高中数学集合概念与运算

第一讲 集合的概念与运算

【考点透视】

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.

2．了解空集和全集的意义.

3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论.

【例题解析】

题型1． 正确理解和运用集合概念

理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

例1.已知集合M={y|y=x 2

＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A ．（0，1），（1，2）

B ．{（0，1），（1，2）}

C ．{y|y=1,或y=2}

D ．{y|y≥1} 思路启迪：集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x∈R)，y=x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x 2＋1,x ∈R}={y|y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D ．

点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.y x y x ?=+?=+?0,1,x y =??=?得 1,2.x y =??=?或 从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2＋1}、{y|y=x 2

＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

例2.若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）

A ．P

B ．Q

C ．

D ．不知道

思路启迪：类似上题知P 集合是y=x 2（x∈R）的值域集合，同样Q 集合是y= x 2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q 意义就明确了．

解：事实上，P 、Q 中的代表元素都是y ，它们分别表示函数y=x 2,y= x 2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y ≥1}，知Q

P ，即P ∩Q=Q ．∴应选B ． 例3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）

A ．P∩Q=?

B ．P Q

C ．P=Q

D ．P Q

思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q ，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x 2,x

∈R 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q 集合是y=x 2,x ∈R 上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．

解：正确解法应为： P 表示函数y=x 2的值域，Q 表示抛物线y=x 2上的点组成的点集，因此P ∩Q=?．∴应选A ．

例4若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ?= （ ）

A ．{3}

B ．{1}

C ．?

D ．{－1} 思路启迪：{}{|1,1}{|1,3},1.A x x x B x x x A B ==-===-=∴?=-Q

，

解：应选D ．

点评：解此类题应先确定已知集合．

题型2．集合元素的互异性

集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

例5. 若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－12

(a 2－3a －8), a 3＋a 2

＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________． 解答启迪：∵A ∩B={2，5}，∴a 3－2a 2－a ＋7=5,由此求得a =2或a =±1． A={2,4,5}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a =1时，a 2－2a ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a =1．

当a =－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a =－1．

当a =2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．

故a =2为所求．

例6. 已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c 2}．若A=B ，则c 的值是______．