2018年高考数学第七章不等式、推理与证明专题24不等关系与基本不等式考场高招大全 Word版 含答案

专题二十四 不等关系与基本不等式
考点53 不等式的性质以及解法
考场高招1 判断关于不等式的结论的四种方法 1.解读高招
2.典例指引
1(1)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是 ( )
A. B.ab<b 2
C.-ab<-a 2
D.-<-
(2)若0<x<1,a>0,且a ≠1,则|log a (1-x )|与|log a (1+x )|的大小关系是( ) A.|log a (1-x )|>|log a (1+x )| B.|log a (1-x )|<|log a (1+x )| C.不确定,由a 的值决定
D.不确定,由x的值决定
(3)若a=,b=,c=,则()
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<
方法二(特殊值法):令a=-2,b=-1,则=-=-1,ab=2>b2=1,
-ab=-2>-a2=-4,-<-=1.故A,B,C项错误,D项正确. (2)方法一(作差法):∵0<x<1,
∴0<1-x<1,0<1-x2<1,1<1+x<2.
∴lg(1-x)<0,lg(1-x2)<0,lg(1+x)>0,
∴|log a(1-x)|-|log a(1+x)|=
=-·[lg(1-x)+ lg(1+x)]=-·lg(1-x2)>0,
∴|log a(1-x)|>|log a(1+x)|.
方法二(作商法):∵0<x<1,
∴1<1+x<2,0<1-x<1,>1+x>1,∴log(1+x)(1-x)<0,
∴=|log(1+x)(1-x)|=-log(1+x)(1-x)=
log(1+x)>log(1+x)(1+x)=1,
∴|log a(1-x)|>|log a(1+x)|.
(3)方法一:易知a,b,c都是正数,=log8164<1,∴a>b.
∵=log6251024>1,∴b>c,即c<b<a.
方法二:对于函数y=f(x)=,y'=,
易知当x>e时,函数f(x)单调递减.
∵e<3<4<5,∴f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.
【答案】 (1)D(2)A(3)B
3.亲临考场
1. .(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()
A.a+<log2(a+b)
B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<
D.log2(a+b)<a+
【答案】B不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即
<log2(a+b)<a+.故选B.
4.(2016北京,理5)已知x,y∈R,且x>y>0,则()
A.>0
B.sin x-sin y>0
C.<0
D.ln x+ln y>0
考场高招2 含参数的一元二次不等式(ax2+bx+c>0)的解题规律1.解读高招
2.典例指引
2(1) 设0<a<1,集合A={x|x>0},B={x|2x2-3(1+a)x+6a>0}, D=A∩B,求集合D(用区间表示).
③当0<a<时,Δ>0,g(x)=0的两个根为
x1=,x2=
∵(3a+3)2-(9a2-30a+9)=48a>0,
∴x2>x1>0.
∴B={x|x<x1或x>x2},
∴D=∪.
3.亲临考场
1(2016课标Ⅰ,理1)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()
A. B.
C. D.
2.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为()
A.{x|x<-1或x>-lg 2}
B.{x|-1<x<-lg 2}
C.{x|x>-lg 2}
D.{x|x<-lg 2}
【答案】 D由题意知-1<10x <,所以x<lg=-lg2,故选D.
考场高招3 一元二次型不等式恒成立问题破解方法
1.解读高招
(2)ax2+bx+c
⇔若⇔
2.典例指引
3(1)设函数f(x)=lg(a≠0),若对任意实数b,函数f(x)的定义域为R,则a的取值范围为.
(2)若关于x的不等式ax2-|x+1|+3a≥0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是.
(3)若关于x的不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,当|a|≤1时恒成立,则x的取值范围是.
所以只要4a大于的最大值即可,
而的最大值为4,故4a>4,a>1.
(2)(分离参数法)由题意得a≥.
令y=,则当x≥-1时,y=.
由y'==0,得x=1,所以当-1≤x<1时,y'>0,y<;
当x>1时,y'<0,y<,因此当x≥-1时,y max=.
同理,当x<-1时,y=-.
由y'==0,得x=-3,所以当-3<x<-1时,y'<0,y<;
当x<-3时,y'>0,y<,因此当x<-1时,y max=.
综上,当x∈R时,y max=,故a≥.
(3)(主参换位法)将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以
若x=3,则f(a)=0,不符合题意,应舍去.若x≠3,则由一次函数的单调性,可得
即解得x<2或x>4.
【答案】 (1)(1,+∞)(2)(3)(-∞,2)∪(4,+∞)
3.亲临考场
1.(2017河南豫北名校联考)已知当-1≤a≤1时,关于x的不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围是.
【答案】 (-∞,1)∪(3,+∞)
【解析】设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),因为x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,所以g(a)>0, 因此整理,得解得x<1或x>3.
2.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为,则关于x的不等式c(lg x)2+lg x b+a<0的解集为
【答案】
考点54基本不等式
考场高招4利用基本不等式求最值的方法。