2018-2019年高考文科复习跟踪检测(23)正弦定理和余弦定理的应用

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正弦定理、余弦定理及其应用-高考数学【解析版】

专题24 正弦定理、余弦定理及其应用近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）正弦、余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C=== a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B C a A=3.余弦定理的变式应用：公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角；当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角（二）三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．（三）常用结论 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ． 4．三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ． 5.海伦公式：()()()()1,2S p p a p b p c p a b c =---=++ 6.向量方法：()()2212S a ba b=⋅-⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==- ()()221cos 2S ab ab C ∴=-cos a b ab C ⋅=∴ ()()2212S a b a b =⋅-⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =- 7.三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）.()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-8.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）证明：在ABD 中2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅ ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅ ②D 为BC 中点 BD CD ∴=ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-∴ ①+②可得：()22222AB AC AD BD +=+（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则AB BDAC CD=证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于EBD BEDC AE∴= EDA DAC ∠=∠ BBEAD 为BAC ∠的角平分线EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BEDC AE ED ∴==而由BED BAC 可得：BE ABED AC=AB BDAC CD ∴=（四）测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i ＝hl＝tan θ135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．【典型考题解析】热点一利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =. 故选：D.【典例2】（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得22sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.【典例3】（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． (1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【总结提升】1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C ． (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C ．(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．热点二三角形面积问题【典例4】（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．【答案】5(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及45a c =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． (1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =，由正弦定理知4sin 5A C ，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．【典例5】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =，求b ．【答案】2 (2)12 【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B ==(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 42b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 【规律方法】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．热点三三角形的周长问题【典例6】（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长．【答案】(1)6π(2)663 【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. (1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =，可得3cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===3a = 由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴= 所以，ABC 的周长为36a b c ++=.【典例7】（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. (1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 【规律方法】求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性. 热点四判断三角形的形状【典例8】（2020·海南·高考真题）在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理由sin 3sin AB 可得：3ab=()3,0a m b m m ==>，则：22222232cos 323c a b ab C m m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2333ac m m m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：213sin 12A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 3c A m ==，则：23c m ==若选择条件③：可得1c mb m==，c b =，与条件3=c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-．由sin 3sin A B ，得5sin 36B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13cos 32B B B =，得3tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得3a c =．解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．若选择条件②：由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得3c =23b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得36a c ==．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在．【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出．【典例9】（2020·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3b c -=代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又3b c -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以3a c =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【总结提升】1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3.确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C =② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求B 时，sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒=，而0,,22B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）热点五正弦定理、余弦定理实际应用【典例10】（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+，即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差．故选：A.【典例11】（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-3 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【典例12】（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值. (1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDS EF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 热点五平面几何中的解三角形问题【典例13】（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =AC =___________，cos MAC ∠=___________. 【答案】 13239【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以13AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅⨯⨯. 故答案为：213239【典例14】（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C （2）2tan 11DAC ∠=.【解析】【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b = 由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+5sin 5C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =- 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC === 在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=．在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=，由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ==-==-=∠．由（1）知5sin C =Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，从而115AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==．所以211DAC ∠=．【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得5b =sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【典例15】（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+ 条件③：ABC 33【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin33c R R π=，则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,23a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===，解得3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭【总结提升】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【精选精练】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D 在同一水平面上的A ，B 两点，在A 点和B 点测得C 点的仰角分别为45°和30°，测得257AB =150ADB ∠=︒，则云楼的高度CD 为（）A ．20米B ．25米C ．7D ．257【答案】B【分析】设CD x =，由锐角三角函数得到AD x =，3BD x =，再在ABD △中利用余弦定理求出x ，即可得解.【详解】解：依题意45CAD ︒∠=，30CBD ︒∠=，设CD x =，在Rt ACD △、Rt BCD 中，tan 1CD CAD AD∠==，3tan 3CD CBD BD ∠==，所以AD x =，3BD x =，在ABD △中由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即()()22232573232x x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得25x =或25x =-（舍去），所以云楼的高度CD 为25米；故选：B2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos ,,cos 22B C n b p c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共线，则ABC 的形状为（）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是6π的直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得cos cos 22B Aa b =，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sinsin 22A B=，结合角的范围求得A B =，同理可得B C =，则答案可求．【详解】向量(,cos )2A m a =，(,cos )2B n b =共线，cos cos 22B A a b ∴=，由正弦定理得：sin cos sin cos 22B A A B =， 2sincos cos 2sin cos cos 222222A A B B B A ∴=，则sin sin 22A B=， 022A π<<，022B π<<，∴22A B =，即A B =．同理可得B C =．ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．3．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为33.65，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为80.51.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（）（已知229tan33.65,tan80.5135≈≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出35,229BC AC CD AC ==，再由BD 的长为7米，求出AC ，即可得出答案. 【详解】由图可知229tan33.65,tan80.5135AC AC BC CD =≈=≈，所以35,229BC AC CD AC ==，得3577587 5.272295811BD AC AC AC ⎛⎫=-==⇒=≈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 二、多选题4．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（） A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形【答案】ACD【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.【详解】对于A ，等腰直角三角形的三边比为1:1:2，而三个内角的比为1:1:2，所以A 错误，对于B ，在ABC 中，当sin sin A B >时，由正弦定理可得a b >，因为在三角形中大边对大角，所以A B >，所以B 正确，对于C ，在ABC 中，若三个角,,A B C 确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C 错误，对于D ，在ABC 中，2220b c a +->时，由余弦定理可知角A 为锐角，而角,B C 的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D 错误，故选：ACD5．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）在ABC 中，已知2,3,AB AC AD ==是角A 的平分线，则AD 的长度可能为（） A ．2.1 B ．2.2 C ．2.3 D ．2.4【答案】ABC【分析】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，由题设可得3AC EC ==且ADB EDC ，进而有23AD ED =，令2AD x =并在ACE 中应用余弦定理求x 范围，即可得AD 范围. 【详解】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，又AD 是角A 的平分线，得CAE BAE E ∠=∠=∠，故3AC EC ==，而ADB EDC ，则23AD AB ED EC ==，令2AD x =，则5AE x =，在ACE 中，22221825cos (1,1)218AC EC AE x ACE AC EC +--∠==∈-⋅，可得605x <<，则122(0,)5AD x =∈，故A 、B 、C 满足要求.故选：ABC6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）．现有ABC 满足::2:7a b c =ABC 的面积63ABC S =△列结论正确的是（） A ．ABC 的最短边长是2 B ．ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．ABC 221D ．ABC 的中线CD 的长为32【答案】BC【分析】依题意设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），利用面积公式求出t ，即可求出边长，从而判断A ，再由余弦定理求出C ，即可判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C ，最后由数量积的运算律求出中线CD ，即可判断D.【详解】解：由::2:3:7a b c =，设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），因为63ABC S =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =，故A 错误；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故B 正确；因为π3C =，所以3sin 2C =，由正弦定理得4212sin 3c R C ==，2213R =，故C 正确； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB ⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故19CD =，故D 错误．故选：BC ．三、填空题7．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且42c =B =4π，若ABC 的面积S =2，则b =___________. 【答案】5【分析】先由面积公式计算1a =，再利用余弦定理计算5b =. 【详解】由三角形面积公式，1sin 22S ac B ==，所以，1a =.由余弦定理，2222cos 25b a c ac B =+-=.所以，5b =. 故答案为：5.8．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A bbc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=， ∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形四、解答题9．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin cos 0a B b A -=.(1)求A ； (2)若3c =3a =ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)338【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A ；（2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）因为3sin cos 0a B b A -=所以由正弦定理得3sin sin sin cos A B B A =，因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠，所以3sin cos A A =，即3tan 3A =，又因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）。

【高三数学试题精选】2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

2018高考高三数学一轮复习正、余弦定理的应用(正式)

2.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的 ( C ) A.东偏北46° C.南偏西44° B.东偏北44° D.西偏南44°
3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔
A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的 ( B ) A.北偏东10° C.南偏东10° B.北偏西10° D.南偏西10°
的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元解三角形问题是三角学的基本问题之一。解三角形的方法在度量工件、测量距离和一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形的方法。已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。
例 2 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位： m)，如图 3243 所示，垂直放置的标杆 BC 高度 h＝4 m，仰角 ∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已经测得一组 α， β 的值， tan α ＝1.24，tan β ＝1.20，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 α 与 β 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125 m，问 d 为多少时，α －β 最大？
1.仰角、俯角、视角。
（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）视线仰角俯角视角视线水平线

2019年高考数学考点23正弦定理和余弦定理的应用必刷题理

考点23正弦定理和余弦定理的应用tanA a21.在△ ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若，•，则△ ABC是（）A.直角三角形B .等腰三角形C.等腰直角三角形 D .直角三角形或等腰三角形【答案】D【解析】由条件可衛务需，整理可得：acosA=boosB,所以sinAco&A=siiiBcosB,所以2A=2B 或2A=IE - 2B f所以A=B或A+D口.所以三角形是等腰三角形或直角三甬形・故选：D.Z 別I2 .在"「中，，「 , 为■的中点’的面积为，则等于（）A. B . - C . - 1 D . - 1 '【答案】B 【解析】由题意可知在△ BCD中, B= , AD=1,解得BC=3在厶ABC中由余弦定理可得：1A C=A B"+B6- 2AB?BC COS B=2+32 - 2?2?3? =7,• AC=,故选：B.•••△ BCD的面积S= X BO BDX sinB=1X BC X =所以由正弦定理可得;a _ bb2CD JB3•设△厂的内角匚：•■所对的边分别为，若u *zn ,则△八的形状为 A .锐角三角形 B •直角三角形 C •等边三角形 D •等腰三角形【答案】B【解析】因为bcosC + ccosS =asmA ?所+ sinCcosS =所叹血4- C) = sinAsinA a l = sinA l 卫=g因此^毗的形状为直角三角形,3cos^jf\.CM —-4.已知锐角「：；的内角为」，,-,点「为！；上的一点，■■',：：『；一＞,「 ■,【解析】中，由余弦定理可得, AM 2 = AC 2^CM 2^2AC CM COS ^CM = 72 AM =礙, ,）（览15农）C .豳呵D取值范围为（【答案】AACsin^J^T2——S0y/2m.sin^AHC1 得 AB=2故答案为：A.2a —c cosC6 •在厶ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a , b , 6若• = ■- , b = 4，则△ ABC 的面积的最大值为A . 4B .2C .3D .得 s inAM AC = ^f AMAC = ^f 当L ACB =90a B 寸，AB = 15V2, 当乙低=血日寸，侶二畔，WV为锐角三甬形』蟲畔C 朋＜ 15屆須的取值范围为（呼』5何，故选扎5 •如图所示，设 ,两点在河的两岸，一测量者在 •所在的同侧河岸边选定一点•，测出"的距离为，• ' 一 * , ■心一」：「后，就可以计算出■'，两点的距离为（）25血---------- J71A S0y/2mB 5Q 护 mC 25 眾mD 2【答案】A【解析】在厶 ABC 中，AC=50m / ACB=45，/ CAB=105，即/ ABC=30 ,AB _ AC则由正弦定理…八；；： sm【答案】A【解析】T 在3C 中宁二迸，&GOT ■面亦MC 中，由正弦定理得,AM MCC A/・(2a —c~)cosB = bcosC ?由正弦定理得(2sm4 — sinCJcosfi = sinHcasC f.\2SUL4COS B = sinCcosF + sinffcosC = sin(5 + Q = sinA,又sinA壬0，.'.cosB=丄,TO <B<w f在色ABC中，由余弦定理得b2= 16 = a2+c3— 2accasB = a- + r=—ac > 2ac —ac= ac f：.ac < 16,当且仅当口 = £时等号成立-.\A ABC的面积S = -acsiiiB =-ar < 4^3-故选A・7.在■■■'■'中，二：一\ "儿二代，点，分别是边-,'上的点，且--,记二二①，四边形宀:的面积分别为 \ ,则' 的最大值为（）1315A. B . ■- C D . 12【答案】C【解析】设AD =x?AE=y(0 <x < <y < 2)?因为tanA = -V3?所以虫=所以+y3— SxycoslSO41= 2xy = 3xy f又DE = 3，所＜3j当且仅当x=y=V5时等号成立,・{"一 J痊空7-訂故选C.P 58.我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇："今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步,令后表与前表相直•从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合•从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合•问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为_______________ 步.（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步5 _ 123x 123 +y 5_ 127127 + 1000（x= 1255解得：•，则海岛高度为1255步..zC = 一9 .如图，在'中，' '，，点•是「「外一点，匸一；，八则平面四边形■■-;面积的最大值是____________ .【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步,由相似三角形的性质有由余弦定理，1=4- 2= - 2m3= 4cotf,记平面四边形OMB面积为S,【解析】^ABC为等腰直甬三甬形』\^0A = 208= 2?不妨^AC = BC=m,贝= ^2m5-4co»e则孑=^-cosfl +sin0 =V2sin(S-^)+^<V2当小争寸，平面四边形0AC8^积的最大值是说故答案为72 4-^斗 A 410.氏磁中，"=EtT,册为边兀的中点，册=心，则2AB + AC的取值范围是_____________________ .【答案】:m【解析】当C无限接近A时，BC无限趋近于AB所以AB近似等于2AM此时2AB+AC长度趋近于％®;当B无限接近A时，BC无限趋近于AC贝U AC近似等于2AM此时2AB+AC长度趋近于•.11 .如图所示，在圆内接四边形二沁匸中，7一\ ，厂"一丨，小；一二，则四边形「：’的面积为【解析】如图所示，连接BE 因为舫少为圆内接四边形，所I 儿4十Q 二1妙，则匸仙=-cosC ,利用余弦百：十5」一库沪2XfiX5皿二強生解得蚣二笋所臥皿一？由 sin ::C+ cos^C = 17 得siiif = 严，因为4 + C =1旳笃所以如 =sinC =警』5 迥辿肠tEtp =^AABD * ^ABCD = ~ X 5 X 6 X - + ^ > 3 X 4 X = 61/15 ・12•如图，为了测量两山顶，•间的距离，飞机沿水平方向在1,两点进行测量，在「位置时，观察点的俯角为，观察•点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为；，观察•点的俯角为，且'，则J °之间的距离为 ___________ •DS故答案为：6V10【答案】•【解析】在中，丁ABAD =了匕厶1ED = A=60%atnlADB' ffifTBD* JlflAS1由题意得ZXOC = 120", zMC = ^BCA =30°,•: BC = AB = /. AC = 3km f在AMD中,由余弦定理得CD2= AC2^-AD'-2AC ADsin^DAC =5,即CD =V5加心故答案为i/5km.13•在一幢I 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为，塔基的俯角为，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为___________ 皿•【答案】40【解析】如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE垂足为E,则CD=10 / ACE=60，/ BCE=30 ,.•. BE=CD=10 BC=2CD=20 EC=BD=加-CD2= 1心•••/ ACE=60，/ AEC=90 , .AC=2CE=20 ,AE= •••AB=AE+BE=30+10=40故答案为：40.^AHC 曲 sin ------- =——14 .如图，在H-冲，^，，点在线段I'上，且d-值为 __________ .=30.4^/3，则■■ '■-的面积的最大【解析】贝 i]siiLZL4 BC = 2sm coswu 3宙sin 三浮= 可知：警 <4$,则^ABC < 90S >M 31 M 3由同甬二角函数基本关系可Ml ： COSZJ IKC =;a设4B = x t BC = y t AC = 3z(r > 0,y > 0.Z > 0}j空■心在SD 中由余弦定理可得:casZSJ4 =—；在ACHD 中由余弦定理可得:coszHDC =土岳一,由于上BD4 4- A BDC = 180fl j 古攵coszBDA = -coszBDQ , 即：W —33H^X3S整理可得：16 + 6z2-x= -2y= = 4 ①在A XBC 中」由余弦定理可知：x 3^y=-2xyxi = (3z)3J代入①式整理计算可得：|x 3 +^y : + ^ = 16,由均值不等式的结论可得：16工2J 护希护+ > = 討故巧 < 弘当且仅当工=3V2.X =时等号成立,据此可知SC 面积的最大值为：亦吩=二X (Aff X 肚)5x sinZXPC = 1X 9X^ = 3V2ad-M!B15•已知■■■'■'的三个内角 ,，•的对边分别为 ,，，若,且：=：「，b则。

高考数学一轮复习效果监测《正弦定理和余弦定理及其应用》

正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、2、7、10三角形面积问题 4判定三角形的形状3、9实际应用题6、11综合应用5、8、12一、选择题1.(2013河南郑州质检)已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶,则此三角形的最大内角的度数是( B )(A)60° (B)90° (C)120°(D)135°解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶,且c最大.设a=k,b=k,c=k(k>0),由余弦定理得,cos C==0,又0°<C<180°,所以C=90°.故选B.2.(2013唐山模拟)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C )(A)有一解(B)有两解(C)无解 (D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得=,∴sin B===>1.∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C.3.(2013湖南十校联考)若==,则△ABC是( C )(A)等边三角形(B)直角三角形,且有一个角是30°(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形,且有一个角是30°解析:在△ABC中,将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入==得==,所以==1.所以tan B=tan C=1,所以B=C=45°.所以△ABC是等腰直角三角形.故选C.4.(2013天津模拟)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( C )(A)(B)(C)(D)2解析:∵A、B、C成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60°.又a=1,b=,∴=,∴sin A==×=,∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=×1×=.故选C.5.(2013年高考陕西卷)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C 的最小值为( C )(A)(B)(C)(D)-解析:由余弦定理,知cos C===≥=,当且仅当a=b时,cos C取得最小值.故选C.6. 如图所示,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于B,D处,已知△ABD为边长等于a的正三角形,当目标出现于C处时,测得∠BDC=45°,∠CBD=75°,则炮击目标的距离AC为( D )(A)2 a (B) a (C) a (D) a解析:在△BCD中,由正弦定理得=,所以BC= a.在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,所以AC=a,即炮击目标的距离AC为 a.故选D.二、填空题7.(2013年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .解析:在△ABC中,由b2=a2+c2-2accos B及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×.整理得15b-60=0,∴b=4.答案:48.(2012安徽淮南质检)在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a⊥b,则B= .解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A≠0,故cos B=,因此B=.答案:9.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为.解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sin Bcos A=2sin Acos A.∴cos A=0或sin A=sin B.∵0<A、B<π,∴A=或A=B,∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答题10.(2013年高考大纲全国卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.解:由B=π-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C,由已知得sin Asin C=.①由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.②由①②得sin2C=,于是sin C=-(舍去),或sin C=.又a=2c,所以C=.11. (2013银川质检)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中cos θ=,0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由. 解:(1)由题知AB=40,AC=10,∠BAC=θ,0°<θ<90°,cos θ=,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2A B·ACcos θ,得BC==10,所以船的行驶速度为=15(海里/小时).(2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得,cos B===,从而sin B===,在△ABQ中,由正弦定理得,AQ===40,所以AE=55>40=AQ,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-B)=15×=3<7.所以船会进入危险水域.12.已知A、B是直线y=0与函数f(x)=2cos2+cos-1(ω>0)图象的两个相邻交点,且AB=.(1)求ω的值;(2)在锐角△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=-,c=3,△ABC的面积为3,求a的值.解:(1)f(x)=cos ωx+cos ωx-sin ωx=cos ωx-sin ωx=-sin,由函数的图象及AB=,得到函数的周期T==2×,解得ω=2.(2)∵f(A)=-sin=-,∴sin=.又∵△ABC是锐角三角形,∴-<2A-<,∴2A-=,即A=,由S△ABC=bcsin A=×=3,得b=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=42+32-2×4×3×=13, ∴a=.。

2019届高三数学一轮复习：第23讲正弦定理和余弦定理的应用

A=60°时,AB=2 3;当 A=120°,AB= 3.
2019年4月28日
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10
课前双基巩固
3.[教材改编] 如图 3-23-2 所示,长为 3.5 m 的木棒 AB
斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的
地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤
弦定理得sin∠�� =sin∠�� ,即
5 sin
630°=sin��4��5°,得
BC=5
2.
2019年4月28日
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9
课前双基巩固
2.[教材改编] 某人向正东方向走了 x km
三角恒等变形,在三角形中求三角函数国卷Ⅰ11,2016全国卷
换
值
Ⅱ13
三角函数与三角函数性质与解三角形解三角形的综合
解三角形的实际应用中距离、高度、实际应用角度的计算
考查热度 ★☆☆ ★☆☆ ★★☆
2019年4月28日
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3
教学参考
真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
=sin∠��
,所
以
BC=��s��isni∠n∠��
=si��n��·s(��i��n+��
.在
)
Rt△ABC 中,AB=BCtan∠
验,观测点 A,B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚127秒,在 A 地测得该仪器至最高点 H 处的仰角为 30°. (1)求 A,C 两地间的距离;

2018届高考文科总复习课时跟踪检测(22)正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测 (二十二) 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6C ．14D ． 6解析：选D b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D ．3．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°．答案：30°或150°5．(2015·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________．解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2．答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3．故选C ．2．(2017·重庆适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A ．34B ．34C ．32D ．32解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sinC ＝12×3×32＝34，选B ．3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1．∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a－3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b－c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°． 5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A ．32B ．34C ．36D ．38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3．故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ．又a ＝2，∴b ＝3．由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4．答案：47．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1．答案：18．(2017·云南统检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________．解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B＝5654．答案：56549．(2017·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3．(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b ． (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b ．解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b ．(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154．由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝⎛⎭⎫1＋14，所以b ＝4．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12．∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝(b ＋c )24， ∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c ．2．(2016·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13．因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223．因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin ∠D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠D ＝12，所以AC ＝23．因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝AB sin ∠ACB，所以23sin ∠B ＝AB sin (π－2∠B )＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin ∠B cos ∠B ＝AB 233sin ∠B ，所以AB ＝4．。

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十三)正弦定理和余弦定理理(重点高中)

课时跟踪检测（二十三）正弦定理和余弦定理(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.在△ABC 中，A ＝45°，C ＝105°，BC ＝2，则AC 为( ) A.3－1 B ．1 C ．2D.3＋1解析：选B 因为A ＝45°，C ＝105°，所以B ＝180°－C －A ＝30°，由正弦定理得AC ＝BC sin Bsin A ＝2×1222＝1.2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ，因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：28．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝277，所以BDCD＝6. 答案：69.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B)，故17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝2π3－π2＝π6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做1.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．2 3C ．4D ．3 3解析：选B 因为a cos B ＋b cos Ac ＝sin A cos B ＋sin B cos Asin C ＝A ＋BA ＋B＝1，所以2cos C ＝1，所以C ＝60°.因为S △ABC ＝23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.因为a ＋b ＝6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，所以c ＝2 3. 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729 C. 2 D.928解析：选D 在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 结合正弦定理可得，c ＝3a －3b ，再根据3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，可得a ＝c,1≤a ≤3，由余弦定理可得b 2＝4a 29＝a 2＋a 2－2a ·a cos B ⇒cos B ＝79，可得sin B ＝429，所以S ＝12ac sinB ＝229a 2，故p ＝2a －S ＝2a －229a 2，根据二次函数的图象可得，当a ＝94时，p 取得最大值928.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56544.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2 5，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin∠ACD ＝25·sin∠ACD ＝4，解得sin ∠ACD ＝255.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝55. 在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos∠ACD ＝4.由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，即sin A ＝CD ·sin∠ACD AD ＝55.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，即BC ＝AC ·sin Asin B＝4.答案：45.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°.(1)若c ＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若a ＝2b ，求tan A .解：(1)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝1， ∴a 2＋b 2＋ab ＝1≥2ab ＋ab ＝3ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴ab ≤13，故S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤312，即△ABC 面积的最大值为312. (2)∵a ＝2b ，∴由正弦定理得sin A ＝2sin B ，又C ＝120°，故A ＋B ＝60°，∴sin A ＝2sin(60°－A )＝3cos A －sin A ， ∴3cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝32.6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin∠ABD ＝12×2×5×sin∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×54×54×45＝58.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

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课时跟踪检测 (二十三) 正弦定理和余弦定理的应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°解析：选 D 由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°．2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )A．5 6 m B．15 3 mC．5 2 m D．15 6 m解析：选D 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°．由正弦定理得BCsin 30°＝30sin 135°，解得BC＝152(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝152×3＝156(m)．3．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )A．1010B．31010C ．55D ．255解析：选B 由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos∠DAC ， ∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010． 4．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km ．解析：由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，设BC ＝x km则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos 120°，∵x >0，∴x ＝6－1．答案：6－15．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km ．解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 2二保高考，全练题型做到高考达标 1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)． 2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0．6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B ．已知AB＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝62．3．(2014·四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C ．4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．5．(2017·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0．则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0， ∵0<A <π，∴0<A <π2．又a 为最大边，∴A >π3．因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2．6．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．答案：637．(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝AC sin ∠CEA ， ∴AC ＝CEsin ∠EAC ·sin∠CEA ＝20 3 m ．∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m ． ∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0．6 m/s ．答案：0．68．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________．解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223．在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a ．① 因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3．在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79．答案：799．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．⎝⎛⎭⎪⎫sin 21.8°≈3314 解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h ．此时AB ＝14，BC ＝6．在△ABC 中，根据正弦定理，得BCsin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21．8°或∠CAB ≈158．2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21．8°＝66．8°．所以舰艇以66．8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮． 10．(2016·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B ，C ，D )．当返回舱在距地面1万米的P 点时(假定以后垂直下落，并在A 点着陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．解：(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形．在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝3 3，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝3，又∠CAB＝90°，BC＝AC2＋BC2＝303万米．(2)sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝310，cos∠ACD＝－110，又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝33－1 210，在△ADC中，由正弦定理，ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，得AD＝AC·sin∠ACDsin∠ADC＝9＋313万米．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取2＝1．4，3＝1．7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ， ∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． ∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350．故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，又PQ ＝1003，∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝1003．在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200．在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∴BQ ＝1005，cos θ＝55．在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝1005．即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米．。