高中数学 小问题集中营 专题1.2 突破点 集合运算中的参数问题
集合含参问题的归纳及解法
集合含参问题的归纳及解法1. 什么是集合含参问题？好嘞，咱们今天聊聊集合含参问题，别担心，听起来复杂，其实就是个“调皮的小问题”。
首先，集合含参问题，顾名思义，就是在某个集合里，咱们要处理带参数的元素。
这就像是你在买衣服时，不仅要考虑款式，还得看看尺寸，颜色，这些都是参数，对吧？在数学里也是如此，咱们得考虑元素的各种属性。
就拿学校的班级来说，班级里的每一个小朋友都是集合里的元素，而他们的年龄、性别、爱好等等，就是那些让他们各具特色的参数。
想象一下，你去参加一个聚会，聚会里有各种各样的人。
有的爱唱歌，有的爱跳舞，还有的喜欢讲笑话。
这些“爱好”就是他们的参数，决定了他们在聚会中的角色。
集合含参问题就是要找到这些角色，了解它们是怎么工作的。
简而言之，就是把“人”放到“集合”里，然后分析他们的参数，看看能碰撞出怎样的火花。
2. 集合含参问题的特点2.1 多样性说到集合含参问题，首先映入脑海的就是多样性。
就像春天的花园，五颜六色的花朵争奇斗艳。
不同的集合有不同的特点，参数也是各式各样，真是让人眼花缭乱！比如说，你有一个水果集合：苹果、香蕉、橙子。
它们的颜色、味道、营养价值都不一样，这些都是参数。
处理这些问题时，咱们得考虑到各种因素，才能找到最合适的解决方案。
2.2 复杂性其次，复杂性也是个重要的特点。
说实话，集合含参问题就像做大菜一样，越复杂的菜，步骤越多，调料越杂。
想要把所有参数都考虑进去，简直是难上加难！有时候，咱们可能需要借助一些数学工具，比如集合论、概率论，甚至是图论，来帮助我们理清头绪。
可别怕，慢慢来，总能找到头绪的。
3. 如何解决集合含参问题3.1 确定目标那么，解决这些问题的第一步是什么呢？那就是确定目标！就像你去旅行前，得先决定去哪里，不然到时候就成了“东跑西颠”，毫无头绪。
明确你要解决的问题，或者说，想要找出哪些参数之间的关系，这样才能有的放矢，事半功倍。
3.2 选择工具接下来，咱们得选择合适的工具。
集合中的参数问题
＜ ｓ ， ， Ａ ｎ Ｂ — Ｂ ， 所 以 Ａ Ｂ ， 可 得 ｛ ；
解得 ３ ≤ａ ≤４ ， 应 选 Ａ。
璺断 及 主 言 器 量 羹 警
间 的关 系转化 为元 素之 间 的关 系。
逮 孽 系 的 主
异 性对 所 求集 合进 行检 验 。
委 荛 嚣 ．来自若 Ｂ一 ， 则ｎ ｚ一 ２ — ０无 解 ， 此时 ｎ 一０ ；
若 Ｂ一 ｛ ２ ） ， 则 ｎ ． ｚ一２— ０的 解 为 一 ２ ， 可 得
２ ｎ 一２ ＝ ＝ ＝ ０ ， 解得 ｎ 一１ ；
所 以 ｛ 萋 ： ’ 解 得 ≥ ９ ， 即 实 数 ｍ 的 取 值
侧 ， 已知集 合 Ａ一 ｛ ｎ＋２ ， （ 口＋１ ） 。 ， ｎ 十３ ａ＋
｛ ｚ ｌ ３ ＜ｘ ＜５ ｝ ， 则Ａ ｎ Ｂ—Ｂ 成 立 的实 数 ａ的取 值范
围是 （ ） 。 Ｂ ． ｛ ｎ ｌ ３ ＜ａ ≤４ ｝
Ｄ．
３ ｝ ， 若 １ ∈Ａ ， 求 实数 ｎ的取值 集合 。
中， ｎ的值 可 以是 （
蕾查 集 喜 喜 意 篇
集合 运 算 的定 义是 解题 的关键 。
（ 责任 编辑 郭 正华 ）
解： 当ｎ 一 ０时 ， ｎ 一ｎ 一１ 一一１ ， 口 一２ ｎ ＋２ —２ ；
当 ＆一 １时 ， Ⅱ 一口一 １ 一 一１ ， 口 一 ２ ａ＋ ２ —１ ； 当 ｎ一 ２时 ， ｎ 一口一 １ — １， ｎ。 一２ ａ十 ２ —２ 。
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侧
已知集 合 Ｐ一 ｛ ｚ １ —２ ≤ｚ≤ １ ０ ｝ ， Ｑ一 ｛ ｚ １ 理
１ 一 ≤ ｚ≤ １ ＋ ） 。
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小问题大用处：高中数学小问题集中营之一：集合：专题四 集合中的分类讨论 含解析
专题四集合中的分类讨论一、问题的提出数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形"两个方面。
利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是中学数学中重要的思想方法，那么集合中有哪些问题可以用到数形结合思想呢？二、问题的探源在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．1。
对于某些抽象集合问题,文字描述较为抽象，可借助韦恩图直观求解，求两个集合的并集与交集时,先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．2. 连续型数集的运算常借助数轴求解，利用几何的直观性，以“形”助“数”,形象、直观、方便快捷;与不等式有关的集合的运算,利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．此时需注意端点值是否取到.其步骤是：①化简集合；②将集合在数轴上表示出来；③进行集合运算求范围，重叠区域为集合的交集，合并区域代表集合的并集.3.点集之间的运算通常借助于坐标系,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.三、问题的佐证（一)利用数轴解决不等式解集的表示问题或判断一元不等式所含参数取值范围问题．例1已知集合A={x｜—3≤x≤4｝,B={x｜1<x<m}(m>1)，且B⊆A,则实数m的取值范围是。
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4，又m〉1，所以1〈m≤4。
故答案为:1〈m≤4例2已知集合A ＝｛x ∈R |｜x ＋2|〈3｝，集合B ＝{x ∈R |（x －m )(x －2)<0},且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________,n ＝________．【解析】A ＝{x ∈R ｜|x ＋2｜〈3｝＝{x ∈R |－5〈x <1}， 由A ∩B ＝(－1,n ),可知m <1，由B ＝｛x ｜m 〈x <2｝，画出数轴,可得m ＝－1，n ＝1.(二)利用平面直角坐标系作出方程的曲线解决公共点问题或二元不等式所含参数取值范围问题．例3．已知(),1y A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,(){}2,B x y y x ==则A B = ________．（三)利用韦恩（ｖｅｎｎ）图判断抽象集合间包含或相等的关系或求有穷集合所含元素或其个数问题． 例4.已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2,3，4}的子集，。
《1_1_2子集和补集》突破提高
《子集和补集》突破提高突破1集合中含参数问题根据集合间的基本关系求参数若集合中元素是一一列举出的,依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时注意端点值能否取到.已知两集合,A B ,当B A ⊆时,如果A 是一个确定的集合,而集合B 不确定,运算时要考虑B 为空集的情况,切不可漏掉.【例1】已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-=+-.若B A ,求实数m 的取值范围.解:①当B ≠∅时,如图所示.∴12,215,211m m m m +-⎧⎪-<⎨⎪-+⎩或12,215,211,m m m m +>-⎧⎪-⎨⎪-+⎩解得23m ;②当B =∅时,由121m m +>-,得2m <.综上,m 的取值范围是{|3}m m .【关键思想】集合问题中的分类讨论主要有两种基本题型,一是参数取值(范围)引起分类讨论,如例1,在解含有参数的问题时,要对参数进行讨论,分类时要遵循不重不漏的分类原则,然后对每一类情况都要给出解答.二是空集引起分类讨论,如例2,在解答有关集合间的基本关系的问题时,注意空集是任何集合的子集,切不可漏掉空集的情形.突破2补集思想的应用——正难则反补集思想适用的情况:从正面考虑,情况较多,问题较复杂时.【例2】已知集合{2|1A y y a =>+或},{|24}y a B y y <=.若A B ⋂≠∅,求实数a 的取值范围.解:因为{2|1A y y a =>+或},{|24}y a B y y <=,所以不妨先求当A B ⋂=∅时,实数a 的取值范围,即22,14,a a ⎧⎨+⎩解得2,33,a a a ⎧⎪⎨-⎪⎩或故3a -或32a. 所以当AB ⋂≠∅时,a<<2a >,即实数a 的取值范围为{|a a <<或2}a >.【本节与高考】内容一般在选择题的前两题出现,难度较小.常考题型为:(1)判断两个集合之间的关系;(2)集合的子集或真子集的个数计算;(3)已知两集合间的关系,求参数的值或取值范围.。
高中数学集合问题易错点突破专题辅导
集合问题易错点突破钱磊明集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。
一、对代表元素理解不清致错。
例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A 。
错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y == 。
错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -== 。
剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此某某B A 际上是求两个函数值域的交集。
正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-==}7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++== 得。
二、遗漏空集致错。
例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ⊇，某某数m 的取值X 围。
错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。
剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=Φ 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。
本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ⊇时，首先要考虑Φ=B 的情况。
正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。
②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。
高一数学痛点大揭秘专题02 集合中的参数问题(解析版)
第一章 集合与常用逻辑用语专题02 集合中的参数问题集合中的含参问题是一种较难的问题，也是学生容易出错的题型。
其要点在于学生不能正确判断端点值能否取到，忘记考虑空集这一情况。
高考关于集合中的含参问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、解不等式相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中．从近几年高考命题看，考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是分类讨论这种思想的理解和应用．【题型导图】类型一 元素与集合的关系中的含参问题例1：（2021·福建福州三中高一期中）已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，求x 的值． 【思路解析】由已知2是集合M 的元素，分类讨论列出方程，求出x 的值，将x 的值代入集合，检验集合的元素需满足互异性．【解析】当3x 2+3x ﹣4＝2时，3x 2+3x ﹣6＝0，x 2+x ﹣2＝0， x ＝﹣2或x ＝1．经检验，x ＝﹣2，x ＝1均不合题意． 当x 2+x ﹣4＝2时，x 2+x ﹣6＝0，x ＝﹣3或2． 经检验，x ＝﹣3或x ＝2均合题意． ∴x ＝﹣3或x ＝2．【变式1】（2021·河北沧州市高一期中）已知集合{}2,21,21M a a a =--，若1M ∈，则M 中所有元素之和为（ ） A ．3 B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【分析】根据1M ∈，依次令{}2,21,21M a a a =--中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.【详解】若1a =，则211a -=，矛盾；若211a -=，则1a =，矛盾，故2211a -=，解得1a =（舍）或1a =-， 故{}1,3,1M =--，元素之和为3-，故选：C.【变式2】设集合A ＝{2，3，a 2+2a ﹣3}，集合B ＝{|a +3|，2 }，已知5∈A ，且5∉B ．求a 的值．【详解】由于5∈A ，且A ＝{2，3，a 2+2a ﹣3}， ∴a 2+2a ﹣3＝5，即a 2+2a ﹣8＝0解得a ＝2或﹣4，又当a ＝2时，B ＝{5，2}不符合条件5∉B ，所以a ＝2不符合题意； 当a ＝﹣4时，B ＝{1，2}，符合条件5∉B ，所以a ＝﹣4为所求． 故答案为a ＝﹣4．【变式3】已知集合A ＝{（x ，y ）|2x ﹣y +m ＞0}，B ＝{（x ，y ）|x +y ﹣n ≤0}，若点P （2，3） ∈A ，且P （2，3）∉B ，求m 、n 的取值范围． 【详解】将点（2，3）代入A 中的不等式得到： 4﹣3+m ＞0，解得：m ＞﹣1； 因为点（2，3）不在B 中，所以将点（2，3）代入B 中的不等式得到： 2+3﹣n ≤0不成立，即2+3﹣n ＞0，解得：n ＜5．【痛点直击】1. 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解2．要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验.类型二 集合中元素个数的含参问题例2.（2021·天津南开区四十三中高一月考）集合{}28160A xkx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________. 【答案】{}0,1【分析】分0k =和0k ≠两种情况，分别讨论集合A ，进而可求出答案.【详解】当0k =时，方程28160kx x -+=可化为8160x -+=，解得2x =，满足题意；当0k ≠时，要使集合{}28160A xkx x =-+=∣中只有一个元素， 则方程28160kx x -+=有两个相等的实数根，所以64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{4}A =，满足题意.综上所述，0k =或1k =，即实数k 的值组成的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1.【变式1】若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，则a= ，b= ． 【答案】31； 91【详解】∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0 解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【变式2】（2021·上海市莘庄中学高一期中）已知集合()()2{x |x 2x 2x a 0,x R}--+=∈中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集合为______． 【答案】{a |a 0=或a 1}>【分析】推导出2x 2x a 0-+=的解为x 0=或无解，由此能求出实数a 的取值集合．【详解】集合()()2{x |x 2x 2x a 0,x R}--+=∈中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，2x 2x a 0∴-+=的解为x 0=或无解，a 0∴=或44a 0∆=-<，解得a 1>．∴实数a 的取值集合为{a |a 0=或a 1}>．故答案为{a |a 0=或a 1}>．【变式3】已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }． （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【分析】（1）A 为空集，表示方程ax 2﹣3x +2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．（2）若A 中只有一个元素，表示方程ax 2﹣3x +2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求出满足条件的a 值．（3）若A 中至多只有一个元素，则集合A 为空集或A 中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a 的取值并进来即可得到答案． 【详解】（1）若A 是空集， 则方程ax 2﹣3x +2＝0无解 此时△＝9﹣8a ＜0，即a ＞89 （2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根 当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件 当a ≠0，此时△＝9﹣8a ＝0，解得：a ＝89∴a ＝0或a ＝89 若a ＝0，则有A ＝{32}；若a ＝89，则有A ＝{34}； （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a ＝0或a ≥89 【痛点直击】1. 此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解. 2. 要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.类型三 集合基本关系中的含参问题例3.（2021·西安市经开一中高一月考）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a 的取值范围． 【详解】：B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1x a-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．【变式1】（2021·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ）A ．{}|27a a ≤≤B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅【答案】C【分析】考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.【变式2】（2021·山东泰安一中高一月考）已知集合{}{}2,,22,,2A a b B b a ==，若A B =，则a b +=__________．【答案】1或34【分析】根据集合相等可得出关于实数a 、b 的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a 的值.【详解】集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，分以下两种情况讨论：（1）当22a ab b =⎧⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当0a =，1b =时，{}0,1,2A B ==，合乎题意； 此时011a b +=+=；（2）当22a b b a ⎧=⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当14a =，12b =时，11,,242A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，合乎题意. 此时113424a b +=+=； 综上所述，1a b +=或34a b +=。
由集合间的关系求参数问题
由集合间的关系求参数问题一、问题提出在数学中，我们经常遇到这样一类问题：给定两个集合A和B，以及它们之间的某些关系，要求我们求出集合B中满足给定关系的元素参数。
这类问题在各类数学模型中有着广泛的应用，因此，掌握好解决这类问题的思路和方法是非常重要的。
二、解题思路解决这类问题的关键在于理清集合间的关系，并根据关系式求出参数。
具体的解题思路如下：1. 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。
2. 分析两个集合之间的关系，找出关系式，并求出参数。
3. 验证结果是否符合题意，并进行调整和优化。
三、方法应用根据解题思路，我们可以使用以下几种方法来解决这类问题：1. 列举法：对于简单的问题，可以直接列举出符合条件的元素。
2. 公式法：对于有明确关系式的题目，可以使用相应的数学公式来求解参数。
3. 代数法：通过建立方程或方程组，利用代数方法求解参数。
4. 图形法：对于与图形有关的题目，可以使用图形法来求解参数。
四、实例分析下面通过一个具体的实例来演示如何应用上述方法解决实际问题。
假设有集合A={1, 2, 3, 4}和B={x|x^2 - 4x < 0}，已知A是B 的真子集，求参数x的值。
解题思路：1. 认真审题，理解题意：已知集合A是集合B的真子集，求参数x的值。
2. 分析两个集合之间的关系，得到关系式：B是A的真子集 =>B中所有元素均在A中，且B中可能没有元素。
3. 根据关系式得到参数x的限制条件：x^2 - 4x < 0 => x < 0且 x > 4。
4. 将限制条件代入已知条件中得到方程：{1, 2, 3} - {x|x < 0} = {1, 2}，求解得到x = -2。
5. 验证结果：将x = -2代入集合B中得到{x|x^2 - 4x < 0}={-2, -1, 0, 1, 2}，符合集合的定义和性质。
答案：参数x的值为-2。
五、总结通过上述解题过程可以看出，解决由集合间的关系求参数问题需要认真审题、分析关系、建立方程或方程组并求解参数。
专题 高中 集合中含有参数问题重难点突破(含答案)
专题集合中含有参数问题一、考情分析二、经验分享【重难点突破】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()U UA B A B U ⇔=∅⇔=痧.3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.5.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B 痧．三、题型分析(一)元素与集合的关系中含有参数问题方法导入已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解步骤第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；反思要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验例1．（1）、（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合{}2,1,56A a a a =-+，若2A ∈，则实数a 的值构成的集合为_________．【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合{}21,2,,31M a a a =--，{}1,3N =-，若3M ∈且N M Ú，则a 的取值为（）A．1-B．4C．1-或4-D．4-或1例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【变式训练2-1】、（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式()x a x a <210－＋＋的解集为M .(1)若2∈M ，求实数a 的取值范围；(2)当M 为空集时，求不等式1x a-＜2的解集.方法导入此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.步骤第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.例3、（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________．【变式训练3-1】．（2020·南开区·天津四十三中）集合{}28160A x kx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________.例4、（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围：(1)A =∅；(2)A 恰有一个元素.【变式训练4-1】．（2020·伊美区第二中学高一月考）设集合{}|121A x m x m =+≤≤-，{}|14B x x =-≤≤．（1）若{}|14B x Z x =∈-≤≤，求B 的非空真子集的个数；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化）A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使U A B ⊆ð成立的实数m 的取值范围可以是（）A．{}|610m m <≤B．{}|22m m -<<C．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D．{}|58m m <≤【变式训练5-1】．（2020·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（）A．{}|27a a ≤≤B．{}|67a a ≤≤C．{}7|a a ≤D．∅【变式训练5-2】．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若AB ，则实数a 的取值范围为___________.方法导入这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.步骤第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.例6．（1）、（2021·河南·淅川县第一高级中学高一阶段练习）已知集合{}{}2|4260,|0A x x mx m B x x =-++==<.若A B ⋂≠∅，则m 的取值范围为___________.（2）、（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A．{}1,2--B．{}1,0-C．{}2,0,1-D．{}2,1,0--【变式训练6-1】、（2022·河南·高三阶段练习（理））已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B =（）A．{}1,3B．{}1,3,5,7C．{}3,5,7D．{}3,5,7,9【变式训练6-2】、（2022·江苏·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值可以为（）A．2B．12C．17D．0例7．（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合()(){}{}250121A x x x B x m x m =+-<=+≤≤-，.(1)当3m =时，求集合()A B R ð;(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【变式训练7-1】．（2022·安徽·高一期中）集合2{|650}A x x x =-+>，{|221}B x m x m =-<<+(1)当1m =时，求A B (2)问题：已知，求m 的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B B= ②A B A⋃=③A B =∅答案及详解三、题型分析(一)元素与集合的关系中含有参数问题例1．（1）、（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合{}2,1,56A a a a =-+，若2A ∈，则实数a 的值构成的集合为_________．【答案】{2,4}##{}42，【解析】【分析】依题意分两种情况2a =，或2256a a =-+讨论，分别计算可得；【详解】因为集合{}2,1,56A a a a =-+，且2A ∈所以2a =或2256a a =-+（1）当2a =时，此时2560a a -+=，{}2,1,0A =符合题意.（2）当2256a a =-+时，解得1a =或4a =当1a =时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当4a =时，{}2,1,4A =符合题意.综上可知实数a 的值构成的集合为{2,4}故答案为：{2,4}【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合{}21,2,,31M a a a =--，{}1,3N =-，若3M ∈且N M Ú，则a 的取值为（）A．1-B．4C．1-或4-D．4-或1【答案】B 【分析】根据3M ∈分类讨论解得a ，利用N M Ú检验结果即可求解.【详解】因为3M ∈，若3a =，此时，2311a a --=-，{}1,2,3,1M =-与N M Ú不符合，若2313a a --=，解得4a =或1a =-，当4a =时，{}1,2,4,3M =，满足N M Ú，当1a =-时，{}1,2,1,3M =-，不满足N M Ú，综上知，4a =故选：B 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合与集合的包含关系，属于中档题.例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定M 包含元素1-；（2）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（3）根据定义确定M 包含元素y -，即得x y M +∈结论；根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得xy M ∈结论．【详解】（1）1M -∈0M ∈，1M ∈由②可得011M -=-∈；（2）证明：由（1）知1M -∈，又1M ∈∴()112M --=∈，()213M --=∈由③得13M ∈；（3）证明：由①知0M∈由题知y M ∈，∴由②可得0y y M -=-∈又∵x M ∈，∴()x y M --∈，即x y M +∈；证明：由x M ∈，y M ∈，当0x =时，则0=∈xy M ；当1x =时，则=∈xy y M ；当0x ≠且1x ≠时，由②可得1x M -∈，再由③可得1M x∈，11M x ∈-∴111M x x -∈-即()11M x x ∈-，∴()1x x M -∈即2x x M -∈，∴2x M ∈即当x M ∈，2x M ∈又因为当,x y M ∈，x y M +∈，∴112M x x x +=∈，∴2M x∈∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M++∈∴()22222x y x y xy M ++-=∈．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．【变式训练2-1】、（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）已知不等式()x a x a <210－＋＋的解集为M .(1)若2∈M ，求实数a 的取值范围；(2)当M 为空集时，求不等式1x a-＜2的解集.【答案】(1)a ＞2；(2)(－∞，1)∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知2∈M 可得，2满足已知不等式，代入即可求解；（2）由M 为空集，可求得a ，然后代入解分式不等式即可求解.(1)由已知2∈M 可得，4－2(a ＋1)＋a ＜0，解得a ＞2，所以实数a 的取值范围为()2,+∞；(2)当M 为空集，则()a a -∆=≤2410＋，即()a -≤210；所以10a -=，即1a =∴1x a-＜2，即11x -＜2，∴231x x --＞0，解得x ＞32或x ＜1.∴此不等式的解集为(－∞，1)∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(二)集合中元素个数的含参数问题方法导入此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判别式求解.步骤第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.例3、（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________．【答案】{}0,1##{}1,0【解析】【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解.【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1.【变式训练3-1】．（2020·南开区·天津四十三中）集合{}28160A x kx x =-+=∣，若集合A 中只有一个元素，则由实数k 的值组成的集合为________.【答案】{}0,1【分析】分0k =和0k ≠两种情况，分别讨论集合A ，进而可求出答案.【详解】当0k =时，方程28160kx x -+=可化为8160x -+=，解得2x =，满足题意；当0k ≠时，要使集合{}28160A x kx x =-+=∣中只有一个元素，则方程28160kx x -+=有两个相等的实数根，所以64640k ∆=-=，解得1k =，此时集合{4}A =，满足题意.综上所述，0k =或1k =，即实数k 的值组成的集合为{}0,1.故答案为：{}0,1.【点睛】本题考查单元素的集合，注意讨论方程28160kx x -+=中k 是否为0，属于基础题.例4、（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围：(1)A =∅；(2)A 恰有一个元素.【答案】(1)()1,+∞(2){}0,1【解析】【分析】()1若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，则0m ≠，且440m ∆=-<，由此能求出实数m 的取值范围．()2若A 恰有一个元素，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m 的取值范围．(1)若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，则0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >，实数m 的取值范围是()1,+∞；(2)若A 恰有一个元素，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，440m ∆=-=，所以1m =．综上所述，m 的取值范围为{}0,1．【变式训练4-1】．（2020·伊美区第二中学高一月考）设集合{}|121A x m x m =+≤≤-，{}|14B x x =-≤≤．（1）若{}|14B x Z x =∈-≤≤，求B 的非空真子集的个数；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）62；（2）52m ≤.【分析】（1）先确定集合B 中元素的个数，然后根据一个含有n 个元素的集合的非空真子集为22n -个确定B 集合非空真子集的个数.（2）由A B A = 可知A B ⊆，先分析当A =∅的情况；当A ≠∅时，结合数轴确定集合,A B 端点的关系，确定实数m 的取值范围.【详解】解：（1）因为{}{}|141,0,1,2,3,4B x Z x =∈-≤≤=-，所以集合B 的非空真子集的个数为62262-=个.（2）若A B A = ，则A B ⊆，①当A =∅时，A B ⊆成立，此时121m m +>-，解得2m <；②当A ≠∅时，若A B ⊆，则只需12111214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：522m ≤≤.综上所述，若A B A = ，则实数52m ≤.(三)、集合基本关系中的含参问题由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化）A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9【答案】C【解析】【分析】根据B A⊆3=m=，根据集合元素的互异性求得答案.【详解】由B A⊆3=m=，3=时，9m=，符合题意；m=时，0m=或1m=，但1m时，{}1,1B=不合题意，故m的值为0或9,故选：C（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知全集U=R，集合{}|27A x x=-≤≤，{}|121B x m x m=+≤≤-，则使UA B⊆ð成立的实数m的取值范围可以是（）A．{}|610m m<≤B．{}|22m m-<<C．1|22m m⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D．{}|58m m<≤【答案】ABC【解析】【分析】讨论B=∅和B≠∅时，计算U Bð，根据UA B⊆ð列不等式，解不等式求得m的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当B=∅时，121m m+>-，即2m<，此时U RB=ð，符合题意，当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥，由{}|121B x m x m =+≤≤-可得{U |1B x x m =<+ð或}21x m >-，因为U A B ⊆ð，所以17m +>或212m -<-，可得6m >或12m <-，因为2m ≥，所以6m >，所以实数m 的取值范围为2m <或6m >，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.【变式训练5-1】．（2020·上海外国语大学附属宏达高级中学高一月考）若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（）A．{}|27a a ≤≤B．{}|67a a ≤≤C．{}7|a a ≤D．∅【答案】C【分析】考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足2133516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误【变式训练5-2】．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若A B ，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()1,2-【解析】【分析】首先将不等式变形，再对a 与1a -分三种情况讨论，分别求出集合A ，根据集合的包含关系得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围；【详解】解：原不等式220x x a a -+-≤可变形为()()10x a x a -+-≤，当1a a =-，即12a =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意；当1a a <-，即12a <时，{}1A x a x a =≤≤-，所以112a a ≥-⎧⎨-<⎩，解得1a >-，所以112a -<<；当1a a >-，即12a >时，{}1A x a x a =-≤≤，所以21112a a a ⎧⎪<⎪-≥-⎨⎪⎪>⎩，解得122a <<.综上可得1a 2-<<，即()1,2a ∈-；故答案为：()1,2-(四)、集合基本运算中的含参问题方法导入这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.步骤第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.例6．（1）、（2021·河南·淅川县第一高级中学高一阶段练习）已知集合{}{}2|4260,|0A x x mx m B x x =-++==<.若A B ⋂≠∅，则m 的取值范围为___________.【答案】(,1]-∞-【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，可得方程24260x mx m -++=有两个负根，或一正根一负根，或一负根和一个根为零，从而可得Δ0{40260m m ≥<+>，或Δ0{260m >+<，或Δ0{260m >+=，进而可求出m 的取值范围【详解】因为{}{}2|4260,|0A x x mx m B x x =-++==<，且A B ⋂≠∅，所以方程24260x mx m -++=有两个负根或一正根一负根，一负一零所以2Δ164(26)0{40260m m m m =-+≥<+>或2Δ164(26)0{260m m m =-+>+<，或()2Δ164260{40260m m m m =-+><+=，解得31m -<≤-，或3m <-，或3m =-，综上，1m ≤-，即m 的取值范围为(,1]-∞-，故答案为：(,1]-∞-（2）、（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A．{}1,2--B．{}1,0-C．{}2,0,1-D．{}2,1,0--【答案】D【分析】先求出集合A，由A B B = 得到B A ⊆，再分类讨论a 的值即可.【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆；当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-，综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D .【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略0a =时，集合B φ=满足B A ⊆，而错解.【变式训练6-1】、（2022·河南·高三阶段练习（理））已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A．{}1,3B．{}1,3,5,7C．{}3,5,7D．{}3,5,7,9【答案】A【解析】【分析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ,故选:A．【变式训练6-2】、（2022·江苏·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a的值可以为（）A．2B．12C．17D．0【答案】BCD【解析】【分析】先求出集合A ，再由A B B = 可知B A ⊆，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案.【详解】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17,故选：BCD 例7．（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合()(){}{}250121A x x x B x m x m =+-<=+≤≤-，.(1)当3m =时，求集合()A B R ð;(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}()5R A B ⋂=ð(2){}3|m m <【解析】【分析】（1）由题知{}25A x x =-<<{}|45B x x =≤≤，再根据集合交集，补集运算求解即可；（2）由题知B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解即可.(1)解：集合()(){}{}25025A x x x x x =+-<=-<<，当3m =时，{}|45B x x =≤≤，所以{|2R A x x =≤-ð或5}x ³所以{}()5R A B ⋂=ð.(2)因为A B B = ，所以B A ⊆，①当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，此时B A⊆②当B ≠∅时，应满足12112215m m m m +≤-⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，解得23m ≤<，此时B A ⊆综上，m 的取值范围是{}3|m m <【变式训练7-1】．（2022·安徽·高一期中）集合2{|650}A x x x =-+>，{|221}B x m x m =-<<+(1)当1m =时，求A B(2)问题：已知，求m 的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①A B B = ②A B A ⋃=③A B =∅【答案】(1)()(),25,A B ∞∞⋃=-⋃+(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）化简集合A ，根据并集的定义求解；（2）化简所选条件，结合集合的包含关系列不等式求m 的取值范围(1)因为2{|650}A x x x =-+>，所以{}51A x x x =><或1m =时{}02B x x =<<，所以()(),25,A B ∞∞⋃=-⋃+(2)选①：由题意B A ⊆，B =∅时221m m -≥+，解得3m ≥；B ≠∅时，322511m m m <⎧⎨-≥+≤⎩或，解得0m ≤，综上30m m ≥≤或选②：由题意B A ⊆，B =∅时221m m -≥+，解得3m ≥；B ≠∅时，322511m m m <⎧⎨-≥+≤⎩或，解得0m ≤，综上30m m ≥≤或；选③：B =∅时221m m -≥+，解得3m ≥；B≠∅时，322115mmm<⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得332m≤<；综上32 m≥。
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问题2 突破点集合运算中的参数问题一、问题的提出所谓集合中的参数问题，是指集合{|p p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题，已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)，一般常和方程、不等式、函数等知识结合在一起进行考查，综合性比较强，解法多样，故难度较大.对思维的严谨性要求较高.是同学们学习集合的一个难点。
二、问题的探源解含参数的集合运算问题，首先应分清集合中的元素是数集还是点集，然后根据元素的特点考虑对参数进行分类讨论。
下面总结集合中几类常见的参数问题1. 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围由集合间关系求解参数的三部曲第一步:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形; 第二步:看集合中是否含有参数,若A B第三步:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想,借助数轴解答.3.根据集合运算的结果确定参数的取值范围方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.方法二：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式（组）；(4)解不等式（组）；(5)检验.注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；(2)千万不要忘记考虑空集。
三、问题的佐证(一)根据元素与集合的关系求参数的值例1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3(二)根据集合与集合的关系求参数的值例2.已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3【解析】由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1，故选B.【评注】在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． (三)根据集合与集合的关系求参数的取值范围已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．例3.已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ⊆，求实数m 的取值范围为。
【解析】(1)当B =∅时，121m m +>-，得2m <，满足B A ⊆.(2)当B ≠∅时，121,12,21 5.m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得2≤m ≤3.综合(1)、(2)得m 的取值范围是m ≤3.【评注】有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在B A ⊆中，含有B =∅这种可能，应注意.在集合单元中含有丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识，掌握分类方法，培养周密的思维品质.(四)根据集合运算的结果求参数的取值范围例4.已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． 四、问题的解决1. 已知集合{}2|540,M x x x x Z =++<∈，集合{}1,N a =，若M N ⋂≠∅，则实数a 等于（ ）A. -3B. -4C. -1或-4D. -2或-3 【答案】D【解析】{}|41,M x x x Z =-<<-∈ 故取整数得到{}3,2M =-- ， M N ⋂≠∅，故2a =- 或者 3.a =-故答案为D.2. 已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A. {a |3<a ≤4}B. {a |3≤a ≤4}C. {a |3<a <4}D. ∅ 【答案】B【解析】A ⊇B ⇒13{52a a -≤≤+ ⇒3≤a ≤4.选B.3. 设集合{}{|12}|A x x B x x a ≤<<＝－，＝，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是( ) A. 2a < B. 2a >－ C. 1a >－ D. 12a <≤－ 【答案】C【解析】因为{}{|12}|A x x B x x a ≤<<＝－，＝，若A B ⋂≠∅，则1a >-，故选C. 4.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，1]【解析】 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 5. 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是( ) A. 1 B. 0,1C. －1, 1D. －1,0,1 【答案】D6．已知集合{}22355M a a =-+，，，集合{}216103N a a =-+，，，且{}23M N ⋂=，，则a 的值是（ ）A. 1或2B. 2或4C. 2D. 1 【答案】C【解析】因为 {}23M N ⋂=， ，所以 有 2,3M M ∈∈ ，所以 22352{ 6103a a a a -+=-+=，解得2a = ，故选C7．已知[){}1,,021A B x x a =+∞=≤≤-，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. ()1,+∞ 【答案】D【解析】∵[){}1,,021A B x x a =+∞=≤≤-， A B ⋂=∅， ∴211a -<，即1a < 故选：D8．已知集合{}{|14},A x x B x x a =-<<=,若A B ⊆,则实数a 的取值范围 ( ) A. ()1,-+∞ B. [)1,-+∞ C. (),1-∞- D. (],1-∞- 【答案】D【解析】∵集合{}{|14},A x x B x x a =-<<=，若A B ⊆，由数轴可得，∴1a ≤-，即实数a 的取值范围是(],1-∞-，故选D. 9. ．设集合，，如果，则的值为（ ） A.B. C.D.【答案】C【解析】由题意可得直线与直线平行，则：，据此解方程有：.本题选择C 选项.10. 已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围_________； 若至少有一个元素，则a 的取值范围__________。
【答案】 9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或 9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭11. 设全集{}23,6,1U m m =--， {}32,6A m =-， {}5U C A =，则实数m 的值 为______________． 【答案】3【解析】因为()U A C A U ⋃=，所以{}23,6,1U m m =--={}32,65m -，，两个集合相等，所有元素都一样，所以2323{15m m m -=--=，解得m=3,填3.12. 已知A {}|3 2,x x x R =-≤≤∈，B {}| x x a =>满足A B ⊆，则实数a 的取值范围是___________ 【答案】3a <-【解析】因为A {}|3 2,x x x R =-≤≤∈，B {}| x x a =>满足A B ⊆，所以3a <-，故填3a <-．13. 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈是单元素集，则a 的值为____________ 【答案】1或0【解析】当0a =时，原方程化为210x +=，解得12x =-，合题意；当0a ≠时，只需440a ∆=-=，即1a =，故所求a 的值为1或0，故答案为1或0.14.已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．15.已知关于x 的不等式50ax x a-<-的解集为M 。
（1）当4=a 时，求集合M ；（2）若M M ∉∈53且，求实数a 的取值范围。
【解析】（1）4=a 时，不等式为4504x x -<-，解之，得 5,44M ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2） ① 5a ≠时，⎩⎨⎧∉∈M M 53 35035505a a a a-⎧<⎪⎪-⇒⎨-⎪≥⎪-⎩ ()51,3,53a ⎡⎫⇒∈⋃⎪⎢⎣⎭，② 5a =时，不等式为5505x x -<-， 解得()1,5M =， 则 M M ∉∈53且，∴5a =满足条件，综上，得 (]51,3,53a ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭。
16.已知集合A=}0)1()1(|{222>++++-a a y a a y y ，B=}30,2521|{2≤≤+-=x x x y y ；若 ∅≠B A ，求实数a 的取值范围。