大学力学总结复习 PPT

N

mg
cos

m
l
2
2

cos

m
l
2

mg
sin

sin
(1)

mg
cos2


3 2
cos

3 2
cos2


3 4
sin 2


sin 2



mg
9 4
cos2


3 2
cos

1 4

(2)
f
mg cos
(2)可将“反转喷头的问题”转换为淹水的易拉罐的演示实验：用一个打开的罐装容器来证明反 转喷水运动原理，如一只无盖的易拉罐，在其靠近底部的柱面上连接一些与实验中类似的弯头喷 嘴。把这个容器放入水中时，水就涌入喷嘴，可看到罐慢慢地超前转，直到水到达它的顶部罐被 完全淹没。这时水将停止流入喷嘴，而这罐也将突然停止转动。当罐碰到底时，罐中水的惯性使 水流出喷嘴，使嘴象正转喷水时那样猛地一动。
喷头将按照吸入周围流体将以何方向运动。问题是理论 物理学家理查德·费曼提出,这个问题深受欢迎。你肯定 是在开玩笑,费曼先生!。问题并非源于费曼,他也没有发 布一个解决的办法。
马里兰大学的“反转喷头”的视图和侧视图
简化的费曼喷头
(1)可将“正转喷头的问题”转换为旋转轮椅演示实验：一个实验者，两手各持一个哑铃，坐 在一张转椅上，两臂伸出，由于实验者和哑铃被看作是一个不受外部转矩作用的封闭系统，所以角 动量必然守恒，因此当他向某个方向旋转哑铃时，他的身体就会连同转椅向相反方向旋转。水和喷 头也同样是一个未受外部转矩作用的封闭系统。因此，当水向某个方向运动时，喷头就必须向相反 方向运动。在没有大阻力(或来自轴承或粘性)的情况下，人们都可观察到这一旋转。喷头在正转的 情况就如同实验者沿水平方向扔出哑铃时的情形，他每扔出一个哑铃就获得一定的角动量。

E0
1
E0 2m0c2

十三、为了避免高速行驶的汽车在转弯时容易发生翻车现象,可 在车上安装一高速自旋的大飞轮。(1)试问：飞轮应安装在什么 方向上,飞轮应沿什么方向转动？(2)设汽车的质量为m0,其行驶速 度为v。飞轮是质量为m,半径为R的圆盘。汽车(包括飞轮)的质 心距离地面的高度为h。为使汽车在绕一曲线行驶时,两面车轮的 负重均等,试求飞轮的转速。

d dt

(x
l)2 l


2
g l

xl l

dx dt

2g(x l)2 l2
力学 • 习题分析
24
对于体系的质心：
mg
F

m
d 2 xC dt 2

m
2
g
(
x l2
l
)
2
F mg m 2g(x l)2 mg (l 2 2x2 4xl 2l 2 )
cos
1
N 9 cos2 3 cos 1
4
2
4
绘出随角度θ变化的图
随着θ增加，N持续减小；但f先增加再减小, 在θ=arccos2/3时反号,即在此之前,镜框底端相对于钉子 有向左运动的趋势,在此之后又有向右滑动的趋势。
至于何滑动，则由f/N比值及实际静摩擦系数μ决定： μ<0.35左右,镜框在较小的角度就会向左滑动、失稳； μ>0.40左右时,镜框在较大角度就会向右滑动、倒下。
Iz

IC

md 2

1 12
mL2

m
L 2
2
质心运动定理
Fex maC Fex m
L 2
z

z

2F mL
于是
Fx


1 3

mL2

2F mL

x

2 3
L
六、斜面倾角为θ,位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R, 转动惯量为I,受到驱动力矩τ,通过绳索牵引斜面上质量 为m的物体,其与斜面间的摩擦系数为μ,求重物上滑的加 速度.绳与斜面平行,不计绳质量.
解:建立坐标系,受力分析: 重物: T W sin W cos ma
鼓轮: T R I
由于a=Rβ,T’=T
R mgR sin mgR cos
于是 a
I mR2
方向沿x正方向
七、镜框贴着墙立在有摩擦的钉子上,稍受扰动即向下 倾倒,当到达一定角度θ时,此镜框将跳离钉子,求θ。
dt l dt
l dt l
换种思路：
a

d

m 2l
x
g

m 2l
(2l

x)
g

x

2l

x

g

g
(x
l)
dt
m
2l
l
下面计算质心运动：
dxC dt

d dt

(x
l)2 2l


x l dx l dt
(x l)2 l

g l
d 2 xC dt 2

g l
2 2
m 2l

m 2l
x
g l
(x l)
2g l
(x l)2
mg 2l 2
x2 xl 2x2 4xl 2l 2
mg 2l 2
2
4
cos 1 arccos 1 .
3
3
三个思路，三个不同模型，检验判断其结果的正确性。
思路一：判断依据是g在径向的分量与向心加速度相 等，只能说明镜框无径向上改变速度的趋势，在与 镜框垂直向仍可能有加速度，其不是重力切向分力 引起，并不意味镜框和钉子无相互作用力，钉子对 镜框的摩擦力和支撑力可能合成现这一作用力。这 一模型显然有误。
l2
l2


mg l2
(2x2

4xl

l2)
另一种思路： 对于右侧长为 x 的部分，
F m x g T d (M) M d dM m x d m dx
2l
dt
dt dt 2l dt 2l dt

m 2l
x
d2x dt 2
2
m 2l

m 2l
x
xl 2x2 3xl l 2
2T


mg l2
2x2 4xl l 2
变质量物体运动，进入主体的微元速度究竟是多大？
F m x g T M d 2 dM m x d 2 m dx
2l
dt
dt 2l dt 2l dt

m 2l
x
d2x dt 2
十四、一条长为 2l，质量为 m 的柔软细绳，挂在一光滑的水平 轴钉(粗细可忽略)上。当两边的绳长均为 l 时，绳索处于平衡状 态。若给其一端加一个竖直方向的微小扰动，则细绳就从轴钉 上滑落。试求：①当细绳刚脱离轴钉时，细绳的速度；②当较 长的一边细绳的长度为 x 时，轴钉上所受的力。☆
郑永令书后所附参考答案：
波腹和波节.若介质是线密度为1.0g.cm-1的弦线,振幅A=2.0cm,
ω=40 πs-1, λ=20cm,求相邻两波节间的总能量。
十二、设有一处于激发态的原子以速率v运动。当其发射一能量
为E’的光子后衰变至其基态,并使原子处于静止状态,此时原子静
质量为m0。若激发态比基态能量高E0，试证明：
E
解：能量守恒，
1 2
mgl
1
cos


1 2
1 3
ml
2 2
得：


3g 2l
sin
思路一：在镜框的方向上没有力的作用。因此g在径 向的分量与向心加速度相等，有
mg
cos

l 2
m
2

3 2
mg 1 cos


man
所以
2 cos 3 3cos
cos 3 arccos 3 .
gl ；

mg l2
(2x2

4xl

l
2
)
22
右边一段长为 x，质心在 x/2 处。
左边一段长为 2lx，质心在 (2l x)/2 处。
系统质心坐标
xC

1 2
xx
2lx 2
(2l

x)
2l
x2 4l 2 4lx x2 x2 x2 2lx 2l 2
4l
2l
四、水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另 一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运 动，这时从孔下拉绳的力10-3N。若继续向下拉绳，而使小球沿 半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？ 拉力所做的功是多少？
解：建立如图所示的坐标系。
以光滑小孔为参考点，因作用于小球的合

m
l 2

2

sin


m
l 2


mg
sin

cos

mg
sin
cos

3 2
(1
cos
) sin

3 4
sin
cos

sin 2


sin
cos