直线与圆的位置关系(1)同步练习
直线与圆的位置关系经典例题
直线与圆的位置关系经典例题一、点与圆的位置关系结合图形认识直线与圆的位置关系，比较OA 与r 的大小关系若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r小练习：1.在△ABC 中，90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（）（A）D 在圆外（B）D 在圆上（C）D 在圆内（D）无法确定二、直线与圆的位置关系（1）实验创境：用移动的观点认识如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，太阳和海平面就有图中的几种位置关系。
（可让学生用硬币自己操作演示）根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系：、、。
（2）用数量关系判断从以上的一个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：若要判断圆与直线的位置关系，可以将______与_____进行比较大小，由比较的结果得出结论。
典型例题：例1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线MN 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米。
分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点？例2.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，r 为半径作圆，当3,4.2,2===r r r 时，⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系？★①直线l 和⊙O 相交d r ②直线l 和⊙O 相切d r ③直线l 和⊙O 相离d r1、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是2、已知：⊙A 的直径为6，点A 的坐标为)4,3(--，则⊙A 与x 轴的位置关系是；⊙A 与y 轴的位置关系是。
三、切线的判定实验探究：在练习纸上画⊙O ，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过A 点作直线l ⊥OA ，判断直线l 是否与⊙O 相切？为什么？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线；那么，直接从直线和圆的位置上观察，具备什么条件的直线也是圆的切线呢？两个条件缺一不可（1）经过半径外端（2）垂直于这条半径切线判定定理：经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。
人教版九年级数学上册：24.2.2直线和圆的位置关系(第一课时)同步测试题及答案(新审)
么：
(1)当直线 AB 与⊙ M 相离时， r 的取值范围是
；
(2)当直线 AB 与⊙ M 相切时， r 的取值范围是
；
(3)当直线 AB 与⊙ M 标系O xOy 中，以点（－ 3，4）为圆心B ， 4 为半径的圆与 x 轴
轴
．
，与 y
15．如图，直线 y
11．⊙ O 半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，且 d 与 r 是方程 x2 9x 20 0 的两根， 则直线 l
与⊙ O 的位置关系是
．
12．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 6， BC ＝2． 8，⊙ O 是以 AB 为直径的圆，则直线 DC 与⊙ O
的位置关系是
．
D
C
A
B
13．如图，已知∠ AOB=30 °， M 为 OB 上一点，且 OM=5cm ，若以 M 为圆心， r 为半径作圆，那
2
14．与 x 轴相切，与 y 轴相交
15．3
三、解答题
16．解：过 A 作 AD ⊥ BC 于点 D, 则 BD=CD=3
∴ AD
AB 2 BD 2 4
∴⊙ A 与直线 BC 相切．
17．解：∵ BC＞ AC
∴以 C 为圆心， r 为半径所作的圆与斜边 AB 有两个交点，则圆的半径应大于
由勾股定理知， AB AC 2 BC 2 5
交
B．相切
C．相离
D ．无法确定
） A ．相
7．如图， 在平面直角坐标系中， ⊙ O 的半径为 1，则直线 y x 2 与⊙ O 的位置关系是 （
）
A ．相离
B．相切
C ．相交
D ．以上三种情况都有可能
8．如图， e O1 的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2 为正方形 ABCD 中心， O1O2 ⊥ AB
九年级数学下册《直线和圆的位置关系》同步练习1(含答案)
O图3-23PBAC 6 直线和圆的位置关系【基础练习】 一、填空题：1. 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，当r = 4.5 cm ，4.8 cm ，5 cm 时，圆与AB 的位置关系分别是 ；2. 已知：⊙O 的半径为6cm ，P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，若PB = 4 cm ，则P A = ；3. 如图3-23，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点， PC 切⊙O 于点C ，若∠A = 28°，则∠PCB = °.二、选择题：1. P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，C 是⊙O 上一点，若 ∠P = 50°，则∠ACB 的度数为（ ）；A. 40°B. 65°C. 115°D. 65°或115°2. 如图3-24， AB 是⊙O 弦，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，OC 交⊙O 于点E . 若AB = BC = OA ，则∠BOD 与∠DOE 的度数分别为（ ）. A. 20°，25° B. 25°，20° C. 30°，15° D. 15°，30°三、解答题：1. 已知P A 切⊙O 于点A ，直线l 经过切点A ，且垂直于P A ，直线l 一定经过圆心O 吗？为什么？2．已知P A 切⊙O 于点A ，直线l 经过圆心O ，且垂直于P A ，直线l 一定经过切点A 吗？为什么？O图3-24DE BA CO 图3-25D E BAC【综合练习】已知：如图3-25，△ABC 的∠A 的平分线和它的外接圆O 相交于点D ，BE 切⊙O 于点B . 试判断点D 到BC 和到BE 的距离间的关系，并证明你的结论.【探究练习】如图3-26，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，AB 、PO 相交于点C . 在不添加其他线段和字母的条件下，根据题设提供的信息，写出至少五个正确结论.O图3-26PB A C参考答案【基础练习】一、1.相离，相切，相交； 2. 8 cm； 3. 28.二、1. D； 2. C.三、1.略. 2.略.【综合练习】点D到BC和到BE的距离相等（提示：过B作⊙O的直径BF，连接DB、DF）.. 【探究练习】∠OAB =∠OBA =∠APO =∠BPO，∠POA =∠POB，∠P AB =∠PBA，OA⊥P A，OB⊥PB，AB⊥PO，AC = BC，P A = PB，△AOC∽△P AC∽△POA，OA2 = OC·OP，AC2 = OC·PC等.。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-6直线和圆的位置关系关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.6直线和圆的位置关系关系》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何三角形有且只有一个内切圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．正多边形一定是中心对称图形2．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M 是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分面积为（）A．1+B．1+C．2sin20°+D．3．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（）A．5B．2C．5或2D．2或﹣1 5．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH ＝30°时，PE+PF的值是（）A．4B．2C．4D．值不确定6．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（）A．∠P AO＝∠PBO＝90°B．OP平分∠APBC．P A＝PB D．∠AOB＝7．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB，垂足为D，若AD＝3，BC＝2，则△ABC的内切圆的面积为（）A．πB．（4﹣2）πC．（）πD．2π8．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（）A．①②④B．③④C．①②③D．①②③④9．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC＝195°，则∠BAC的大小是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．如图：P A切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中错误的是（）A．∠APO＝∠BPO B．P A＝PBC．AB⊥OP D．C是PO的中点二．填空题11．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△P AB的周长为．12．如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为．13．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD＝3，AB ＝4，BC＝6，则△PDC的面积的最小值是．14．已知正方形ABCD边长为2，DE与以AB的中点为圆心的圆相切交BC于点E，求三角形DEC的面积．15．平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，1为半径画圆，平面内任意点P（m，n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+5＝0，过点P作⊙O的切线，切点为A，当P A长最小时，点P 到原点O的距离为．16．如图，I为△ABC的内心，有一直线经过点I且分别与AB、AC相交于点D、点E．若AD＝DE＝5，AE＝6，则点I到BC的距离为．三．解答题17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，圆心在四边形对角线AC上的⊙O与CD边相切于点E．（1）求证：BC是ʘO的切线；（2）若O是AC的中点，点E是CD的中点，∠CAD＝30°，⊙O的半径R＝3，求CD 的长．18．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED 与AB的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．19．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．20．△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O 的切线DF，交AB的延长线于F．（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB 相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．22．如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．23．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案一．选择题1．解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；B．任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；D．正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故D不符合题意；故选：B．2．解：连接OT、OC，∵PT切⊙O于点T，∴∠OTP＝90°，∵∠P＝20°，∴∠POT＝70°，∵M是OP的中点，∴TM＝OM＝PM，∴∠MTO＝∠POT＝70°，∵OT＝OC，∴∠MTO＝∠OCT＝70°，∴∠TOC＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠COM＝30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH＝OC＝1，S阴影＝S△AOC+S扇形OCB＝+＝1+，故选：A．3．解：连接OE，OD，∵圆O切AC于E，圆O切AB于D，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，∵∠A＝90°，∴∠A＝∠ODA＝∠OEA＝90°，∵OE＝OD，∴四边形ADOE是正方形，∴AD＝AE＝OD＝OE，设OE＝AD＝AE＝OD＝R，∵∠A＝90°，∠OEC＝90°，∴OE∥AB，∴△CEO∽△CAB，同理△BDO∽△BAC，∴△CEO∽△ODB，∴＝，即＝，解得：R＝，故选：A．4．解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，三边上的切点分别为D、E、F，连接ID、IE、IF，得正方形，则正方形的边长即为r，如图所示：当BC为直角边时，AC＝＝10，根据切线长定理，得AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，∴AF+FC＝AC＝10，即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；当BC为斜边时，AC＝＝2，根据切线长定理，得BD＝BF＝6﹣r，CE＝CF＝2﹣r，∴BC＝BF+CF＝6﹣r+2﹣r＝8，解得r＝﹣1．答：这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1．故选：D．5．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A．6．解：∵P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，OP平分∠APB，P A＝PB，则A、B、C正确，不符合题意；∠AOB的度数与的度数相等，D错误，符合题意；故选：D．7．解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB ∴△ADC∽△CDB∴CD2＝AD•DB∴CD2＝3DBRt△CDB中，CB2＝CD2+DB2∴4＝3DB+DB2解得DB＝1或DB＝﹣4（舍去）∴CB＝2∴AC＝2设△ABC内切圆半径为r，内心为O，连OA、OB、OC由面积法可知S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB∴∴r＝＝∴内切圆半径为π（）2＝（4﹣2）π故选：B．8．解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，∵∠AOD＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD，∴弧AC＝弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD＝90°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，∴∠PCD+∠OCD＝90°，∴∠PCO＝90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，∴3∠ABC＝90°，∴∠ABC＝30°，已知没有给出∠B＝30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF＝弧AG，∴AG＝CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ＝AG，OZ＝AG，BZ＝BG，∴OZ＝CQ，∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ＝BZ＝BG，∴④正确．故选：A．9．解：∵I是△ABC的内心，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠BCA，∵∠DIB+∠EIC＝195°，∴∠DIE+∠BIC＝165°，由折叠过程知∠BAC＝∠DIE，∴∠BAC+∠BIC＝165°∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∴∠IBC+∠ICB＝90°﹣∠BAC，又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）＝180°，∠BIC+（90°﹣∠BAC）＝180°，∴∠BIC＝90°+∠BAC，∴∠BAC+90°+∠BAC＝165°，∴∠BAC＝50°故选：B．10．解：∵P A、PB是⊙O的切线，切点是A、B，∴P A＝PB，∠BPO＝∠APO，∴选项A、B错误；∵P A＝PB，∠BPO＝∠APO，∴OP⊥AB，∴选项C错误；根据已知不能得出C是PO的中点，故选项D正确；故选：D．二．填空题11．解：∵P A、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，OP平分∠APB，P A＝PB，∵∠APB＝60°，∴△P AB是等边三角形，AB＝2AC，PO⊥AB，∴∠P AB＝60°，∴∠OAC＝∠P AO﹣∠P AB＝90°﹣60°＝30°，∴AO＝2OC，∵OC＝1，∴AO＝2，∴AC＝，∴AB＝2AC＝2，∴△P AB的周长＝6．故答案为：6．12．解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝22+（4﹣x）2，∴x＝2.5，∴CP＝2.5；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝2，PM＝4，在Rt△PBM中，PB＝＝2，∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．故答案是：2.5或4﹣2．13．解：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，如图，过P 作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH＝（AD+BC）＝4.5，过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC﹣AD＝3，∴CD＝EF＝5，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，∴AE+BF＝EF＝5，∴OG＝（AE+BF）＝2.5，∴GH＝OH﹣OG＝4.5﹣2.5＝2，又∵OP＝2，且＝，∴＝，∴PQ＝1.6，∴S△PCD＝PQ•CD＝×1.6×5＝4，故答案为：4．14．解：设∴DE与圆O相切于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAD＝∠OBC＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝2，∵OA、OB是圆O的半径，∴DA与圆O相切于点A，EB与圆O相切于点B，∵DE与圆O相切于点F，∴DA＝DF＝2，EB＝EF，设EB＝EF＝x，则EC＝BC﹣EB＝2﹣x，DE＝DF+EF＝2+x，在Rt△DEC中，DC2+CE2＝DE2，∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝，∴EC＝BC﹣EB＝2﹣x＝，∴三角形DEC的面积＝EC•DC＝××2＝1.5，故答案为：1.5．15．解：如图，连接OA，∵m﹣n2+5＝0，∴n2＝m+5，∴n2﹣9＝m+5﹣9＝m﹣4，∴点P的坐标为（m，m﹣4），即点P在直线y＝x﹣4上，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，∴OB＝OC＝4，∴BC＝4，∵P A与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP，∵OA＝1，∴当OP最小时，P A最小，当OP⊥BC时，OP最小，此时OP＝BC＝2，答：当P A长最小时，点P到原点O的距离为2．故答案为：2．16．解：根据题意点I在DE上，连接AI，作IG⊥AB于点G，IJ⊥BC于点J，作IH⊥AC 于点H，作DF⊥AE于点F，如右图所示：∵AD＝DE＝5，AE＝6，DF⊥AE，∴AF＝3，∠AFD＝90°，∴DF＝＝＝4，设IH＝x，∵I为△ABC的内心，∴IG＝IJ＝IH＝x，∵S△ADE＝S△ADI+S△AEI，∴＝+，解得x＝，∴IJ＝，即I点到BC的距离是．故答案为：．三．解答题17．（1）证明：连接OE，过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA＝∠DCA，∴OF＝OE，∵OE是⊙O的半径，∴BC是ʘO的切线；（2）解：∵O是AC的中点，点E是CD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE∥AD，∴∠COE＝∠CAD＝30°，在Rt△OCE中，OE＝3，∴CE＝OE tan30°＝3×＝，∴CD＝2CE＝2．18．（1）证明：连接OD，∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠DAO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是AC的中点，∴EA＝ED＝AC，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EDA+∠ODA＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠F＝30°，BF＝2，∠ODF＝90°，∴OF＝2OD，∴OB+2＝2OD，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝2，∵∠DOF＝90°﹣∠F＝60°，∴△DOB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，在Rt△ABC中，AB＝2OB＝4，∴BC＝＝＝8，∵△ABC外接圆的半径＝BC＝4，∴△ABC外接圆的半径为：4．19．（1）证明：如图1，延长DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD与⊙O相切；（2）解：解法一：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴，∵AE＝OE，∴，∴＝，∴OF＝4，∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，∴DE＝＝＝6．解法二：如图2，连接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝6，由勾股定理得：DE＝＝＝6．20．（1）证明：连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，∴DF∥BC；（2）解：连接OB，∵，∴∠BOD＝∠BAC，由（1）知OD⊥BC，∴tan∠BOD＝，∵tan∠BAC＝2，∴，设ON＝x，BN＝2x，由勾股定理得：OB＝3x，∴OD＝3x，∴DN＝3x﹣x＝2x，Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，∴，x＝2或﹣2（舍），∴OB＝OD＝3x＝6，Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．21．解：（1）证明：如图，连接OE，∵NM是BE的垂直平分线，BN＝EN，∴∠B＝∠NEB，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠OEN＝90°，即OE⊥EN，∵OE是半径，∴EN是⊙O的切线；（2）如图，连接ON，设EN长为x，则BN＝EN＝x∵AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，∴CN＝4﹣x，OC＝AC﹣OA＝3﹣1＝2，∴OE2+EN2＝OC2+CN2，∴12+x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，∴EN＝．连接ED，DB，设AE＝y，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵⊙O的半径为1．∴AD＝2，则DE2＝AD2﹣AE2＝22﹣y2，∵CD＝AC﹣AD＝3﹣2＝1，∴DB2＝CD2+BC2＝17，∵AD为直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴DE2+EB2＝DB2，即22﹣y2+（5﹣y）2＝17，解得y＝，∴EN＝，AE＝．22．（1）证明：连接OC，∵P A是半⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴CD＝AD，∴OP是AC的垂直平分线，∴PC＝P A，∵OC＝OA，OP＝OP，∴△OCP≌△OAP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB＝6，∴OA＝OB＝3，∵∠ADO＝90°，∠CAB＝30°，∴OD＝OA＝，∴AC＝2AD＝，∴S△AOC＝AC•OD＝，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∴S扇形AOC＝，∴S＝S扇形AOC﹣S△AOC＝．23．（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DF A＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．。
直线和圆的位置关系同步练习含答案解析
直线和圆的位置关系同步练习含答案解析一、选择题1．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，E ，F 为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF ．若⊙O 的半径为，CD=4，则弦EF 的长为（ ）A ．4B ．2C ．5D ．62．如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 的中点，点O 是线段AE 上的一个动点（不与A 、E 重合），以O 为圆心，OB 为半径的圆与边AD 相交于点M ，过点M 作⊙O 的切线交DC 于点N ，连接OM 、ON 、BM 、BN ．记△MNO 、△AOM 、△DMN 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．S 1＞S 2+S 3B ．△AOM ∽△DMNC ．∠MBN=45°D ．MN=AM+CN3．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 均在函数y=（k ＞0，x ＞0）的图象上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切．若点B 的坐标为（1，6），⊙A 的半径是⊙B 的半径的2倍，则点A 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，3）C ．（3，2）D ．（4，）4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．15．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°二、填空题6．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为______．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=______度．8．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O通过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是______．9．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④不管点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．10．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是______．11．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F．若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则那个圆锥的高是______．12．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为______（不取近似值）．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为______．14．一走廊拐角的横截面积如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度差不多上1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为______m．15．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C 作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=______．三、解答题16．如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；（2）求CD的长．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BD•BA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．18．如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．19．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．21．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．22．如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判定以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．25．（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC．（2）如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．26．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．27．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．29．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．30．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．《24.2.2 直线和圆的位置关系》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（）A．4 B．2C．5 D．6【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】压轴题；数形结合．【分析】第一连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．【解答】解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH=CD=×4=2，∵⊙O的半径为，∴OA=OC=，∴OH==，∴AH=OA+OH=+=4，∴AC==2．∵∠CDE=∠ADF，∴=， ∴=，∴EF=AC=2． 故选：B ．【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意把握数形结合思想的应用．2．如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 的中点，点O 是线段AE 上的一个动点（不与A 、E 重合），以O 为圆心，OB 为半径的圆与边AD 相交于点M ，过点M 作⊙O 的切线交DC 于点N ，连接OM 、ON 、BM 、BN ．记△MNO 、△AOM 、△DMN 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．S 1＞S 2+S 3B ．△AOM ∽△DMNC ．∠MBN=45°D ．MN=AM+CN【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）如图作MP ∥AO 交ON 于点P ，当AM=MD 时，求得S 1=S 2+S 3，（2）利用MN 是⊙O 的切线，四边形ABCD 为正方形，求得△AOM ∽△DMN ．（3）作BP ⊥MN 于点P ，利用Rt △MAB ≌Rt △MPB 和Rt △BPN ≌Rt △BCN 来证明C ，D 成立．【解答】解：（1）如图，作MP ∥AO 交ON 于点P ，∵点O 是线段AE 上的一个动点，当AM=MD 时，S 梯形ONDA =（OA+DN ）•ADS △MNO =S △MOP +S △MPN =MP •AM+MP •MD=MP •AD ， ∵（OA+DN ）=MP ，∴S △MNO =S 梯形ONDA ，∴S 1=S 2+S 3，∴不一定有S 1＞S 2+S 3，（2）∵MN 是⊙O 的切线，∴OM ⊥MN ，又∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，∴∠AOM=∠DMN ，在△AMO 和△DMN 中，，∴△AOM ∽△DMN ．故B 成立；（3）如图，作BP ⊥MN 于点P ，∵MN，BC是⊙O的切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，∴∠AMB=∠PMB，在Rt△MAB和Rt△MPB中，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，在Rt△BPN和Rt△BCN中，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，MN=MP+PN=AM+CN．故C，D成立，综上所述，A不一定成立，故选：A．【点评】本题要紧考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（）A．（2，2） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，）【考点】切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特点．【专题】数形结合．【分析】把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，依照⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．【解答】解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，则函数的解析式是：y=，∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，∴⊙B的半径是1，则⊙A是2，把y=2代入y=得：x=3，则A的坐标是（3，2）．故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于通过切点的半径．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】连接OD、OE，先设AD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x），可证明△AOD∽OBE，再由比例式得出AD的长即可．【解答】解：连接OD、OE，设AD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴=，∴=，解得x=1.6，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行运算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．5．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【考点】切线的性质．【专题】几何图形问题．【分析】连接OC，依照切线的性质求出∠OCD=90°，再由圆周角定理求出∠COD的度数，依照三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，点C是切点，∴∠OCD=90°．∵∠BAC=25°，∴∠COD=50°，∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于通过切点的半径是解答此题的关键．二、填空题6．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为．【考点】切线的性质；平行四边形的性质；弧长的运算；扇形面积的运算．【专题】几何图形问题．【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．专门明显图中阴影部分的面积=△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式运算即可．【解答】解：连接AC，∵DC 是⊙A 的切线，∴AC ⊥CD ，又∵AB=AC=CD ，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠CAD=∠ACB=45°，又∵AB=AC ，∴∠ACB=∠B=45°，∴∠FAD=∠B=45°， ∵的长为， ∴，解得：r=2，∴S 阴影=S △ACD ﹣S 扇形ACE =． 故答案为：．【点评】本题要紧考查了扇形的面积运算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，连接AD ．若∠A=25°，则∠C= 40 度．【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】运算题．【分析】连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，依照OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．【解答】解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练把握切线的性质是解本题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O通过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是12或4 ．【考点】切线的性质；矩形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=：2，得：EG：EN=：1，依据勾股定理即可求得AB的长度．【解答】解：边AB所在的直线可不能与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，∴EN=NF，又∵EG：EF=：2，∴EG：EN=：1，又∵GN=AD=8，∴设EN=x，则，依照勾股定理得：，解得：x=4，GE=，设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2得：r2=16+（8﹣r）2，∴r=5．∴OK=NB=5，∴EB=9，又AE=AB，∴AB=12．同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，∴OH=AN=5，∴AE=1．又AE=AB，∴AB=4．故答案为：12或4．【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．9．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④不管点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．【考点】切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】①只有一组对应边相等，因此错误；②依照切线的性质可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB=OC=BC；③依照切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，进而求得PB=BC=OB；④连接OC，依照题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【解答】解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，∴△CPD∽△DPA错误；②连接OC，∵AB是直径，∠A=30°∴∠ABC=60°，∴OB=OC=BC，∵PC是切线，∴∠PCB=∠A=30°，∠OCP=90°，∴∠APC=30°，∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°==，∴PC=BC，正确；③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，∴∠ABC=∠APC+∠A，∵∠ABC+∠A=90°，∴∠APC+2∠A=90°，∵∠APC=30°，∴∠A=∠PCB=30°，∴PB=BC，∠ABC=60°，∴OB=BC=OC，∴PB=OB；正确；④解：如图，连接OC，∵OC=OA，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPO+∠COP=90°，∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°；正确；故答案为：②③④；【点评】本题要紧考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形．10．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P 作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 2 ．【考点】切线的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，因此x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴，∵PA=x，PB=y，半径为4，∴=，∴y=x2，∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练把握性质及定理是解本题的关键．11．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠C=120°，以点C为圆心的与AB，AD分别相切于点G，H，与BC，CD分别相交于点E，F．若用扇形CEF作一个圆锥的侧面，则那个圆锥的高是2．【考点】切线的性质；菱形的性质；圆锥的运算．【分析】先连接CG，设CG=R，由勾股定理求得扇形的半径即圆锥的母线长，依照弧长公式l=，再由2π•r=，求出底面半径r，则依照勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：如图：连接CG，∵∠C=120°，∴∠B=60°，∵AB与相切，∴CG⊥AB，在直角△CBG中，CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3，设圆锥底面的半径为r，则：2πr=，∴r=1．则圆锥的高是： =2．故答案为：2．【点评】本题考查的是圆锥的运算，先利用直角三角形求出扇形的半径，运用弧长公式运算出弧长，然后依照底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径．12．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为﹣π（不取近似值）．【考点】切线的性质；直角梯形；扇形面积的运算．【专题】几何图形问题．【分析】连接OE，依照∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，可得出AB与BD，可证明△OBE为等边三角形，即可得出∠C=30°．阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积﹣三角形ABD的面积﹣三角形OBE的面积﹣扇形ODE的面积．【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，∴BD=2，∴AB=3，∵OB=OE，∠DBC=60°，OF⊥BE，∴OF=，∵CD为⊙O的切线，∴∠BDC=90°，∴∠C=30°，∴BC=4，S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE=﹣﹣﹣=﹣﹣﹣π=﹣π．故答案为：﹣π．【点评】本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的运算，要熟悉扇形的面积公式．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 a ．【考点】切线的性质；切割线定理；相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，同时可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．【解答】解：如图，连接OE、OF，∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴OECF是正方形，∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，∴a2=BH（BH+a），∴BH=a或BH=a（舍去），∵OE∥DB，OE=OH，∴△OEH∽△BDH，∴=，∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为： a．【点评】考查了切线的性质，本题需认真分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．14．一走廊拐角的横截面积如图所示，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度差不多上1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN与⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为（4﹣2）m．【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；正方形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，证得四边形BKOH是正方形，然后证得OB通过点P，依照勾股定理求得OB的长，因为半径OP=1，因此BP=2﹣1，然后求得△BPM≌△BPN 得出P是MN的中点，最后依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．【解答】解：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于K，∵DE、FG分别与⊙O相切于E、F两点，∴OE⊥ED，OF⊥FG，∵AB∥DE，BC∥FG，∴OK⊥AB，OH⊥BC，∵∠EOF=90°，∴四边形BKOH是矩形，∵两组平行墙壁间的走廊宽度差不多上1m，⊙O半径为1m，∴OK=OH=2，∴矩形BKOH是正方形，∴∠BOK=∠BOH=45°，∵P是的中点，∴OB通过P点，在正方形BKOH中，边长=2，∴OB=2，∵OP=1，∴BP=2﹣1，∵p是MN与⊙O的切点，∴OB⊥MN，∵OB是正方形BKOH的对角线，∴∠OBK=∠OBH=45°，在△BPM与△BPN中∴△BPM≌△BPN（ASA）∴MP=NP，∴MN=2BP，∵BP=2﹣1，∴MN=2（2﹣1）=4﹣2，故答案为：4﹣2【点评】本题考查了圆的切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，O、P、B三点共线是本题的关键．15．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C 作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．【考点】切线的性质．【专题】运算题．【分析】连接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度数求出∠BCO的度数，利用外角性质求出∠AOC度数，利用切线长定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出∠AOM为30°，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长．【解答】解：连接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案为：．【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练把握切线的性质是解本题的关键．三、解答题16．如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；（2）求CD的长．【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设⊙O的半径为R，依照切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R2+122=（R+8）2，解得R=5，即OD的长为5；（2）依照垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可运算出CE=，因此CD=2CE=．【解答】解：（1）设⊙O的半径为R，∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，∵OB2+AB2=OA2，∴R2+122=（R+8）2，解得R=5，∴OD的长为5；（2）∵CD⊥OB，∴DE=CE，而OB⊥AB，∴CE∥AB，∴△OEC∽△OBA，∴=，即=，∴CE=，∴CD=2CE=．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于通过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BD•BA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．【考点】切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明；（3）利用正方形的性质证明．【解答】证明：（1）如图，连接OD．∵DE为切线，∴∠EDC+∠ODC=90°；∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=BE．∴EB=EC，即点E为边BC的中点；（2）∵AC为直径，∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，又∵∠B=∠B∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°∴Rt△ABC为等腰直角三角形．【点评】本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点．试题着重对基础知识的考查，难度不大．18．如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．【考点】切线的性质；矩形的性质；扇形面积的运算；相似三角形的判定；专门角的三角函数值．【专题】综合题．【分析】（1）由条件可证∠AED=∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．（2）由DF与⊙O相切，DH=OH=OG=3可得∠ODG=30°，从而有∠GOE=120°，并可求出DG、EF长，从而能够求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而能够求出图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°．∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．∵∠A=∠B ，∠AED=∠EFB ，∴△ADE ∽△BEF ．（2）解：∵DF 与⊙O 相切于点G ，∴OG ⊥DG ．∴∠DGO=90°．∵DH=OH=OG ，∴sin ∠ODG==．∴∠ODG=30°．∴∠GOE=120°．∴S 扇形OEG ==3π．在Rt △DGO 中，cos ∠ODG===． ∴DG=3． 在Rt △DEF 中，tan ∠EDF===． ∴EF=3．∴S △DEF =DE •EF=×9×3=， S △DGO =DG •GO=×3×3=． ∴S 阴影=S △DEF ﹣S △DGO ﹣S 扇形OEG =﹣﹣3π =.9﹣3π ≈9×1.73﹣3×3.14=6.15≈6.2∴图中阴影部分的面积约为6.2．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、专门角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．19．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）连结OC，OA，先依照等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C 为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中依照三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再依照∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先依照相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．【点评】本题考查的是切线的性质，依照题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再依照切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，因此∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，依照三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，依照勾股定理可运算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，依照相似比可运算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．∴AE=AC﹣CE=2﹣=．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于通过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．21．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度．【考点】切线的性质；弧长的运算．【专题】几何综合题．【分析】（1）要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由弧DE的长度为4π，能够求得∠DOE的度数，再依照切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论．（2）依照90°的圆周角对的弦是直径，能够求得EF，的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，即可得到答案．【解答】（1）证明：连接OD、OE，∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，又∵弧DE的长度为4π，∴，∴n=60，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，∴∠B=∠EDA，∴DE∥BC．（2）连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF=∠C=90°，∴FD是⊙0的直径，由（1）得：∠EFD=∠EOD=30°，FD=24，∴EF=，又∵∠EDA=30°，DE=12，∴AE=，又∵AF=CE，∴AE=CF，∴CA=AE+EF+CF=20，又∵，∴BC=60．【点评】本题考查了勾股定理以及圆的性质的综合应用，解答本题的关键在于90°的圆周角对的弦是直径这一性质的灵活运用．22．如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连结OC，依照切线的性质得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，依照对顶角相等得∠ADE=∠PDC，因此∠PCD=∠PDC，因此依照等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；（2）连结OD，BG，在Rt△COF中依照含30度的直角三角形三边的关系可运算出OC=2，由于∠FOC=90°﹣∠F=60°，依照三角形外角性质可运算出∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，可判定△PCD 为等边三角形；再由D为AC的中点，依照垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可运算出OD=OC=1，CD=OD=，因此△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，运算出DE=AD=，AE=DE=，依照圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可运算出AG．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，∵GE⊥AB，∴∠GEA=90°，∴∠2+∠ADE=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，。
九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.5直线与圆的位置关系》(1) 练习试题试卷 含答案
课时练2.5直线与圆的位置关系一、选择题1.圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（）A.当d=8cm时，直线与圆相交B.当d=4.5cm时，直线与圆相离C.当d=6.5cm时，直线与圆相切D.当d=13cm时，直线与圆相切2.已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.相离、相切、相交都有可能3.直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交4.如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.无法确定5.已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.如图，两个圆的圆心都是点O，AB是大圆的直径，大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D．则下列结论不一定成立的是（）A.BD=CDB.AC⊥BCC.AB=2ACD.AC=2OD7.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是()A.1cmB.2cmC.8cmD.2cm或8cm8.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是()A.AG=BGB.AB∥EFC.AD∥BCD.∠ABC=∠ADC9.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为()A.8B.6C.5D.410.如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知CD=6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△CMN），则剪下的△CMN的周长是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm二、填空题11.在平面直角坐标系中，⊙C的圆心为C（a，0），半径长为2，若y轴与⊙C相离，则a 的取值范围为.12.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4.以点C为圆心作圆，当⊙C与边AB只有一个交点时，则⊙C的半径的取值范围是.13.已知圆O的半径为5，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为．14.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=____度.15.如图，在⊙O中，弦AB=OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB=OB，则PA与⊙O的位置关系是_________.16.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t(秒)满足条件时，⊙P与直线CD相交.三、解答题17.如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP 上移动.（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？18.如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD ⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点.（1）判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长.19.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．20.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③．（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．参考答案1.C.2. A.3. D.4. B.5. C.6.C．7.D.8.C9.D10.B11.a＜﹣2或a＞2.12.r=2或4＜r≤4.13.5．14.4515.相切16.4＜t＜8.17.解：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，作O′C⊥PA于C，∵∠P=30度，∴O′C=PO′=1cm，∵圆的半径为1cm，∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，当移动到C″时，相切，此时C″P=PO′=2，∵OP=3，∴OO'=1，OC''=OP+C''P=3+2=5∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交，故答案为：：1cm＜d＜5cm.18.解：（1）直线DP与⊙O相切.理由如下：连接OC，如图，∵AC是∠EAB的平分线，∴∠EAC=∠OAC∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠ACO=∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切线；（2）作CH⊥AB于H，如图，∵AC是∠EAB的平分线，CD⊥AD，CH⊥AB，∴CH=CD=4，∴OH==3，∵OC⊥CP，∴∠OCP=∠CHO=90°，而∠COP=∠POC，∴△OCH∽△OPC，∴OC：OP=OH：OC，∴OP==，∴PB=OP﹣OB=﹣5=.19.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．20.（1）当AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线；当∠ABC=∠EAC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AB⊥EF，∴EF为⊙O的切线；故答案为AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；（2）证明：如图2，作直径AD，连结CD，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠D，∴∠EAC+∠CAD=90°，∴AD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（3）如图3，作直径AD，连结CD，BD，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∵∠CAE=∠ABC，∴∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，而∠DAC=∠DBC，∴∠DAE=∠ABD=90°，∴AD⊥EF，∴EF为⊙O的切线．。
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r点P到圆心的距离为OP＝d点P在⇔d＞r点P在⇔d＝r点P在⇔d＜r。
2.三点圆：不在直线上的三个点一个圆。
3.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆这个圆叫做三角形的圆．外接圆的圆心是三角形三条边的的交点叫做这个三角形的外心。
考点2直线和圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有两个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线。
（2）直线和圆只有一个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线这个点叫做点。
（3）直线和圆没有公共点时我们说这条直线和圆。
（4）设⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离d直线l和⊙O⇔d＜r直线l和⊙O⇔d＝r直线l和⊙O⇔d＞r。
2.切线的判定定理和性质定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线于过切点的半径。
3.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上这点和点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
4.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的．内切圆的圆心是三角形三条的交点叫做三角形的内心。
限时训练:一选择题：在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·全国·同步练习)以点P(1,2)为圆心r为半径画圆与坐标轴恰好有三个交点则r应满足( )A. r=2或√ 5B. r=2C. r=√ 5D. 2≤r≤√ 52.(2024·全国·同步练习)如图在△ABC中O是AB边上的点以O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D BD平分∠ABC AD=√ 3OD AB=12CD的长是( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 3D. 4√ 33.(2024·江苏省·同步练习)下列命题中真命题的个数是( ) ①经过三点可以作一个圆②一个圆有且只有一个内接三角形③一个三角形有且只有一个外接圆④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等⑤直角三角形的外心是三角形斜边的中点。
人教版九年级数学下直线和圆的位置关系1同步练习含答案
24.2.2第1课时直线和圆的位置关系;知识点1直线与圆的位置关系的判定;1．如图24－2－11，直线l与⊙O有三种位置关系：;图24－2－11(1)图①中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的;________；(2)图②中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；(3)图③中直线l与⊙O________，________公共点．;;2．2016·梧州已知半径为5的圆，其圆心到一条直线的距离是3，则此直线和圆的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．无法确定3．如图24－2－12，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线，记为l，则下列说法正确的是();图24－2－12A．当BC＝0.5时，l与⊙O相离B．当BC＝2时，l与⊙O相切C．当BC＝1时，l与⊙O相交D．当BC≠1时，l与⊙O不相切4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定()A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相交C．与x轴相交，与y轴相切D．与x轴相交，与y轴相交5．如图24－2－13，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________．图24－2－136．在Rt△ABC中，∠A＝30°，直角边AC＝6 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是________．知识点2直线与圆的位置关系的应用7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是()A．r＜6 B．r＝6 C．r＞6 D．r≥68．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．9．如图24－2－14所示，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？(2)分别以点C为圆心，2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？图24－2－1410．已知⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为6.5 cm，则直线l与⊙O的交点个数为()A．0 B．1C．2 D．无法确定11．如图24－2－15，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为()图24－2－15A．1 B．1或5 C．3 D．512．如图24－2－16，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是()图24－2－16A．1 cm B．2 cmC ．8 cmD ．2 cm 或8 cm13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，若以点C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是______________________________．14．如图24－2－17，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．图24－2－1715．如图24－2－18，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，若AO ＝x cm ，⊙O 的半径为1 cm ，当x 在什么范围内取值时，直线AC 与⊙O 相离、相切、相交？图24－2－1816．如图24－2－19所示，P 为正比例函数y ＝32x 的图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )．(1)求当⊙P 与直线x ＝2相切时，点P 的坐标；(2)请直接写出当⊙P 与直线x ＝2相交、相离时，x 的取值范围．图24－2－1917．如图24－2－20，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．已知重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．图24－2－20教师详解详析1．(1)相交 两 割线 (2)相切 一 切线 (3)相离 没有 2．C3．D [解析] 若BC ≠1，则OC ＝OB ＋BC ≠2. ∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，∴点O 到直线l 的距离＝12OC ≠1，∴l 与⊙O 不相切，故D 正确． 4．C 5.相离6．相切 [解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵∠A ＝30°，AC ＝6 cm ，∴CD ＝3 cm.∵CD ＝3 cm ＝r ，∴⊙C 与AB 相切．7．C [解析]∵直线l 与⊙O 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d ＜r ，即r ＞d ＝6.故选C. 8．4 [解析]∵R ，d 是关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切，∴d ＝R ，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝16－4m ＝0，解得m ＝4.故答案为4.9．解：(1)如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D .在Rt △ABC 中，BC ＝82－42＝4 3(cm)，所以CD ＝4 3×48＝2 3(cm)．因此，当半径为2 3cm 时，直线AB 与⊙C 相切． (2)由(1)可知，圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 3cm ，所以 当r ＝2 cm 时，d ＞r ，⊙C 与直线AB 相离； 当r ＝4 cm 时，d ＜r ，⊙C 与直线AB 相交．10．C [解析]∵⊙O 的半径为7 cm ，圆心O 到直线l 的距离为6.5 cm ，7 cm ＞6.5 cm ，∴直线l 与⊙O 相交，∴直线l 与⊙O 有两个交点．故选C.11．B [解析] 根据题意和图形可判断出⊙P 与x 轴的两个交点坐标，如图所示．∵点P 的坐标为(－3，0)，⊙P 的半径为2，∴点A 的坐标为(－5，0)，点C 的坐标为(－1，0)．当圆心到y 轴的距离为2时，⊙P 与y 轴相切，也就是当点A 或点C 与点O 重合时，⊙P 与y 轴相切．当点C 与点O 重合时，点P 的坐标为(－2，0)，此时点P 沿x 轴正方向平移了1个单位长度；当点A 与点O 重合时，点P 的坐标为(2，0)，此时点P 沿x 轴正方向平移了5个单位长度．故选B.12．D [解析] 连接OB .∵AB ⊥OC ，∴AH ＝BH ，∴BH ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △BOH 中，OB ＝OC ＝5 cm ，∴OH ＝OB 2－BH 2＝52－42＝3(cm)．∵直线l 通过平移与⊙O 相切，∴直线l 垂直于过点C 的直径，垂足为直径的两个端点，∴当直线l 向下平移时，平移的距离＝5－3＝2(cm)；当直线l 向上平移时，平移的距离＝5＋3＝8(cm)．13．5＜r ≤12或r ＝6013[解析] 根据勾股定理求得直角三角形的斜边长＝52＋122＝13.当圆和斜边相切时，半径即为斜边上的高，等于6013；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而不大于长直角边，即5＜r ≤12.14．(6，2)或(－6，2) [解析] 依题意，可设P (x ，2)或P (x ，－2)．①当点P 的坐标是(x ，2)时，将其代入y ＝12x 2－1，得2＝12x 2－1，解得x ＝±6，此时P (6，2)或(－6，2)；②当点P 的坐标是(x ，－2)时，将其代入y ＝12x 2－1，得－2＝12x 2－1，即－1＝12x 2，此时方程无实数根．综上所述，符合条件的点P 的坐标是(6，2)或(－6，2)．15．解：作OD ⊥AC 于点D .∵∠C ＝90°，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°. ∵AO ＝x cm ，∴OD ＝12x cm.(1)若⊙O 与直线AC 相离，则有OD >r ，即 12x ＞1，解得x ＞2； (2)若⊙O 与直线AC 相切，则有OD ＝r ，即 12x ＝1，解得x ＝2； (3)若⊙O 与直线AC 相交，则有OD <r ，即 12x ＜1，解得x ＜2，∴0<x <2. 综上可知：当x ＞2时，直线AC 与⊙O 相离；当x ＝2时，直线AC 与⊙O 相切；当0＜x ＜2时，直线AC 与⊙O 相交．16．解：(1)过点P 作直线x ＝2的垂线，垂足为A .当点P 在直线x ＝2的右侧时，AP ＝x －2＝3，∴x ＝5，此时y ＝32×5＝152，∴P ⎝⎛⎭⎫5，152；当点P 在直线x ＝2的左侧时，AP ＝2－x ＝3， ∴x ＝－1，此时y ＝32×(－1)＝－32，∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 综上所述，当⊙P 与直线x ＝2相切时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，152或⎝⎛⎭⎫－1，－32. (2)当－1＜x ＜5时，⊙P 与直线x ＝2相交；当x ＜－1或x ＞5时，⊙P 与直线x ＝2相离．17．解：(1)过点A 作ON 的垂线段，交ON 于点P ，如图①.在Rt △AOP 中，∠APO ＝90°，∠POA ＝30°，OA ＝80米，所以AP ＝12OA ＝80×12＝40(米)，即对学校A 的噪声影响最大时，卡车P 与学校A 的距离是40米．(2)以点A 为圆心，50米长为半径画弧，交ON 于点D ，E ，连接AD ，AE ，如图②.在Rt △ADP 中，∠APD ＝90°，AP ＝40米，AD ＝50米，所以DP ＝AD 2－AP 2＝502－402＝30(米)．同理可得EP ＝30米，所以DE ＝60米． 又因为18千米/时＝5米/秒，605＝12(秒)，所以卡车P 沿公路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．。
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Y X
O
B
课时作业 直线与圆的位置关系(1)
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，⊙C 与AB 相切，则⊙C 的半径为（ ） A ．8 B ．4 C ．9.6 D ．4.8 2．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B ＝20°，则∠C 等于（ ）
A ．20°
B ．25°
C ． 40°
D ．50°
C
3．如图P A 为⊙O 的切线,A 为切点，割线PBC 过圆心O ,∠ACP ＝30°,OC ＝1cm ，则P A 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．2cm D ．3cm 4．如图，若⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，切线CD 与AB 的延长线交于点D ,且的半径为2，则CD 的长为（ ）
A ．2 3
B ．4 3
C ． 2
D ． 4
5．如图, AB 是 ⊙O 的直径, C 、D 是 ⊙O 上的点, ∠CDB ＝ 30°,过点C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 E , 则 sin ∠E 的值为( )
A ．12
B ．32
C ．22
D ．
3
3
E
A
A
A
6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙0与BC 相切于点B ，则AC 等于( ) A ．2 B ．3 C ．22 D ．32
7．如图，中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为（ ）
A ．2．3
B ．2．4
C ．2．5
D ．2．6
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与X 轴相切于B ,与Y 轴交于C (0,1) D (0,4) 两点，则点A 的坐标是（ ） A ．(32，52) B ．( 3
2
,2)
C．(2, 5
2) D．(
5
2,
3
2)
9．如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA＝40°，则∠ADC＝．
C
10．如图，点P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2cm，∠P＝30°，则OP＝cm．
11．如图，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为弧AB上任一点，∠ACB＝108°，∠BAD＝__________．
的交点，且P A＝8，PB＝4，则⊙O的半径为．
14．如图，AB是⊙O的直径，
P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10
，∠P＝30°，则AC的长度是____________．
15．AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于（）
16．如图，⊙M与x轴相交于A（2，0）、B（8，0），与y轴相切于点C，P是优弧AB上的一点，则tan∠APB为_____________．
17．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若sin ∠EGC ＝3
5
，⊙O 的半径是3，求AF 的长．
18．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于E ，F ，连接B D ．
（1）求证：AF ⊥EF ；（2）若AC ＝6，CF ＝2，求⊙O 的半径．
19．已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT ＝50°，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D ．
（1）如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；（2）如图②，当BE ＝BC 时，求∠CDO 的大小．
20．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB 延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、A C．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°
①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．。