则f（0）=0，∴f（0）=a=0故答案为：0．点评：本题主要考查了奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0）的应用，利用该性质可以简化基本运算．属于基础试题12．在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是1﹣．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＞a对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．解答：解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|PA|＞a的平面区域如图中阴影以外所示：则正方形的面积S正方形=a2阴影部分的面积S阴影=故动点P到定点A的距离|PA|＞a的概率P=1﹣．故答案为：1﹣．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．13．阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是2550和2500．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S，T的值，当满足条件n＜2，退出循环，输出S，T的值．由等差数列的求和公式即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=100，S=0，T=0不满足条件n＜2，S=100，n=99，T=99，n=98不满足条件n＜2，S=100+98，n=97，T=99+97，n=96不满足条件n＜2，S=100+98+96，n=95，T=99+97+95，n=94…不满足条件n＜2，S=100+98+…+4，n=3，T=99+97+…+3，n=2不满足条件n＜2，S=100+98+…+4+2，n=1，T=99+97+…+3+1，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S，T的值．由于S=100+98+…+4+2==2550．T=99+97+…+3+1==2500故答案为：2550，2500．点评：本题主要考查了程序框图和算法，考查了等差数列的求和公式的应用，属于基本知识的考查．（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（《几何证明选讲》选做题）14．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于8π．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：直线与圆．分析：要求圆O的面积，关键是求圆的半径R，求半径有如下方法：构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；或是根据正弦定理，===2R，求出圆的半径后，代入圆的面积公式即可求解．解答：解：法一：连接OA、OB，则∠AOB=90°，∵AB=4，OA=OB，∴R=，则S圆=；法二：，则S圆=点评：求圆的半径有如下方法：①构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；②如果圆为△ABC的外接圆，则根据正弦定理，===2R；③如果圆为△ABC的内切圆，则根据面积公式S=•l•r（其中l表示三角形的周长）．（《坐标系与参数方程》选做题）15．已知直线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是（﹣1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，然后联立方程组求解．解答：解：由ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，得x﹣y+2=0，由，①式两边平方得：x2=1+sin2α③，把②代入③得：x2=y．（0≤y≤2）联立，解得：或（舍去）．∴两曲线交点的直角坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．点评：本题考查了化曲线的极坐标方程为直角坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．考点：解三角形；三角函数的最值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据函数图象过一点，把此点的坐标代入，利用特殊角的三角函数值即可求出m 的值，进而确定出f（x）的解析式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域得到f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）根据已知的等式，代入确定出的f（x）的解析式，化简后得到sinA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后根据三角形的面积公式，由AB和sinA的值求出AC的长，最后由AC，AB及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点，∴，∴m=1，∴．∴函数的最小正周期T=2π．当时，f（x）的最大值为，当时，f（x）最小值为．（Ⅱ）因为，即，∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴．∵，∴AC=3．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2•AB•ACcosA=7，∴．点评：此题考查了三角函数的恒等变形，余弦定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的周期及值域．熟练掌握三角函数的恒等变形是解本题的关键．17．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．考点：函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．解答：解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．18．某校2015届高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）先求学校的总人数，再求90～140分之间的频率，总人数乘以此频率即为所求．（2）由频率分布直方图，结合求中位数和平均数的方法，即可找到众数，求得中位数和平均数．（3）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．解答：解：（1）∵130～140分数段的人数为2人又130～140分数段的频率为：0.005×10=0.05∴90～140分之间的人数为2÷0.05=40人．（2）90～100，100～110，110～120，120～130，130～140之间的人数依次为：40×10×0.01=4人，40×10×0.025=10人，40×10×0.045=18人，40×10×0.015=6人，2人∴参赛学生成绩的中位数的估计值为+110=≈113分．（3）第一组共有40×0.01×10=4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}； {A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}．共有15种结果，设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P（A）=．点评：本题考查频率分布直方图和中位数平均数的求法，注意公式：频率=的灵活应用．考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，考查等可能事件的概率，考查用列举法来数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目．19．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．分析：（1）由已知中AD⊥平面ABE，AD∥BC，得到BC⊥平面ABE，即AE⊥BC，又由B F⊥平面ACE，即BF⊥AE，再由线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE；（2）连接GF，由已知BF⊥平面ACE，我们易得GF∥AE，由线面平行的判定定理，可以得到AE∥平面BFD；（3）由已知可得三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积，求出三棱锥E﹣ABC的体积，即可得到棱锥E﹣ADC的体积．解答：解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE（2）连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE∵BE=BC，∴F为EC的中点；∵矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，∴GF∥AE，∵GF⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，∴AE∥平面BFD．（3）∵三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积∵V E﹣ABC==故棱锥E﹣ADC的体积为点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，及直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间中直线与平面的平行及垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．20．已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），且b1=3，求数列的前n项和T n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a1，根据等差数列的通项公式和求和公式，分别求得a n及前n项和S n；（2）由（1）中的a n和S n，根据迭代法得：b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…（b2﹣b1）+b1，结合条件化简后求得b n，再利用裂项法求得，代入前n项和T n再相消后化简即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得…∴a n=2n+3……（2）由（1）得，a n=2n+3，且S n=n（n+4），∵b n+1﹣b n=a n，∴b n﹣b n﹣1=a n﹣1=2n+1（n≥2，n∈N*）当n≥2时，b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=a n﹣1+a n﹣2+…+a1+b1=S n﹣1+b1=（n﹣1）（n﹣1+4）+3=n（n+2），对b1=3也适合，∴b n=n（n+2）（n∈N*），∴…则==…点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，以及迭代法求数列的通项，裂项法求和，注意由数列的通项公式的特点来确定数列求和的方法．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系．（2）令导数为0得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单调性．（3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．解答：解：解法一：（1）依题意，得f′（x）=x2+2ax+b．由f′（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1．（2）由（1）得f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）．令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1﹣2a．①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，1﹣2a）（1﹣2a，﹣1）（﹣1，+∞）f′（x）+ ﹣+f（x）单调递增单调递减单调递增由此得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．②当a=1时，1﹣2a=﹣1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R．③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．（3）当a=﹣1时，得f（x）=x3﹣x2﹣3x．由f′（x）=x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3．由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x1=﹣1，x2=3处取得极值．故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y=﹣x﹣1．由得x3﹣3x2﹣x+3=0．令F（x）=x3﹣3x2﹣x+3．易得F（0）=3＞0，F（2）=﹣3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，故F（x）在（0，2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．解法二：（1）同解法一．（2）同解法一．（3）当a=﹣1时，得f（x）=x3﹣x2﹣3x．由f′（x）=x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3．由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x1=﹣1，x2=3处取得极值，故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y=﹣x﹣1．由x3﹣3x2﹣x+3=0．解得x1=﹣1，x2=1，x3=3．∴，，所以线段MN与曲线F（x）有异于M，N的公共点（1，﹣）．点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．。
高考精品模拟试卷_广东省中山一中等七校2015届高三第二次(12月)联考数学(文)试题(精校完美版)
广东省校联合体2015届高三第二次联考试卷文科数学命题人：中山一中 审题人：宝安中学本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i z +=1，则2)(z =（ ）A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2- 2. 设全集U=Z ，集合M=}{2,1，P=}{2,1,0,1,2--，则P U C M ⋂=（ ） A ．}{0 B ．}{1 C ．}{0,2,1-- D ．Φ 3. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（ ）A ．32 B ．41 C ．31 D ．214． 已知实数x y 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则24z x y =+的最大值为（ ）．A ．24B ．20C ．16D ．12 5．在数列{n a }中，若11=a 且对所有n N *∈, 满足212n a a a n =，则=+53a a ( )A ．1625 B ． 1661 C ．925 D ．15316．下列算法中，含有条件分支结构的是（ ）A ．求两个数的积B ．求点到直线的距离C ．解一元二次不等式D ．已知梯形两底和高求面积 7．已知向量12||,10||==,且60-=⋅，则向量与的夹角为（ ）A ．060 B ．0120 C ．0135 D ．01508．函数34(2)()2(2)1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A ．5[1,]3B ．5[,3]3C ．5(,1)[,)3-∞+∞ D ．5(,1)[,3]3-∞ 9．00(,)M x y 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =⋅+⋅与该圆的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相离 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.163B.803C.643D.433二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．函数x y 2sin =的图象中相邻两条对称轴的距离为____________________________．12．设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为_______________________． 13．设0,0a b >>.2a与2b的等比中项，则11a b+的最小值为 ． 【选做题】从14、15题中选做1题，多做只计14题得分！！ 14． 如图所示，在△ABC 中，AD 是高线，CE 是中线， DC=BE, DG ⊥CE 于G, EC 的长为8， 则EG=__________________．15直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=ty tx 2221 (t 为参数)上到点A （1，2）的距离为42的点的坐标为_____________________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π[]84，上的最小值和最大值．ABCDEG17．(本小题满分12分) 如图ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面 ABCD ，E是PC 的中点．求证：（1）．PA//平面BDE ；（2）．平面PAC ⊥平面BDE ．18．（本小题满分14分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生 表2：女生（1率；（2）由表中统计数据填写下边22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考数据与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．ABC临界值表：19.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2e=，其左右焦点分别为1F、2F，12F F=11(,)M x y，22(,)N x y是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积14-．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：2212x x+为定值，并求该定值．20．（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出a，b的值依次分别记为a1，a2，…，a n，…，a2008；b1，b2，…，b n，…，b2008．（Ⅰ）求数列{ a n} 的通项公式；（Ⅱ）写出b1，b2，b3，b4，由此猜想{ b n}的通项公式，并证明你的证明；（Ⅲ）在a k与a k＋1 中插入b k＋1个3得到一个新数列{ c n } ，设数列{ c n}的前n项和为S n，问是否存在这样的正整数m，使数列{ c n}的前m项的和2008mS=，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数axxf ln)(=.（1）若曲线()y f x=在(1,(1))f处的切线为10x y--=，求a的值；（2）设=)(xgaxax-，0>a，证明：当ax>时，)(xf的图象始终在)(xg的图象的下方；（3）当1=a时，设)](1[)()(xgxexfxh⋅+-=，（e为自然对数的底数），)('xh表示)(xh导函数，求证：对于曲线C上的不同两点11(,)A x y，22(,)B x y，12x x<，存在唯一的x12(,)x x∈，使直线AB的斜率等于)('xh．七校联合体2015届高三第二次联考试卷文科数学参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．D ．解：Z=1+1z i =+，1z i =-，2()2z i =-，故选 D ． 2．C ．集合P=}{2,1,0,1,2--，M=}{2,1，CuM ＝{}2,1≠≠∈x x z x 且，∴P ⋂CuM ＝}{0,1,2--．故选C ．3．D 本题主要考察的是古典概型，一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种，∴ P ＝42＝21故选D ． 4．B 解．目标函数在点（2，4）处取得最大值20故选B5．B 解．22(1)n n a n =-⇒394a =，52516a =，356116a a +=，故选B ．此题也可求2a ，3a ，4a ，5a ．6．C 解，A 、B 、D 不含条件分支，解一元二次不等式要用到条件分支故选C ． 7．B 解．由:a b ＝60cos ..-=θb a ⇒cos θ=21-，故0120θ=，选B ． 8．D 本题主要考察分式，绝对值不等式的解法．⎪⎩⎪⎨⎧≥->1122x x 或⎩⎨⎧≥-≤1432x x ⇒32≤<x 或1≤x 或235≤≤x ∴1≤x 或335≤≤x 选D ．A 解．点M 在圆内故222x y a +<，圆心到直线的距离2d a =>．故直线与圆相离．选A ．10.解析：C 根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图所示,且EA ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面A B C D ，底面ABCD 为正方形，则有4,2,4,//FD AE AD DC FD EA ====,所以F 和D 到平面AEB 的距离相等，且为4，故111164243323F AEB BAEV S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=, 1164444333F ABCD ABCD V S FD -=⨯⨯=⨯⨯⨯=四形，则该几何体的体积为166480333+=.二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 11．2π 解：相邻对称轴间的距离为半个周期，故此题关键是求函数的周期．T ＝22π=π．12此题考察的是椭圆、双曲线的基本概念． 13解析：4 由题意知2)221ab a b =⋅⇒+=，又0,0a b >>，所以1111()()1b a b a b a b a +=++=+14a b ++=，所以11a b +的最小值为4. 14．4 解：连接DE ，则DE=21AB=BE=DC ．∴DG 平分EC ，故EG=4． 15．（-3，6）或（5，-2）考查的是直线的参数方程问题．点(,)P x y 为直线上的点PA ==t =或t =-故P （-3，6）或（5，-2）. 16. （本小题满分12分）解析：（1）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 2)4f x x x x x x x =-+=-=-．（3分）因此，函数()f x 的最小正周期为π．（5分） （2）解法一因为π())4f x x =-在区间π3π[]88，上为增函数，在区间3π3π[]84，上为减函数，又π()08f =，3π()8f =3π3πππ()sin()14244f =-==-，（11分） 故函数()f x 在区间π3π[]84，上的最大值为，最小值为1-．（12分）解法二作函数π())4f x x =-在长度为一个周期的区间π9π[]84，上的图象如图：（11分） 由图象得函数()f x 在区间π3π[]84，上的最大值为，最小值为3π()14f =-．（12分） 17. （本小题满分12分）证： (1) 连接AC 、OE ，AC BD=O ， ………… (1分) 在△PAC 中，∵E 为PC 中点，O 为AC 中点．∴PA // EO ，…… (3分) 又∵EO ⊂平面EBD ，PA ⊄平面EBD ，∴PA //BDE ．………… (6分)PABDOEC（2）∵PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥BD ． ………… (8分) 又∵BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面PAC ． ………… (10分) 又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ． ………… (12分) 18．（本小题满分14分）解析：（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =， ∴ 21820,52025=-==-=y x （2分）表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为c b a ,,，尚待改进的2人为,A B ， 则从这5人中任选2人的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c b c A B a A a B b A b B c A c B ，共10种．（4分）设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C 的结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,)a A a B b A b B c A c B ，共6种． （6分） ∴53106)(==C P ， 故所求概率为53． （8分） （2）（10分）∵10.90.1-=，2( 2.706)0.10P K ≥=，而706.2125.189202515305154520251530)1015515(452222<==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ， （12分） 所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． （14分 ） 19. （本小题满分14分）解析：（1）依题意，c =e =2a =，2221b a c =-=， 则椭圆C 的方程为：2214x y +=；（6分 ） （2）由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y =（8分 ）而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -=， ∴ 22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --=，（11分 ） 22221212(4)(4)x x x x --=，展开得 22124x x +=为一定值（14分 ）20．（本小题满分14分） 解析：（Ⅰ）a 1＝1，a n ＋1 ＝a n ＋1，∴{ a n }是公差为1的等差数列．∴a n ＝n ．3分 （Ⅱ）b 1＝0，b 2＝2，b 3＝8，b 4＝26，猜想131n n b -=-．证明如下：b n ＋1 ＝3b n ＋2，b n ＋1＋1＝3（b n ＋1）， ∴{ b n ＋1}是公比为3的等比数列．∴1111(1)33n n n b b --+=+=．则131n n b -=-．7分（Ⅲ）数列{}n c 中，k a 项（含k a ）前的所有项的和是121(12)(333)k k -+++++++()13322k k k +-=+， 估算知，当7k =时，其和是73328112020082-+=<，当8k =时，其和是83336331520082-+=>，又因为200811208882963-==⨯，是3的倍数，故存在这样的m ，使得2008m S =，此时257(1333)296667m =++++++=．14分21. （本小题满分14分）解析：(1)1'()f x x =，此时'(1)1f =，又1(1)ln f a=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为11ln 0x y a --+=，由题意得，11ln 1a-+=-，1a =. ……… 3分（2）).(,ln ln )()()(a x axax a x x g x f x >---=-=ϕ则.02)()(2<--='ax x a x x ϕ)(x ϕ∴在),0(+∞单调递减，且 .0)(=a ϕ∴当a x >时，,0)()(=<a x ϕϕ即)()(x g x f <，∴当a x >时，)(x f 的图像始终在)(x g 的图象的下方. …………… 7分（3） 由题，ex x x h -=ln )(. ∵AB k x h =)('0，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --=， 即20211ln()0x x x x x --=， ………………………………………9分设)(ln)(1212x x x x x x --=ϕ,则)(x ϕ是关于x 的一次函数，故要在区间),(21x x 证明存在唯一性，只需证明)(x ϕ在上满足0)()(21<⋅x x ϕϕ.下面证明之：=)(1x ϕ)(ln12121x x x x x --，=)(2x ϕ)(ln 12122x x x xx --， 为了判断)(),(21x x ϕϕ的符号，可以分别将21,x x 看作自变量得到两个新函数)(),(21x x ϕϕ，讨论他们的最值：=)(1x ϕ)(ln12121x x x x x --，将1x 看作自变量求导得=)(1'x ϕ0ln 12>x x， ∴)(1x ϕ是1x 的增函数，∵12x x <，∴)()(21x x ϕϕ<0)(ln 22222=--=x x x x x ；………..11分 同理：=)(2x ϕ)(ln12122x x x x x --，将2x 看作自变量求导得=)(2'x ϕ0ln 12>x x，∴)(2x ϕ是2x 的增函数，∵12x x <，∴)()(12x x ϕϕ>0)(ln11111=--=x x x x x ； ∴0)()(21<⋅x x ϕϕ，∴函数)(ln)(1212x x x x x x --=ϕ在12(,)x x 内有零点0x ，……………..13分 又22111,ln 0x xx x >∴>，函数)(ln )(1212x x x x x x --=ϕ在12(,)x x 是增函数，∴函数)(ln )(1212x x x xx x --=ϕ在12(,)x x 内有唯一零点0x ，从而命题成立. ……14分。
广东省广州市2015届高考二模试卷(数学文)解析版
广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）已知函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），则g（）=（）A．﹣log32 B．l og32 C．﹣log23 D．log233．（5分）已知双曲线C：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A．21 B．32 C．34 D．645．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）6．（5分）设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．[﹣3，﹣1]D．（﹣3，﹣1）7．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．22n﹣1+1 B．22n﹣1﹣1 C．22n+1 D．22n﹣18．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．19．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b（km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为km/h．。
2015年广东省中山市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年广东省中山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．（5分）在复平面内，复数z＝（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）3．（5分）已知向量＝（1，n），＝（﹣1，n），若与垂直，则||等于（）A．1B．2C．D．44．（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，6 5．（5分）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2 3.6B．57.2 56.4C．62.8 63.6D．62.8 3.67．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③8．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）＝﹣x+1B．f（x）＝x2﹣1C．f（x）＝2x D．f（x）＝ln（﹣x）10．（5分）若两个分类变量x和y的列联表为：则x与y之间有关系的可能性为（）A．0.1%B．99.9%C．97.5%D．0.25%二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设函数f（x）＝（x2+1）（x+a）为奇函数，则a＝．12．（5分）在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是．13．（5分）阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是和．（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（《几何证明选讲》选做题）14．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于．（《坐标系与参数方程》选做题）15．已知直线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（12分）设函数f（x）＝m sin x+cos x（x∈R）的图象经过点．（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB＝2，求AC 和BC的长．17．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．18．（14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．19．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC＝G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．20．（14分）已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n＝a n（n∈N*），且b1＝3，求数列的前n项和T n．21．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx，且f′（﹣1）＝0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a＝﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N （x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．2015年广东省中山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在复平面内，复数z＝（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝故选：C．2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）【解答】解：∵函数f（x）＝，∴lg（1﹣2x）≥0，即1﹣2x≥1，解得x≤0；∴f（x）的定义域为（﹣∞，0]．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，n），＝（﹣1，n），若与垂直，则||等于（）A．1B．2C．D．4【解答】解：因为向量＝（1，n），＝（﹣1，n），并且与垂直，所以•＝0所以﹣1+n2＝0，解得n＝±1，所以＝＝（1，±1）所以||＝故选：C．4．（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，6【解答】解：因为＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6，故选：D．5．（5分）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【解答】解：因为：＝2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π故选：B．6．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2 3.6B．57.2 56.4C．62.8 63.6D．62.8 3.6【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则（x1+x2+…+x n）＝2.8，方差为s2＝[（x1﹣）2+…+（x n﹣）2]，每一组数据都加60后，（x1+x2+…+x n+60n）＝+60＝2.8+60＝62.8，方差s′2＝[（x1+60﹣62.8）2+（x2+60﹣62.8）2+…+（x n+60﹣62.8）2]＝[（x1﹣）2+…+（x n﹣）2]＝3.6．故选：D．7．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选：C．8．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选：A．9．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）＝﹣x+1B．f（x）＝x2﹣1C．f（x）＝2x D．f（x）＝ln（﹣x）【解答】解：根据已知条件知f（x）需在（﹣∞，0）上为增函数；一次函数f（x）＝﹣x+1在（﹣∞，0）上为减函数；二次函数f（x）＝x2﹣1在（﹣∞，0）上为减函数；指数函数f（x）＝2x在（﹣∞，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x）＝ln（﹣x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴C正确．故选：C．10．（5分）若两个分类变量x和y的列联表为：则x与y之间有关系的可能性为（）A．0.1%B．99.9%C．97.5%D．0.25%【解答】解：代入公式K2＝≈6.11查表可得，P（K2≥5.024）＝0.025；故1﹣0.025＝97.5%；故选：C．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设函数f（x）＝（x2+1）（x+a）为奇函数，则a＝0．【解答】解：因函数f（x）＝（x2+1）（x+a）为奇函数，则f（0）＝0，∴f（0）＝a＝0故答案为：0．12．（5分）在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是1﹣．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|P A|＞a的平面区域如图中阴影以外所示：则正方形的面积S正方形＝a2阴影部分的面积S阴影＝故动点P到定点A的距离|P A|＞a的概率P＝1﹣．故答案为：1﹣．13．（5分）阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是2550和2500．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝100，S＝0，T＝0不满足条件n＜2，S＝100，n＝99，T＝99，n＝98不满足条件n＜2，S＝100+98，n＝97，T＝99+97，n＝96不满足条件n＜2，S＝100+98+96，n＝95，T＝99+97+95，n＝94…不满足条件n＜2，S＝100+98+…+4，n＝3，T＝99+97+…+3，n＝2不满足条件n＜2，S＝100+98+…+4+2，n＝1，T＝99+97+…+3+1，n＝0满足条件n＜2，退出循环，输出S，T的值．由于S＝100+98+…+4+2＝＝2550．T＝99+97+…+3+1＝＝2500故答案为：2550，2500．（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（《几何证明选讲》选做题）14．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于8π．【解答】解：法一：连接OA、OB，则∠AOB＝90°，∵AB＝4，OA＝OB，∴R＝，则S圆＝；法二：，则S圆＝（《坐标系与参数方程》选做题）15．已知直线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是（﹣1，1）．【解答】解：由ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，得x﹣y+2＝0，由，①式两边平方得：x2＝1+sin2α③，把②代入③得：x2＝y．（0≤y≤2）联立，解得：或（舍去）．∴两曲线交点的直角坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（12分）设函数f（x）＝m sin x+cos x（x∈R）的图象经过点．（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB＝2，求AC 和BC的长．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝m sin x+cos x（x∈R）的图象经过点，∴，∴m＝1，（2分）∴．（4分）∴函数的最小正周期T＝2π．（5分）当时，f（x）的最大值为，当时，f（x）最小值为．（7分）（Ⅱ）因为，即，∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴．（10分）∵，∴AC＝3．（12分）由余弦定理得：BC2＝AC2+AB2﹣2•AB•AC cos A＝7，∴．（14分）17．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y＝45x+180（x﹣2）+180•2a＝225x+360a﹣360．由已知ax＝360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．18．（14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．【解答】解：（1）∵130～140分数段的人数为2人又130～140分数段的频率为：0.005×10＝0.05∴90～140分之间的人数为2÷0.05＝40人．（2）90～100，100～110，110～120，120～130，130～140之间的人数依次为：40×10×0.01＝4人，40×10×0.025＝10人，40×10×0.045＝18人，40×10×0.015＝6人，2人∴参赛学生成绩的中位数的估计值为+110＝≈113分．（3）第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}．共有15种结果，设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P（A）＝．19．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC＝G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．（2分）又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE（4分）（2）连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE∵BE＝BC，∴F为EC的中点；∵矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，∴GF∥AE，（7分）∵GF⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，∴AE∥平面BFD．（8分）（3）∵三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积∵V E﹣ABC＝＝故棱锥E﹣ADC的体积为20．（14分）已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n＝a n（n∈N*），且b1＝3，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得…（4分）∴a n＝2n+3…（5分）…（7分）（2）由（1）得，a n＝2n+3，且S n＝n（n+4），∵b n+1﹣b n＝a n，∴b n﹣b n﹣1＝a n﹣1＝2n+1（n≥2，n∈N*）当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1＝a n﹣1+a n﹣2+…+a1+b1＝S n﹣1+b1＝（n﹣1）（n﹣1+4）+3＝n（n+2），对b1＝3也适合，∴b n＝n（n+2）（n∈N*），∴…（11分）则＝＝…（12分）21．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx，且f′（﹣1）＝0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a＝﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N （x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．【解答】解：解法一：（1）依题意，得f′（x）＝x2+2ax+b．由f′（﹣1）＝1﹣2a+b＝0得b＝2a﹣1．（2）由（1）得f（x ）＝x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）＝x2+2ax+2a﹣1＝（x+1）（x+2a ﹣1）．令f′（x）＝0，则x＝﹣1或x＝1﹣2a．①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：由此得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．②当a＝1时，1﹣2a＝﹣1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x＝﹣1处f′（x）＝0，故函数f（x）的单调增区间为R．③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；当a＝1时，函数f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．（3）当a＝﹣1时，得f（x）＝x3﹣x2﹣3x．由f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3．由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x1＝﹣1，x2＝3处取得极值．故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y＝﹣x﹣1．由得x3﹣3x2﹣x+3＝0．令F（x）＝x3﹣3x2﹣x+3．易得F（0）＝3＞0，F（2）＝﹣3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，故F（x）在（0，2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．解法二：（1）同解法一．（2）同解法一．（3）当a＝﹣1时，得f（x）＝x3﹣x2﹣3x．由f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3．由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x1＝﹣1，x2＝3处取得极值，故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y＝﹣x﹣1．由x3﹣3x2﹣x+3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝1，x3＝3．∴，，所以线段MN与曲线F（x）有异于M，N的公共点（1，﹣）．。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 240︒的值为（）．AB ．12C ．12-D． 【答案】D【解析】解：sin 240sin(18060)sin 60︒=︒+︒=-︒=． 故选D ．2．已知函数()3()x f x x =∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）．A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 3【答案】A【解析】解：函数()3()x f x x =∈R 的反函数为()g x ，可知，132x ，解得3log 2x =-．故选A ．3．已知双曲线222:14x y C b-=经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为（）．A ．12BCD【答案】C 【解析】解：双曲线222:14x y C b-=经过点(4,3)，可得2224314b-=，解得23b =，双曲线22:143x y C -=，可得2a =，ce =故选C ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（）．【答案】BA ．21B ．32C ．34D ．64【解析】解：模拟执行程序框图，可得 1x =，2y =，2z =，满足条件20z <，2x =，2y =，4z =， 满足条件20z <，2x =，4y =，8z =， 满足条件20z <，4x =，8y =，32z =， 不满足条件20z <，退出循环，输出z 的值为32． 故选B ．5．已知命题:p x ∀∈R ，20x >，命题:q α∃，β∈R ，使tan()tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是（）．A ． p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】C【解析】解：命题:p x ∀∈R ，20x >，为假命题，故p ⌝为真命题， 命题:q α∃，β∈R ，使tan()tan tan αβαβ+=+，当αβ=-成立， 所以命题q 为真命题，q ⌝为假命题，则p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题． 故选C ．6．设集合{}22|A x a x a =-<<+，{}245|0B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（）．A ．[1,3]B ．(1,3)C ．[3,1]--D ．(3,1)--【答案】A【解析】解：{}1|5B x x -=<<，{}22|A x a x a =-<<+，若A B ⊆，则：2125a a --⎧⎨+⎩≥≤，∴13a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[1,3]． 故选A ．7．已知数列{}n a 满足13a =，且143(*)n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）．A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -【答案】D【解析】解：由143(*)n n a a n +=+∈N ，得114(1)n n a a ++=+， ∵13a =，∴113140a +=+=≠，则数列{}+1n a 是以4为首项，以4为公比的等比数列， ∴1214442n n n n a -+=+==，则221n n a =-． 故选D ．8．已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0()0f x ≥成立的概率为（）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B 【解析】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0()0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使0()0f x ≥成立的概率是41=82．故选B ．9．如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）．ABCD【答案】B【解析】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π3AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥，∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，VABC∴12FO =，∴22234CF CO OF =-=，∵3AO =，12FO =，∴52AF =，在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC 故选B ．10．设函数32()33f x x ax bx =++有两个极值点1x 、2x ，且10[]1,x -∈，22[]1,x ∈，则点(,)a b 在aOb 平面上所构成区域的面积为（）．A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】D【解析】解：函数32()33f x x ax bx =++，可得2()363f x x ax b '=++， 依题意知，方程()0f x '=有两个根1x 、2x ，且10[]1,x -∈，22[]1,x ∈， 等价于(1)0f '-≥，(0)0f '≤，(1)0f '≤，(2)0f '≥， 由此得b ，c 满足的约束条件为212144b a b b a b a -⎧⎪⎪⎨--⎪⎪--⎩≥≤0≤≥，满足这些条件的点(,)a b 的区域为图中阴影部分， 阴影部分的面积为：1111112211=122222+⨯-⨯⨯-⨯⨯． 故选D ．A'1F CBAO二、填空题：（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分） （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则||z =__________．【解析】解：i 为虚数单位，复数1iiz -=，则1i ||1i|i |i||z --===．12．已知向量(,1)a x =，(2,)b y = ，若(1,1)a b +=- ，则x y +=__________． 【答案】3-【解析】解：∵(,1)(2,)(2,1)(1,1)a b x y x y +=+=++=-，∴21x +=，11y +=-， ∴1x =-，2y =-， ∴3x y +=-．故答案为3-．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离(km)y 与刹车时的速度(km/h)x 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为(km)b ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3(km)b ，则这辆车的行驶速度为__________km/h ．【答案】【解析】解：由题意，3600b a =，∵一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3(km)b ， ∴23b ax =， ∴233600a ax ⨯=，∴x =故答案为（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG A E ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．【答案】【解析】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴21221AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG =则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌(AAS)FCE △， ∴AE FE =，则2AF AE ==故答案是FCBAGDDGACEF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解析】解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y =， 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x -+=， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个． 故答案为1．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（12分）已知ABC △的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △外接圆的半径为14，求ABC △的面积． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可设：7a t =，5b t =，3c t =，则由余弦定理可得：2222222259491cos 2302b c a t t t A bc t +-+-===-．（2）由（1）可得：sin A =， 由正弦定理可得:sin :sin :sin 7:5:3a b c A B C ==:，从而可得：5sin sin 7A B ==，3sin sin 7A C =，由正弦定理2sin sin a b R A B==，以及14R =，得2sin a R A ==2sin b R B ==∴11sin 22ABC S ab C ==⨯=△． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份），现从回收的年龄在2060 岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．（1）分别求出n （2）从年龄在[40,60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50,60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．【解答】解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以100(401020)30n =-++=， 年龄在[40,50)中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=， 年龄在[50,60]中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以200.1a ÷=，解得2a =，根据频率直方分布图，得(0.040.030.01)101c +++⨯=， 解得0.02c =．（2）因为年龄在[40,50)与[50,60]中答对全卷的人数分别为4人与2人，年龄在[40,50)中答对全卷的4人记为A ，B ，C ，D ，年龄在[50,60]中答对全卷的2人记为a ，b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种，其中所抽取年龄在[50,60)的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共9种．故所求的概率为93155=．18．（14分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面．（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．【解答】（1）证明：连接1A B ， 在四边形11A BCD 中，11A D BC ∥， ∴四边形11A BCD 是平行四边形． ∴11A B D C ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AA AB ==， ∴1AM ANAA AB=， ∴1MN A B ∥， ∴1MN D C ∥，∴M ，N ，C ，1D 四点共面．（2）由平面1MNCD 四点共面，将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 1AMN DCD -为三棱台．∵111111222AMN S AM AN S =⋅=⨯⨯==△，12221193222DCD S DC S ==⨯==△．∴112111913()333222V AD S S ⎛⎫=⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 13211341322AC V V V =-=-=正方体，【注意有文字】 ∴121341V V ⎧=⎨⎩19．（14分）已知点(,)(*)n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列D ABCNM D 1A 1B 1C 1C 1B 1A 1D 1M NCBAD{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）若,(),n n a n f n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数是否存在*k ∈N ，使(3)4()f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．【注意有文字】 【解答】（本小题满分14分）解：（1）因为111(,)P a b 是直线:31l y x =+与y 轴的交点(0,1)， 所以10a =，11b =．因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．因为点(,)(*)n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上， 所以3132n n b a n =+=-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32*n b n k =-∈N ． （2）因为1,()32,n n f x n n -⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，【注意有文字】假设存在*k ∈N ，使(3)4()f k f k +=成立． ①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有3(3)24(1)k k +-=-， 解得11k =，符合题意． ②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有(3)14(32)k k +-=-，解得1011k =，不合题意， 综上可知，存在11k =符合条件． 20．（14分）已知函数2()ln ()f x x ax x a =++∈R ．（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值． （2）求函数()f x 的单调区间．【解答】解：（1）函数2()ln f x x ax x =++的定义域为(0,)+∞，1()21f x ax x '=++，依题意有(1)1210f a '=++=，解得1a =-．此时，(1)(2+1)()x x f x x--'=，∴当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， ∴函数()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， ∴当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．（2）因为221()ax x f x x++'=，①当0a ≥时，因为,()0x ∈+∞，所以221()0ax x f x x++'=>，此时函数()f x 在(0,)+∞是增函数．②当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x +==．因为180a ∆=->， 此时，212212()()()ax x a x x x x f x x x++--'==，其中，1x =，2x =， 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a ⋅=<，所以10x <． ∴当120x x <<时，()0f x '>，当12x x >时，()0f x '<，∴函数()f x 在2(0,)x 上是增函数，在2,)x +∞（上是减函数， 综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．21．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程． （2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-． ∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1， ∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=． （2）设00(,)P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ， 则直线PA 方程为00y a x y a x -=-， 整理得：000()0y a x x y ax --+=． ∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=； 同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||AB a b =-=||令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB max ||AB ．故答案为⎦．。
中山市高二级2014—2015学年度第二学期期末统一考试(数学.文)
（2）求观光路线总长的最大值．
21．（12 分）已知椭圆 C 的方程为 x2 a2
y2
2
1
(a 0) ，其焦点在 x 轴上，点 Q (
2, 2
7)为 2
椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点 P (x0 , y0 ) 满足 OP OM 2ON ，其中 M 、N 是椭圆 C 上的点，直线 OM
根据以上计算结果，可以得到红铃虫的产卵数 y 对温度 x 的回归方程为
． （精
确到 0.0001）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（12 分）数列{an}中， a1 0 且 an1 3an 2 ．
（1）求数列{an}的前 5 项； （2）由（1）猜想数列{an}的一个通项公式； （3）求证数列{an 1}为等比数列．
高二数学（文科）试卷 第4页（共 4 页）
中山市高二级 2014—2015 学年度第二学期期末统一考试
数学（文科）参考案
一、选择题： BACAB； DBBDA； DA
二、填空题：13． 1 + 2 i ； 55
14． F V E 2 ；
15． 25 ；
16． yˆ e0.2720x3.8492 ．
3V
．
S1 S2 S3 S4
下面加以证明：
设四面体 ABCD 的内切球球心为 O ，则有
VABCD VOABC VOABD VOACD VOBCD ．
V
1 3 (S1
S2
S3
S4 )r
．
∴r
3V
．
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绝密★启用前广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式V=13sh ，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 独立性检测中，随机变量()()()()22()n ad bc k a b c d a c b d -=++++一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数1iiz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数()f x =的定义域为（ ） A ．(],0-∞ B ．（0,∞-）C ．)21,0(D ．（21,∞-） 3、已知向量 (1,)a x =，(1,)b x =-，若 a 与 b 垂直，则 ||a 等于A . 1B . 2C . 4D .4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）A ．12，24，15，9B ．9，12，12，7C ．8，15，12，5D ．8,16,10,65、函数 2sin(2)2y x π=+是：（ ）A . 周期为π 的奇函数 B ．周期为 π 的偶函数C ． 周期为 2π 的奇函数D ．周期为 2π的偶函数6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ( )A ．57.2, 3.6B ．57.2, 56.4C ．62.8, 63.6D ．62.8, 3.67．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．② ④C ．③D ．① ③8．已知条件 :12p x +>，条件 2:56q x x ->，则 p ⌝是 q ⌝的：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x (,0)∈-∞，当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是（ ） A ．()1f x x =-+ B ．2()1f x x =- C ．()2x f x = D ．()()ln f x x =- 10、若两个分类变量x 和y 的列联表为：则x 与y 之间有关系的可能性为( ) A ．0.1% B ．99.9% C ．97.5% D ．0.25%二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分。
（一）必做题（11～13题）11．设函数2()(1)()f x x x a =++为奇函数，则 a = ．12．在边长为a 的正方形ABCD 内任取一点P ，则P 到点A 的距离大于a 的概率是 13．阅读下边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是___和________（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分 14．（《几何证明选讲》选做题）如上图，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于 ．15. （《坐标系与参数方程》选做题）已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
16. （本小题满分12分）A设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1． （Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若()12f A π=，其中A 是面积为2的锐角ABC ∆的内角，且2AB =，求AC 和BC 的长．17. （本小题满分12分）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元). (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.18．（本小题满分14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人． （Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数； （Ⅱ）估计参赛学生成绩的中位数；（Ⅲ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二 组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．0.0010.015 0.025 0.04519．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE 2,AE EB BC === F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，.BD AC G =（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：//AE 平面BFD ； （3）求三棱锥E ADC -的体积.BA20．（本小题满分14分）已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公a n及前n项和S n；(2)若数列{b n}满足b n＋1－b n＝a n(n∈N*)，且b1＝3，求数列{1b n}的前n项和T n.21．（本小题满分14分）已知函数()321,3f x x ax bx =++且()'10f =， （1）试用含a 的代数式表示b ； （2）求()f x 的单调区间；（3）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x 〈处取得极值，记点()()1122(,),(,)M x f x N x f x ， 证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点17. (1)如图，设矩形的另一边长为a m，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360x ，所以y＝225x＋2360x－360(x＞0).(2)∵x＞0，∴225x＋2360x≥2 ＝10 800.∴y＝225x＋2360x－360≥10 440.当且仅当225x＝2360x时，等号成立. 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.19． （1）证明：∵AD ⊥平面ABE ,//AD BC ，∴BC ⊥平面ABE ,∴AE BC ⊥. …2分又 ∵BF ⊥平面ACE , ∴BF AE ⊥，∵BC BF B =,∴AE BCE ⊥平面 …………………………4分（2）证明：连结 GF ，∵BF ⊥平面ACE , ∴BF CE ⊥∵ BE BC =, ∴F 为EC 的中点；∵ 矩形ABCD 中， G 为AC 中点，∴ //GF AE . …… ………………………………………7分∵ AE BFD GF BFD ⊄⊂面，面， ∴//AE 平面BFD . ……8分（3）解：取AB 中点O ，连结OE ，∵AE EB =,∴OE AB ⊥∵AD ⊥平面ABE ,∴OE AD ⊥ ∴OE ADC ⊥平面 ……10分∵AE ⊥平面BCE ,∴AE EB ⊥,∴AB =…11分∴12OE AB ==E ADC -的体积为： 111423323E ADC AdC V S OE -=⋅=⨯⨯⨯=△ …13分21．（Ⅰ）依题意，得2'()2f x x ax b =++由'(1)120f a b -=-+=得21b a =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得321()(21)3f x x ax a x =++- 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-令'*()0f x =，则1x =-或12x a =-①当1a >时，121a -<-当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x =-- 由3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-所以函数()f x 在121.3x x =-=处取得极值。
故5(1,).(3,9)3M N --所以直线MN 的方程为813y x =-- 由22133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+=令32()33F x x x x =--+易得(0)30,(2)30F F =>=-<，而()F x 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，故()F x 在(0,2)内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点另：也可由32330x x x --+=解得1231, 1.3x x x =-== 1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3。