流体力学讲义3-2
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流体力学课件(全)
X 1 p 0 x
Y 1 p 0 y
欧拉平衡方程
Z 1 p 0 z
p p( , T )
t
1 V V T p
1 V V p T
p p(V , T )
1 t T p
p
p
1 p T
V
p y = pn pz = pn
px = p y = pz = pn = p
28/34
第二章
流体静力学
§1 静压强及其特性 §2 流体静力学平衡方程 §3 压力测量 §4 作用在平面上的静压力 §5 作用在曲面上的静压力 §6 物体在流体中的潜浮原理
29/34
§2流体静力学平衡方程
通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立 起平衡微分方程式，然后通过积分便可得到各种不同 情况下流体静压力的分布规律。 why 因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。 现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足 的关系，建立平衡条件下的流体平衡微分方程式。
《流体力学》
汪志明教授
5/24
第一章 流体的流动性质
§1 流体力学的基本概念
§2 流体的连续介质假设 §3 状态方程 §4 传导系数 §5 表面张力与毛细现象
《流体力学》
汪志明教授
6/24
§2 流体的连续介质假设
虽然流体的真实结构是由分子构成，分子间有一定的孔隙，但流 体力学研究的并不是个别分子微观的运动，而是研究大量分子组成的 宏观流体在外力的作用下所引起的机械运动。 因此在流体力学中引入连续介质假设：即认为流体质点是微观上 充分大，宏观上充分小的流体微团，它完全充满所占空间，没有孔隙 存在。这就摆脱了复杂的分子运动，而着眼于宏观机械运动。
Y 1 p 0 y
欧拉平衡方程
Z 1 p 0 z
p p( , T )
t
1 V V T p
1 V V p T
p p(V , T )
1 t T p
p
p
1 p T
V
p y = pn pz = pn
px = p y = pz = pn = p
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第二章
流体静力学
§1 静压强及其特性 §2 流体静力学平衡方程 §3 压力测量 §4 作用在平面上的静压力 §5 作用在曲面上的静压力 §6 物体在流体中的潜浮原理
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§2流体静力学平衡方程
通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立 起平衡微分方程式，然后通过积分便可得到各种不同 情况下流体静压力的分布规律。 why 因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。 现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足 的关系，建立平衡条件下的流体平衡微分方程式。
《流体力学》
汪志明教授
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第一章 流体的流动性质
§1 流体力学的基本概念
§2 流体的连续介质假设 §3 状态方程 §4 传导系数 §5 表面张力与毛细现象
《流体力学》
汪志明教授
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§2 流体的连续介质假设
虽然流体的真实结构是由分子构成，分子间有一定的孔隙，但流 体力学研究的并不是个别分子微观的运动，而是研究大量分子组成的 宏观流体在外力的作用下所引起的机械运动。 因此在流体力学中引入连续介质假设：即认为流体质点是微观上 充分大，宏观上充分小的流体微团，它完全充满所占空间，没有孔隙 存在。这就摆脱了复杂的分子运动，而着眼于宏观机械运动。
流体力学课件PPT课件
注意：恒定流中流线与迹线重合
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四、流管、流束、元流、总流、过流断面
1.流管
在流场中通过任意不与流线重合的封闭曲线上各 点作流线而构成的管状面。
第28页/共90页
2.流束
流管内所有流线的总和。流束可大可小，视流管 封闭曲线而定。
•元流：流管封闭曲线无限小，故元流又称微元流束。 •总流：流管封闭曲线取在流场边界上，总流即为许
x
y方向:
my
(uy ) dxdydz
y
z方向:
mz
(uz ) dxdydz
z
据质量守恒定律：
第39页/共90页
单位时间内流进、流出控制体的流体质量差之总和
等于控制体内流体因密度发生变化所引起的质量增
量 即
mx
my
mz
t
dxdydz
将 mx、my、mz 代入上式，化简得：
(ux ) (u y ) (uz ) 0
第54页/共90页
1.伯努利方程的物理意义
• z mgz : 单位重量流体所具有的位能。 mg
•
p
mg
p
/
mg
:
单位重量流体所具有的压能。
•z p :
单位重量流体所具有的势能。
•
u2 2g
1 2
mu
2
/
mg
:
单位重量流体所具有的动能。
第55页/共90页
• z p u2 : 单位重量流体所具有的机械能。
第8页/共90页
§3-1 描述流体运动的方法
一、拉格朗日方法
1.方法概要
着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点 的运动历程，并通过综合所有被研究流体质点的 运动情况来获得整个流体运动的规律。
流体力学专题教育课件
§1.1 流体力学及其任务
流体力学旳研究措施
理论措施：根据实际问题建立理论模型，涉及微分体 积法、速度势法、保角变换法等。
数值措施：根据理论分析旳措施建立数学模型，选择 合适旳计算措施，涉及有限差分法、有限元法、特征线法、 边界元法等，利用计算机计算，得出成果。
试验措施：根据模化理论对所研究旳流动进行模拟， 经过观察和测量，取得所需成果，可直接处理工程中复杂 旳问题，并能发觉新旳流动现象。
§1.3 流体旳主要物理性质
dV / V 1 dV
dp
V dp
或
1 d dp
压缩系数旳倒数是体积弹性模量，即：
K 1 V dp dp
dV d
(1- 6) (1- 7) (1- 8)
§1.3 流体旳主要物理性质
液体旳热膨胀性用热膨胀系数来表达，它表达在一 定旳压强下，温度增长1度，密度旳相对减小率。
三种圆板旳衰减时间均相等。库仑得出结论：衰减旳 原因，不是圆板与液体之间旳相互摩擦，而是液体内部旳 摩擦。
§1.3 流体旳主要物理性质
3. 牛顿内摩擦定律
根据牛顿内摩擦定律，流体旳内摩擦力可表达为：
以应力表达
T A du
dy
du
dy
（1- 2） （1- 3）
du/dy为速度在垂直于速度旳方向上旳变化率，也称 为速度梯度 。
§1.3 流体旳主要物理性质
4. 黏性流体和无黏性流体
黏性流体（实际流体）：实际中旳流体都具有黏性， 因为都是由分子构成，都存在分子间旳引力和分子旳热运 动，故都具有黏性。
无黏性流体（理想流体）：假想没有黏性旳流体。
因为实际流体存在黏性使问题旳研究和分析非常复杂， 甚至难以进行，为简化起见，引入理想流体旳概念。某些 黏性流体力学旳问题往往是根据理想流体力学旳理论进行 分析和研究旳。
武汉理工大学《流体力学》课件3 流体运动学和动力学基础1
2 d x (a, b, c, t ) dx(a, b, c, t ) a x 2 u x dt dt d dy(a, b, c, t ) d 2 y (a, b, c, t ) a y u y 2 dt dt dt dz(a, b, c, t ) d 2 z (a, b, c, t ) az u z 2 dt dt
因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动 （轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的 运动。
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
(a , b, c ) l i m i te d fl u i dpoi n ts
欧拉法把任何一个运动要素表示为 空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数。
液体质点在t 时刻，通过任意空间固定点 (x,
y, z) 时的流速为
dx ( x , y , z , t ) u x dt dy ( x , y , z , t ) u y dt dz ( x , y , z , t ) uz dt
1. 2. 3.
每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 数学上存在难以克服的困难 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
( a , b, c ) l i m i te d fl u i dpoi n ts
x x (a, b, c, t ) d y y (a, b, c, t ) dt z z (a, b, c, t )
高等流体力学第3讲
第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。
因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。
即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。
上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= p I （3-2） 式中I 为单位张量。
静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。
二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d）式代入（c）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x yzp f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。
三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。
3-流体力学基础
§2-5 流动液体的基本力学特性
•1、理想流体的运动微分方程
§2-5 流动液体的基本力学特性
•2、理想流体的伯努利方程
沿流线积分
§2-5 流动液体的基本力学特性
•2、理想流体的伯努利方程
伯努利方程的物理意义是，理想的不可压缩 液体在重力场中作恒定流动时，沿流线上各 点的位能、压力能和动能之和是常数。
假设液体是不可压缩的，而 且是作恒定流动，则液体的流 动过程遵守质量守恒定律，即 在单位时间内流体流过通道任 意截面的液体质量相等。液流 的流速和管道通流截面的大小 成反比。
§2-5 流动液体的基本力学特性 •三、连续性方程（例1－1）
§2-5 流动液体的基本力学特性 •四、伯努利方程－－能量守恒定律
液体对弯管的作用力
§2-5 流动液体的基本力学特性
•滑阀上的稳态液动力
稳态液动力是阀芯移动完毕，开口固定 以后，液流流过阀口时因动量变化而作 用在阀芯的力
§2-5 流动液体的基本力学特性
•滑阀上的瞬态液动力
瞬态液动力是滑阀在移动过程中（即开 口大小发生变化时)阀腔中液流因加速或 减速而作用在阀芯上的力
§2-6 流动液体的流量－－压力特性
•一、压力损失
▪沿程损失：指液体在管道中流动时因 液体具有的粘性而产生的压力损失； ▪局部损失：指由于管道突然变化、液 流速度大小和方向突然改变等而引起的 压力 损失。
流速分布规律
•液体在等径水平直管中作层流运动，沿管轴线取一半径 为摩擦r，力长为度F为，l匀的速小运圆动柱时体，两其端受面力压平力衡为方p程1、为p2 ：，侧面的内
流体动力学的基本概念
迹线:同一流体质点在连续时间内的运动轨迹称为迹线。 流线:
流管:流管是在流动空间中取出的一个微小的封闭曲
流体动力学理论基础第三章解析
az= x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
uz uz (x、y、z、t)
（x,y,z,t）—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点 的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动情 况，得到整个液流的运动规律。——流场法
欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够 多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此， 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
第三章流体力学--流体力学基本方程
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
v v v v ay t u x v y w z
az
w t
u
w x
v
w y
dx dy dz x 2y 5z
dx1d(2y)d(5z) x 2 2y 5z
dx x
1 2
d(2 y) 2y
dx x
d(5 z) 5 z
由上述两式分别积分，并整理得：
§3-1 描述流体运动的方法
x
y c1
①
xc2z5c2 0
即流线为曲面 x y c1 和平面 xc2z5c20的交线。
§3-1 描述流体运动的方法
动
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
例1：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0
求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。 解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：
dx dy x y
因此：
d dt
d
dM dt
t
d
A
vndA
对于任一物理量φ（如动量）：
d dt
d
t
d
vndA
A
φ——单位体积的某物理量。
§3-2 连续性方程
d dt
d
t
d
vndA
A
即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的 时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。
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附加“惯性力强度项”：f 用 f-a 代替，其中 a V ( t ) ω ( ω r ) ω r + 2 ω V
o
动坐标系 原点移动 加速度
向心 加速度
切向 加速度
科氏 加速度
Turbulence Research Laboratory
积分型方程汇总
非惯性坐标系中的守恒方程
f a f
a V o ( t ) ω ( ω r ) ω r + 2 ω V
Turbulence Research Laboratory
§3.2 积分型守恒方程的应用
计算流动过程中流体作用在周围物体上的合力与合力矩
解题的一般方法和步骤 1. 选取恰当的坐标系，使得流动在该坐标系中相对定常； 2. 选取恰当的控制体： # 控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量； # 一般可选固体壁面或流面作为控制面，使其上输运量为零或可求。 3. 利用沿流管的连续方程和 Bernoulli 方程求出流入、流出边界上未知流动 参数； 4. 计算动量输运量及动量矩输运量、质量力合力及合力矩，由动量方程和动量 矩方程求出流体和周围物体之间的作用力和力矩等 积分量。
Turbulence Research Laboratory
例3、叶轮机械的欧拉公式 （5）计算叶轮对流体做功的功率：
叶轮对流体所作共功的功率等于作用力矩乘以角速度
N M Q m ( r2V 2 u r1V1 u ) Q m ( u 2V 2 u u 1V1 u )
Turbulence Research Laboratory
例1、Venturi 流量计的基本原理
这是一种连接在管路中测ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不可压缩 流体定常流动体积流量的一种常用仪
器，当测定流动的进口与喉部压差和 已知进口与喉部面积时，便可以计算 通过Venturi管的流量。
已知：理想不可压流体定常流动，假定在管流截面上流速均匀分布， 入口面积A1、喉部面积A2 ，测得入口与喉部压差Δp 求： 通过管道的质量流量Qm
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例2、不可压缩流体对弯管管壁的作用力
y
p2 V2 A2 n2
理想不可压缩流体流过水平弯管的
定常流动，计算流动过程中作用在
弯管上的合力。
V1 A1
已知：弯管入口和出口面积A1、A2，
入口速度V1，入口压力p1
求：
管内流体对弯管的作用力
Turbulence Research Laboratory
①
① = 0;
r T n d A r w ( w n )d A
② ( 定常流动
③
)
④
② = r ( f a ) d V Q m ( u 2 r2 u 1 r1 ) e z
③= ④=
的能量方程 --- Bernoulli 方程
p
e
1 2
V
2
CL
(4)不可压缩理想流体在势力场中定常流动的 Bernoulli 公式
p
1 2
V
2
CL
重力场中
gz
Turbulence Research Laboratory
复习 7. 非惯性坐标系中的守恒方程
某些情况下，在非惯性坐标系中流动定常
Ar
( w n ) d A 0
A1
Qm
0
2
( w n ) rd
0
2
( w r ) d
r2 r r1 ez
Turbulence Research Laboratory
例3、叶轮机械的欧拉公式
（4）动坐标系中的动量矩方程： D r w d v D r ( f a ) d v t
外力做的功 外界的 传导热 通过控制面 流入的能量
控制体内总能量 的变化率
D ( q q R ) dV n T dA
(e
1 2
V ) V n dA
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复习
6. 定常流中的常用公式
Turbulence Research Laboratory
§3.2 积分型守恒方程的应用
(1)选择坐标系：选择固定于叶轮，和叶轮一起旋转的坐标系，为非惯性系
a V o ( t ) ω ( ω r ) ω r + 2 ω V
速度三角形
v2
u2
2 2
§3.2 积分型守恒方程的应用
例3、叶轮机械的欧拉公式
1、简介：叶轮模型 2、假设： (1) 忽略叶片厚度及叶片形状在轴 向的变化，认为流动参数在轴向均 匀分布，即为平面流动； (2) 忽略机械摩擦； (2) 质量力为重力； (3) 在流动平面上，叶轮进出口处 流速均匀分布。 3、已知：叶轮的几何参数，进口速度V1，出口速度V2， 质量流量Qm，动轮转动角速度ω为常数， 求：叶轮与流体间相互作用的力矩在轴向的投影Mz 和传递的功率N
V n d A V n d A
A2
1 V1 n 1 A1 2 V 2 n 2 A2
p p
(
p
p
V
e
2
1 2
V )V ndA 0
2
1 2
e V
2
1 2
V
2
CL
1 2
CL
gz C L
例3、叶轮机械的欧拉公式
（3）连续方程计算流量
( w n ) d A
( w n ) d A ( w n ) d A ( w n ) d A 0
A1 A2 Aw
任 意 r 都 有 ( w n ) d A
复习 §3.1 流体动力学积分型基本方程
1. 质量体和控制体 2. 随体导数和局部导数 3. 输运公式
D Dt Q dV D * ( t ) t t0
2007-03
Q
D
t
dv
Q V ndA
4. 质量体上的守恒方程 —— Lagrange 积分型方程 5. 控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程 6. 定常流中的常用公式 7. 非惯性坐标系中的守恒方程 Turbulence Research Laboratory
Q m u 2 r2 u 1 r1 e z
Q m r1 w1 cos 1 r2 w 2 cos 2 e z
M Q m r2 u 2 w 2 co s 2 r1 u 1 w1 co s 1 e z
Q m r2 v 2 co s 2 r1 v1 co s 1 e z Q m r2 v 2 u r1 v1 u e z
r V (V n )dA
t
(e
D
1 2
V )dV
2
f V dV
D
Tn V d A
D
(q q R )dV
n TdA
(e
1 2
V )V ndA
2
定常流中的常用公式
A1
Turbulence Research Laboratory
本周习题：
3.8 3.9 3.10 3.11 3.13 3.19
Turbulence Research Laboratory
控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程
D
t
dV V ndA
t t
V dV
D
fdV
D
Tn d A
(V n )V dA
r V dV
D
r fdV
D
r Tn d A
复习
5. 控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程
(Q ( e
1 2
1 2
（4）能量方程
D t D ( t )
*
V ))
*
2
D
(e
V )dV
2
D ( t ) f V d V ( t ) Tn V d A
*
D (t )
*
(q qR )dV
1 2
(t ) n T d A
*
D Dt
D (t )
*
(e
1 2
V )dV
2
t
(e
D
V )dV
2
(e
1 2
V )V ndA
2
t
D
(e
1 2
V ) dV
2
D
f V dV
2
Tn V dA
w2
u
Vu
v1 u1
1 1
w1
r1
o
动坐标系 原点移动 加速度
向心 加速度
切向 加速度
科氏 加速度
Turbulence Research Laboratory
积分型方程汇总
非惯性坐标系中的守恒方程
f a f
a V o ( t ) ω ( ω r ) ω r + 2 ω V
Turbulence Research Laboratory
§3.2 积分型守恒方程的应用
计算流动过程中流体作用在周围物体上的合力与合力矩
解题的一般方法和步骤 1. 选取恰当的坐标系，使得流动在该坐标系中相对定常； 2. 选取恰当的控制体： # 控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量； # 一般可选固体壁面或流面作为控制面，使其上输运量为零或可求。 3. 利用沿流管的连续方程和 Bernoulli 方程求出流入、流出边界上未知流动 参数； 4. 计算动量输运量及动量矩输运量、质量力合力及合力矩，由动量方程和动量 矩方程求出流体和周围物体之间的作用力和力矩等 积分量。
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例3、叶轮机械的欧拉公式 （5）计算叶轮对流体做功的功率：
叶轮对流体所作共功的功率等于作用力矩乘以角速度
N M Q m ( r2V 2 u r1V1 u ) Q m ( u 2V 2 u u 1V1 u )
Turbulence Research Laboratory
例1、Venturi 流量计的基本原理
这是一种连接在管路中测ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不可压缩 流体定常流动体积流量的一种常用仪
器，当测定流动的进口与喉部压差和 已知进口与喉部面积时，便可以计算 通过Venturi管的流量。
已知：理想不可压流体定常流动，假定在管流截面上流速均匀分布， 入口面积A1、喉部面积A2 ，测得入口与喉部压差Δp 求： 通过管道的质量流量Qm
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例2、不可压缩流体对弯管管壁的作用力
y
p2 V2 A2 n2
理想不可压缩流体流过水平弯管的
定常流动，计算流动过程中作用在
弯管上的合力。
V1 A1
已知：弯管入口和出口面积A1、A2，
入口速度V1，入口压力p1
求：
管内流体对弯管的作用力
Turbulence Research Laboratory
①
① = 0;
r T n d A r w ( w n )d A
② ( 定常流动
③
)
④
② = r ( f a ) d V Q m ( u 2 r2 u 1 r1 ) e z
③= ④=
的能量方程 --- Bernoulli 方程
p
e
1 2
V
2
CL
(4)不可压缩理想流体在势力场中定常流动的 Bernoulli 公式
p
1 2
V
2
CL
重力场中
gz
Turbulence Research Laboratory
复习 7. 非惯性坐标系中的守恒方程
某些情况下，在非惯性坐标系中流动定常
Ar
( w n ) d A 0
A1
Qm
0
2
( w n ) rd
0
2
( w r ) d
r2 r r1 ez
Turbulence Research Laboratory
例3、叶轮机械的欧拉公式
（4）动坐标系中的动量矩方程： D r w d v D r ( f a ) d v t
外力做的功 外界的 传导热 通过控制面 流入的能量
控制体内总能量 的变化率
D ( q q R ) dV n T dA
(e
1 2
V ) V n dA
Turbulence Research Laboratory
复习
6. 定常流中的常用公式
Turbulence Research Laboratory
§3.2 积分型守恒方程的应用
(1)选择坐标系：选择固定于叶轮，和叶轮一起旋转的坐标系，为非惯性系
a V o ( t ) ω ( ω r ) ω r + 2 ω V
速度三角形
v2
u2
2 2
§3.2 积分型守恒方程的应用
例3、叶轮机械的欧拉公式
1、简介：叶轮模型 2、假设： (1) 忽略叶片厚度及叶片形状在轴 向的变化，认为流动参数在轴向均 匀分布，即为平面流动； (2) 忽略机械摩擦； (2) 质量力为重力； (3) 在流动平面上，叶轮进出口处 流速均匀分布。 3、已知：叶轮的几何参数，进口速度V1，出口速度V2， 质量流量Qm，动轮转动角速度ω为常数， 求：叶轮与流体间相互作用的力矩在轴向的投影Mz 和传递的功率N
V n d A V n d A
A2
1 V1 n 1 A1 2 V 2 n 2 A2
p p
(
p
p
V
e
2
1 2
V )V ndA 0
2
1 2
e V
2
1 2
V
2
CL
1 2
CL
gz C L
例3、叶轮机械的欧拉公式
（3）连续方程计算流量
( w n ) d A
( w n ) d A ( w n ) d A ( w n ) d A 0
A1 A2 Aw
任 意 r 都 有 ( w n ) d A
复习 §3.1 流体动力学积分型基本方程
1. 质量体和控制体 2. 随体导数和局部导数 3. 输运公式
D Dt Q dV D * ( t ) t t0
2007-03
Q
D
t
dv
Q V ndA
4. 质量体上的守恒方程 —— Lagrange 积分型方程 5. 控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程 6. 定常流中的常用公式 7. 非惯性坐标系中的守恒方程 Turbulence Research Laboratory
Q m u 2 r2 u 1 r1 e z
Q m r1 w1 cos 1 r2 w 2 cos 2 e z
M Q m r2 u 2 w 2 co s 2 r1 u 1 w1 co s 1 e z
Q m r2 v 2 co s 2 r1 v1 co s 1 e z Q m r2 v 2 u r1 v1 u e z
r V (V n )dA
t
(e
D
1 2
V )dV
2
f V dV
D
Tn V d A
D
(q q R )dV
n TdA
(e
1 2
V )V ndA
2
定常流中的常用公式
A1
Turbulence Research Laboratory
本周习题：
3.8 3.9 3.10 3.11 3.13 3.19
Turbulence Research Laboratory
控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程
D
t
dV V ndA
t t
V dV
D
fdV
D
Tn d A
(V n )V dA
r V dV
D
r fdV
D
r Tn d A
复习
5. 控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程
(Q ( e
1 2
1 2
（4）能量方程
D t D ( t )
*
V ))
*
2
D
(e
V )dV
2
D ( t ) f V d V ( t ) Tn V d A
*
D (t )
*
(q qR )dV
1 2
(t ) n T d A
*
D Dt
D (t )
*
(e
1 2
V )dV
2
t
(e
D
V )dV
2
(e
1 2
V )V ndA
2
t
D
(e
1 2
V ) dV
2
D
f V dV
2
Tn V dA
w2
u
Vu
v1 u1
1 1
w1
r1