湖南省长沙市浏阳一中2016届高三数学上学期第二次月考试卷文(含解析)

2015-2016学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={x|y=}，则A∩B=( )A．B．（﹣∞，1] C．D．2．函数f（x）=的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．03．若，是两个单位向量，则“|3+4|=5”是“⊥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( ) A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+S6=S9，则公比q=( )A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．6．已知α为第二象限角，，则cos2α=( )A．﹣B．﹣C．D．7．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则的解集为( )A．（﹣∞，2）B．（一∞，1）C．（2，+∞）D．（1，+∞）8．已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．9．一已知函数f（x）=cos（ωx+φ﹣）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f （x+）取得最小值时x的集合为( )A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z}} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}}10．已知向量，满足⊥，|+|=t||，若+与﹣的夹角为°，则t的值为( ) A．1 B．C．2 D．311．如图，半径为2的⊙○切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙○于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是( )A．B．C． D．12．已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．小时，应选择__________方案最合算．14．设=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则+的最小值是__________．15．数列{a n}的前n项和记为S n，若a1=，2a n+1+S n=0，n=1，2，…，则数列{a n}的通项公式为a n=__________．16．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f（）的值．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．19．设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n．20．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上．（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．21．已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市浏阳一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={x|y=}，则A∩B=( )A．B．（﹣∞，1] C．D．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，解得：x＜，即A=（﹣∞，），由B中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1]．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．0【考点】函数零点的判定定理．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由，解得x即可得出．【解答】解：由，解得x∈∅，因此函数f（x）无零点．故选：D．【点评】本题考查了函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若，是两个单位向量，则“|3+4|=5”是“⊥”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是向量模的运用及向量垂直的充要条件．【解答】解：，∴，即因为向量，都是单位向量，所以||=1，||=1，所以有25+24•=25，∴=0，⇔．故选C．【点评】本题除了熟练掌握充要条件的判断方法外，还应明确向量垂直的充要条件，同时还应熟练向量的数量积公式．4．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为( )A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z 的最小值为．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y=6．经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由得，即A（3，3），∵直线y=k过A，∴k=3．由，解得，即B（﹣6，3）．此时z的最小值为z=﹣6+3=﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+S6=S9，则公比q=( )A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数据易得a1+a2+a3=（a1+a2+a3）q6，解方程可得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3+S6=S9，∴S3+S6=S6+a7+a8+a9，∴S3=a7+a8+a9，∴a1+a2+a3=a7+a8+a9，∴a1+a2+a3=（a1+a2+a3）q6，∴q6=1，解得q=±1，故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．6．已知α为第二象限角，，则cos2α=( )A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．7．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则的解集为( )A．（﹣∞，2）B．（一∞，1）C．（2，+∞）D．（1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=1﹣a=0，则a=1，即f（x）=e x﹣e﹣x，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则f（1）=e﹣，则不等式f（x﹣1）＜e﹣等价为f（x﹣1）＜f（1），即x﹣1＜1，解得x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a的值是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．【解答】解：当a≤0时，2a＞，解得，﹣1＜a≤0；当a＞0时，＞，解得，0＜a＜．∴a∈（﹣1，0]∪（0，），即为a∈（﹣1，）．故选D．【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．9．一已知函数f（x）=cos（ωx+φ﹣）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f （x+）取得最小值时x的集合为( )A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z}} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}}【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：f（x）=cos（ωx+φ﹣）=sin（ωx+φ），则，即函数f（x）的周期T=π，即T==π，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=，解得φ=﹣，即f（x）=sin（2x﹣），则y=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），由2x+=﹣+2kπ，解得x=kπ﹣，k∈z，即y=f（x+）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈z}，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数最值的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键．10．已知向量，满足⊥，|+|=t||，若+与﹣的夹角为°，则t的值为( )A．1 B．C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意可得，利用两个向量的夹角公式求得||，再利用勾股定理求得t的值．【解答】解：∵⊥，|+|=t||，∴，则cos=﹣==，化简可得22=（2+t2），∴||，再由，t＞0，解得t=2．故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，考查两个向量的数量积的运算，考查计算能力，是中档题．11．如图，半径为2的⊙○切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙○于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是( )A．B．C． D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】作图题．【分析】由已知中半径为2的⊙○切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙○于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案．【解答】解：由已知中径为2的⊙○切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，弓形PmQ的面积f（x）=•π•（2）2﹣•sinx•（2）2=2x﹣2sinx∵f′（x）=2﹣2cosx≥0恒成立，故f（x）为增函数，四个图象均满足又∵在x∈[0，π]时，f′′（x）=2sinx≥0，故函数为凹函数，在x∈[π，2π]时，f′′（x）=2sinx≤0，故函数为凸函数，此时D图象满足要求．故选D【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键．12．已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，）【考点】分段函数的应用；函数的图象．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由题意可得|f（x）|=a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象，考虑直线经过点（2，ln3）和y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切的情况，求得a，运用导数的几何意义，即可得到a，进而通过图象观察即可得到所求范围．【解答】解：g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则|f（x）|=a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=a（x+1）的图象，当直线经过点（2，ln3）两图象有3个交点，即有a=；当直线与y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切时，两图象有2个交点．设切点为（m，n），则切线的斜率为=a，又n=a（m+1），n=ln（m+1）．解得a=，m=e﹣1＜2，则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是[，）．故选C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．若某用户每月上网时间为66小时，应选择乙方案最合算．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】由题意，分别求方案甲，乙，丙的每月收费，从而比较可得．【解答】解：由题意，假定按方案甲收费，则每月收费70元；假定按方案乙收费，则每月收费50+0.05×6×60=68（元）；假定按方案丙收费，则每月收费30+0.05×36×60=138（元）；故应选择乙方案最合算；故答案为：乙．【点评】本题考查了函数的模型的应用，属于基础题．14．设=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则+的最小值是8．【考点】向量的共线定理；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，我们可以得到2a+b=1，由基本不等式1的活用，我们易求出+的最小值．【解答】解：∵=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），又∵A、B、C三点共线，我们可以得到2a+b=1，又由a＞0，b＞0∴+=（+）•（2a+b）=4+（）≥4=4=8，当且仅当b=2a即b=，a=是取等号．故+的最小值是8故答案为：8【点评】若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则=λ+μ，且λ+μ=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．15．数列{a n}的前n项和记为S n，若a1=，2a n+1+S n=0，n=1，2，…，则数列{a n}的通项公式为a n=a n=．．【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据数列的递推关系结合a n，S n之间的关系，利用作差法即可得到结论．【解答】解：由a1=，2a n+1+S n=0得当n≥2时，2a n+S n﹣1=0，两式相减得2a n+1+S n﹣2a n﹣S n﹣1=0，即2a n+1+a n﹣2a n=0，则2a n+1=a n，则=，（n≥2）当n=1时，2a2+S1=0，即a2=﹣，则=，不满足=，（n≥2）当n≥2时，a n=a2==﹣（）n，综上a n=．故答案为：a n=．【点评】本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用作差法是解决本题的关键．16．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC的最大值为．【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】先利用余弦定理求得A，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a•==2sinC，∴S===sinBsinC∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f（）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）依题意，易求g（x）=sin（x﹣），利用正弦函数的单调性可求得函数g（x）的单调递减区间；（2）由（1）知，g（A）=sin（A﹣）=，易知0＜A﹣＜，于是得cos（A﹣）=，f（）=sinA=sin[（A﹣）+]，利用两角和的正弦即可求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=cos（2x+）=sin2x，∴依题意，有g（x）=sin（x﹣），由+2kπ≤x﹣≤+2kπ得：+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z．∴g（x）=sin（x﹣），且它的单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]k∈Z．（2）由（1）知，g（A）=sin（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，又0＜sin（A﹣）＜，∴0＜A﹣＜，∴cos（A﹣）=，∴f（）=sinA=sin[（A﹣）+]=×+×=．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性，考查诱导公式与两角和的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．18．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn=设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2）．则n为奇数，c n==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．（Ⅱ）由a1=3，a n=2n+1得S n=n（n+2），则n为奇数，c n==，n为偶数，c n=2n﹣1．∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）===．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减可得数列递推式，由此可判断数列{a n}为等比数列，从而可得其通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n+1，a n，根据等差数列的通项公式可得d n，从而可得，令，，利用错位相减法即可求得T n；【解答】解：（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减得：，即a n=3a n﹣1（n∈N*，n≥2），又S1=得a1=2，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为a n+1=a n+（n+1）d n，所以，所以=，令，则①，②，①﹣②得﹣==，∴；【点评】本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数列的前n项和，考查学生综合运用知识解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高．20．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上．（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2=OP2+MP2﹣2•OP•MPcos45°，解得MP即可．（2）∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．【解答】解：（1）在△OPQ中，∠OPQ=45°，OM=，OP=2，由余弦定理得，OM2=OP2+MP2﹣2•OP•MPcos45°，得MP2﹣4MP+3=0，解得MP=1或MP=3． (6)（2）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得，所以，同理…8′S△OMN== (10)===== (14)因为0°≤α≤60°，30°≤2α+30°≤150°，所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM=30°时，△OMN的面积的最小值为8﹣4． (16)【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）f′（x）=a﹣e x，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣e x，x∈R．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，则，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．∴．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g （x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x 轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。