常用经济函数
简单的经济函数
解 由供需均衡条件 Qd = Qs ，有
14 1.5 p = 5 + 4 p ,
由此得均衡价格为
p0
=
19 3.45 . 5.5
9
例 5 （1）已知鸡蛋的收购价为5元/千克时，每月能 收购5000千克，若收购价每千克提高0.1元，则每 月收购量可能增加500千克.求鸡蛋的线性供给函数.
（2）已知鸡蛋的销售价为8元/千克时，每月能销售 5000千克.若销售价每千克降低0.5元，则每月销售 量可增加500千克，求鸡蛋的线性需求函数.
平均成本函数：C ( x) = C( x) .
x
1
例1 某工厂生产某产品，每日最多生产100单位. 它的 日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6 元.求该厂日总成本函数及平均单位成本函数. 解 设日总成本为C，平均单位成本为`C，日产量为x.
由于日总成本为固定成本与可变成本之和，根据题 意，日总成本函数为
L(30)=10.
4
例3 某工厂生产某产品,年产量为台,单位成本为500 元,每台售价为600元,当年产量超出800台时,超出部分 按9折出售,这样可以多售出200台,如果再多生产,本年 就销售不出去了.试写出本年的收益函数和利润函数.
解 因为产量超出800台时产品按9折出售,而最多只 能销售1000台,多生产则无收益.所以,收益按产量的 三种情况考虑.
（2）设鸡蛋的线性需求函数为 Qd = a bp ，其中
Qd 需求量（即销售量），p 为销售价格.由题意则有
5000 = a 8b 5000+ 500 = a (8 0.5)b
解得
a = 13000 ,
b = 1000
于是，所求鸡蛋的线性需求函数为 Qd = 13000 1000 P
常见的经济函数
Q 14 1.5P, Q 5 4 P
求该商品均衡价格。 解：由供需均衡条件，有
14 1.5P 5 4P
由此，得均衡价格 P 19 3.45 0
5.5
二、成本、收益、利润 1. 成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素 投入的价格或费用总额, 常用C(x)或C(Q)表示。 成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指 支付固定生产要素的费用, 包括厂房、设备折旧以 及管理人员工资等, 常用C(0)表示；可变成本是指 支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的
f x c c cx
2
这里 c > 0 为容量参数。
3.规模报酬问题：
当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？
例7：设投入 x 与产出g ( x )的关系为
g x cx
a
由于 g 2 x 2a cx a ，可见， 当 1时，规模报酬不变；当
1时，如果投入
这样，利润函数为
Q2 L R Q C Q 8Q 50 5 1 2 Q 20 30 5
因此， Q 20 时，最大利润为30。
三、其他函数
1. 库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品的总需求量为
Q ，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进
例5. 已知某产品价格为 P ，需求函数为 Q 50 5 P, 成本函数为C (Q) 50 2 Q，求产量 Q 为多少时利润 L 最大？最大利润是多少？
Q 解：由需求函数 Q 50 5 P ，可得 P 10 5 Q2 于是，收益函数为 R P Q 10Q 5
且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般 的供给函数都是单调增加的。 人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数 线性函数： Q aP b ，其中 幂函数： Q kP a ，其中
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
03第三节常用经济函数
03 第三节常用经济函数常用经济函数是经济学中用来描述经济变量之间关系的数学模型。
这些函数可以用来分析经济发展、预测经济趋势、制定经济政策等。
下面介绍几种常用的经济函数及其含义。
一、消费函数消费函数是指消费者在某一时期内消费的商品或服务的数量与收入之间的函数关系。
通常表示为C=f(Y)，其中C表示消费，Y表示收入。
消费函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着收入的增加，消费也会增加。
但在达到一定收入后，消费增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
二、投资函数投资函数是指企业在某一时期内进行的投资数量与资本存量之间的函数关系。
通常表示为I=f(K)，其中I表示投资，K表示资本存量。
投资函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着资本存量的增加，投资也会增加。
但在达到一定资本存量后，投资增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
三、总供给函数总供给函数是指某一时期内，企业愿意且有能力提供的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总供给，P表示价格水平。
总供给函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总供给会减少。
但在达到一定价格水平后，总供给增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
四、总需求函数总需求函数是指某一时期内，消费者愿意且有能力购买的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总需求，P表示价格水平。
总需求函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总需求会减少。
但在达到一定价格水平后，总需求增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线是指通货膨胀率与失业率之间的函数关系。
通常表示为π=f(u)，其中π表示通货膨胀率，u表示失业率。
菲利普斯曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着失业率的降低，通货膨胀率会上升。
但在达到一定失业率后，通货膨胀率增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
1.3 常用的经济函数介绍
4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
常用经济函数
当 L R C 0 时, 生产者亏损;
当 L R C 0 时, 生产者盈亏平衡;
使 L( x) 0的点 x0称为盈亏平衡点(又称为
盈亏转折点、保本点).
平均利润L L( x) R( x) C( x) R C
x
x
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
解 据 C( x) C固 C变 , 可得每天总成本函数为
C( x) 160 8x, x [0,200] 每天总收益函数 R R( x) 10x, x [0,200]
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
每天总利润函数
L( x) R( x) C( x) 10x (160 8x) 2x 160,
即C C ( x) C0 C1 ( x)
x
x
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
例7 某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的 日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本 为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.
解 据 C( x) C固 C变 , 可得总成本
C( x) 150 16x, x [0,200]
均衡 数量
均衡
Q0
价格
供求平衡点 E
P0
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
例6 某种商品的供给函数和需求函数分别为
Qs 25P 10, Qd 200 5P
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件 Qd Qs 得 200 5P 25P 10
30 p 210
P0 7 Q0 25P0 10 165
平均成本
C
(x)
C(x) x
16
经济学中常用的函数
微分学在经济中的应用§1 经济学中的常用函数一、需求函数消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。
这种源动力的核心主要有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。
影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。
忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数)(P f D =， （1-1）需求函数通常是单调下降函数（如图1-1所示）。
产生下降的原因有两个：一是收入效应，二是替代效应。
注：需求量与价格有时也是按上升方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。
下列函数可作为需求函数：线性函数 )0,0(>>-=b a bP a D ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>--=c b a cP bP a D ，指数函数 )0,0(>>=-b A Ae D bP ，幂 函 数 )0,0(>>=-ααA AP D 。
二、供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。
所以，供给和需求是相对的概念，这就是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。
产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。
影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。
忽略其他因素，只考虑与 价格的关系就得到了供给函数：)(P g Q =， （1-2）供给函数通常是单调上升函数（如图1-2所示）。
注：供给量与价格有时也是按下降方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。
因而价格上涨供给量反而减少。
经常采用的供给函数有如下形式：线性函数 )0,0(>>+-=d c dP c Q ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>++-=c b a cP bP a Q ，指数函数 ),0,0,0(A B k B A B Ae Q kP >>>>-=， 幂 函 数 )0,0,0(>>>-=-ααB A BAP D 。
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The End
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参考答案
1、 1）R=Q×p= Q q(Q) 由p+ Q=1 有R= Q(1- Q)= Q- Q2 故总收益函数 R=Q- Q2 2) R(1/3)=1/3-(1/3)2=2/9
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参考答案
0 x 20 10 x 2、 C(x)= 200 7( x 20) 20<x 200 1460 5( x 200) 200<x
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案例1.8
案例 1.8 某工厂生产某种产品， 固定成 本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元。已知总收益 R 是年产量 Q 的函数
1 2 400Q Q , R R(Q ) 2 80000, 0 Q 400 Q 400
求利润函数。
案例1.8
C (Q) C1 C2 (Q) 10 0.8Q
C (Q ) 10 C C (Q ) 0.8 Q Q
非常明显平均成本函数是单调递减的。 也就是说随着产量的增加，平均成本越来越 小。
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案例1.7
案例 1.7 设某产品的价格（单
Q 位：元）与销售量的关系为 P 10 ， 5
解 总成本函数为
C C (Q ) 20000 100Q
则利润函数为 L L(Q ) R(Q ) C (Q )
Q2 20000, 300Q 2 60000 100Q, 0 Q 400 Q 400
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案例1.6
案例 1.6 设某企业生产某种产品
的固定成本为 10 万元，还知每生产 一件商品需增加 0.8 万元的成本，求 总成本函数及平均成本函数，并判断 平均成本函数的单调性。
案例1.6
解 由题意知固定成本 C1 10 万元，变动 成本 C2 (Q) 0.8Q ，所以总成本为 平均成本函数
a
§1.2.3 成本函数
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的费用 （劳动 力、原料、设备等）总额。 总成本可分成两类：第一类是厂房、 设备、运输工具等固定资产的折旧，管理者的固定工资等。这一 类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品量的变化而变 化，称为固定成本，用 C1 表示；第二类是能源费用、原材料费 用、 劳动者的计件工资等。 这一类成本的特点是随商品产量的变 化而变化，称为可变成本，用 C2(Q)表示，其中 Q 表示产量。这 两类成本的总和就是总成本，用 C(Q)表示，所以
C (Q) C1 C2 (Q)
平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。 平均成本函数
C (Q ) C1 C 2 (Q ) C C (Q ) Q Q Q
§1.2.4 收益函数
总收益是生产者销售一定量产品所得到的全部 收入。设 P 为商品价格，Q 为商品量，R 为总收益， R 为平均收益，需求函数 P=P(Q)，则总收益函数
一般说来，商品价格低，需求量大；商品 价格高，需求量小。因此一般需求函数 是单调减少函数。
因 单调减少,所以存在反函数 （因为单调 函数存在反函数），此反函数也称为需 求函数。 通过经验总结，常用的需求曲线有如下 类型： a, b 0 线性函数 Q b aP a Q kP a, k 0 幂函数 Q ae bP a, b 0 指数函数
求销售量为 30 时的总收益和平均收 益。
案例1.7
解 总收益:
Q2 R(Q ) Q P (Q ) 10Q , R(30) 120 5
平均收益:
Q R(Q ) P (Q ) 10 , 5 R(30) 4
所以销售量为 30 时的总收益和平均收益 分别为 120 元和 4 元。
R R(Q) Q P(Q)
§1.2.5 利润函数
在产量和销量一致时，利润L是产量 （销售量）Q的函数。而且，利润函数 应等于收益函数与成本函数之差。即
ห้องสมุดไป่ตู้
L L(Q ) R(Q ) C (Q ) L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0, L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0, L(Q ) R(Q ) C (Q ) 0,
§1.2 常用经济函数
§1.2.1需求函数
消费者对某种商品的需求可有多种因素决定，商 品的价格是影响需求的主要因素，但还有许多其他因 素，如消费者收入的增减，其它代用品的价格等都会 影响需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素，只 研究需求与价格的关系。 设 P 表示商品价格, Q 表示需求量，我们将需求 量与商品价格之间的函数关系 Q=f(P)称为需求函数。
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案例1.5
设某商品的需求函数为 Q b a ( 、a 0 ，供给函数为 P b) Q cP d（c、d 0) ，求均衡价格 P0.
解 量，即 在均衡价格 P0 处， 需求量等于供给 b aP0 cP0 d
案例 1.5
bd 解出 P0，得 P0 ac
bd 所以均衡价格 P0 为 . ac
§1.2.2 供给函数
一般说来，商品价格低，生产者不愿生产， 供给少；商品价格高，供给多。因此一般供给函 （ 单调增加，所 数为单调增加函数。因为 Q P） 1 以存在反函数 P （Q） ，也称为供给函数。 a, b 0 线性函数 Q aP b
Q kP a, k 0 幂函数 Q ae bP a, b 0 指数函数 均衡价格 P0 是市场上需求量与供给量相等 时的价格，此时需求量与供给量都为 Q0，称为均 衡商品量。