江西省八所重点中学2014届高三下学期联考 数学理 含答案

江西省八所重点中学2014届高三下学期联考 数学理
一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．若集合{}3,2,1,0=A ，集合{}
A x A x x
B ∉-∈-=1,，则集合B 的元素的个数为 （ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4 2．设i 为虚数单位，则
i
i
3223-+=（ ） A.1 B.1- C.i D.i -
3．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．是（ ）
4．已知)3,1,2(-=a ，)2,4,1(--=b ，),5,7(λc =，若a ，b ，三向量共面，则实数λ等于（ ）
A.
7
62 B.
7
63 C.
7
64 D.
7
65 5．已知数列
{}
n a 是等比数列，且dx x a a ⎰
-=
+2
2201520134，则
)
2(20162
01420122014a
a a a ++的值
为（ ）
A . 2
π B . π2 C . π D . 24π
6．从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（ ） A. 480 B. 481 C. 482 D. 483 7．下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )
A ．4-
B ．7-
C ．10-
D ．13-
8．二项式n x
i x )(2-
展开式中的第三项与第五项的系数之比为14
3
-
，其中i 为虚数单位，则展开式的常数项为（ ）
A . 72
B . i 72-
C .45
D .i 45-
9．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，
P 是双曲线右支上的点，21ΔF PF 的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则线段OB 的长度为（ ）
A ．b B. a C ．eb D ．ea 10．右图是某果园的平面图，实线部分EF DF DE 、、游客观赏道路，其中曲线部分EF 是以A
B 为直径的半圆上的一段弧，点O 为圆心，
ABD ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中2＝AB 千米，
x FOB EOA 2＝＝∠∠(4
0π
<
<x ),若游客在路线DF DE 、上观赏所
获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF 上观赏所获得的“满意度”
是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映y 与x 的函数关系的是（ ）
二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为4cos =θρ的直线与曲线⎩⎨⎧==3
2t
y t x （t 为参数）相交于B A ,两点,则||AB =（ ）
A.13
B.14
C.15
D.16
11．（2）（不等式选做题）若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m 的取
值范围为（ ）
A . ]3,(--∞
B . ]1,3[--
C . ]3,1[-
D . ]1,(--∞
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.
12．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，若p P =>)1(ξ,则=<<-)01(ξP __________.
13．设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤-≤+0
11
y x y x y ,则1+y x 的取值范围是__________.
14．已知⎩⎨⎧≤<-≤=)
0(,sin 2),
0(,)(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则=0x __________.
15．已知一正整数的数阵如下图所示(从上至下第1行是1，第2行是3、2，......)，则数字2014是从上至下
第__________行中的从左至右第__________个数．
四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知向
量
))4
sin(),6
(cos()),4
sin(),6
(cos(π
π
π
π
+
-
=-
-
=x x b x x a ,.12)(-⋅=b a x f .
（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]2
,12[π
π-上的值域.
17．（本小题满分12分）
已知A 箱装有编号为1,2,3,4,5的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同），B 箱装有编号为2,4的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从A 箱中任取一个小球，乙从B 箱中任取一个小球，用,X Y 分别表示甲，乙两人取得的小球上的
数字.
（1）求概率()P X Y >； （2）设随机变量,,X X Y
Y X Y
ξ≥⎧=⎨
<⎩，求ξ的分布列及数学期望.
18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，2
1
1-=a ，当2≥n 时，121-=-n n a a . (1) 求数列{}n a 的通项公式. (2) 设1
21
+=
n n n
n a a b ,数列{}n b 前n 项的和为n S ,求证:2<n S . 19．（本小题满分12分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠=，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =． （1）求证：AF //平面CBD ；
（2）求平面CBD 与平面DAE 所成锐角的余弦值.
20．（本小题满分13分）如图，线段AB 为半圆ADB 所在圆的直径，O 为半圆圆心，且
AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4||=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上
运动且保持||||PB PA +的值不变
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点N M ,，且M 在N D ,之间，设
λDN
DM
=，求λ的取值范围
21．（本小题满分14分） 已知函数)ln()(2a x x f += )0(>a (1) 若2=a ,求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程.
（2） 令332)()(x x f x g -
=，求证：在区间)1
,0(a
上，)(x g 存在唯一极值点. (3) 令x
x f x h 2)
()('=
,定义数列{}n x :)(,011n n x h x x ==+.当2=a 且]21
,0(∈k x )4,3,2( =k 时,求证:对于任意的*∈N m ,恒有
1
431
-+⋅<
-k k k m x x .
数列
（2）如图以AE 中点为原点，AE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -
，
D ，(1,2,0)B --，(1,0,0)E
所以DE
的中点坐标为1
(2
因为12CF DE =
，所以1(,2C -
易知BA 是平面ADE 的一个法向量，1(0,2,0)BA n ==
设平面BCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =
由2233(,,)(022(,,)(1,20n BC x y z x z n BD x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=++=⎩ 令2,x =则2y =，z =-，2(2,2,n ∴=-
将x 1=λx 2代入得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=+2222
22222
5115
)51(400)1(k x λk k x λ
0111)1(,01)0(2<-+=>=
a a a a a ϕϕ,所以原命题得证. …… 8分
(3) 2
1)(2
+=
x x h ,94,21,0321===x x x ,181
23=-x x
]
2
1
,0(∈k x ,
12
12
112
12
14
1
)
2)(2()(2
12
1-----+-<
++-+=
+-
+=
-k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x。