《正弦定理,余弦定理》试题(苏教版必修5).
苏教版数学高二-必修5试题 余弦定理
1.2.1 余弦定理一、填空题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于________．解析：∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc.由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. ∵0<A<π，∴A ＝2π3. 答案：2π32．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得，3＝a 2＋1－2a×1×cos2π3， 即a 2＋a －2＝0.解之得a ＝－2(舍去)或a ＝1.∴a ＝1.答案：13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若S △ABC ＝b 2＋a 2－c 24，则角C 的大小为________．解析：S △ABC ＝12ab sinC ， ∴12absinC ＝b 2＋a 2－c 24. ∴sinC ＝b 2＋a 2－c 22ab＝cos C. ∴tan C ＝1，∴c ＝45°.答案：45°4．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．解析：∵a 是最大的边，∴A ＞π3.∵a 2＜b 2＋c 2， ∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2. 答案：π3＜A ＜π25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c·cosB ＝b·cosC ，且cosA ＝23，则sinB 等于________．解析：由c·cosB ＝b·cosC ，可以得到B ＝C ，进而得到b ＝c.因为cosA ＝23，故由余弦定理可得3a 2＝2b 2，再由余弦定理求得cosB ＝66，故sinB ＝306. 答案：306 二、解答题6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c.解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)． ∴cosC ＝35. 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16. ∴c ＝4，即第三边长为4.7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，求：(1)A 的大小；(2) 2sin BcosC －sin(B －C)的值．解：(1)由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32， 所以A ＝π6. (2)2sinBcosC －sin(B －C)＝2sinBcosC －(sinBcosC －cosBsinC)＝sinBcosC ＋cosBsinC＝sin(B ＋C)＝sin(π－A)＝sinA ＝12. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinC ＋cosC ＝1－sin C 2. (1)求sinC 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，求边c 的值．解：(1)由已知得sinC ＋sin C 2＝1－cosC ，即 sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2， 由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2， 即sin C 2－cos C 2＝12， 两边平方整理得：sinC ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4<C 2<π2， 即π2<C<π，则由sinC ＝34得cosC ＝－74， 由a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝8＋27，所以c ＝7＋1.。
苏教版数学高二-必修5试题 1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)
1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)一、基础过关1．如图，A、N两点之间的距离为________．2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_______km 3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________ n mile.4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为______ m.5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/小时．6．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．7．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．二、能力提升 9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时．10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.11.如图所示，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达B 点，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，求证：cos θ＝asin αsin βhsin β－α. 三、探究与拓展12．在海岸A 处，发现北偏东45°的方向，距离A (3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案1．403 2.3a 3.56 4.30＋30 3 5．20(6－2) 6.s·tan θsin βsin α＋β7．解 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.8．解 如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°. ∵AB＝30 (m)，∴BC＝30 (m)，BD＝30tan 30°＝30 3 (m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30 (m)，即两船相距30 m.9．1解析设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.化简得4t2－82t＋7≤0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝7 4.从而|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝1.10.3 611．证明在△ABC中，由正弦定理，可知ACsin∠CBA＝asin∠ACB，即ACsinπ－β＝asinβ－α.∴AC＝asin βsinβ－α.在△ADC中，由正弦定理，知hsin α＝ACsin∠CDA.又∠CDA＝90°＋θ，∴hsin α＝asin βsinβ－αcos θ.整理，得cos θ＝asin αsin βhsinβ－α.12．解如图所示，设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC ＝ 6 (n mile)，且sin ∠ABC ＝AC BC·sin ∠BAC ＝26×32＝22. ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10tsin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．。
苏教版必修5《正弦定理》同步作业(有答案)-(高二数学)
[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是________．解析：由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin C ＝c 2R， ∴sin A ∶sin C ＝a 2R ∶c 2R＝a ∶c ＝7∶5. 答案：7∶52．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，A ＝30°，则B ＝________．解析：由正弦定理，可得sin B ＝22. ∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7，且三角形的周长为36，则其三边长分别为________． 解析：由正弦定理，可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶7.从而a ＝10，b ＝12，c ＝14.答案：10，12，144．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为________．解析：设最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin 30°×sin 135°＝2 2.即△ABC 中最长边的长为2 2.答案：2 25．(2014·南京调研)△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则角C ＝________. 解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ，且sin A ≠0，所以tan C ＝1，C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案：π46．在△ABC 中，如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7，那么a ∶b ＝________．解析：由已知A ＝30°，B ＝45°，则a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2.答案：1∶ 27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6. 答案：π6二、解答题8．在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos B sin （A ＋C ）－sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin B sin A＝右边， 所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 9．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .解：由正弦定理知，a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°×sin 45°＝102，B ＝180°－A －C ＝105°， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105° ＝56＋5 2.[高考水平训练]一、填空题1．下列判断三角形解的情况，正确的是________．①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解；②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解；③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解；④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°有一解．综上，④正确．答案：④2．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则a b的取值范围为________． 解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知，a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故a b 的取值范围是(2，3)． 答案：(2，3)二、解答题3．在△ABC 中，设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos A a，求cos A 的值． 解：由正弦定理，得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos A sin A⇒ ⎩⎨⎧tan B ＝13tan A ，tan C ＝12tan A . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan 2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设，负值应舍去，故cos A ＝36.4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cos B ＝13，f (C 2)＝－14，求b . 解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝－32sin 2x ＋12. ∵ω＝2，∴T ＝2πω＝π. ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)得，f (x )＝－32sin 2x ＋12， ∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12. 又f (C 2)＝－14， ∴－32sin C ＋12＝－14，∴sin C ＝32. ∵在△ABC 中，cos B ＝13， ∴sin B ＝ 1－（13）2＝223， ∴由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83. ∴b ＝83.。
苏教版数学高二-必修5试题 正弦定理的应用
1.1.2 正弦定理的应用 一、填空题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则 c ＝________.解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得3sin π3＝1sinB ， ∴sinB ＝12，故B ＝30°或150°. 由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°.故C ＝90，由勾股定理得c ＝2.答案：22．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4bsinA ，则cosB ＝________. 解析：∵a ＝4bsinA ，由正弦定理知sinA ＝4sinBsinA ，∴sinB ＝14，cosB ＝1－sin 2B ＝1－142＝154. 答案：1543．在△ABC 中，最大边长是最小边长的2倍，且2AB ·AC ＝|AB |·|AC |，则此三角形的形状是________．解析：∵2AB ·AC ＝|AB |·|AC |，∴cosA ＝12，∴A ＝π3.[] ∴a 边不是最大边也不是最小边，不妨设b<c ，则2b ＝c ，由正弦定理2sinB ＝sinC ，∴2sinB ＝sin(2π3－B)， ∴2sinB ＝32cosB ＋12sinB ， ∴tanB ＝33，∴B ＝π6，C ＝π2. ∴此三角形为直角三角形．答案：直角三角形 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形 的面积为________． 解析：∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R ＝8，∴sinC ＝c 8， ∴S △ABC ＝12absinC ＝116abc ＝116×162＝ 2. 答案： 25．已知A 、B 两岛相距10 n mile ，从A 岛看B 、C 两岛的视角是60°，从B 岛看A 、C 两岛的视角是75°，则B 、C 两岛的距离为________ n mile.解析：如图所示：易知C ＝45°，由正弦定理得AB sinC ＝BC sinA， ∴BC ＝ABsinA sinC＝5 6. 答案：5 6二、解答题6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，求△ABC 的面积．解：由正弦定理∵sinC 3＝sinB 1， ∴sinC ＝3·sin30°＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3×sin30°＝34. 综上，△ABC 的面积为32或34. 7.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D处，已知CD ＝6 000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝23CD. 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD. 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°.根据勾股定理，有 AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝1 000 42， 所以炮兵阵地到目标的距离为1 000 42 m.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，试判断该三角形的形状．解：由已知得a 2＝b 2∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA.∴sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0.∵sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA ＝sinBcosB.即sin2A ＝sin2B.由0＜2A,2B ＜2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。
苏教版数学高二- 必修5试题 1.3正弦定理、余弦定理的应用
1．3正弦定理、余弦定理的应用情景导入2006年10月12日，中国宣布了自己的探月计划：中国将在2007年把“嫦娥一号”绕月卫星送入太空，2012年实现发射软着陆器登陆月球.路透社报道：中国将在2024年把人送上月球.,登陆月球如此困难，除了因存在很多科学难题外，还因为月球与地球相距很远，有38万公里.很久以前，数学家们就测量计算出了这个距离.你知道他们是如何计算的吗？这就要利用解斜三角形的知识.)►基础巩固一、选择题1．在某测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′解析：方向角主要注意方向问题，两点的相对位置确定说明以一点为基点时另一点的位置就被确定，若反过来，则只需改变相对方向即可(如A在B的北面，则B在A的南面，其他亦如此)．答案：A2.如图，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A．角A，B和边b B．角A，B和边aC．边a，b和角C D．边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，∴选D.答案：D3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于6 km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．6 3 kmB ．3 3 kmC ．6 kmD ．2 3 km解析：如下图：由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos 120°＝36＋36＋36＝108， ∴AB ＝6 3 km.答案：A4.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则AB ＝( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.2522m解析：∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝30°，根据正弦定理得50sin 30°＝AB sin 45°，解得AB＝50 2 m.答案：B5．某人向正东方走了 3 km后，突然向右转150°，然后朝此方向前进了3 km(如图)，此时，他离出发点有()A. 3 km B．2 3 kmC．3 km D．3 3 km解析：由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 30°＝3＋9－2×3×3×32＝3，∴AC＝ 3 km.答案：A二、填空题6．如右图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别是30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10 m B．5 3 mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m解析：AB＝22AC＝22⎝⎛⎭⎫DCsin 15°×sin 30°＝5(3＋1) m.答案：D7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在正北，若测途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________m.解析：设塔高为AB，某人由C前进到D，依题意可得CD＝40 m，∠ACD＝90°－60°＝30°，作AE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，则AD＝CDsin 30°＝20，AE＝ADsin 60°＝103，∴AB＝AEtan 30°＝103×33＝10 m.答案：108．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为________．解析：如右图，AB＝AC×tan 60°＝53，BC＝ACsin 30°＝10，∴AB＋BC＝(53＋10)m.答案：(10＋53)m三、解答题9.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解析：如题图，由正弦定理得，BCsin90°－60°＝15×4 sin 45°，∴BC＝30 2 km.[]答案：此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如下图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，AB的距离是84 m，求塔高．解析：设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝3x m.在△ABD中，利用余弦定理得842＝2⎛⎫⎪⎝⎭xtan45＋2⎛⎫⎪⎝⎭xtan30－23·x2cos(90°＋60°)，解得x＝±127(负值舍去)，故塔高为127 m.►能力升级一、选择题11．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：如题图，结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°，α＝60°－50°＝10°.答案：B12．若水平面上，点B在点A南偏东30°方向上，则点A处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案：C13．有一长1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长() A．1 km B．sin 10° kmC．cos 10° km D．cos 20° km解析：如图，∠ABD＝20°－10°＝10°，∴AD＝AB＝1 km.答案：A二、填空题14．海面上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B 岛望A岛和C岛成30°的视角，则B与C两岛之间的距离是____________．解析：在△ABC中，A＝60°，B＝30°，∴C＝90°，故BC＝ABsin 60°＝5 3.答案：53海里15．我舰在敌岛南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛A 沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为________．解析：如题图，∠BAC ＝180°－10°－50°＝120°， AB ＝12，AC ＝2×10＝20，∴BC 2＝122＋202－2×12×20cos 120°＝784，BC ＝28，速度为282＝14 海里/小时． 答案：14海里/小时三、解答题16．如下图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援(角度精确到1°)?解析：连接BC ，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.于是，BC ＝107.∵sin ∠ACB 20＝sin 120°107，∴sin ∠ACB ＝37＝217，∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈71°. ∴乙船应朝北偏东约71°方向沿直线前往B 处救援．。
苏教版数学高二- 必修5试题 1.1正弦定理
1．1正弦定理情景导入在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”战士语，即准确地发现敌台的位置.在该项目训练中，追寻方的安排都是两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线即两台探测器分别探出了敌台的方向一交叉就把敌人给叉出来了，想藏想跑，门都没有.其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成了一个三角形，在战士探明了敌台方向的时候，也就是知道了该三角形的两个内角，再利用正弦定理就可以算出敌人的准确位置.►基础巩固一、选择题1．在△ABC中，已知ab＝sin Acos B，则B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[]解析：由正弦定理asin A＝bsin B得ab＝sin Asin B，∴sin Asin B＝sin Acos B，即sin B＝cos B，∴B＝45°.答案：B[]2．在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝() A. 6 B．2 6 C．4 3 D．2解析：由正弦定理得4sin 45°＝csin 60°，即c＝2 6.答案：B3．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23 C.3 D.3 2解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.答案：B4．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝60°，则a∶b∶c＝()A．1∶3∶2 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．1∶2∶2解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2.答案：A5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为()A．A>BB．A<BC．A≥BD．A、B的大小关系不能确定解析：sin A＞sin B⇔2Rsin A＞2Rsin B⇔a＞b⇔A＞B(大角对大边)．答案：A二、填空题6．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________．解析：由正弦定理得ABsin C＝BCsin A，解得BC＝6，∴S △ABC ＝12AB·BC·sin B ＝12×6×6×32＝9 3.答案：9 37．在△ABC 中，A ＝45°，a ＝2，b ＝2，则角B 的大小为________．解析：由2sin 45°＝2sin B 得sin B ＝12，由a ＞b 知A ＞B ，∴B ＝30°.答案：30°8．在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则b ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理知sin B b ＝sin C c ，即b ＝12c ，又b ＋c ＝12，解得：b ＝4，c ＝8.答案：4 8三、解答题9．在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c.解析：A ＝180°－(B ＋C)＝30°，由正弦定理得c ＝a sin A ·sin C ＝5·sin 105°sin 30°＝10sin(45°＋60°)＝10(sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°)＝56＋22.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＋C ＝2B. (1)求cos B 的值．答案：(1)由2B ＝A ＋C 和A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，∴cos B ＝12.(2)若b 2＝ac ，求sin Asin C 的值．答案：(2)由已知b 2＝ac 及正弦定理得sin Asin C ＝sin 2B ＝sin 260°＝34.►能力升级 一、选择题11．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：在△ABC 中，由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，即sin B ＝bsin Aa＝3×323＝12. 又∵a>b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.答案：π212．在△ABC 中，asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2解析：∵asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a.由正弦定理可得sin Asin Asin B ＋sin Bcos 2A ＝2sin A ， 即sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A ＝ 2.答案：D13．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223 B.223C.63D.63或－63解析：由正弦定理得15sin 60°＝10sin B， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝33，∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B＝63. 答案：C二、填空题14．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ＋C ＝2B ， 故B ＝π3，由正弦定理知sin A ＝asin B b ＝12，又a ＜b ，因此A ＝π6，从而C ＝π2，即sin C ＝1.答案：115．在△ABC 中，角A ，B ， C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1，解得B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝12，∵a ＜b ，∴0＜A ＜B ＝π4，∴A ＝π6. 答案：π6三、解答题16．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，解这个三角形．解析：由正弦定理得3sin A ＝2sin 45°得 sin A ＝32，∵a ＞b ，∴A ＞B ＝45°， ∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝bsin C sin B ＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsin C sin B ＝6－22.综上可得A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.。
苏教版数学高二-必修5试题 1.1正弦定理(一)
1.1 正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是________．①asin A ＝bsin B; ②bsin C ＝csin A ；③absin C ＝bcsin B; ④asin C ＝csin A.2．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为________三角形．3．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C＝________. 4．在△ABC 中，若3a ＝2bsin A ，则B ＝________.5．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 6．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B.8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2absin C.二、能力提升9．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．12．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．三、探究与拓展13．已知△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，求a ＋b R的取值范围． 答案1．④ 2.直角 3.25 4.π3或23π 5.523 6.1027．解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝csin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝csin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明 因为左边＝4R 2sin 2 A·sin 2B ＋4R 2sin 2 B·sin 2A ＝8R 2sin 2 Asin Bcos B ＋8R 2sin 2 B·sin Acos A＝8R 2sin Asin B(sin Acos B ＋cos Asin B)＝8R 2sin Asin Bsin(A ＋B)＝8R 2sin A·sin Bsin C ＝2·(2Rsin A)·(2Rsin B)·sin C＝2absin C ＝右边，∴等式成立．9.⎝⎛⎦⎤0，403 10.120° 11.π612．解 ∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A ， 化简得：sin A ＝33cos A ， ∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 13．解 a ＋b R＝2⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R ＝2(sin A ＋sin B)＝2(sin A ＋sin(120°－A))＝2(sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A)＝2⎝⎛⎭⎫32sin A ＋32cos A ＝23⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ＝23sin(A ＋30°)．∵A ＋B ＝120°，∴0°＜A ＜120°.∴30°＜A ＋30°＜150°，∴12＜sin(A ＋30°)≤1，∴3＜a ＋b R ≤2 3.。
高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析
，高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π32．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ))A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A. 518 B. 34 C. 32 D. 785．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则 ( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 大小不能确定 二、填空题（6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________. 7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cosB＝2，则角A 的大小为________．8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ________． 三、解答题9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .、)10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab . （1）求角C 的大小；（2）又若sin A sin B ＝34，判断△ABC 的形状．?#11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．？（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．…~答案及解析1．【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，∴B＝π6. 【答案】A2．【解析】S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】B 3．【解析】由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.∴c 2＞a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形． ~【答案】C 4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为22＋22－122×2×2＝78.【答案】D5．【解析】∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，得(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，故ab ＝a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b . 【答案】A6．【解析】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3，∴c ＝3，∴a ＝c ，则A ＝C ＝30°. #【答案】30°7．【解析】∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＝π4. 又a sin A ＝bsin B，得sin A ＝12，A ＝π6.【答案】π68．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，∴2B ＝A ＋C ，∴B ＝π3，又BD ＝12BC ＝2，∴在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.9．【解析】法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理，得2R ＝4cos A 2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理 #得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4.法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ，∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，又由已知得，sin Bsin C＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②解①②得b ＝4.10．【解析】(1)由题设得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知A ＋B ＝23π，∴cos(A ＋B )＝－12，即cos A cos B －sin A sin B ＝－12. 又sin A sin B＝34， ∴cos A cos B ＝34－12＝14，从而cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，由A ，B ∈(0，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，从而△ABC 为等边三角形．11．【解析】(1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 因0＜C ＜π，故C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A )＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sinA＝3sin(A ＋π6)，∵C ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，3sin(A ＋π6)取最大值 3. ∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.。
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高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理测试题
一、填空题
1．在ABC △中，如果182445a b A ===，，°，则满足上述条件的三角形有
2．在ABC △中，A B >，下列四个不等式中不一定正确的是
3．在ABC △中，2AB =
，BC =4AC =，则边AC 上的高为
4．在ABC △中，π33
A BC ==，，则ABC △的周长为 5．在锐角ABC △中，1
2b c ==，，则a 的取值范围是 6．在ABC △中，若60A =°，:4:3c b =，则sin C = ．
7
．已知三角形三边长分别为a ，，则此三角形的最大内角的大小是 ．
8．已知ABC △的三个内角为A B C ，，所对的三边为a b c ，，，若ABC △的面积为22()S a b c =--，则tan 2
A = ．
二、解答题
9．如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，
14AB =，60BDA ∠=°，135BCD ∠=°，求BC 的长．
解：在ABD △中，设BD x =，
由余弦定理，得2222cos BA BD AD BD
AD BDA =+-∠·， 即2221410210cos60x x =+-⨯°，
解得210960x x --=，
所以12166x x ==-，（舍去）， 在BCD △中，由正弦定理，得
sin sin BC BD CDB BCD =∠∠， 所以16sin135BC =
°
sin 30=·°
10．如图，在ABC △中，已知151060a b A ===，，°，点E F ，为c 的三等分点，求CE CF ，的长（精确到0.1）．
解：在ABC △中，由余弦定理，
得2222cos a b c bc A =+-， 即222115102102
c c =+-⨯⨯·， 2101250c c --=∴．
解得5c =+5c =-，
在ABC △中，由正弦定理，得10sin sin 15b B A a ===·，
cos B =
∴．3c AE BF ===∴ 在ACE △中，由余弦定理，
得2222212cos 102102CE AC AE AC AE A =+-=+-⨯⎝⎭
·，
8.7CE =≈∴．
同理：在FCB △中求得10.8CF =
≈． 11．在ABC △中，求证：1sin
sin sin 2228
A B C ≤． 证明：222222
2
()2sin 1cos 12222A b c a a b c a A bc bc bc
+---=-=-=∵≤ sin
2A ∴，同理可得sin 2B ，sin 2C ， 1sin sin sin
2228A B C =．
12．在ABC △中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
（1）求最大角；
（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解：（1）设三边1
1a k b k c k k =-==+∈N ，，，且1k >， C ∵为钝角，2224cos 022(1)
a b c k C ab k +--==<-∴， 1k >∵，4k <∴，
k *∈N ∵，
2k =∴或3，但2k =时不能构成三角形，应舍去，
当3k =时，1234cos 4a b c C ====-，，，，1180arccos 4
C =-°； （2）设角C 的两边分别为4x y x y +=，，，
则2sin (4)4)S xy C x x x x ==-=-+，
∴当2x =时，平行四边形面积最大，max S。