高中数学 集合的概念及其基本运算
高中数学专题-集合的概念及其基本运算
高中数学专题-集合的概念及其基本运算【考纲考点剖析】考 点考纲内容5年统计分析预测 1.集合间的基本关系1．了解集合、元素的含义及其关系。
2．理解全集、空集、子集的含义，及集合之间的包含、相等关系。
3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。
1.集合交、并、补的运算是考查的热点；2.集合间的基本关系很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系；(3) 简单不等式的解法.2.集合的基本运算1．会求简单集合的并集、交集。
2．理解补集的含义，且会求补集。
【知识清单】1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集 整数集有理数集 实数集符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。
记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。
记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示名称交集并集补集数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈U,且x ∉A}图形 语言（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB BA = ， A A A =， A A ∅=， AB B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆, A B A B A =⇔⊆, ()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =．【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4 【答案】A【1-2】若集合{}1A x x =-，则（ ）A. 3A -∈B. 2A -∈C. 1A -∈D. 0A ∈ 【答案】D 【解析】{}1A x x =-∴集合A 就是由全体大于1-的数构成的集合，显然01>-，故0A ∈故选D 【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】【变式一】【浙江嘉兴一中模拟】若集合{}1,2,3A =， (){},40,,B x y x y x y A =+-∈，则集合B 中的元素个数为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D【解析】,x y A ∈的数对共9对，其中()()()2,3,3,2,3,3满足40x y +->，所以集合B 中的元素个数共3个． 【变式二】设，，集合，那么与集合的关系是（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】,即，，即a =3，b =π，故x ∈M ，y M ，故选：B.考点2 集合间的基本关系【2-1】【浙江省杭州市第二中学5月仿真】若集合{}2| 2,A x x x x R ==-∈， {}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为（ ）A. 2B. -2C. -1或2D. 2或2 【答案】A【解析】{}2A =，由A B ⊆可知， 2m =，故选A 。
高中数学全部知识点整理
高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性.3、集合的表示：(1){ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2). 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
6、集合的分类：(1)．有限集含有有限个元素的集合(2)．无限集含有无限个元素的集合(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。
即A⊆A②如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
第1章高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
§1．1集合¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
高中数学集合的基本概念和运算
内容 基本要求集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．（一）知识内容举例：⑴ 120-的所有合数 ⑵ 北京在户人口⑶ 学而思学员 ⑷ 所有的正方形这些小例中有哪些共同特征？ 1．集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对例题精讲高考要求知识框架集合的基本概念和运算象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）． ⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示．⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 2．元素与集合间关系：属于∈；不属于∉． 3．集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法． 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点} 例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}（二）典例分析：【例1】用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ； ⑵ 0___∅；⑶ 0___{0}．【例2】用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， 5______N 16N⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）2323-+{}|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q【例3】用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合．【例4】已知集合8|6A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎭⎩N N ，试用列举法表示集合A ．板块一：集合的概念与表示【例5】下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例6】用列举法表示集合：10,1M mm m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 【例7】直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{}(,)|1,1,2,2x y x y x y ≠≠≠≠B ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠⎪⎩⎭C ．1(,)|1x x y y ⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且22x y ⎫≠⎧⎪⎨⎬≠-⎪⎩⎭D ．{}2222(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y x y -+--++≠ 【例8】下面有四个命题：⑴集合N 中最小的数是1；⑵若a -不属于N ，则a 属于N ；⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2；⑷212x x +=的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例9】方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ）A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-．【例10】已知2()(R ,R)f x x ax b a b =++∈∈，{|(),R}A x x f x x ==∈，{|[()],R}B x x f f x x ==∈．当{1,3}A =-时，用列举法表示集合B ．（一） 知识内容1．子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． 规定：∅是任意集合的子集． 2．真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集， 记作AB （或BA ）．∅是任意非空集合的真子集．3．相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（二）典例分析【例11】用适当的符号填空⑴ {1}___2{|320}x x x -+= ⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+=⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=【例12】用适当的符号填空：⑴ ___{0}∅⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}【例13】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X ∅∈D ．{}0X ⊆【例14】用适当的符号填空{}()(){}3|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ {}25|23x x ≤+， ⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R 【例15】下列说法中，正确的是（ ）板块二：集合间的基本关系A．任何一个集合必有两个子集；B．若,A B=∅则,A B中至少有一个为∅C．任何集合必有一个真子集；D．若S为全集，且,=则A B SA B S==【例16】已知集合2=++=，其中0A a a d a dB a aq aq{,,2},{,,}a≠，且A B=，则q等于___．【例17】求集合{,}a b的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．【例18】若全集{}A=，则集合A的真子集共有．U=且{}20,1,2,3UA．3个B．5个C．7个D．8个【例19】{,,}a b c d e f，求满足条件的A的个数．a b c A{,,,,,}【例20】若集合{}=∈N≤，{|A x x x|6,=，则C的非空子集的个数B x x=是非质数}，C A B为．【例21】求满足条件{1,2}A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数【例22】设{|13},{|}=-<<=>，若A B，则a的取值范围是______A x xB x x a【例23】已知{25}=+≤≤-，B AA x xB x m x m=-≤≤，{121}⊆，求m的取值范围．【例24】求集合{1,2,3,,100}M =的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）．帮助学生分析此题时，可按以下步骤：① 集合M 的所有子集的情况 ② 所有子集的元素之和 ③ 元素之和的和 ④ 空集的元素和为零 此题可适当拓展：如果{1,2,3,,}M n =（+N n ∈），则M 的子集共有2n 个．所有子集的元素和之和为221(1)2(12...)22(1)22n nn n n n n n -+⨯⨯+++=⋅=⋅+（可作为公式熟记），可由此让学生注意到补集的情形．（一）知识内容1．相关概念：⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集， 记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈或}x B ∈．⑵ 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈．⑶ 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作UA ，即{|,UA x x U =∈且}x A ∉．（二）典例分析【例25】已知全集{1,2,3,,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =求：A B ，A B ，()U A B ，UA B ，()A B C【例26】若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ，则有（ ）A ．MN M = B ．MN N = C ．MN M = D ．MN =∅【例27】已知全集{(,)|R ,R}I x y x y =∈∈，{(1,1)}P =，表示I P ．【例28】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．板块三：集合的基本运算【例29】设集合{|(3)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．【例30】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0【例31】下列表述中错误的是（ ）A ．若AB ⊆，则A B A = B ．若A B B =，则A B ⊆C ．()()A B AAB D ．()()()UUUA B A B =【例32】若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = ． 【例33】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若A B =∅，则()()U U A B U = ⑵若AB U =，则()()UUA B =∅⑶若A B =∅，则A B ==∅A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例34】设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =（ ）A ．0B ．{}0C ．∅D ．{}1,0,1-【例35】已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求R()AB ，R ()A B【例36】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求()UM N ．【例37】已知{}2|43,M y y x x x ==-+∈R ，{}2|28,N y y x x x ==-++∈R ，则__________MN =．【例38】若{}|1,I x x x =-∈Z ≥，则I N = ．【例39】设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===，则A B =（）C【例40】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[1,3]-【例41】若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ，则有．A ．MN M = B ．MN N = C ．MN M = D ．MN =∅【例42】集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=满足A B ≠∅，A C =∅，求实数a 的值．【例43】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ） A ．∅ B ．{(2,3)} C ．(2,3) D ．{2,3}【例44】设2{|20}A x x ax b =-+=，2{|6(2)50}B x x a x b =++++=，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求A B ．【例45】设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U A B =∅，求m 的值．【例46】设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-， 那么()()U U M N 等于________________．【例47】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},{7,19}IIAB AB ==，且{2,17}I IAB =，求集合,A B ．结合集合的运算性质：⑴ 交换律：,A B B A A B BA ==；⑵ 结合律：()()A B C A B C =；()()A B C A B C =；⑶ 分配律：()()()A B C A B A C =；()()()A B C A B A C =； ⑷ 吸收律：();()A A B A A A B A ==； ⑸ 对偶律：();()I I II I IA B AB A B AB ==（德·摩根定律）． 【例48】若{}{}{},,|,A a b B x x A M A ==⊆=，求B M ．【例49】已知全集I 中有15个元素，集合MN 中有3个元素，I IMN 中有5个元素，IMN 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615453INM【例50】50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（ ） A ．35 B ．25 C ．28 D ．15【例51】某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人．【例52】已知{|2820,,}A x x m n m n ==+∈Z ，{|1218,,}B x x m n m n ==+∈Z ，则A B 中最小的正整数是 _________．【例53】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．1-1集合的基本概念和运算 page 11 of 11 【例54】若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且M T ⊇．求实数m 的取值范围．<教师备案>1．对于集合需要注意：①集合本身是一个不加定义的概念；空集虽空，但空有所为；②元素的三个特性：确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个 无序性：集合中的元素是无次序关系的．数学中一些常用的数集及其记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N ；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合称为实数集，记作R ．2.拓展讲解：⑴由于()(())I A B C A B I =，记集合A 的元素个数为Card(A )，则Card()Card()Card()Card()A B A B A B =+-Card()Card()Card(())I A B I A B =-如果推广到三个有限集,,A B C ，则有Card()Card()Card()Card()Card()Card()Card()A B C A B C A B B C CA =++---Card()A B C + ⑵ 利用以上的结论还可解决与自然数相关的计数问题，比如：从1到100的所有自然数中，能被2整除但不能被5整除的自然数有多少个？ 记A ={1~100中能被2整除的自然数}，B ={1~100中能被5整除的自然数}，则 A B ={1~100中能被5整除且又能被2整除的自然数}，I A B ={1~100中只能被2整除不能被5整除的自然数}， I A B ={1~100中不能被2整除但能被5整除的自然数}． 经计算发现：Card()50A =，Card()20B =，Card()10A B =；∴Card()50201060A B =+-=．因此Card()Card()Card()501040I AB A A B =-=-=． 即1到100的所有自然数中，能被2整除但不能被5整除的自然数有40个．。
高中数学集合知识点总结8篇
高中数学集合知识点总结8篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由具有某种共同属性的事物组成的总体。
在数学中，我们常常用集合来表示一些数、点、线等的总体。
集合的基本特性包括确定性、互异性、无序性以及可表示性。
常见的集合表示方法有列举法、描述法以及图像法等。
对于集合的学习，首先要明确集合的概念及其表示方法，这是后续学习的基础。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中所有元素的集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集则表示属于某个集合的所有元素之外的所有元素组成的集合。
在解题过程中，要根据题目的要求，选择合适的集合运算方法。
三、集合的基本关系集合之间的关系包括子集、真子集、相等集合等。
子集表示一个集合的所有元素都在另一个集合中；真子集表示一个集合是另一个集合的子集，且两者不相等；相等集合表示两个集合完全相同。
此外，还要了解空集的概念，即不含有任何元素的集合。
掌握集合的基本关系，有助于理解集合的运算及其性质。
四、数列与集合数列是一种特殊的集合，它按照一定规律排列的数序列。
等差数列和等比数列是数列中最常见的两种形式。
等差数列中的任意两项之差相等，等比数列中的任意两项之比相等。
在解决数列问题时，要充分利用数列的性质和公式，简化计算过程。
五、函数的定义域与值域与集合的关系函数的定义域与值域是函数概念的重要组成部分。
函数的定义域是指函数自变量的取值范围，值域则是函数因变量的取值范围。
这两个范围都可以用集合来表示。
在求解函数的定义域和值域时，要充分利用函数的性质，结合数轴或不等式等方法进行求解。
六、总结与应用掌握高中数学集合知识点，首先要明确集合的基本概念、表示方法以及运算性质。
在此基础上，要理解数列与集合的关系，掌握函数的定义域与值域与集合的联系。
在实际应用中，要灵活运用所学知识，解决数学问题。
集合数学知识点高一小结
集合数学知识点高一小结在高中数学中，集合是一个重要且基础的概念。
它作为数学中的一个分支，涵盖了多个知识点。
下面将对高一阶段的集合数学知识进行小结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、集合与元素集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
在集合的表示中，通常使用大写字母表示集合，小写字母表示元素。
例如，集合A中的元素可以表示为A = {a, b, c}。
可以使用集合的列表形式、描述法或元素特性等方式来表示集合。
二、集合的关系1. 子集和超集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B，反之若A ⊆ B且A ≠ B，则A是B的真子集。
集合B是集合A的超集，记作B ⊇ A。
2. 交集和并集：集合A和集合B的交集是指同时属于A和B的所有元素所组成的集合，记作A ∩ B。
集合A和集合B的并集是指包含了所有属于A和B的元素的集合，记作A ∪ B。
3. 互斥：若A ∩ B = ∅，即集合A和集合B没有共同的元素，则称A 和B是互斥的。
三、集合的运算与特殊集合1. 补集：对于给定的集合U，集合A相对于U的补集是指所有不属于A的U中元素所组成的集合，记作Ac。
2. 差集：集合A和集合B的差集是指属于A但不属于B的所有元素所组成的集合，记作A - B。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 全集：包含了研究对象的所有元素的集合称为全集，通常用大写字母U表示。
四、集合的性质和定理1. 幂集：集合A的幂集是指A的所有子集的集合。
幂集的元素个数为2^n，其中n为A中元素的个数。
2. 交换律、结合律与分配律：交换律：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)3. 德摩根定律：补集的交换律：(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc，(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc五、应用题解析1. 用Venn图解决集合问题：Venn图是用来直观地表示集合及其关系的图形。
集合概念性质知识点总结
高中高一数学必修1集合的概念性质第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法和自然语言法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作aÏA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
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B.{3，5，6}
C.{3}
D.{0，4，5，6，7，8}
解析 由韦恩图知( UA)∩B={5,6}.
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3.（2009·广东理，1）已知全集U=R，
集合M={x|-2≤x-1≤2}和
N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩图如图所示，
则阴影部分所示的集合的元素共有（ B）
A.3个
b 1.
a 又{1,a+b,a}=
{0,
b
,
b},
a
∴b=1,a=-1.∴b-a=2.
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题型二 集合与集合的基本关系 【例2】(12分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= {x| 1x2}.
2 （1）若AB，求实数a的取值范围； （2）若BA，求实数a的取值范围； （3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能， 试说明理由.
B.2个
C.1个
D.无穷多个
解析 M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.
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4.(2009·浙江，1)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},
则A∩ UB=
（）
B
A.{x|0≤x<1}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
解析 ∵B={x|x>1},
则a4a1212,aa22.0a2. 综上知，当B A时， 1 a 2 ［10分］
2 （3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
［12分］
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探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另 外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则， 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类； ③逐类讨论；④归纳结论.
思维启在迪确定集合A时，需对x的系数a进行讨 论.利用数轴分析，使问题得到解决.
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解题示范 解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若a=0，则A=R；
②若a<0，则A{x| 4x1};
a
a
③若a>0,则 A{x|1x4}［.2分］
aa
(1)当a=0时，若A B，此种情况不存在.
当a<0时，若A B，如图,
（）
B
A.{2，3}
B.{1，4，5}
C.{4，5}
D.{1，5}
解析 ∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∩B={2，3}.
又U={1，2，3，4，5}，
∴ U(A∩B)={1，4，5}.
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2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示，
则( UA)∩B等于
（）
A
A.{5，6}
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___A；A___A；A B，B CA____C.
若A含有n个元素,则A的子集有__2__n个,A的非空子集 有___2_n_-_1个,A的非空真子集有____2__n_-2_个. (2)集合相等 若A B且B A,则__A__=__B_. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B=_{_x_|_x_∈__A__且__x__∈__B；} 补集： UA=__{_x__|_x_ __U _且 ___x_ __A _} . U为全集， UA表示A相对于全集U的补集.
题型一 集合的基本概念
【例1】 (2009·山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2},
若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为 （ ）
A.0 B.1 C.2
D.4
思维启根迪据集合元素特性，列出关于a的方程
组，求出a并检验.
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解析 ∵A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16},
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∴ UB={x|x≤1}. 又A={x|x>0},
∴A∩ UB={x|0<x≤1}.
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5.设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x ≥a}. 若A B， 则a的取值范围是 ( ) B A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2 解析 由图象得a≤1,故选B.
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题型分类 深度剖析
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(3)集合的表示法：_列__举__法__、__描__述__法_、___图__示__法、 __区___间__法. (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为__有__限___集_、____无__限__集_、____空__集. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则 A.B（或 B. A 若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A， 则_______（或______）.
则a41a212,aa
8 1,a8.
2 精品课件
当a>0时，若A B，如图,
则a4a12
1 2,aa
2 .a
2
2.
综上知，当A B 时，a<-8或a≥2.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
［6分］
精品课件
则a41a212,aa812.12a0; 当a>0时，若B A，如图,
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 函数及其表示
基础知识 自主学习
要Hale Waihona Puke 梳理1.集合与元素 （1）集合元素的三个特征：__确__定__性___、__互___异__性_、 __无___序__性__. （2）元素与集合的关系是__属__于__或__不__属___于_关系，
用符号__ __或_____表示.
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(2)集合的运算性质 并集的性质:
A∪=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；
A∪B=AB A. 交集的性质：
A∩ =；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B= A A B.
补集的性质： .
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基础自测
1.（2008·四川理，1）设集合U={1，2，3，4，5},
A={1，2，3}，B={2，3，4},则 U(A∩B)等于
∴
a 2 16 ,
a 4,
答案 D
∴a=4.
探究提掌高握集合元素的特征是解决本题的关键. 解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.
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知能迁移1 设a,b∈R，集合{1,a+b,a}={0, b , b},
a
则b-a等于
() C
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析 ∵a≠0,∴a+b=0