结构力学 位移计算

MK
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
l
P =1 x
4
2 M P qklq ql M PM i N N kQ P Q i ∆ ip = ∑ ∫ [ P i + + 设 : ∆ M =] ds , ∆ Q = 8EI 2GA EA GA EI QP ∆ Q 4 EIk l q (l − x ) k q(l − x)3 = =∫[ + ]dx P =1 0 ∆ M GAl 2 M i GA 2 EI 2 4 qkl ql A = bh, I = bh3 / 12, k = 6 / 5, = + (↓) Qi 2GA 8EI h / l = 1 / 10, E / G = 2.5(钢砼) 位移方向是如 l−x ∆Q 对于细长杆,剪切变形 对于细长杆 剪切变形 1 何确定的? 何确定的? = 对位移的贡献与弯曲变 ∆ M 100 形相比可略去不计. 形相比可略去不计
∆ ic = − ∑ R i ⋅ C i
例1：求 ∆Cx = ? ：
B C
解：构造虚设力状态
B C P=1
c3
A
l
A
XA =1
YC = 1
c2 c1
l
YA = 1
∆Cx = −(1 × C1 + 1 × C 2 − 1 × C3 ) = −(C1 + C 2 − C3 )
例 2：已知 l=12 m , h=8 m ,∆Bx = 0.04 m ： ∆By = 0.06 m , 求 ϕ A = ?
∆ ip =
∑
M PM i NPNi kQ P Q i ∫ [ EA + GA + EI ] ds
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 单位荷载法 二.位移计算公式 位移计算公式
1.梁与刚架 梁与刚架
∆ ip =
4.拱 拱
M PM EI
i
∑∫
∑∫ ∑ ∑∫
ds
∆ ip =
∫[
M PM EI
试求图示结构B点竖向位移 点竖向位移. 例. 试求图示结构 点竖向位移
Pl EI l EI
MP
P B
l
Mi
=1
l
解: ∆ By = ∑
MM P ∫ EI ds
1 1 2 ( ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l + Pl ⋅ l ⋅ l ) = EI 2 3 4 Pl 3 = ⋅ (↓) 3 EI
点的竖向位移(EI、 、 已知 已知) 例 2：求曲梁 点的竖向位移 、EA、GA已知 ：求曲梁B点的竖向位移
应用虚力原理求刚体体系的位移 （1）刚体系的虚位移 功)原理 ）刚体系的虚位移(功 原理
去掉约束而代以相应的反 该反力便可看成外力。 力，该反力便可看成外力。 则有： 则有：刚体系处于平衡的必 要和充分条件是： 要和充分条件是： XA = 0 ∆
3∆/2 P 2∆
对于任何可能的 对于任何可能的 可能 虚位移， 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。
在工程上，吊车梁允许的挠度 跨度； 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 高度。 高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移< 层高。 最大层间位移 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 铁路工程技术规范规定 桥梁在竖向活载下， 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 跨度
∆ W = P∆
θ
W = Mθ
3)作虚功的力系为两个等值 3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
∆A
∆B
P
W = P∆ A + P∆ B = P(∆ A + ∆ B ) = P∆
θA
θB
W = Mθ A + Mθ B = M (θ A + θ B ) = Mθ
P B R O P=1
QP M P
P
θ
R
A
NP R
θ
πPR
∆ ip =
设 : ∆M , ∆Q = , ∆N = 解：构造虚设的力状态如图示 = 4EA M P = − PR sin θ , M i = − R sin θ 4EI 3 4GA A = bh, I = bh / 12, k = 6 / 5, QP = P cos θ , Qi = cosθ h / R = 1 / 10, E / G = 2.5(钢砼) N P = − P sin θ , N i = − sin θ ∆Q ∆N 1 1 ds = Rdθ = = ∆ M 1200 400 NPNi kQ P Q i ∆M P M i M
第6章 虚功原理和结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§4.1 结构位移计算概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
β
P
∆A
A′
∆ Ax
∆ Ay
线位移 位移 转角位移
∆ A − A点线位移 ∆ Ax −A点水平位移 ∆ Ay − A点竖向位移 β − A截面转角
§4.1 结构位移计算概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
β
∆ Ay
为什么要计算 A′ ∆A 位移? 位移?
∆ Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 温度改变 ? 生位移? 生位移 支座移动 制造误差 等
+ to
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
πPR3
πkPR
EA GA EI 小曲率杆可利用直杆公式近 π PR π kPR π PR 3 似计算;轴向变形 似计算 轴向变形 剪切变形对位 = + + ( ↓ ) 轴向变形,剪切变形对位 4 EA 4 GA 4 EI 移的影响可略去不计
∑ ∫[
+
+
] ds
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 单位荷载法 二.位移计算公式 位移计算公式 三.单位力状态的确定 单位力状态的确定
刚架与梁的位移计算公式为： 刚架与梁的位移计算公式为：
∆ iP = ∑ ∫ MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便 下面介绍 在杆件数量多的情况下 不方便. 不方便 计算位移的图乘法. 计算位移的图乘法
一、图乘法
MM P ds ∫ EI 1 对于等 = MM P ds (对于等 ∫ 截面杆) 截面杆 EI 图乘法是Vereshagin于 图乘法是 于 1 1925年提出的，他当时 年提出的， 年提出的 MM P dx (对于直杆 对于直杆) = 对于直杆 EI ∫ 为莫斯科铁路运输学院 ( M = x tan 学生。 的学生。 α) 图乘法的 1 适用条件是 = ∫ x tan α ⋅ M P dx EI 什么? 什么 tan α 图乘法求位移公式为: 图乘法求位移公式为 = ∫ xM P dx EI ω yc tan α 1 ∆ ip = ∑ = ⋅ ω ⋅ xc = ωyc EI EI EI
P =1 P =1 P =1 P =1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 A P=1
ϕA = ?
P=1 B A
(a)
P=1
∆ AB = ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(e)
B
∆ AB = ?
P=1
i
+
NPNi ] ds EA
2.桁架 桁架
∆ ip = = NPNi ds EA N P N il EA M PM EI
这些公式的适 用条件是什么? 用条件是什么?
3.组合结构 组合结构
∆ ip =