2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文史类答案及解析

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N === 则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。

２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之"||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。

４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

正视图侧视图俯视图 图1由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc KKa b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得,附表：A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A 解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K≥=，故由独立性检验的意义可知选A.6．设双曲线2221(0)9x ya a-=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

7．曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D 2答案：B 解析：22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos)44x y πππ===+。

8．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22-+ B ．(22-+ C ．[1,3] D ．(1,3)答案：B解析：由题可知()11xf x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b -<<+二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ． 答案：2 解析：曲线221:143xyC +=，曲线2:10C x y -+=，联立方程消y 得27880x y +-=，易得0∆>，故有2个交点。

10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ．答案：40或60（只填一个也正确）解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：1510(9010)68x =+⨯-=，210906040x =+-=，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。

(二)必做题（11-16题）11．若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 ． 答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。

12．已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．答案：6解析：(2)(2)93,(2)6g f f -=-+=-=-则， 又()f x 为奇函数，所以(2)(2)6f f =--=。

图213．设向量,ab 满足||(2,1),a b ==且a b 与的方向相反，则a 的坐标为 ．答案：(4,2)-- 解析：由题||b ==2(4,2).a b =-=--14．设1,m >在约束条件1y x y m x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ． 答案：3解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值为4，解得3m =。

15．已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l xy +=（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．(2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．答案：5，16解析：（1）由点到直线的距离公式可得5d ==；（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即1:4315l x y +=与圆相交所得劣弧上，由半径为3可知劣弧所对圆心角为3π，故所求概率为1326P ππ==.16、给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =- （1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 。

答案：（1）()a a 为正整数，（2）16解析：（1）由题可知*()f n N ∈，而1k =时，1n >则*()1f n n N =-∈，故只须*(1)f N ∈，故(1)()f a a =为正整数。

（2）由题可知4k =，4n >则*()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为4216=。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在A B C 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （I ）求角C 的大小； （II cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是s i n c o s (3s i n c o s ()4s i n c o s 2s i n ().63110,,,,46612623A B AA A A A A AA A ππππππππππ-+--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．综上所述，cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==18．（本题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5；已知近20年X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160． （I ）完成如下的频率分布表：（II 概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 解：（I ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3（II ）("132320202010P ++=发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310．19．（本题满分12分）如图3，在圆锥P O中，已知P O O =的直径 2,,AB C AB D AC =∠ 点在上,且CAB=30为的中点．（I ）证明：;AC POD ⊥平面（II ）求直线和平面PAC 所成角的正弦值． 解析：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.又,,.PO O AC O AC OD ⊥⊂⊥ 底面底面所以PO 是平面P O D 内的两条相交直线，所以;AC POD ⊥平面（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ⊂平面所以平面,POD PAC ⊥平面在平面P O D 中，过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结C H ，则C H 是OC PAC 在平面上的射影，所以O C H ∠是直线O C 和平面PAC 所成的角．在1,3PO O D Rt PO D O H === 中在,sin 3O H Rt O H C O C H O C∠==中20．（本题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%．（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （II ）设12,nn a a a A n+++=若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解析：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． 12010(1)1301n a n n =--=- 当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34为等比数列，又670a =，所以6370();4n n a -=⨯ 因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为612010(1)13010,6370(),74n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪=⎨=⨯≥⎪⎩ (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=- 当7n ≥时，666786333()570704[1()]780210()4443780210()4.n n n n n n S S a a a A n---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯=因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<所以须在第9年初对M 更新．21．已知平面内一动点P 到点F （1，0）的距离与点P 到y 轴的距离的等等于1． （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值．解析：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y || 1.x = 化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.（II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-． 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0.k x k x k -++=设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是 1212242,1x x x x k+=+=．因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=故12342222()()||||||||(1)(1)(1)(1)41(2)11(24)1184()AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB AF FB FD EF x x x x k k k k ∙=++=+++=+=+++++=+++++++=++≥ 8416+⨯=当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙取最小值16．22．（本小题13分） 设函数1()ln ().f x x a x a R x=--∈(I)讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I ）()f x 的定义域为(0,).+∞22211'()1a x ax f x xxx-+=+-=令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-(1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥ 时故()(0,)f x+∞在上单调递增．(2) 当2a <- 时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增．(3) 当2a > 时,>0,g(x)=0的两根为12,22a a x x -+==，当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． （II ）由（I ）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+---又由(I)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=--若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=>再由（I ）知，函数1()2ln h t t t t=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以222112ln 12ln 10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-。