安徽省亳州一中南校高三数学综合测试(三)试题 理 新人教A版

（理科）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种2. 过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点，则MA MB ⋅= 53B.52 33 D.323. 圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是(A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 4. 已知数列,n na b 的前n 项和分别是,n n A B ，且1001004,503,A B 若,()n n n n n n n C a B b A a b nN ,则数列100100n C T 的前项和为A.507B. 499C.2012D. 20135. 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a b y a x 和圆2C ： 2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其 中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 A.3 B.21+C.13+D.26. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A.10πB.50πC.25πD.100π 7. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =,则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是 A.0B. C. 2D.38. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，，30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 A．B.C.D. 19. 函数()cos f x xπ=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A ．2B. 4C. 6D. 810. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ） A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．()ln xf x x 的单调减区间是 .12设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为13. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 14．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n =⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f .15、给出下列四个命题：①函数f （x ）＝lnx －2＋x 在区间（1 , e ）上存在零点； ②若0()0f x '=，则函数y ＝f （x ）在x ＝x0处取得极值；③若m≥－1，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④“a=1”是“函数x xae e a x f +-=1)(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。

其中正确的是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若5cos C =求A 的值．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，a1=1，an+an+1=*1(),4n nN ，定义212344nS a a a …14.n n a（Ⅰ）求54n nn S a ；（Ⅱ）求数列*21{}()k a k N 的通项公式。

18．（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b ，Eη=1，Dη=11，试求a ，b 的值． 19．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==．又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值. 20.（本小题满分13分）已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a b y a x C 的离心率左、右焦点分别为F1、F2，点)3,2(P ，点F2在线段PF1的中垂线上。

（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F2M 与F2N 的倾斜角互补， 求证：直线过定点，并求该定点的坐标.21．（本小题满分14分） 已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-= （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程； （2）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （3）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立， 求a 的取值范围.亳州一中南校2013届高三年级（理科）数学试题（三） 审题：数学备课组二、填空题11、(0,1)(1,)e 和 12、10- 13。

14、 3 15. ①③④三、解答题解：16. 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos=3cosAC A BC B。

由正弦定理，得=sin sinAC BCB A，∴sincos=3sin cosB A A B。

又∵0<A B<π+，∴cos0 cos0A>B>，。

∴sin sin=3cos cosB AB A即tan3tanB A=。

（2）∵5cos05C<C<π=，，∴2525sin1=55C⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭。

∴tan2C=。

∴()tan2A Bπ⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan2A B+=-。

∴tan tan21tan tanA BA B+=--。

由（1），得24tan213tanAA=--，解得1tan=1 tan=3A A-，。

∵cos0A>，∴tan=1A。

∴=4Aπ。

17、18、解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴1113101234 1.522010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.7522010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b ，得b=－2；当a=－2时，由1＝－2×1.5+b ，得b=4．∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求． 19、方法1：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（4分） （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵PMCN =，∴MN PC =，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒．在ACN ∆中，222cos1203AN AC CN AC CN =+-⋅⋅︒=．在Rt AMN ∆中，cot 3601MN AN AMN =⋅∠=︒=．在Rt NCH ∆中，3sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=．在Rt MNH ∆中，∵227MH MN NH =+=，∴21cos NH MHN MH ∠==． 故二面角M AC B --21（12分）方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（4分） （2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．3133(0,1,)(,0)(,)22AM z z =--=．……………（5分）∵cos 60|cos ,|||||||3AM CP AM CP AM CP⋅︒=<>==⋅，且0z >12=，得1z =，∴3(,1)2AM =-．……………（7分）设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,210,2x y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n ．……………（9分）平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =．21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ．……………（11分）显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M AC B --（12分）20、（1）由椭圆C 的离心率22=e ，得22=a c ，其中22b a c -=，椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -,又点F2在线段PF1的中垂线上222221)2()3()2(|,|||c c PF F F -+=∴=∴……………（3分） 解得,1,2,122===b a c.1222=+∴y x 椭圆的方程为 …………… (5分)（2）由题意，知直线MN 存在斜率，其方程为.m kx y +=由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,1222消去.0224)12(,222=-+++m kmx x k y 得 … (6分) △=（4km ）2—4(2k2+1)(2m2—2)>0 （ 7分）设),,(),,(2211y x N y x M 则,1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x ……………（8分）。