江西省南昌市第十九中学高二数学下学期期末考试试题文

南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二 年级期末考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. .设i z -=1（i 是虚数单位），则22z z+= A.1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2. 下列命题中，真命题是()B ．∀x ∈R, 2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或24. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.12 B. 1C.34D.325.若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k 6．设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 1837．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q”同时为假命题，则满足主视图左视图俯视图1111条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∈Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3} 8.函数的图像大致是( )9.当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)10．奇函数f (x )、偶函数g (x )的图像分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b ＝( )A. 14B. 10C. 7D. 3第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 .12.已知不等式210ax bx +->的解集为{}34x x <<，则实数a = .13.若一个球的表面积为100π，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为124,3r r ==．则两截面间的距离为________.14.定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x ＋8)＝f (x )＋f (4)，且x ∈[0,4]时，f (x )＝4－x ，则f (2 015)的值为________．15.给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；③若正整数m 和n 满足m <n ，则m n －m≤n 2；④若x >0，且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2. 其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上)三、解答题（本大题共6小题，共75分．）16.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．17.已知z ，y 之间的一组数据如下表：x 1 3 6 7 8 y12345(1)从x ,y 中各取一个数，求x+y ≥10的概率；(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =+与1122y x =+，试利 用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.18.已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a R ∈． (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)当0a <时，解不等式f (x )>1．19.已知函数()3f x x x a =---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-；()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．20.在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上． （Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；（Ⅱ）若3=AD ，2==BC AB ，P 为AC 的中点，求三棱锥BC A P 1-的体积．21、设函数)3(log )(a x x f a -= 0(>a 且)1≠a ,当点),(y x P 是函数)(x f y =图象上的点时，点),2(y a x Q --是函数)(x g y =图象上的点. (1)写出函数)(x g y =的解析式；(2)若当[]3,2++∈a a x 时，恒有1)()(≤-x g x f ,试确定a 的取值范围.第20题图BACDP1B 1A 1C南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二年级期末考试数学（文科）试题答案1.C2.D3.B4.A5.D6.D7.C8. C9.B 10.B11. 1 12.121-13.1或7 14.3 15. ②③ 16. (1)2 (2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析 由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.17.【解】（1）从x,y 各取一个数组成数对(x ,y )，共有25对，…………………………… 其中满足10≥+y x 的有)5,8(),4,8(),3,8(),2,8(),5,7(),4,7(),3,7(),5,6(),4,6(，共9对 故所求概率为259=P ，所以使10≥+y x 的概率为259．…………………………… （2）用131+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 37)5311()4310()33()22()134(222221=-+-+-+-+-=S ．………………………用2121+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为21)529()44()327()22()11(222222=-+-+-+-+-=S ．………………………12S S < ，故用直线2121+=x y 拟合程度更好．……………………………18.解：(1) 20411748a a a<⎧⎪⎨--=⎪⎩12.8a ⇒=--或(2) ax 2＋x －a >12110(1)()0a ax x a a x x a+⇒>⇒-+>＋－－ 1(1)()0a x x a+⇒-+<B 1C 1A 1CDPAB当11a a +>-即12a <-时，1(,1);a x a +∈-当11a a +<-即102a -<<时，1(1,);a x a +∈-当11a a +=-即12a =-时，.x ∈∅ 19解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩…… 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥… (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----……∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞……20.[解析]（Ⅰ）证明： 三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥A A 1平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，∴BC A A ⊥1AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，∴BC AD ⊥.第又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1，∴BC ⊥平面1A AB ，又⊂B A 1平面BC A 1，∴ B A BC 1⊥（2）在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB .AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,∴ B A AD 1⊥.在Rt ABD ∠∆中，3AD =，AB BC ==2，3sin 2AD ABD AB ∠==,060ABD ∠= 在1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=016023由（1）知BC ⊥平面1A AB ，⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥2222121=⨯⨯=⋅=⋅∆BC AB S ABC P 为AC 的中点，121==∆∆ABC BCPS S ∴=-BC A P V 1111123123333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=21解：解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′. ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aa x -1. (2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0, 又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)| ,又|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a . H(x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为增函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54,∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579 .。