刚体的角动量与转动惯量
转动惯量与角动量的关系
转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量是物体在转动过程中的两个重要物理量，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨转动惯量与角动量的定义、计算方法以及它们之间的关系，帮助读者更好地理解这两个概念。
一、转动惯量的定义和计算方法转动惯量是描述物体对于转动而言惯性的物理量，记作I。
根据定义，转动惯量等于物体质量分布与转轴距离的乘积的积分。
当物体质量分布均匀时，转动惯量可以简化为质量乘以距转轴的平方的积分。
计算转动惯量的方法取决于物体的形状和质量分布。
对于简单的几何形状，如球体、圆柱体、长方体等，可以使用相应的公式进行计算。
例如，对于球体，其转动惯量为2/5乘以质量乘以半径的平方；对于圆柱体，则是1/2乘以质量乘以半径的平方。
对于复杂的物体，可以利用积分的方法进行求解。
二、角动量的定义和计算方法角动量是描述物体旋转状态的物理量，通常用字母L表示。
对于质点的角动量，其定义为速度与距离的乘积。
对于刚体的角动量，其定义为转动惯量与角速度的乘积。
计算角动量的方法也取决于物体的形状和转动情况。
对于质点的角动量，可以用质点的质量乘以速度与距离的乘积来计算；对于刚体的角动量，可以用刚体的转动惯量乘以角速度来计算。
三、根据定义和计算方法，我们可以看出转动惯量和角动量之间存在着密切的关系。
当物体转动惯量增大时，其角动量也相应增大；当物体转动惯量减小时，其角动量也相应减小。
这是因为角动量正比于转动惯量的乘积。
当转动惯量增大时，即物体对于转动具有更大的惯性，需要更大的角速度才能达到相同的角动量。
相反，当转动惯量减小时，物体对于转动的惯性减小，角速度也会相应减小，从而达到相同的角动量。
综上所述，转动惯量和角动量之间的关系是密切相连的。
它们之间的变化是相互影响的，通过改变物体的转动惯量，可以改变其角动量的大小。
这一关系在理解和分析转动过程中的物理现象和实验中具有重要的意义。
结语通过对转动惯量与角动量的定义、计算方法以及它们之间关系的讨论，我们对这两个概念有了更深入的了解。
刚体的角动量_转动动能_转动惯量
1. 刚体的角动量
L
图为以角速度绕定轴oz转动 的一根均匀细棒。
把细棒分成许多质点，其中第i个
质点的质量为 mi
z
Li
ri
Liz
O
Ri mi
当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为
ri
它相对于o点的位矢为Ri
刚体的角动量
则 m对i o点的角动量为：
Li
Ri
mivi
就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在 离轴距离为rG的圆环上。
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
质量dm= 2rdr 。可得
J
r2dm
R
0
2r
3dr
R4
2
1 mR2 2
转动惯量的计算
回转半径 考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为
J miri2 mrG2
i
rG 称为刚体对该定轴的回转半径。
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量
速 度m为i
vi 则该质点的动能为：
刚体做定轴转动时12，各mi质vi2点的角速度相同。
设质点 mi 离轴的垂直距离为 ri ，则它的线速度 vi ri
因此整个刚体的动能
EK
1 2mi
vi2
1 2
miri2 2
刚体的转动动能
式中 是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
式写为
EK
1 2
J 2
，所J 以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因
此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
§7.3 刚体定轴转动的角动量 转动惯量
2 a 2 h / t 自由落体公式：
r
I+I0
T m
T
mg
联系方程： a / r 2h / (rt 2 )
解得：
2 gt I mr 2 ( 1) I 0 2h
例3 已知：弧形闸门 例3 ， R，m， rc 2 3 R o(z) 2 Io 7 9 mR ，a 0.1g，
I x 2 dm x 2 dx
1 3 x 3
l 2 l 2
l 2 l 2
l/2 O
l/2 x dx
x
l3 12
m l3 m 1 将 代入, I ml 2 l 12 l 12
例2 均匀细棒绕垂直于通过左端点转轴的转动惯量。
解：任取一质元 dm dx
i i
I x mi yi2
i
I y mi xi2
i
因此， I
z
Ix Iy
特例：薄圆板 Ix =Iy=mR2/4
6、性质
转动惯量具有可加性 刚体对某轴的转动惯量
各个部分对转轴转动惯量的和
=
例
o l r
Io I杆o I盘o
1 I 杆o m l l 2 3 1 I 盘o mr r 2 mr (r l ) 2 2
T1
x T2 m2 a2 N
[解]建立坐标系，令 x 轴坚直向上， m1 取逆时针方向为正的转动方向。 a1
m1 g T1 m1a1
T2 m2 g m2a2
1 T1 R T2 R mR 2 2
T1
T2
mg
例1
a1 a2 R 由于绳子不可伸长且不打滑 ，
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究在大学物理中，研究刚体运动的转动惯量和角动量是非常重要的。
本文将深入探讨刚体运动中转动惯量和角动量的概念、计算公式以及其在物理学中的应用。
一、转动惯量的概念及计算公式刚体的转动惯量，简称为惯量，是描述刚体旋转运动惯性大小的物理量。
转动惯量的计算与刚体的形状和质量分布有关。
刚体的转动惯量用符号"I"表示，其计算公式为：I = ∑mr²其中，"m"是刚体上各个质点的质量，"r"是该质点到转轴的距离。
对于连续分布的质量，转动惯量的计算将采用积分的方式。
二、角动量的概念及计算公式角动量是描述物体旋转状态的物理量。
在刚体运动中，角动量的大小和方向都很重要。
角动量（L）的计算公式为：L = Iω其中，"I"是刚体的转动惯量，"ω"是刚体的角速度。
刚体的角速度定义为单位时间内转过的角度。
对于质点和刚体的角动量，其大小和方向可以通过力矩（τ）和时间（t）的计算得到。
L = τt三、转动惯量和角动量的应用1. 刚体平衡在研究刚体的平衡时，转动惯量和角动量是非常重要的参考量。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以确定平衡条件，从而解决物体受力平衡问题。
2. 陀螺原理陀螺是刚体运动转动惯量和角动量的经典应用之一。
陀螺的旋转方向不易改变，是因为陀螺具有较大的转动惯量，保持角动量守恒的特性。
3. 物体滚动在物体滚动的过程中，转动惯量和角动量的变化会影响物体的运动。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以理解物体滚动的物理原理，并进行相关的问题求解。
4. 自行车行驶自行车作为一种常见的运动方式，其行驶原理也涉及到转动惯量和角动量。
通过刚体运动的转动惯量和角动量，可以分析自行车的稳定性和行驶效果，为相关问题提供解答。
总结：转动惯量和角动量是刚体运动中重要的物理概念。
它们的计算公式和理论基础为我们解决刚体运动问题提供了重要的数学工具。
转动惯量与角动量
转动惯量与角动量转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量，它们之间存在着密切的关系。
本文将介绍转动惯量和角动量的定义、计算公式以及它们之间的相互关系。
一、转动惯量的定义和计算公式转动惯量是描述刚体对转动的惯性大小的物理量。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量与质量的分布以及旋转轴的位置有关。
转动惯量的计算公式如下：I = ∫r²dm其中，I表示转动惯量，r表示质点到旋转轴的距离，dm表示质点的质量微元。
对于连续体，转动惯量可以通过对质量微元的积分来求得。
二、角动量的定义和计算公式角动量是描述刚体在旋转运动中旋转状态的物理量。
它的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角速度是描述刚体旋转角度改变的快慢程度的物理量。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间的关系可以由角动量定理来说明。
根据角动量定理，刚体所受合外力矩的变化率等于刚体的角动量。
τ = dL/dt其中，τ表示合外力矩，dL/dt表示角动量的变化率。
将角动量的定义代入上式得到：τ = d(Iω)/dt对上式进行求导，得到：τ = Iα其中，α表示角加速度。
由此可见，转动惯量与角动量之间存在线性关系，转动惯量越大，角动量的变化率越小。
四、应用举例1. 陀螺陀螺是一种利用转动惯量和角动量原理运动的玩具。
陀螺转动时，由于转动惯量的存在，它能够保持稳定的旋转状态，称为陀螺的进动。
进动现象是由于陀螺的角动量在地球重力的作用下发生变化。
2. 地球自转地球自转是地球沿着自身轴心旋转运动。
地球的自转轴决定了地球的转动惯量，也影响着地球的气候和地理现象。
地球的自转周期为大约24小时，使得地球上的一天分为白天和黑夜。
3. 运动员旋转在体育竞技中，某些项目需要运动员进行旋转动作。
运动员在旋转时，身体的转动惯量会影响旋转速度和稳定性。
通过调整身体的姿势和肌肉的协调运动，运动员可以实现更稳定和高效的旋转动作。
综上所述，转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量。
转动物体的转动惯量和角动量
转动物体的转动惯量和角动量转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
转动惯量是度量物体转动惯性的物理量，而角动量则是描述物体转动状态的物理量。
一、转动惯量转动惯量是物体抵抗转动的程度，它与物体的质量分布有关。
对于刚体，它的转动惯量公式可以表示为：I = ∫r^2dm其中，I表示转动惯量，r表示离转轴的距离，dm表示物体的微小质量元。
转动惯量可以看作是质量与距离的乘积之和，因此可以用来描述物体对转动的阻力。
转动惯量的计算方法取决于物体的形状和转轴的位置。
对于简单的几何形状，可以使用公式计算转动惯量；对于复杂的形状，可以通过积分来计算转动惯量。
常见几何体的转动惯量公式如下：1. 绕轴线的旋转：I = m*r^2这是最简单的情况，质量为m的物体绕与其垂直的轴线旋转，转动惯量为质量乘以转轴与物体质心距离的平方。
2. 绕端点转动：I = 0物体绕其重心或端点旋转时，转动惯量为零。
这是因为物体的质量分布对转动没有贡献。
3. 绕质心转动：I = m*r^2质量均匀分布的物体绕其质心旋转时的转动惯量等于质量乘以物体尺寸的平方。
4. 绕长直杆的转动：I = (1/3)*m*L^2质量均匀分布的长直杆绕与其垂直的轴线旋转时，转动惯量为质量乘以杆长的平方的1/3。
以上是一些常见情况下的转动惯量计算方法，不同形状和转轴的组合会得到不同的转动惯量。
二、角动量角动量是描述物体转动状态的物理量，它是由物体的转动惯量和角速度共同决定的。
角动量的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角动量与物体的转动状态密切相关，增大转动惯量或角速度都会增大角动量。
对于一个系统，角动量的守恒定律可以表述为：Li = Lf即系统的初始角动量等于系统的最终角动量。
这个定律在转动过程中起到了重要的作用，可以帮助我们理解许多自然现象。
总结：转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
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第五章 刚体的定轴转动
大学物理教研室 孙照宇
第五章 刚体的定轴转动
运动状态 平动 动量
外界影响
定轴转动 L r p
惯性大小 动力学规律 dp F 合外力 质量 dt dL M ？ M r F dt
第五章 刚体的定轴转动
质点以角速度 作半径 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量大小为 L mr 2 刚体可视为很多质元组成 且角动量的方向均相同。
L
m o r
p
m1
L Li
i
i
L mi ri
2
m3
m2
L J
p mv
第五章 刚体的定轴转动
m1
参数r的含义
m3m2m1l1Ol2m3
m2
第五章 刚体的定轴转动
L J
O
ri
mi
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
质量不均匀分布又如何？
M 合外
dL合 dt
t2
t1
Mdt L2 L1
t
t2
1
dp合 F合外 dt Fdt p2 p1
例
第五章 刚体的定轴转动
质量相等 阻力矩相等 末态L2均为零
t2
t1
Mdt L2 L1
L1 t |M |
第五章 刚体的定轴转动
1. 用转动惯量来描述转动惯性的大小 2. 用角动量 来描述定轴转动状态 质点：
质点圆周运动 ：L 刚体： 3. 用外力矩
mr J L J
2
L r mv
来描述外界对转动的影响
平动：动量定理
4. 角动量定理
转动：角动量定理
M 合外
dL合 dt
F合外
dp合 dt
第五章 刚体的定轴转动
训练一种思想： 将未知的、复杂的问题，转化为 已知的、简单的问题， 再积分。
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
与圆环比，有何启示？
第五章 刚体的定轴转动
将圆柱体看成由无数个薄薄的匀质圆盘组成， 则圆柱的转动惯量为各个圆盘转动惯量的和。
1 mi R 2 2 1 1 2 2 mi R = MR 2 i 2
m
4 R 3 3
盘的质量为 dm dV
r 2dh
1 2 盘的转动惯量为 dJ r dm 2
第五章 刚体的定轴转动
盘的转动惯量为 dh 1 r dJ r 2dm h 2 1 2 m r r 2dh 4 3 2 R 3 1 4 m r dh 4 3 2 R 3 1 2 m 2 2 (R h ) dh 4 3 2 R 3 转轴不经过球心，又如何？
第五章 刚体的定轴转动
积分计算吗？ 实心圆柱的转动惯量 – 挖去圆柱的转动惯量
第五章 刚体的定轴转动
物理学中 将未知的、复杂的问题，转化为 已知的、简单的问题， 再积分。 球可否看成是由圆盘组成？
第五章 刚体的定轴转动
dh h
r
球的转动惯量，可看成是 各圆盘的转动惯量的和 盘的半径为 r
R 2 h2
球的转动惯量 写出积分的形式 易知为：
2 J mR 2 5
平行移轴定理
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动
第五章 刚体的定轴转动 回忆：质点的角动量定理
dLi Mi dt
作用于质点 i 的合力对参考 点 O 的力矩 ，等于质点i 对该点 O 的角动量随时间的变化率.
类比记忆：质点系的动量定理 微分形式 积分形式