亳州一中南校高二(理科)数学综合试卷二

亳州一中南校高二（理科）数学综合试卷二命题人：杨伍 审题人：王茂松一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）1.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≤-=Z x x xT R x x x S ,115,,21,则S T ⋂等于（ ）。

A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30| C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01| D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|2.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x y i ++的值为（ ）。

A ．4 B ．4- C ．44i + D ． 2i3.不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）。

A ． 1a <B ．0a <C ．01a <<D ． 1a ≤4.在1021x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项是（ ）。

A ．第5、7项B ．第6、7项C ．第4、6项D ．第6项5．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，则=-+87201111tanb b a a （ ）。

A. 1 B. -1 C. 3D.36．已知xdx N dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π， 由如右程序框图输出的=S ( )。

A. 1B. 2πC. 4πD. 1- 7.已知函数34)(2+-=x x x f ，集合{}0)()(),(≤+=y f x f y x P ，集合{0)()(),(≥-=y f x f y x Q 则在平面直角坐标系内集合Q P 所表示的区域的面积是（ ）。

A. 4π B. 2πC. πD. π28．若点)1,(ba M 和)1,(cb N 都在直线1:=+y x l 上，则（ ）。

A ． 点)1,(a c P 和 ),1(b c Q 都在l 上B .点1,(a c P 和),1(b c Q 都不在l 上C ．点)1,(a c P 在l 上且点),1(b c Q 不在l 上D .点)1,(a c P 不在l 上且点),1(b c Q 在l 上9．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若)0,211>+==λλF F 则椭圆的离心率为（ ）。

正视侧视俯视A.21 B. 23 C. 215- D. 415+ 10．棱长均为1三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则||SP 的最小值为( )。

A. 1B.3 C. 6 D. 2二.填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为 。

12．在极坐标系下M 为曲线213cos(=+πθρ上任意一点，点P 的极坐标为)32,32(π，则PM 的最小值是 。

13．已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式ααπαπα3sin 41)3sin()3sin(sin =+-，也有余弦恒等式ααπαπα3cos 41)3cos()3cos(cos =+-，类比 以上结论对于使正切有意义的α，我们推理得关于正切恒等式为 。

14．设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为 。

15．下列命题中正确命题的序号为 。

①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行； ②已知平面α,直线a 和直线b ，且a b a a ⊥=⋂,α，则α⊥b ； ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱； ④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直； ⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形。

三．解答题（本大题共6小题）16．（本题满分12分）已知函数2()2cos cos(23x f x x ωπω=++)0(>ω的最小正周期为π。

(1)求正数ω的值；(2)在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若1(),3,2f A c =-=ABC ∆的面积为求a 的值。

17．（本题满分12分）在本次安徽“6+2”联谊学校联考中数学科试卷共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，考生答对得5分，不答或答错得0分。

某考生每道题都给出一个答案，且已确定其中有7道题的答案是正确的，而其余题中有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜。

试求该考生：（1）选择题得50分的概率；（2）选择题所得分数ξ的数学期望。

18.（本题满分13分）如图，所有棱长都为2的正三棱柱'''D C B BCD -，四边形ABCD 是菱形，其中E 为BD 的中点。

(1) 求证：'''//D AB E C 面; (2) 求面ABD D AB 与面''所成锐二面角的余弦值；（3）求四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分体积。

19.(本题满分12分) 已知函数2)(x x f =，x x f x g sin )('21)(+=λ，且函数)(x g 在[]1,1-上单调递减。

（1）若1sin 3)(+≤λx g 在[]1,1-∈x 上恒成立，求λ的取值范围；（2）若关于x 的方程m x x f -=+2)1(ln 在区间 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,11e e 上有两个根（e 为自然对数的底数），试求m 的取值范围 。

A BCED 'D 'C 'B20.（本题满分13分）设 ),(11y x A 、),(22y x B 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的两点，O为坐标原点，向量),(),,(2211bya xb y a x == 且0=∙.(1) 若A 点坐标为)0,(a ，求点B 的坐标；(2) 设⋅+⋅=θθsin cos ，证明点M 在椭圆上；(3) 若点P 、Q 为椭圆 上的两点，且//，试问：线段PQ 能否被直线OA 平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由。

21．（本题满分13分）已知数列{}n a 满足a a =1,nn a a 111+=+，当a 取不同的值时，得到不同的数列。

如当1a =时，得到无穷数列： 35,23,2,1。

当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--。

（1）求当a 为何值时04=a ；（2）设数列{}n b 满足11-=b , )(111++∈-=N n b b n n ，求证：a 取数列{}n b 中的任一项，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（3）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围。

亳州一中南校高二（理科）数学综合试卷二（答案）一、选择题题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案B DDADCCACB二填空题11. π2 ； 12.2134+； 13. ααπαπα3tan )3tan()3tan(tan =+- ； 14. πππ220121)1(ee e --； 15. ④⑤。

三解答题16.解:(1)由题意得x x x x f ωωωsin 23cos 21cos 1)(-++= 1)32sin(3++=πωx又0>ω 并πωπ==2T ，得2=ω ……………..6分 （2）由（1）得1)322sin(3)(++=πx x f 由21)(-=A f 且A 为锐角得3π=A ，又,sin 2133A bc S ==∆且3=c得4=b ， …………….9分在三角形中由 A bc c b a cos 2222-+= 得 13=a ……12分17.解（1）得分为50分，10道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为12，有1道题答对的概率为13，还有1道答对的概率为14， 所以得分为50分的概率为： 1111.23424P =⋅⋅=…………….5分 （2）依题意，该考生得分的范围为｛35，40，45，50｝. …………6分 得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错， 所以概率为412464332211==⋅⋅=P ， 得分为40分的概率为： 212311312111.23423423424P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 同理求得得分为45分的概率为：36.24P = ， 得分为50分的概率为：41.24P =…………………..10分所以得分ξ的分布列为：数学期望1248524150246452411404135=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………….12分18(1)证明如图取''D B 的中点为F ，连AF ,C ’F ,易得平行四边形。

E C AF '//∴,又’‘面D AB AF ⊆∴'''//D AB E C 面 ………（2）解因ABCD 为菱形，且060=∠DCB ,取为G 易得AD ， DG ，DD ’ 相互垂直，故分别 以之为x,y,z 轴建立坐标系如图。

由棱长为2得)2,0,0('),2,3,1('),0,0,2(D B A进而得面'ADD 的一个法向量为)1,33,1(-所以面ABD D AB 与面''73213另：不建系证得EC C '∠即为二面角的平面角，再由线段长算得值亦可给分。

……9分（3）设B ’D 与BD 的交点为O ,由图得四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分为四棱锥O-ABCD,且O 到下底面的距离为1，3260sin 222120=⨯⨯⨯=ABCD S 所以公共部分的体积为33213231=⨯⨯。

……………13分19. 解：（1） 由题意得x x x g sin )(+=λ，所以x x g cos )('+=λ,因)(x g 在[1,1]-上单调递减，所以 ()0g x '≤在[1,1]-上恒成立， 即cos x λ≤-在[1,1]-上恒成立， 得1-≤λ 。

……3分 因)(x g 在[1,1]-上单调递减，所以max [()](1)sin1,g x g λ=-=--又()3sin1g x λ≤+在[1,1]x ∈-上恒成立，故只需sin13sin1λλ--≤+恒成立 所以2sin1λ≥-，又 sin 30sin1<，所以 12sin1<，故2sin11λ-≤≤- …… 6分（2）由（1）知2)1()1(x x f +=+，所以方程为2ln(1)2x x m +=-，设2()ln(1)2h x x x m =+-+,则方程根的个数即为函数()h x 的图象与x 轴交点个数，因 22()211x h x x x-'=-=++, ξ35 40 45 50P14 1124 624 124当(1,0)x ∈-时，0)('>x h ，所以()h x 在(1,0)-上为增函数， 当(,1)(0,)x ∈-∞-⋃+∞时，'()0,h x < 所以()h x 在(,1)-∞-和(0,)+∞上为减函数，所以()h x 在1[1,0)e-上为增函数, 在(0,1]e -上为减函数，故()h x 在1[1,1]e e--的最大值为(0)h m =， ……………9分又12(1),(1)42h m h e m e e e -=--=+-，224e e ->，方程有两根满足：1(1)0(0)0(1)0h e h h e ⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩，得e m 20≤< ，即当em 20≤<时，原方程有两解 ………12分 20. 解：（1）将0,11==y a x 代入(11,x y a b )·(22,x y a b )= 0，得(1，0)·(22,x ya b)= 0， 所以 x 2=0，y 2=±b ，即点B 的坐标为(0，±b ). ………..2分（2）因(11,x y a b )·(22,x ya b )= 0，所以0221221=+by y a x x ， 又因),(11y x A ，),(22y x B 在椭圆上，所以1221221=+by a x ，1222222=+b y a xθθsin cos += )s i n c o s ,s i n c o s (2121θθθθy y x x ++= 把M 点坐标代入椭圆方程左边得：2212221)sin cos ()sin cos (b y a x x θθθθ+++ )(cos sin 2sin cos sin cos 22222122222212222221b y y a x x b y y a x x +++++=θθθθθθ 0cos sin 2sin cos 22⨯++=θθθθ1= 所以点M 在椭圆上. ………8分（3）解法一 设点),(11n m P ),(22n m Q ，则),(1212n n m m --=且 2211221m n a b +=，2222221m n a b+=所以1212121222()()()()0,m m m m n n n n a b -+-++= 故有()0,,2212212121=⎪⎭⎫⎝⎛++∙--b n n a m m n n m m即⎪⎭⎫⎝⎛++⊥221221,b n n a m m PQ 又PQ ∥OB ，而),(22y x OB =，得0,),(22122122=⎪⎭⎫⎝⎛++∙b n n a m m y x (A) 又由0221221=+b y y a x x ，得0),(),(212122=∙by a x y x , (B) 所以由(A) (B)得 1212112222,(,)m m n n x y a b a b λ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即121211,(,)222m m n n x y λ++⎛⎫= ⎪⎝⎭故线段PQ 被直线OA 平分. ……..13分 解法二 o1 若OB ⊥x 轴，则OA 在x 轴上，由PQ ∥OB ，PQ ⊥x 轴，由椭圆的对称性知，线段PQ 被直线OA 平分；o 2 若OB ∥x 轴，同理可证线段PQ 被直线OA 平分； …….10分03 若OB 不与x 轴垂直或平行，设直线PQ 的方程为m kx y +=，这里22x y k =，且设点P (m 1，n 1)，Q (m 2，n 2)，联立方程2222,1,y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得0)(2)(222222222=-+++b a m a mkx a x k a b ， 所以21m m +=22222a mk b a k -+，即122m m +=2222k a b m k a +-， （C ）所以 21212222,22n n m m b mk m b a k++=∙+=+ (D) 由（C ）(D)得PQ 中点1212,22m m n n ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线x a y b x x ka b y 222222-=-=上， 又0221221=+b y y a x x ，故有122221x ay b x y -=， 即点),(11y x A 也在直线x a y b x y 2222-=上，（直线x ay b x y 2222-=与直线x x y y 11=重合） 故PQ 中点1212,22m m n n ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线y 11y x =x 上. 故线段PQ 被直线OA 平分. ……..13分 21解：（1）因nn a a a a 11,11+==+， 所以 aaa a +=+=11112，12231,112113423++==++=+=a a a a a a a a420.3a a =-=故当时 ……3分(2) 解法一：因11,111-=-=+n n b b b 得 111+=+n n b b当1b a =时, 01112=+=b a ，当2b a =时, 111122-==+=b b a ,所以03=a ,当3b a =时,23211b b a =+= 所以111111223-==+=+=b b a a 故04=a .……猜想：一般地,当n b a =时,有01=+n a ，故可得{}n a 为一个含有1+n 项的有穷数列：121,,,,+n n a a a a . ………5分下面用数学归纳法证明.01当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列21,a a 。