解三角形测试题(附答案)

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2、已知
中，
，
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A．
B．
C．
D．
3、在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC 有两个，则实数 x 的取值范围是（）
A．(2，＋∞)
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C．(2， )
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A．等边三角形 C．锐角三角形
B．直角三角形 D．钝角三角形
11、在△ 中，
，
，，则此三角形的最大边长为（
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，则角的大小为（）
13、（2012 年高考（天津理））在
中,内角 , , 所对的边分别是
,已知
,
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（）
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B．
C．
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14、已知△ABC 中， = ， = ，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（
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A、1
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B．
C．
D．
15、在钝角
中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若（
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C．3
D．4
（）
21、若△ABC 的对边分别为、、C 且
，
，
A、5
B、25
，则 b=（
）
C、
D、
22、设 A、B、C 是△ABC 三个内角，且 tanA，tanB 是方程 3x2－5x+1=0 的两个实根，那么△ABC 是（） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
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所以
的面积
.
38、解：（1）由
得
sinA=2sinC sinA

《解直角三角形》专项训练测试题(二)及答案

万安中学2017年中考总复习绝密资料2017年中考总复习解题能力提升训练《解直角三角形》专项训练测试题（二）时间：45分钟满分：100分 2017.4.24一、选择题(每小题5分，共40分）1．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE ⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．3．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或174．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B． C． D．25．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（）A ．S 1=S 2B ．S 1=S 2C ．S 1=S 2D ．S 1=S 26．在Rt △ACB 中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（）A ．6B ．7.5C ．8D ．12.57．在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A ．1，2，3B ．1，1，C ．1，1，D ．1，2，二、填空题（每小题5分，共50分）9．已知在△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是．11．BD 为等腰△ABC 的腰AC 上的高，BD=1，tan ∠ABD=，则CD 的长为．12．在△ABC 中，AB=AC=5，sin ∠ABC=0.8，则BC= ．13．请运用你喜欢的方法求tan75°= ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）15．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为．16．△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC 的面积为．17．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为．三、解答题（10分）19．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= ；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= ；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= ．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．参考答案一、选择题1．D；2．A；3．D；4．C；5．C；6．A；7．D；8．D；二、填空题9．4﹣4；10．；11．2或2﹣或；12．6；13．2+；14．24；15．3+；16．2+或2﹣；17．6或2或4；18．4；三、解答题19．．1；1；1；1。

解三角形专项练习(含解答题)

解三角形专练1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为2.在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（）A．B ．2 C．．43.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 1504.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B． C． D．5.在三角形ABC 中，若1tan tan tantan ++=B A B A ，则C cos 的值是B. 22C. 21D. 21-6.在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若22265b c a bc+-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.358.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形9.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，︒=45A ,则这样的三角形有（）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个10.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥11.在ABC ∆中,已知30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是A ．34B ．38 C．34或38D ．312.在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4π C ．3πD ．23π13.若∆ABC 的三角A:B:C=1:2:3，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ）A.1:2:3B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30B ．60C 90 D.12015.在∆ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为2221()4Sa b c =+-，则角C 为( )A ．30B 45C ．60D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝2，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个17.设∆ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=( ) A ．3πB ．23πC ．34π D.56π18.若三角形ABC 中，sin(A ＋B)sin(A －B)＝sin 2C ，则此三角形的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )A ．a B.2aD20.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状（） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形21.已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且120c b B ==︒,则ABC ∆的面积等于________.22.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =．则角B 的大小为_______；23.在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为________． 24.在ABC ∆中.若1b =，c =23C π∠=，则a=___________。

解三角形练习题(含答案)

一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A ．B ． C． D ．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A ． B． C ．或 D ．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B ． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A ．B ． C． D ．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A ．B ．C ．或D ．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A ．B ．C ． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （A ．B ．C ． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B ． C． D ．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B ． C ． D ．19、（）A. B.C.D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C 、D 、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D ．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A ＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c ，若，则A= 。

解三角形练习题及答案

解三角形练习题及答案1.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2.△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4.在△ABC中，若•=•=•，则该三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形6.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形8.在△ABC中，P是BC边中点，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形但不一定是等边三角形9.在△ABC中，若（b﹣bcosB）sinA=a（sinB﹣sinCcosC），则这个三角形是（）A．等腰直角三角形B．底角不等于45°的等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．锐角不等于45°的直角三角形10.在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形12.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形14.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．1016.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米17.在△ABC中，已知AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=，则sinA=（）A． B．C． D．18.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（）A．9 B．9C．6D．619.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是．20.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．其中正确的命题序号是．21.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．22.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．23.在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．24.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）若b=2，求c边的长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．25.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共线，请按以下要求作答：（1）求角A的大小；（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．26.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．27.在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？28.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】1-5BDCDB 6-10CBACB 11-15BDAAB 16-18DAD 19.等腰三角形20.①②③21.222.7+23.解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．24.解：（I）由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc因为a=2且b=2，所以解得：c=2．（II）由（I）知，则A=60°因为a=2，∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，∴，此时三角形是正三角形25.解：（1）∵∥，∴sinA•（sinA+cosA）﹣=0．∴+sin2A﹣=0，即sin2A﹣cos2A=1，即sin（2A﹣）=1，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，A=．（2）由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc，又S△ABC=bcsinA=bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）∴S△ABC=bcsinA=bc≤×4=．当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，∴此时△ABC为等边三角形．26.解：∠CBD=180°﹣∠CDB﹣∠BCD=180°﹣45°﹣75°=60°，在△BCD中，由正弦定理，得：BD==．在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos105°=3+（）2﹣2×××=5+2．∴AB=．27.解：在ABD中，∴，∵A+B+C=π，∴，所以a2=b2+c2﹣2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，即在中，∴bc=4，∴，由于∠ACB=30°，由正弦定理可得，计算得；在△ACD中，∠DAC=75°，，AD=50，根据余弦定理可得=28.解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．。

解三角形基础练习题(含答案)

解三角形基础练习题(含答案)一、选择题：1、在ABC ∆中，已知8a =，60B =︒，75C =︒，则b 的值为（ C ）A. B. C. D.3232、在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =︒，则cos B =（ B ）3、在ABC ∆中，222a c b ab -+=，则C =（ A ）A.60︒B.45︒或135︒C.120︒D.30︒4、在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC = BA. B. C. D. 25、已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a,b,c 若a=c=26+且75A ∠=，则b=AA. 2 B ．4＋ C ．4— D 6、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =（ D ）A B ．34C D ．1116 7、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（A ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定二、填空题：8、在△ABC 中，若a=3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。

【答案】︒909、在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3=BC ，则AC=_______.【答案】2．10、设△ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B = 【答案】41511、在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2 ，B=6π，则b= .【答案】2.12、在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-+=，则角C 的大小为．34π（或135）13、△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则sin sin()A A C =+ .2314、若△ABC 的面积为3，BC=2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 解析：12sin 603,22s AC AC =⋅⋅⋅==，所以△ABC 为等边三角形，故边AB 的长度等于2.答案应填2.15：在ABC ∆中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则ABC ∆中最大内角。

(完整版)解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

解直角三角形练习题(带答案)

解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？．（填“是”或“否”）请简述你的理由．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=，，求．【答案】．【解析】在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。

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解三角形测试题
一、选择题：
1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2 ,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100° D．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC中，有（）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAC．cosA>sinB且cosBsinA
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，
那么角B （）
A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
6、满足A=45,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（）
A．4 B．2 C．1 D．不定

7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,
α(α<β),则A点离地面的高度AB等于（）
A

B
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A．)sin(sinsina B．)cos(sinsina
C．)sin(cossina D．)cos(sincosa
8、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南
偏东60°,则A,B之间的相距（）
A．a (km) B．3a(km) C．2a(km) D．2a (km)

二、填空题：
9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC是______三角形.

10、在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
11、在ΔABC中，若SΔABC=41 (a2+b2－c2),那么角∠C=______.

12、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=3231,则cosC=_______.

三、解答题：
13、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；

③sinC=BABAcoscossinsin④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).

D C


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14、已知ΔABC三个内角A、B、C满足A+C=2B, Acos1+ Ccos1 =－ Bcos2 , 求
2
cos

CA

的值.

15、二次方程ax2－2bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边,且以b为最长.
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根α,β都是正数；
③若a=c,试求|α－β|的变化范围.

16、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一
轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处,
俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千
米？
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一、BDBBD AAC
二、（9）钝角（10）3314 （11）4 （12）81
三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理

acaccaacbcaacbca22222222212260cos
0)(2ca

，

ca
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由AAbBaAbcossintantan222

,2sin2sin,cossincossinsinsincossincossincossin22222BABBAAABabBAABBBa
∴

A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③BABACcoscossinsinsin，由正弦定理：
,)cos(cosbaBAc
再由余弦定理：baacbcacbccbac22222222

RtABCbacbacba为,,0))((
222222
. ④由条件变形为2222)sin()sin(babaBABA
90,2sin2sinsinsinsincoscossin,)sin()sin()sin()sin(2222BABABABABABAbaBABABABA或
.
∴△ABC是等腰△或Rt△. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或
余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，
从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例
的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.
（14）分析：120,60,2CABBCA再代入三角式解得A或C. 解：

120.60,2180,2CABBBBCA
.

∴由已知条件化为：22cos)120cos(.22)120cos(1cos1AAAA
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),120cos(cosAA
设60,60,2CACA则.代入上式得：)60cos(
)60cos()60cos(22)60cos(
.化简整理得023cos2cos242

222cos,2
2cos,0)3cos22)(2cos2(CA
即

. 注：本题有多种

解法. 即可以从上式中消去B、C求出cosA，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，
同学们可以试一试.
（15）分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证明
αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角△ABC中，b边最

长.acbacbBaccabB424)2(,cos20cos122222且
.0cos4)(24)cos2(2222BaccaacBacca
（其中0cos40)(22Bacca且

∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02acab ∴两实根α、β都是正数.

③a=c时，424)(2)(,12222222abaacab
2||0,4cos40,0cos1,cos44)cos2(22222因此BBB
a

aBacca

.

（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.
解：①如图：所示. OB=OA 3330tan(千米)，3OC（千米）

则313120cos222OCOBOCOBBC（千米）
3926010313v船速
（千米/小时）
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②由余弦定理得：OBCEBOBCOBOCBCOBOBCsinsin,261352cos222
)]30(180sin[sin,26135cos,26393)26135(12EBOOEBEBO
.131330sincos30cossin)30sin(EBOEBOEBO
再由正弦定理，得OE=1.5（千米），5),(639vBEBE千米（分钟）.
答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E离岛1.5
千米.