降维技术(3)-PCA实例
数据降维的技术与应用
数据降维的技术与应用随着数据科学的发展，数据的产生和存储越来越多。
然而，复杂的数据集往往存在着大量的冗余信息和噪声，这些信息会使得数据的处理和分析变得越来越困难。
为了更好地利用这些数据，我们需要采用数据降维的技术，这种技术能够削减数据集中的冗余和噪声，从而使得数据集更加紧凑和可控。
1. 数据降维的概念数据降维是指将高维数据集转化为低维数据集的过程，通过降低数据集的维度，可以减少数据集中的冗余信息和噪声，从而提高数据的处理效率和分析准确性。
在实际应用中，采用数据降维技术可以有效地提高机器学习算法的准确性和效率，同时可以节省计算资源和存储空间。
2. 常见的数据降维技术（1）主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的数据降维技术，它通过线性变换将原始数据集从高维空间映射到低维空间。
在降维过程中，PCA能够最大限度地保留原数据集中的信息。
具体来说，PCA通过选择保留最大方差的特征向量，将原始数据集投影到低维空间中，从而实现数据的降维。
（2）t-SNEt-SNE全称为t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding，是一种非线性降维技术。
与PCA不同的是，t-SNE着眼于保留数据集中的局部相似性信息。
t-SNE能够在保留数据集的结构和特征的同时，将高维数据映射到低维空间中。
（3）因子分析因子分析是一种常用的降维技术，其通过寻找共性和特异性因子来解释一个数据集。
它能够将一组高度相关的变量转化为较小的几个因子，并对这些因子进行解释。
在实际应用中，因子分析通常用于数据压缩、提取特征等领域。
3. 数据降维的应用（1）图像压缩图像压缩是数据降维技术的一个重要应用领域。
通过降低图像的维度，可以有效地减少图像的储存空间，同时提高图像处理的速度和效率。
（2）模式识别模式识别是另一个重要的应用领域，数据降维技术在该领域有着广泛的应用。
通过降低数据集的维度，可以使得机器学习算法更加准确地分类和预测。
PCA降维算法详解以及代码示例
PCA降维算法详解以及代码⽰例转载地址：1. 前⾔PCA ： principal component analysis ( 主成分分析)最近发现我的⼀篇关于PCA算法总结以及个⼈理解的博客的访问量⽐较⾼，刚好⽬前⼜重新学习了⼀下PCA （主成分分析）降维算法，所以打算把⽬前掌握的做个全⾯的整理总结，能够对有需要的⼈有帮助。
⾃⼰再看⾃⼰写的那个关于PCA的博客，发现还是⽐较混乱的，希望这⾥能过做好整理。
本⽂的所有总结参考了Andrew Ng的PCA教程，有兴趣的可以⾃⼰学习。
上⼀篇关于PCA 的博客：，在这篇博客中，有关于我最初在读研的时候关于PCA的认识，但是不是很系统，然后⾥⾯却给出了很多我总结的⽹络上的资料，以及根据我个⼈使⽤的经验总结的感悟，所以还是收到了很多的好评， o(∩∩)o...哈哈，谢谢各位的⽀持。
@copyright by watkins.song ^_^2. PCA的应⽤范围PCA的应⽤范围有：1. 数据压缩1.1 数据压缩或者数据降维⾸先能够减少内存或者硬盘的使⽤，如果内存不⾜或者计算的时候出现内存溢出等问题，就需要使⽤PCA获取低维度的样本特征。
1.2 其次，数据降维能够加快机器学习的速度。
2. 数据可视化在很多情况下，可能我们需要查看样本特征，但是⾼维度的特征根本⽆法观察，这个时候我们可以将样本的特征降维到2D或者3D，也就是将样本的特征维数降到2个特征或者3个特征，这样我们就可以采⽤可视化观察数据。
3. PCA原理简介3.1 基础⼊门这⾥我只给出在需要使⽤PCA的时候需要了解的最基本的PCA的原理，了解这些原理后对于正常的使⽤没有问题，如果想要深⼊了解PCA，需要学习⼀些矩阵分析的知识，更加详细的PCA算法请见wikipedia。
⾸先，我们定义样本和特征，假定有 m 个样本，每个样本有 n 个特征，可以如下表⽰：由简到难，先看⼀下从2D 降维到1D的⽐较直观的表⽰：在上图中，假设只有两个特征x1, x2, 然后需要降维到1D，这个时候我们可以观察途中X所表⽰的样本点基本上分布在⼀条直线上，那么就可以将所有的⽤(x1, x2)平⾯表⽰的坐标映射到图像画出的直线z上，上图中的⿊⾊铅笔线表⽰样本点映射的过程。
PCA降维降噪原理及应用ppt课件
设有带噪声信号
把有用信号理解为主要维度，噪声与有用信号的相关性不大，在特 征分解之后，去掉多余维度，达到去噪的目的。 求解过程：取100个样本，每个样本采样点1000，即100个1000个 特征值的矩阵，求协方差及特征值，取特征值最大的主分量
矩阵线性变换 EA=X
单位矩阵 E
E的求解过程， 即PCA求解步
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记录 、列
字段、行
两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩 阵中每一行行向量为基所表示的空间中去；如果（R<6) => 降维 。
满足保留主成分& 降维=>变换矩阵E 需要满足什么要求呢？
即成为主成分的信息分量之间互不相关
（主成分 就是线性变换后互相不相关的一组向量）
1 记录 来自同一个样本的各个特征维度信息；在矩阵中构成列 2 字段 各个样本在同一个特征维度上的信息；在举证中构成行 3 矩阵基 任何一组线性不相关的向量 （1,1）（1，-1）
4 M个N维的样本点 = M个样本 N 个特征维度=NxM 的举证
至此，我们得到了降维问题的优化目标：将一组N维向量降为K维 （K大于0，小换到这组基上后，各字段两两间（不同维度间）协方差为0，而字段 （同一个维度上的样本点间）的方差则尽可能大。
寻找K个向量基，使得样本点在K个向量基上投影点间的 方差最大，协方差最小
1 PCA 2 PCA降维原理 3 PCA降维应用 4 总结
思考：
1）特征重合问题 2）特征相关 3）特征多导致过拟合 4）样本噪声干扰
数据挖掘中的特征降维技术
数据挖掘中的特征降维技术在当今信息爆炸的时代，我们面对的数据量越来越庞大，这给数据分析带来了巨大的挑战。
特征降维技术作为数据挖掘中的重要工具，可以帮助我们从大量的特征中提取出最有价值的信息，简化数据分析的过程。
本文将介绍数据挖掘中常用的特征降维技术，并探讨其应用和优势。
一、主成分分析（PCA）主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的特征降维技术。
它通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得新坐标系下的数据具有最大的方差。
这样做的目的是减少数据的维度，同时保留最重要的信息。
PCA的优势在于可以减少数据的冗余信息，降低数据维度，提高数据分析的效率。
例如，在图像处理中，使用PCA可以将高维的图像数据降维到二维或三维，从而更方便地进行图像识别和分类。
此外，PCA还可以用于数据可视化，通过将高维数据降维到二维或三维，我们可以更直观地观察数据的分布情况，发现其中的规律和趋势。
二、线性判别分析（LDA）线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种常用的特征降维技术，主要用于分类问题。
与PCA不同的是，LDA不仅考虑了数据的方差，还考虑了数据的类别信息。
其目标是在降低数据维度的同时，最大化不同类别之间的差异，使得数据在新的低维空间中更容易被分类器分开。
LDA的优势在于可以提高分类的准确性。
通过将高维数据降维到低维空间，LDA可以减少类别重叠的情况，提高分类器的性能。
例如，在人脸识别中，使用LDA可以将高维的人脸图像降维到低维空间，从而更容易识别和区分不同的人脸。
三、非负矩阵分解（NMF）非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）是一种特征降维技术，主要用于非负数据的分析。
与PCA和LDA不同的是，NMF将原始数据分解为非负的基向量和系数矩阵，从而实现特征的降维。
pca应用实例
PCA应用实例介绍主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)是一种常用的统计学方法，主要用于降维和数据可视化，通过线性变换将原始数据映射到新的坐标系中。
PCA通过找到数据中的主要方差贡献方向，实现数据的降维，同时保留了原始数据的主要信息。
本文将通过多个实例，详细讨论PCA在实际问题中的应用，并介绍其原理和优缺点。
实例一：图像处理1.1 问题描述在图像处理中，图像通常由二维矩阵表示，每个像素点包含了RGB三个通道的数值。
然而，某些图像数据维度非常大，每个像素点可能包含多个通道，这对于后续的处理和分析来说是一个挑战。
1.2 基于PCA的解决方案通过应用PCA，我们可以将高维图像数据降低至低维表示，同时保留了图像数据的主要信息。
具体步骤如下：1.将图像数据转化为矩阵形式。
2.对矩阵进行中心化处理，即将每个像素点的数值减去其所在通道的均值。
3.计算协方差矩阵。
4.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
5.根据特征值的大小，选择主成分个数。
6.将原始图像数据投影到所选择的主成分上，得到新的低维表示。
1.3 优缺点分析优点：•可以降低图像数据的维度，减少计算量。
•可以去除图像数据中的冗余信息，强调关键特征。
•可以提高图像处理的效果和速度。
缺点：•可能会损失部分图像细节信息。
•在特征值较小时，协方差矩阵的估计误差较大。
实例二：金融风险管理2.1 问题描述在金融风险管理中，需要对大量的金融指标进行分析，以便确定投资组合的风险情况。
然而，不同的金融指标之间可能存在相关性，导致数据具有高度的冗余。
2.2 基于PCA的解决方案通过应用PCA，我们可以将多个相关的金融指标转化为一组无关的主要成分，从而降低数据的维度，减少冗余度。
具体步骤如下：1.收集金融数据并进行预处理，包括缺失值处理和数据标准化。
2.计算协方差矩阵。
3.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
世界降维的例子
世界降维的例子
世界降维是一种在处理高维数据时常用的技术，它的核心思想是将高维数据投影到低维空间，以便更好地理解和分析数据。
以下是一些世界降维的例子：
主成分分析（PCA）：PCA是一种常用的降维技术，它通过找到数据中的主要方差方向，将高维数据投影到低维空间。
在PCA中，最重要的几个主成分能够解释数据中的大部分方差，从而将高维数据降维到低维空间。
线性判别分析（LDA）：LDA是一种有监督学习的方法，用于将高维数据投影到低维空间，使得同类数据尽可能接近，不同类数据尽可能远离。
LDA常用于人脸识别、图像分类等任务。
t-分布邻域嵌入算法（t-SNE）：t-SNE是一种非线性降维技术，它通过使用概率模型来度量高维数据点之间的相似性，将高维数据点投影到低维空间。
t-SNE常用于可视化高维数据，使得相似的数据点在低维空间中尽可能接近。
随机森林：随机森林是一种集成学习算法，它可以用来进行特征选择和降维。
通过训练多个决策树并取平均值，随机森林能够选择出对预测结果最重要的特征，从而实现降维。
深度学习：深度学习是一种复杂的机器学习技术，它可
以通过学习数据的内在结构和模式来进行降维。
深度学习模型中的卷积层、池化层等都可以看作是对数据的降维操作。
以上是一些常见的世界降维的例子，这些方法各有特点，需要根据具体任务选择合适的降维技术。
世界降维的例子
世界降维的例子世界降维是指将高维空间的事物、现象或概念转化为低维空间的过程。
在物理学、数学和计算机科学等领域，世界降维是一种重要的思维方式和方法。
通过降维，我们可以更好地理解和处理复杂的问题，简化计算和分析过程，并发现隐藏在数据背后的规律和关联。
下面将介绍几个世界降维的例子。
1.主成分分析(PCA)主成分分析是一种常用的降维技术。
它通过线性变换将高维数据集投影到低维空间中，保留最大方差的成分，并丢弃其余成分。
例如，假设有一个包含许多特征的数据集，我们可以使用主成分分析找到可以代表数据集大部分信息的几个主要特征，从而降低数据的维度。
主成分分析在许多领域中被广泛应用，如图像处理、数据挖掘和模式识别等。
2.流形学习流形学习是一种非线性降维技术，它通过学习数据样本之间的流形结构来降低数据的维度。
流形是指在高维空间中具有低维结构的数据分布。
通过发现和利用数据样本之间的流形关系，流形学习可以将高维数据映射到低维空间中，从而减少数据的复杂性。
例如，t-SNE算法可以将高维数据集映射为二维或三维空间，以便于可视化和理解。
3.嵌入式特征选择嵌入式特征选择是一种将高维特征集与降维结合的方法。
它通过学习模型的同时选择出最重要的特征，从而减少特征的数量并提高模型性能。
例如，L1正则化可以通过惩罚模型参数中的非零系数来实现特征选择。
通过减少模型中不相关或冗余的特征，嵌入式特征选择可以大大降低特征空间的维度。
4.矩阵分解矩阵分解是一种将高维矩阵降维的技术。
它通过将一个大矩阵分解为几个低维矩阵的乘积，从而减少数据的维度和计算复杂度。
例如，奇异值分解(SVD)可以将一个矩阵分解为三个低秩矩阵的乘积。
这种分解可以帮助我们发现数据中的主要模式，并对数据进行降维和压缩。
5.时间序列降维时间序列降维是指对时间序列数据进行降维的方法。
由于时间序列数据通常具有高维度和复杂性，降维可以提高数据的易解释性和模型的性能。
例如，动态时间规整(DTW)是一种常用的时间序列降维方法，它通过计算两个时间序列之间的最佳对齐路径来减少数据的维度。
降维打击的经典案例
降维打击的经典案例
降维打击是指将高维空间中的问题转化为低维空间中的问题来求解。
以下是几个降维打击经典案例：
1.PCA降维。
2.t-SNE可视化。
t-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）是一种数据可视化算法，主要用于展示高维数据的结构。
它通过将高维数据映射到低维空间中的相似度矩阵，来反映数据之间的相似度关系。
t-SNE在机器学习中常用于数据分析、聚类分析等领域。
3.LDA主题建模。
LDA（Latent Dirichlet Allocation）是一种主题建模方法，其目的是从文本数据中发掘出隐含的主题信息。
LDA通过将文本数据降维到主题空间中，从而实现文本的聚类、分类等工作。
4.SVM分类器。
SVM（Support Vector Machine）是一种经典的分类器，它利用核函数将高维空间中的数据映射到低维空间中实现分类。
SVM的优势在于可以处理高维数据，因此在文本分类、图像分类等领域有广泛应用。
这些经典案例中，降维方法应用灵活多变，通过将高维数据转化为低维数据，实现各种机器学习任务的处理。
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ˆ 2．求 R 的特征根与特征向量以及主成分 ˆ ˆ 由 R 的特征方程 | R I s | 0 解得5个非负特征根，其中 1 2.721, 2 1.738 。由于
1 2
5
i 1 i
5
2.721 1.738
0.8918 0.85
所以，只需求前两个主成分， 1， 2 所对应的单位 化特征向量的计算结果列在表6.2中：
y1 0.503x1 0.500x 0.479x 0.060x4 0.513x5 2 3 y2 0.337x1 0.292x 0.382x 0.746x4 0.315x5 2 3 其中 ( x1 ,, x5 )T是 X ( x1 ,, x5 )T经过标准化变换
386.09
xk 2
16521 8210 15349 16760 7721 8123 13308 13781 14043 11126 22392 12508 12102 11990 9678 6513 18664 7329 14311 6443
12403.66
xk 3
6.46 8.89 10.09 7.67 6.47 12.33 5.05 4.10 4.29 7.63 2.94 0.69 2.76 3.80 3.55 6.4l 2.31 5.89 4.93 14.08
y11, 2 0.337 1.64 0.292 2.381 0.382 ( 1.105) 0.746 0.637 0.315 2.343 0.934
又如第6工厂的 y6, 2为 y6,2 0.405 可见第11工厂的盈利能力比第6工厂强。 例6.2 服装定型的分类问题。 某服装厂为解决服装定型的分类问题，曾对 个成年男人进行了体型测量，共测量了16个 指标：
0.38 0.39 0.90
下档x6
手长x7 领围x8 前胸x9 后背x10 肩厚x11 肩宽x12 袖长x13 肋围x14 腰围x15 腿肚x16
75.5
19.4 35.8 36.0 34.8 12.2 20.7 75.1 73.3 86.3 50.1
4.4
1.1 1.6 2.6 2.6 1.1 1.4 3.4 4.2 3.7 2.9
x7 19.2 0.8 0.56 0.35 0.30 0.52 0.51
x8 35.5 2.3 0.11 0.17 0.50 0.04 0.02
xi xi
164.5 90.0 85.7 38.1 96.0
si* 1
6.8 3.7 3.2 6.5 4.9
0.79 0.36 0.96 0.89 0.31 0.74 0.58
y k 1 0.503x 1 0.500x 2 0.479x 3 0.060x 4 0.513x 5 , k k k k k ( k 1,2,,20)
如第11工厂的
x11,i
x11 ( x11,1 ,, x11,5 )T
，其中
今对这20个工厂同时按这5项指标收集数 据，见表6.1所示。
表6.1 原始数据表
分量 样品
Xl XX3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20
xk 1
243.87 240.31 211.15 413.18 349.60 205.47 298.11 414.94 287.25 308.93 608.40 433.92 572.63 533.78 545.70 284.61 572.07 409.86 564.02 221.20
得到的标准化向量。 3．主成分的意义与作用 首先分析第一主成分 y1 有何意义。在 y1中， x 4 的系数0.060相对地很小，这表明 x 4 在 y1 中 x 的负荷量很小， 4 所起的作用很小。
2 而 x1 , x , x5 的系数都在0.5左右，它们在 y1中起 x 着明显的减值作用，（百元产值的流动资金占 3 y x3 用率）取值越大， 1 的值就越小， 是反映经营 y 能力的变量。因此， 1在综合了其他变量反映的 信息基础上，突出地反映了经营能力的大小。 现用第一主成分 y1 来评价每个工厂的经营能 力的大小：
于是
y11,1 3.785
又如第6工厂，同理可算得
其中 于是
X 6 ( 1.332,1.02,1.964,0.209,1.082)T
x 6 ,i
x 6 ,i x i S ii
( i 1, ,5)
y6,Байду номын сангаас 2.636
将各工厂第一主成分的计算结果列在表6.1 中的右侧一栏中，从的各值可以看出，第11 工厂的经营能力最大，第6工厂的经营能力最 小。
0.53
–0.03
0.01
0.24 0.29 0.25 0.10 0.44 0.79 0.16 0.38 0.12 –0.04 0.49 0.44 0.30 0.32 0.51 0.51 0.38
续表
Ⅱ组 指标 x9 36.3 2.1 164.5 90.0 85.7 38.1 96.0 75.5 0.22 0.21 0.43 0.19 0.11 0.04 2.4 0.32 0.26 0.45 0.27 0.28 0.18 x10 34.3 1.0 0.12 0.17 0.50 0.15 –0.05 0.02 x11 12.1 1.3 0.34 0.28 0.13 0.39 0.01 0.33 x12 20.2 2.9 0.71 0.50 0.28 0.71 0.68 0.65 x13 73.7 6.1 0.39 0.28 0.70 0.40 0.22 0.14 x14 74.4 3.9 0.42 0.44 0.62 0.41 0.25 0.12 x15 85.0 3.1 0.15 0.15 0.55 0.09 –0.00 –0.08 x16 49.3 2.3 0.11 0.17 0.50 0.04 0.02 –0.03
T 1 5
再利用式（6.24）求出样本相关矩阵
经计算得
1 ˆ R X T X 55 19
1 对 1 称 0.4523 ˆ R 0.7762 0.4818 1 0.3958 1 0.3495 0.4248 0.5612 0.7346 0.4240 0.4951 55
0.79
0.76 0.26 0.21 0.26 0.07 0.52 0.77 0.25 0.51 0.27
0.58
0.55 0.19 0.07 0.16 0.21 0.41 0.47 0.17 0.35 0.16
0.30
0.35 0.58 0.28 0.33 0.38 0.35 0.41 0.64 0.58 0.51
§6.1.6 应用示例
例6.1 企业的经济效益的分析 某公司有20个工厂，现要对每个工厂作经 济效益分析，从所取得的生产成果同所消耗的 人力、物力、财力的比率，选取5个指标（变 量）作分析： x1 ——固定资产的产值率； x 2 ——净产值的劳动生产率； x 3 ——百元产值的流动资金占用率； x 4 ——百元产值的利润率； x 5 ——百元资金的利润率。
x x1——身长， x 5 ——裤长，x 9——前胸， 13 ——袖长， x x x 2——坐高， x 6 ——下裆， 10——后背， 14 ——肋围， x x 3——胸围， x 7 ——手长， 11——肩厚， 15 ——腰围， x
x 4——头高， x 8 ——领围， 12——肩宽， 16 ——腿肚。 x x
ˆ | R(I) I 16 | 0
ˆ | R(II) I 16 | 0
与
分别解得16个非负特征根
1 2 16 ; 1 2 16 0
并分别计算出两组的累积方差贡献率，一并列 入表6.4中。 表6.3 样本均值、样本均方差、样本相关矩 阵表
其测量数据从略。为了使加工出来的服装适合绝大 多数成年男人穿用，在服装定型研究中，需要从上述 16项指标中定出起主要作用的综合指标，依这些综合 指标进行批量生产，这就归结成主成分分析问题了。
在数据的处理过程中，为了验证观察结果的重 复性，又将样品分为Ⅰ、Ⅱ两组，每组128人。 1．分别求出两组的样本均值x i、样本均方差 S ii、样 ˆ 本相关矩阵 R 。计算方法同例6.1，计算结果一 并列入表6.3中。 ˆ 2．求出两组的R 的特征根、累积方差贡献率、相 应的特征向量，并写出主成分： ˆ 由两组的 R的特征方程
6.32
xk 4
34.57 16.92 29.77 24.14 16.27 18.48 27.35 16.65 17.67 18.39 24.56 20.06 12.08 l1.59 9.46 12.83 17.76 12.23 28.50 30.25
19.98
xk 5
149.85 55.89 80.13 105.35 99.41 46.18 138.76 98.20 58.35 74.23 223.37 118.70 110.43 75.55 61.19 48.15 162.11 76.68 233.58 80.48
现在再来看第二主成分 y 2 有何意义。在 y 2 中， x4 （百元产值的利润率）的系数最大（0.746）， x 其他各变量的系数的绝对值都在0.3左右。 4 取值 y y 越大，2 的取值也明显地增大。因此，2 在综合了其 他变量反映的信息基础上，突出地反映了企业的 盈利水平的高低。 如第11工厂的 y11, 2为
表6.2 前两个特征根对应的单位化特征向量、 特征根、方差贡献率
分量 特征 向量
ai1
0.503