四川省绵阳市南山中学高一下学期期末模拟考试(6月)数学
2021-2022学年四川省绵阳市高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年四川省绵阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则11a b> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则22a b >【答案】C【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A;若a b >，0c ≤时，则ac bc ≤，故A 错； 对于B;若取1,0a b ==，则1b无意义，故B 错；对于C ；根据不等式的可加性可知：若a b >，则a c b c +>+，故C 正确； 对于D;若取1,2a b ==-，但22a b <,故D 错； 故选：C2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，若256,50a S ==，则d =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【分析】根据等差数列前n 项和和通项中的基本量计算列方程即可求解.【详解】由256,50a S ==得1116,251050,4a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故选：C3．已知平面向量,a b 满足(1,),(2,1)a x b ==，若()a b b -⊥，则x =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,),(2,1)a x b ==得22,5a b x b ⋅=+=， 由()a b b -⊥得2=0a b b ⋅-，即2503x x +-=⇒= 故选：B4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若π,36B b a ===，则c =（ ） AB．CD ．3【答案】A【分析】用正弦定理先求出A ，根据三角形内角关系得到C ，再用正弦定理求c . 【详解】依题意得，根据正弦定理：sin sin b a B A =，由题干数据解得3sin 2A =，又π0π60πA A ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩，故05π6A <<，于是π3A =或2π3A =均符合题意，当π3A =时，π2πC A B =--=，由正弦定理，sin sin c b C B=，解得23c =；当2π3A =时，ππ6C A B B =--==，此时ABC 是等腰三角形满足3c b ==. 故选：A5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若,m n n α⊂∥，则m ∥α B ．若,,αβαβ∥∥∥m n ，则m n ∥ C ．若,mn αα，则m n ⊥D ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥【答案】C【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质分析判断即可. 【详解】对于A ，当,m n n α⊂∥时，m 可能与α平行，m 可能在α内，所以A 错误， 对于B ，当,,αβαβ∥∥∥m n 时，,m n 可能平行，可能异面，所以B 错误， 对于C ，当,mn αα时，由线面垂直的性质可得m n ⊥，所以C 正确，对于D ，当,m αβα⊥⊂时，m 与β可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，所以D 错误， 故选：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．2424π+B ．2416π+C ．1224π+D ．1216π+【答案】D【详解】由几何体的三视图，还原可得其原图形是底面半径为2，高为4的半圆柱.则该几何体的表面积等于两底半圆面的面积加上以2为底面半径，以4为高的圆柱侧面积的一半，加上侧视图的面积.所以该几何体的表面积为142244412162πππ+⋅⋅⋅+⋅=+.故选：D7．设{}n a 是正项等比数列，n S 为其前n 项和，已知1531,7a a S ==，则6S =（ ） A ．614B ．638C ．634D ．618【答案】B【分析】由等比中项得31a =，再利用3123S a a a =++和等比数列的通项公式计算q ，即可得到6S 的值.【详解】因为{}n a 是正项等比数列，所以0n a > ，0q >，由等比中项得21531a a a ==，解得31a =，所以312321117S a a a q q =++=++=解得12q =，3124a a q ==， 所以616(1)6318a q S q -==-. 故选：B.8．已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则下列结论正确的是（ ）A ．若2a b =，则||||a ba b = B ．()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b cC ．若||||a b =，则a b =D ．若a c b c ⋅=⋅，则a b =【答案】A【分析】由共线向量、相等向量、向量的数量积依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，由2a b =可得,a b 同向，又,||||a b a b 分别表示,a b 方向上的单位向量，故||||a b a b =，A 正确； 对于B ，()cos ,,()cos ,b c b c a ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅a b c a b a b c a b c ，两者不一定相等，B 错误； 对于C ，||||a b =只能得到模长相等，方向不确定，C 错误；对于D ，当a b =-，,a c b c ⊥⊥时，0a c b c ⋅=⋅=成立，但a b =不成立，D 错误. 故选：A.9．一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施MN 的高度，选择点A 和勇闯玄甲城项目的顶部点C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的俯角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从C 点测得60MCA ∠=︒，点A ，B ，N 共水平面，若勇闯玄甲城项目的高16m BC =，则MN =（ ）A ．30mB ．28mC ．26mD ．24m【答案】D【分析】在Rt ABC △中,可求得162m AC =，在ACM △中，可求得45AMC ∠=︒,再由正弦定理可求得163AM =，在ANM 中，根据sin60MN AM =⋅︒即可求得答案. 【详解】解：因为在Rt ABC △中，45CAB ∠=︒，16m AB =，所以16m BC =，2m AC =，又因为在ACM △中，60MCA ∠=︒，60MCA ∠=︒， 所以180607545AMC ∠=︒-︒-︒=︒,由正弦定理可得sin 45sin 60AC AM =︒︒，所以16231632AM ==又因为在ANM 中，60MAN ∠=︒， 所以3sin 6016324MN AM =⋅︒==m. 故选：D.10．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．{}41m m -<< B ．{1m m <-或}4m > C ．{}14m m -<< D ．{0m m <或}3m >【答案】C 【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<， 即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.11．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是正方形ABCD 的中心，P 为线段1B C 上一动点，下列结论：①1B M AC ⊥；②直线1B M 与直线AD ③存在点P 使得DP ∥平面11AB D ；④三棱锥1A ADP -的体积为定值．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据等腰三角形、线线角、线面平行、锥体体积等知识对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】设正方体的边长为2.①，在三角形1ACB 中，11B A B C =，M 是AC 的中点，所以1B M AC ⊥，所以①正确. ②，设N 是AB 的中点，连接MN ，则//MN AD ，所以1B MN ∠是异面直线1B M 与直线AD 所成角（或其补角），在三角形1B MN 中，()222211226,125,1B M B N MN =+==+==，所以16156cos 6261B MN +-∠==⨯⨯， 所以异面直线1B M 与直线AD 所成角的余弦值为66，②正确. ③，根据正方体的性质可知1111//,//BD B D BC AD ， 由于BD ⊂/平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ， 所以//BD 平面11AB D ， 同理可证得1//BC 平面11AB D ，由于11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BC D ， 所以平面11//AB D 平面1BC D ，当1BC B C P ⋂=时，DP ⊂平面1BC D ， 所以//DP 平面11AB D .即存在点P 使得//DP 平面11AB D ，③正确. ④，11113P ADA ADA A ADP V V SAB --==⋅⋅,其中1ADA S △和AB 为定值，所以三棱锥1A ADP -的体积为定值，所以④正确. 综上所述，正确的一共有4个. 故选：D12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()2sin cos C B B C -=，且2sin sin sin A b B c C +=，则=a （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【分析】利用正弦定理sin()2sin cos C B B C -=可得sin cos 3sin cos C B B C =，根据三角形性质和边角互化得出22222a c b =-，222a b c +=，解方程组可得结果.【详解】因为sin()2sin cos C B B C -=，所以sin cos cos sin 2sin cos C B C B B C -=，即sin cos 3sin cos C B B C =；因为2sin sin sin A b B c C +=，由正弦定理可得222a b c +=①； 因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin 4sin cos A B C =， 所以22242b c a b a ab+-=⋅，整理得22222a c b =-②；由①②可得24a a =，解得4a =或0a =（舍）. 故选：B.二、填空题13．设实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值为________.【答案】1【详解】z x y =+，y x z ∴=-+当1x =，0y =时，1min Z = 故z x y =+的最小值为114．已知数列{}n a 的通项公式(1),n n a n n S =+为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则2022S =___________．【答案】20222023【分析】根据裂项求和即可求解. 【详解】由题知：1111=(1)1n a n n n n =-++，所以20221111111120221=1=223342022202320232023S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：2022202315．在平行四边形ABCD 中，2AD =，60BAD ∠=︒，点E 为CD 的中点，若3AC BE ⋅=，则AB =___________． 【答案】2【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，即可求解．【详解】解：设AB x =，在平行四边形ABCD 中，2AD =，60BAD ∠=︒，点E 为CD 的中点， ∴1()()2AC BE AB BC BC BA ⋅=+⋅+1()()2AB BC BC AB =+⋅- 2221111432222AB BC BC AB BC BA x x x =⋅+-+⋅=+--=， 解得2x =或1x =-（舍去）． 故答案为：2．16．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内，有一体积为V 的球，若1,3,4,5AB BC AB BC AA ⊥===，当球的体积V 取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为___________． 【分析】由题知ABC 的内切圆半径为1，进而得球的体积最大时1R =，再将其转化为球中内接正方体的，求正方体的面对角线长即可.【详解】解：因为,3,4AB BC AB BC ⊥==，所以ABC 为直角三角形，所以ABC 的内切圆半径为1342113452因为要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为R ，所以1R ≤，又25R ≤，所以1R ≤， 所以，3max 44133V ππ=⨯=，1R =所以，该球的内接正方体的体对角线的长为22R =，.三、解答题17．已知平面向量,a b 满足1,||||1a b ==，且||3a b +=． (1)求a 与b 的夹角；(2)求向量2a b -在向量a b +上的投影． 【答案】(1)π3(2) 【分析】（1）将||3a b +=两边平方，求出a b ⋅，再根据数量积得定义即可得解； （2）根据数量积的运算律求出(2)()a b a b -⋅+，再根据向量2a b -在向量a b +上的投影为(2)()||a b a b a b -⋅++即可得解.【详解】(1)解：∵||3a b +=，∴2()3a b +=，即2223a a b b +⋅+=， 又1,||||1a b ==， ∴112cos ,3a b ++〈〉=， ∴1cos ,2a b 〈〉=， 又向量夹角范围是[0,]π， ∴a 与b 的夹角为π3；(2)解：∵2213(2)()21222a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=--=-，∴向量2a b -在向量a b +上的投影为3(2)()2||a b a b a b --⋅+==+．．18．设函数2()2(,)f x x ax b a b =-+∈R ． (1)当2b a =-时，求不等式()0f x <的解集；(2)当4b =时，不等式()0f x ≥对一切,()0x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)具体见解析(2)a ≤【分析】(1) 把2b a =-时代入()0f x <，整理化简得(2)()0x a x a +-<，根据对应二次方程根的情况，讨论解不等式；(2) 当4b =时，对()0f x ≥在,()0x ∈+∞反解参数，得到42a x x≤+，只需min 42a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求函数42x x+的最小值即得答案. 【详解】(1)由题意得，函数2()2f x x ax b =-+，当2b a =-时，不等式()0f x <为2220x ax a --<，即(2)()0x a x a +-<，令(2)()0x a x a +-=，则方程的根为12,2ax a x ==-．①当0a =时，不等式220x <不成立，∴解集为∅． ②当0a >时，2aa >-，∴不等式的解集为,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．③当0a <时，2a a <-，∴不等式的解集为,2a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭．综上，当0a =时，不等式的解集为∅， 当0a >时，不等式的解集为,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当0a <时，不等式的解集为,2a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭；(2)当4b =时，()0f x ≥对一切,()0x ∈+∞恒成立， 即2240x ax -+≥在,()0x ∈+∞上恒成立，即42a x x≤+在,()0x ∈+∞上恒成立，即min 42a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭．又42x x +≥42=x x即x “=”）．∴a ≤19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形且对角线AC 与BD 交于点O ，60,DAB PO ︒∠=⊥底面ABCD ，点E 是PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BDE ；(2)若三棱锥P BDE -的体积为3，求OP 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6OP =【分析】（1）由中位线证得EO AP ∥，即可证得AP ∥平面BDE ；（2）取OC 中点F ，证得EF ⊥平面ABCD ，再由P BDE C BDE E BCD V V V ---==结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】(1)证明：连接OE ．∵点O ，E 分别为,AC CP 的中点，∴EO AP ∥，∵OE ⊂平面,BDE PA ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ； (2)取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点，∴EF 为POC △的中位线，∴EF OP ∥，且12EF OP =．由菱形的性质知，BCD △为边长为2的等边三角形．又OP ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，122BCD S =⨯△点E 是PC 的中点，∴1132P BDE C BDE E BCD V V V OP ---===⨯=∴6OP =．20．已知数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足224=+-n nS a n ． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设22n n n a b -=，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：122n T ≤<． 【答案】(1)2n a n =+ (2)证明见解析【分析】（1）先求得13a =，再根据已知可得当2n ≥时，21125n n S a n --=+-，可求得()2211n n a a --=，讨论确定数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，进而求得其通项公式；（2）由（1）可得22n n na b -=的表达式，利用错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和n T ，根据其单调性，即可证明结论.【详解】(1)由题意知224=+-n n S a n ，且0n a >,当1n =时，121214=+-a a ，即211230a a --=，解得113,1a a ==-（舍）．当2n ≥时，21125n n S a n --=+-，又224=+-n n S a n ，两式相减得22121n n n a a a -=-+，即22121n n n a a a --+=，整理得()2211n n a a --=，∴11n n a a --=或11n n a a --=-． 若11n n a a --=-，则11n n a a -+=，又13a =，∴22a =-，这与{}n a 是正项数列矛盾， ∴11n n a a --=，即11(2)n n a a n --=≥，∴数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，∴3(1)12n a n n =+-⨯=+，即2n a n =+． (2)证明：∵()2,N 22n n nn a nb n *-==∈， ∴123231232222n n nnT b b b b =++++=++++，① 2341112322222n n nT +=+++⋯+，② 由①-②得234111*********22n nn nT +=+++++-， ∴23111111122121222222212nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++⋯+-=-=--， 由2n nnb =可知{}n b 为正项数列，∴{}n b 的前n 项和n T 单调递增， 当1n =时，112T =，又2222n n n T +=-<恒成立， ∴()*12N 2n T n ≤<∈． 21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin 2A Ca b A +=． (1)求角B ；(2)若ABC 为锐角三角形，求ca的取值范围．【答案】(1)3B π=(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；（2）由三角形为锐角三角形求出A 的取值范围，再由正弦定理将边化角，转化为关于A 的三角函数，最后根据正切函数的性质及不等式的性质计算可得. 【详解】(1)解：∵sin sin 2A Ca b A +=，∴sin sin sin sin 2A C A B A +=， ∴sinsin 2A CB +=． 又A BC π++=，∴sin sin cos 222A CB Bπ+-==， ∴cos2sin cos 222B B B=⋅，∵(0,)B π∈，∴0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02B ≠，解得1sin 22B =．∵(0,)B π∈，∴26B π=，∴3B π=．(2)解：∵ABC 为锐角三角形， ∴2332πππC πB A πA A =--=--=-<，∴62A ππ<<．由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C c A =，即2sin sin 3πa A c A ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴31cos sin sin 22a A A c A ⎛⎫+=⎪⎝⎭，整理得13122tan c a A =+⋅． 又62A ππ<<，∴3tan ,3A ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1(0,3)tan A ∈． ∴11332222c a <<+⨯=， ∴c a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． 22．如图，在四边形ABCD 中，,,6,24AB AD AD BC AD BC AB ⊥===∥，点E ，F 分别在,BC AD 上运动，且EF AB ∥，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面CDFE ．(1)若E 为BC 的中点，求证：CD ⊥平面ACF ；(2)求三棱锥A CEF -体积的最大值，并求出此时点E 到平面ACD 的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)最大值为43；点E 到平面ACD 6【分析】（1）根据线段长度由勾股定理可得线线垂直，由面面垂直可得线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理即可证明，（2）根据三棱柱体积公式以及二次函数的性质可知体积最大时点E 是BC 中点，进而根据等体积法即可求解点到面的距离.【详解】(1)当E 为BC 中点时，2,,22,4EC EF EF EC FC DC FD ==⊥===， 由勾股定理222FC CD FD +=，得FC CD ⊥． ∵平面ABEF ⊥平面CDFE ，且平面ABEF平面,CDFE EF AF EF =⊥,AF ⊂平面ABEF ．∴AF ⊥平面CDFE ，CD ⊂平面CDFE ∴AF CD ⊥．∵,,FC CD AF CD AFFC F ⊥⊥=，,AF FC ⊂平面AFC∴CD ⊥平面AFC ．(2)设(04)BE x x =<≤，则,4AF x EC x ==-． ∴()22241142(4)=(04)3233A EFCx x x V x x x ---+-+=⨯⨯⨯-⨯=<≤， ∴当2x =时，A EFC V -有最大值，最大值为43．此时2,BE EF CE CF AC CD ====== 设点E 到平面ACD 的距离为d ，∵3112331142223E ACD ACDA ECD CEDV d SV SAF --⋅⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯===． 由（1）易知CD AC ⊥，∴12ACDS=⨯=∴14,33d d ⨯⨯==∴点E 到平面ACD。
2023-2024学年四川省绵阳市绵阳高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年四川省绵阳市绵阳高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．设复数(1)z i i =⋅-，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．-1D ．-i【正确答案】C【分析】结合复数的四则运算，计算z ，得到虚部，即可．【详解】1i z =--,所以z 的虚部为-1，故选C ．本道题考查了复数的运算，关键化简复数z ，难度较容易．2．平面向量()1,2a =- ，()2,b x =- ，若//a b，则x 等于（）A ．4B ．2C ．1-D ．4-【正确答案】A【分析】根据向量共线列方程，从而求得x .【详解】由于//a b，所以()()1224x x ⋅=-⋅-⇒=.故选：A3．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π【正确答案】A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.4．在ABC 中，若cos a B c =，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到()sin cos sin sin A B C A B ==+，再结合三角函数恒等变换得到cos 0A =，即可得到答案.【详解】因为cos a B c =，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B .因为sin 0B >，所以cos 0A =.又因为00A <<18 ，所以90A = ，ABC 为直角三角形.故选：B5．已知cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．29-B ．13-C ．29D ．13【正确答案】B 【分析】由223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题，因为223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以221sin 2sin 2cos 22cos 121312212123πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故选：B6．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图像关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎝⎭内单调递增【正确答案】A【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.【详解】因为1tan ()22tan f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 错；()|tan()||tan |()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()|tan |f x x =的图像可知，C 、D 均正确，故选：A.本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【正确答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,(0ω>)在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是（）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,根据2536x ππ-≤≤,得出253363X πωππωπ-+≤≤+.再根据sin y X =的单调性得出25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得15ω≤.又因为0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,函数在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,可得5232ππππω≤+<,即可解得11366ω≤≤.解法二:(特殊值法)带入特殊值当12ω=,112ω=,逐项排除即可.【详解】解：解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,2536x ππ-≤≤,则253363X πωππωπ-+≤≤+.所以函数sin y X =在区间25,3363πωππωπ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而可得25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则22335632ππωππωππ⎧-≤-+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得15ω≤.当0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,所以函数sin y X =在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,所以5232ππππω≤+<,解得11366ω≤≤.综上所知1165ω≤≤.故选:C解法二:(特殊值法)当12ω=时,令23x X π=+,2536x ππ-≤≤,则304X π≤≤,则函数sin y X =在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,所以12ω=不合题意,排除B 、D .当112ω=时,令123x X π=+,0x π≤≤,则5312X ππ≤≤,则函数sin y X =在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦取不到最大值1,所以112ω=不合题意,排除A .故选:C本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数ω的取值,属于基础题.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．若||0a = ，则0a=B ．0AB BA += C ．若21,e e 为单位向量，则12e e = D ．||aa是与非零向量a 共线的单位向量【正确答案】ABD【分析】对于选项AC ，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B ，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D ，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误.【详解】选项A ，因为||0a = ，根据零向量的定义知，0a=，故选项A 正确；选项B ，根据向量加法的运算法则知，0AB BA +=，故选项B 正确；选项C ，21,e e为单位向量，则有12e e = ，但1e 与2e 可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C 错误；选项D ，因||aa的模长为1，且与向量a 同向，故选项D 正确.故选：ABD10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）A ．7,36b c C π===，B ．564b c C π===，，C．63a b B π===，D ．20156a b B π===，，【正确答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.【详解】A 选项有无穷多解，显然错误；B中，因为sin 2b C =，C 为锐角，所以sin b C b c <<，所以该三角形有一解，B 正确；C中，因为sin a B =B 为锐角，所以sin b a B =，所以该三角形有一解，C 正确；D 中，因为sin 10a B =，B 为锐角，所以sin a B b a <<，所以该三角形有两解，D 错误.故选：BC11．已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦单调递减D ．该图象向右平移π12个单位可得2sin 3y x =的图象【正确答案】AD【分析】根据图象求出()y f x =的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC ，根据图象的平移变换可判断D.【详解】由图象可得()f x 的最大值为2，即2A =，2πππ4412T ω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即3ω=，所以()()2sin 3f x x ϕ=+，因为π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确；对于B ，因为()25π12sin π0f ⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭，所以错误；对于C ，当2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π7ππ3,444x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；对于D ，该图象向右平移π12个单位可得ππ2sin 32sin 3124y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故正确，故选：AD12．已知函数()sin cos f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．它是偶函数B ．它是周期为2π的周期函数C ．它的值域为⎡-⎣D ．它在()-π,2π这个区间有且只有2个零点【正确答案】ACD【分析】根据函数奇偶性定义可知，()()f x f x -=，即A 正确；由周期函数得定义可知，()2πf x +与()f x 不一定相等，故B 错误；将函数()f x 写成分段函数的形式并画出函数图像可得C 正确；结合C 以及偶函数的性质，可判断D 正确.【详解】由于()()sin cos()sin cos f x x x f x x x -=-+-==+，所以它是偶函数，故A 正确；由于π7π044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即B 错误；现在来考察这个函数在[]0,2πx ∈内的情况.当π30,π,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭当π3,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：由此可知函数值域为⎡-⎣，即选项C 正确；又由于这个函数是偶函数，它在[]π,π-内没有零点，而在[]π,2π有2个零点，故D 正确.故选：ACD.方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C 选项时，首先可讨论[]0,2πx ∈时的函数解析式，画出图形；当[]2π4πx ∈，时图像重复[]0,2πx ∈的图像，而[]2π0x ∈-，时，关于y 轴作出对称图像即可.三、填空题13．已知复数21iz i=-，则z =________．【详解】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以z =复数模的概念与复数的运算.14．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，2b = ，若()a ab ⊥+ ，则a = ______.【正确答案】1由()a a b ⊥+，得到22cos 03a ab π+= ，进而得到20a a -= ，即可求解.【详解】由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b ⋅+= ，所以20+⋅= a a b ，即22cos03a ab π+= ，又由2b = ，可得20a a -=，解得0a = (舍)或1a = .故1.本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直条件的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直条件的运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．化简：(4010sin tan ︒︒-＝________.【正确答案】－1【详解】原式sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1 0 0)2︒︒2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16．如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ =，2QR =，2PQR π∠=，则AB 长度的最大值为_________【正确答案】3【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，,60AB BC B C =∠=∠=︒，设QRC θ∠=，则根据题意有：180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-，9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒BPQ 中，180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-BQP中，根据正弦定理得：()150·sin sin sin sin sin 60BQ PQ PQ BPQBQ BPQ B B θ︒-∠=∴==∠∠∠︒RQC 中，根据正弦定理得：·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒()1502sin sin 60sin 60AB BC BQ QC θθ︒-∴==+=+︒︒化简计算得：()3AB θϕ=+（tan ϕ=当()sin 1θϕ+=时，AB 有最大值故答案为.3四、解答题17．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，求：(1)求向量a b +与a b - ；(2)求向量a 与b的夹角.【正确答案】(1)()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- (2)135【分析】（1）利用向量的坐标运算可得答案；（2）利用向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- .（2）a =，a = ，325a b ⋅=--=-，cos a b a bθ⋅=== ∴135θ= .18．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π，π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）将简函数为π()2sin(2)6f x x =+，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；（2）通过x 的范围，求出π26x +的范围，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；【详解】（1）因为22π()cos cos sin cos22sin(2)6f x x x x x x x x =+-=+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，由ππ63π2π22π,Z 22k x k k +≤+≤+∈得到π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）因为π()2sin(2)6f x x =+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数sin y x =的图像与性质知，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为1-.19．在①222cos sin sin 1sin sin A B C B C ++=+；②2cos cos cos c A a B b A =+；③sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A ；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，()c b c <，若已知a =ABC S = ,b c 的值．【正确答案】(1)3A π=(2)2b =，6c =【分析】（1）若选①，首先转化221cos sin A A -=，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角A ；若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角A ；若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角A ；（2）首先根据面积公式求bc ，再结合余弦定理求b c +，即可求解,b c 的值.【详解】（1）若选①：由已知得：222sin sin 1cos sin sin B C A B C+=-+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+由正弦定理可得222b c a bc +=+，可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=．若选②：因为2cos cos cos c A a B b A=+由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，所以()2sin cos sin sin C A A B C=+=因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=若选③：因为sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin sin cos 6A C C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0C π<<，所以sin 0C >，故可得1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即1sin 2A A ,所以tan A =0A π<<，所以3A π=；（2）由（1）可得3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△12bc =，由余弦定理得：()22222cos 328a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以8+=b c ，又因为b c <，解得2b =，6c =．20．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin αβ-π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.【正确答案】(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin 55αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin αβ-=()cos αβ-==，则()sin sin 2βααβ=--==⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.21．如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=︒，求三角形铁皮PMN 的面积；(2)求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.【正确答案】(1)348=+ PMN S(2)34+【分析】（1）设MN 交AD 交于E 点由30MOD ∠=︒，利用锐角三角函数可求ME ，OE ，进而可求MN ，BN ，代入12PMN S MN BN =⋅ 可求（2）设MOQ θ∠=，由[0θ∈，]2π，结合锐角三角函数的定义可求sin MQ θ=，cos OQ θ=，代入三角形的面积公式1(1sin )(1cos )122PMN MN B S N θθ∆=++⋅=展开利用换元法，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，转化为二次函数的最值求解.【详解】（1）解：设MN AD E ⋂=，则cos OE OM MOD =∠=1sin 2ME OM MOD =∠=则1BN AE AO OE ==+=+32MN ME AB =+=，故1324PMN S MN BN =⋅= （2）设MOD θ∠=，[)0,θπ∈，MN AD E ⋂=，则sin 1MN θ=+，cos 1BN AE θ==+1sin cos sin cos 122PMN S MN BN θθθθ+++=⋅= ，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2x θθ-=，[)0,θπ∈，5,444πππθ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则sin ,142πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(x ∈-()2212130,444PMN x x x S ⎛++++==∈ ⎝⎦△，即三角形PMN 面积的最大值为34+.22．如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知c ＝1且2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，cos ∠BAD =(1)求b 边的长度；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【正确答案】(1)4(2)2【分析】（1）根据2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，利用正弦定理和余弦定理化简求解；（2）设,AE x AF y == 利用D 为中点，得到2AB AC AD += ，两边平方，设,AB AC θ=uu u r uuu r，结合cos 7AB AD BAD AB AD⋅=∠=⋅ ，求得θ，进而得到ABC S ，再根据AEF △的面积为ABC 面积的一半，得到2xy =，然后利用E ，G ，F 共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）解：因为2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，所以，所以222221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得：4c ＝b ，又c ＝1，所以b ＝4．（2）设,AE x AF y == ，因为D 为中点，所以2AB AC AD += ，设,AB AC θ=uu u r uuu r ，则θθ++⋅⋅+== 2222cos 178cos 44AB AC AB AC AD ，所以= 2AD ，而()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+= ，⋅=∠==⋅ cos AB AD BAD AB AD 即228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，因为14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，sin 2θ=，所以1sin 2ABC S bc θ== 因为AEF △的面积为ABC 面积的一半，所以1sin 22AEF S xy θ== ，即2xy =，设AG AD λ= ，则22AG AD AB AC λλλ==+ ，又E ，G ，F 共线，设()1AG AD AF μμ=+-，则()()114y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ ，所以：()2142x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：4y x y μ=+，所以：2244AG AB AC x y x y =+++ ，又4y EF AC xAB =- ，所以22444y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ,222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y ⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦，又xy ＝2，化简得：22296186321442242y x x AG EF x y x x --⋅===-++++ ，又y ≤4，所以112x ≥≥，所以2AG EF ⋅≥ ，当x ＝1时等号成立．。
四川省绵阳市高一下学期数学6月月考试卷
四川省绵阳市高一下学期数学6月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2014·山东理) 已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A . ＞B . ln（x2+1）＞ln（y2+1）C . sinx＞sinyD . x3＞y32. （2分）已知，，则（）A .B .C .D . 的夹角为3. （2分） (2016高二上·温州期中) 在等比数列{an}中，a1=9，a5=a3a42 ，则a4=（）A .B .C .D .4. （2分）的三边长分别为，若则A等于（）C .D .5. （2分）下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元),则销售额中的中位数是（）A . 30.5B . 31C . 31.5D . 326. （2分）不等式的解集是，则a＋b的值是（）A . -3B . －1C . 1D . 37. （2分）执行下列的程序框图，输出的s=（）C . 5050D . 49508. （2分） (2017高二下·和平期末) 在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C （3，4），D（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A . =x﹣1B . =x+2C . =2x+1D . =x+19. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠A=30°，a=b=1，则S△ABC=（）A .B .C .D .10. （2分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且满足，则数列{an}的公差是（）A .B . 1C . 2D . 311. （2分）等边三角形ABC的边长为1，，那么等于（）A .B . -3C .D . 312. （2分）已知圆的半径为1，为该圆的两条切线,为两切点，那么的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作如下的统计表格：产品类别A B C产品数量（件）样本容量（件）由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________件．14. （1分） (2019高三上·双流期中) 已知向量，，且，则与的夹角为________．15. （1分） (2016高一下·合肥期中) 已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn ，且a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=________．16. （1分） (2018高一下·临沂期末) 在中，已知，，，则 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2020高三上·长春月考) 已知等差数列的所有项和为，且该数列前项和为，最后项的和为 .（1）求数列的项数；（2）求的值.18. （10分）(2017·深圳模拟) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．19. （15分） 2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；（2）本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率．20. （10分）(2017·新乡模拟) 在数列{an}和{bn}中，a1= ，{an}的前n项为Sn ，满足Sn+1+（）n+1=Sn+（）n（n∈N*），bn=（2n+1）an ， {bn}的前n项和为Tn ．（1）求数列{bn}的通项公式bn以及Tn．（2）若T1+T3，mT2，3（T2+T3）成等差数列，求实数m的值．21. （10分） (2017高三·银川月考) 在一般情况下，城市主干道上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。
四川省绵阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
物时，求 t 的取值范围. 18．在矩形 ABCD 中，点 F 为 BC 的三等分点（靠近点 C ），点 E 在 CD 边上，VABE
为等边三角形，且
uuur AB
×
uuur BE
+
uuur 2BE
×
uuur AE
=
6
.
(1)求
uuur AB
；
uuur (2)求 cos AB, AF 的值.
19．如图，在四棱锥 P - ABCD 中， AB//CD ， CD = 2AB ， AD ^ 平面 CDP ， BD 与 AC 交于点 F ， PC = PD ，点 E 为 CP 的三等分点（靠近点 P ），点 O 为 CD 的中点，
=
2 1-
+1 2´1
=
-3 ，B 对；
对于 C 选项，复数 z = a + bi (a,b Î R) 的虚部为 b ，C 错；
对于 D 选项，复数 z = a + bi (a,b Î R) 为纯虚数的充要条件是 a = 0 且 b ¹ 0 ，D 错.
故选：AB. 10．AD
【分析】根据函数的部分图象得到
对于 B，若 a//b ， a / /a ，则 b//a 或 b Ì a ，B 错误；
答案第11 页，共22 页
对于 C，若a ^ b ，g ^ b ，则a //g 或a 与g 相交，C 错误；
对于
D，若
r a
^
r b
，
a
^
c
，
b
Ì
a
，
c
Ì
a
，当
b
与
c
相交时，
a
^
a
四川绵阳市南山中学2024届高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析
四川绵阳市南山中学2024届高一数学第二学期期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（ ） A ．丁申年 B ．丙寅年 C ．丁酉年 D ．戊辰年2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( ) A ．1个或2个 B ．0个或1个C ．1个D ．0个3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A B C-=（ ） A ．37 B ．57 C ．97 D ．1074．已知,,a b R +∈且115a b a b +++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4] B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞ 5．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n mS S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．206．下列函数中，是偶函数且在区间()0,1上是增函数的是（ ）A ．y x =B ．3y x =-C ．1y x= D ．24y x =-+ 7．若,a b R +∈，24ab a b ++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．2B ．61-C ．262-D ．263-8．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为A ．B ．C ．D ．9．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm .A ．8B ．9C ．10D ．1210．已知等差数列：1，a 1，a 2,9；等比数列：－9，b 1，b 2，b 3，－1.则b 2(a 2－a 1)的值为( )A ．8B ．－8C ．±8D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
四川绵阳市南山中学2022-2023学年高一数学第二学期期末达标测试试题含解析
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，由点(,)P ωϕ的坐标是（ ）A ．2,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,4π⎛⎫⎪⎝⎭2．给出函数()212(x f x aa -=+为常数，且0a >，1)a ≠，无论a 取何值，函数()f x 恒过定点P ，则P 的坐标是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223a =，3269S =，则数列{}n a 的公比q =( )A ．3B ．13C ．3或13D ．以上都不对4．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下： 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8根据以上数据估计（ ） A ．甲比乙的射击技术稳定B ．乙.比甲的射击技术稳定C ．两人没有区别D ．两人区别不大5．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．246．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值7．在ABC ∆中，A 120︒∠=，2AB AC ⋅=-，则||BC 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．23D ．128．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数4(1)1y x x x =+>-，函数的最小值等于（ ） A 41xx -B ．421C ．5D ．910．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高中试卷-专题2.1 等式与不等式性质解析版)(含答案)
专题2.1 等式与不等式性质知识点①等式性质1．如果a ＝b ，那么b ＝a ．2．如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ．3．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ．4．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．5．如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc．知识点②不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向同正7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正知识点③两个实数比较大小的方法1．作差法：⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a ba b a b a b a 0002．作商法：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∈<⇔<≠∈=⇔=>∈>⇔>010101b R a b a b ab R a b a b ab R a b a b a，，，知识点④常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd；(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a.2．两个重要不等式若a ＞b ＞0，m ＞0，则：(1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m＞0)．一、单选题1．已知R a b c d ∈、、、，下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．若a b >，则11a b<D ．若11||||a b <，则||||a b >【来源】四川省乐山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，当0c £时不成立；对于B ，当1,2,0,1a b c d ==-==-时，显然不成立；对于C ，当1,2a b ==-时不成立；对于D ，因为110||||<<a b ，所以有||||0a b >>，即||||a b >成立.故选：D ．2．下列命题正确的是（ ）A ．22,0a b c ac bc >≠⇒>B ．a b <⇒<C ．a b >且c d a c b d <⇒+>+D ．22a b a b >⇒>【答案】A【解析】对于选项A ，∵0c ≠，∴20c >，又a b >，22ac bc \> 成立，故A 正确；对于选项B ，当0a <，0b >时，结论明显错误，故B 错误对于选项C ，当4,3,1,2a b c d ====时，a c b d +=+，所以结论错误，故C 错误对于选项D ，当1,2a b ==-时，22a b <，所以结论错误，故D 错误故选：A3．下列命题正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b =C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b>【答案】D【解析】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.4．已知04x <<，06y <<，则2x y -的取值范围是（ ）A ．(2,0)-B ．(0,2)C ．(8,6)-D ．(6,8)-【来源】第07讲 不等式的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）【答案】D【解析】解：因为04x <<，06y <<，所以028x <<，60y -<-<，所以628x y -<-<，所以2x y -的取值范围是(6,8)-，故选：D.5．如果,,a b c ∈R ，且0abc ≠，那么下列命题中正确的是（ ）A ．若11a b<，则a b >B ．若ac bc >，则a b >C ．若33a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b>【来源】山西省运城市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】D【解析】对于A ，若1a =-，1b =，满足11a b<，但a b >不成立，错误；对于B ，若0c <，则a b <，错误；对于C ，若2a =，1b =-，满足33a b >，但11a b<不成立，错误；对于D ，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.6．若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若c a <，则cb ab<C ．若0ab ≠且a b <，则11a b>D ．若a b >，则a c b c+>+【来源】新疆巴音州轮台县三校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题【答案】D【解析】对A ，取1,2a b ==-，则有22a b <，A 错；对B ，取0b =，则有cb ab =，B 错；对C ，取1,2a b =-=，则有11a b<，C 错；对D ，若a b >，则a c b c +>+正确；故选：D7．设a ＞b ＞1，y 12311,,11b b b y y a a a +-===+-，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【来源】专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）【答案】C【解析】解：由a ＞b ＞1，有y 1﹣y 2()()1111b b ab a ab b a ba a a a a a ++---=-==+++＞0，即y 1＞y 2，由a ＞b ＞1，有y 2﹣y 3()()1111b b ab b ab a a ba a a a a a ---+-=-==---0，即y 2＞y 3，所以y 1＞y 2＞y 3，故选：C.8．若,,,R a b c d ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则a c b c->-D ．若0a b <<，则1a<1b【来源】四川省成都市金牛区2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文科）试题【答案】C【解析】对于A ，若2,1,1,2a b c d ===-=-，则2ac bd ==-，所以A 错误，对于B ，若0c =，则220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以由不等式的性质可得a c b c ->-，所以C 正确，对于D ，因为0a b <<，所以0ab >，所以a b ab ab<，即11b a <，所以D 错误，故选：C9．若0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．ac bc>B ．33a b >C ．a b->-D ．a b ab+<【来源】四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】对于A ，若0c =，则ac bc =，所以A 错误，对于B ，因为0a b >>，所以330a b >>，所以B 正确，对于C ，因为0a b >>，所以a b -<-，所以C 错误，对于D ，若2,1a b ==，则32a b ab +=>=，所以D 错误，故选：B10．对任意实数a b c d ,,,，命题：①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >.④若33,0a b ab ><，则11a b>，其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】四川省自贡市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（文）试题【答案】C【解析】对于①，若a b >，0c <，则ac bc <，①错；对于②，若0c =，则22ac bc =，②错；对于③，若22ac bc >，则20c >，由不等式的基本性质可得a b >，③对；对于④，若33,0a b ab ><，则0a b >>，则110a b>>，④对故选：C11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b>D ．11a b a>-【来源】第05讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）【答案】D【解析】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b aa b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.12．已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（ ）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B【解析】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B13．已知0,0,0a b c d e >><<<，则下述一定正确的是（ ）A ．ae be >B ．22c d <C ．0e e a c d b+>--D ．()ea d c b->【来源】山东省青岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】C【解析】解：因为0,0,0a b c d e >><<<，所以ae be <，22c d >，故AB 错误；0c d ->->，所以0a c b d ->->，所以11a c b d<--，所以e ea cb d >--，即0e ea c d b+>--，故C 正确；对于D ，若12,1,1,,12a b c d e ===-=-=-时，则()2ead c b-==，故D 错误.故选：C.14．下列说法中，错误的是（ ）A ．若22a b >，0ab >，则11a b <B ．若22a b c c >，则a b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+D ．若a b >，c d <，则a c b d->-【来源】广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】A【解析】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误；对B ，由20c >，22a b c c >，所以a b >，故正确；对C,()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+×+×+，由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->×+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->-故选：A15．已知0a b >>，则（ ）A ．22ac bc >B ．22a ab b >>C ．11a b>D 的取值范围是[)2,+¥【来源】山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】当0c =时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，a b +³a b =时，等号成立，而a b >，D 错误．故选：B16．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中的假命题是（ ）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0,0bc ad bd -³>，则a b c db d++£C ．若0a b <<，则b aa b>D ．若11,a b a b>>，则0,0a b ><【答案】C【解析】对于A ：若22ac bc >，则20c >，所以a b >，故A 正确；对于B ：若0bc ad -³，0bd >，则0bc ad bd -³，化为c ad b ³，可得a b c d b d++£，故B 正确；对于C ：若0a b <<，所以220a b >>，0ab >，则220b a b a a b ab --=<，故b a a b<，故C 错误；对于D ：若a b >，11a b>，则110b aa b ab --=>，所以0ab <，所以0a >，0b <，故D正确；故选：C。
四川省绵阳南山中学2021-2022高一数学6月月考试题(含解析)
四川省绵阳南山中学2021-2022高一数学6月月考试题（含解析）一、选择题.1.下列命题中正确的是（ ） A. a b a b =⇒= B. a b a b >⇒> C. //a b a b =⇒ D. 单位向量都相等【答案】C 【解析】 【分析】根据向量相等的定义和平行向量的定义推导.【详解】对于选项A,模长相等的向量不一定是相等的向量，所以错误.对于B ，由于向量不能比较大小，错误.对于选项C ，由于向量相等，则可以知道他们必定共线，成立，对于D ，由于单位向量方向不相同，则不相等，错误，故选C. 【点睛】本题考查向量相等的定义：模相等，方向相同；平行向量的定义：方向相同或相反，属于基础题.2.若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ）A. 11a b <B. 22a b >C. 2211a bc c >++ D. a c b c >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除. 【详解】解：选项A ：取1,1a b ==-，此时满足条件a b >，则,1111a b==-，显然11a b >，所以选项A 错误；选项B ：取1,1a b ==-，此时满足条件a b >，则221,1a b ==，显然22a b =，所以选项B 错误；选项C ：因为2c 11+≥，所以2101c 1<≤+，因为a b >，所以2211a b c c >++， 选项C 正确； 选项D ：取0c ，当a b >，则||,||a c 0b c 0==，所以||||a c b c =，所以选项D错误； 故本题选C.【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S =（ ）A. 52B. 54C. 56D. 58【答案】A 【解析】分析：由题意，根据等差数列的性质先求出74a =，再根据数列中项的性质求出S 13的值． 详解：因为等差数列{}n a ，且371112a a a ++=，37117312a a a a ∴++== ，即74a = ． 又13713S a =，所以1313452S =⨯=． 故选A.．点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到灵活运用是解答的关键．4.若cos cos sin b C c B a A +=，其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，则ABC ∆的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理将cos cos sin b C c B a A +=中的边化为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得1sinA =，可得2A π=，然后对三角形的形状作出判断．【详解】由cos cos sin b C c B a A +=及正弦定理得2cos cos sin sinB C sinC B A +=， ∴()2sin sin A B C sinA =+=，又在ABC ∆中，0sinA ≠， ∴1sinA =， ∴2A π=，∴ABC ∆为直角三角形． 故选A ．【点睛】判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，故常用的方法有两种：一是根据余弦定理，进行角化边；二是根据正弦定理，进行边化角．5.平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A. α内有无数多条直线都与β平行 B. 直线,a b αβ⊂⊂，且//,//a b βαC. 直线//,//a a αβ，且直线a 不在α内，也不在β内D. 一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β 【答案】D 【解析】 【分析】利用αβ、可能相交，判断,,A B C ，利用面面平行的判定定理判断选项D . 【详解】对于A ,α内有无数多条直线都与β平行，则αβ、可能相交，A 错； 对于B ,直线a α⊂，b β⊂，且αβ∥，b α，则αβ、可能相交，B 错；对于C ,直线a α，a β，且直线a 不在α内，也不在β内, ，则αβ、可能相交，C 错； 对于D ,一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理可知D 正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定定理，意在考查对基本定理的掌握情况，属基础题．6.在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A. 2ln n +B. 2(1)ln n n +-C. 2ln n n +D.1ln n n ++【答案】A 【解析】 试题分析：在数列中，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 1121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()1121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 1n =+故选A.考点：熟练掌握累加求和公式及其对数的运算性质7.在如图的正方体中，,M N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】试题分析：连接BC 1，AD 1，因为MN//BC 1//AD 1,所以1D AC ∠就是异面直线AC 和MN 所成的角， 因为1DAC ∆为等边三角形，所以160D AC ∠=. 考点：异面直线所成的角.点评：找异面直线所成的角：一是选点，二是平移，三是转化为相交直线所成的角.本小题汲及到中点，联想到中位线，所以连接AD 1，就可找出1D AC ∠就是异面直线AC 和MN 所成的角.8.已知向量(,1),(21,3)(0,0)m a n b a b =-=->>，若m n ，则21a b+的最小值为（ ） A. 12B. 843+C. 15D.1023+【答案】B 【解析】 【分析】因为//m n ，所以对向量坐标运算，得到321a b +=，根据21a b +=()21()3+2a b a b+可构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求出结果. 【详解】(,1),(21,3)m a n b =-=-共线，3210a b ∴+-=，即321a b +=，所以21a b +=()214343()3262838b a b a a b a b a b a b+⋅+=+++≥⋅=，当且仅当23b a =时等号成立.【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算，均值定理求最小值，考查数学的转化能力，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A. 283π-B. 83π-C. 15D.23π 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原几何体，得到几何体为正方体中放置一个倒立的圆锥，根据正方体和圆锥的体积公式求几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是正方体中放置一个倒立的圆锥，那么可知其底面半径为1，高度为2，那么其体积122223V π=⨯⨯-⨯=283π-，选A 【点睛】本题考查由三视图还原几何体及几何体的体积公式，属于基础题.10.在ABC ∆中，2,22AC BC ==B 的取值范围是（ ）A. 04B π<≤ B. 06B π<≤C. 04B π<≤或34B ππ≤< D. 06B π<≤或56B ππ≤< 【答案】B 【解析】【分析】设AB x =（232x <<），利用余弦定理建立cos B 关于x 的函数，从而求出B 的范围. 【详解】解：设AB x =，则232x <<，由余弦定理可得，263cos 26424242B x x x ⎫==+≥⨯= ⎪⎝⎭， 根据余弦函数的性质可知，06B π<≤,故选B.【点睛】本题考查三角形已知两边求角的范围，余弦定理的应用，三角形的构成条件，基本不等式，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.11.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A. 123B. 183C. 243D. 543【答案】B 【解析】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的重心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得。
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四川省绵阳市南山中学2017-2018学年高一下学期期末模拟考试
（6月）数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列 1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C. 13 D ．14
2.若0a b <<，则下列不等式中，不能成立的是（ ） A ．
11a b > B ．11a b a
>- C.a b > D ．22a b > 3.下列命题中错误的是（ ）
A.对于任意向量,a b ，有a b a b +≤+
B.若0a b ⋅=，则0a =或0b = C 、对于任意向量,a b ，有a b a b ⋅≤
D.若,a b 共线，则a b a b ⋅=±
4.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直， 则该几何体的体积是（ ）
A ．
203 B ．163 C. 86π- D ．83
π- 5.ABC ∆中，设
,,AB c BC a CA b ===，若(0)c c a b ⋅+-<，则ABC ∆是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定其形状
6. 下列命题正确的是（ ）
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
D.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 7.若函数()()
2lg 1f x kx kx =+-的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）
A.40k -<<
B. 40k -<≤
C.4k <-或0k >
D.4k <-或0k ≥
8.已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等比中项为1-，则5S 等于（ ）
A ．34
B ．33 C. 32 D ．31
9.若变量,x y 满足约束条件3
21221200
x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（ ）
A ．12
B ．26 C. 28 D ．33
10.已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足(),1,AP AB AQ AC R λλλ==-∈，若
3
2
BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）
A ．
1
2
B
11.设0,0m n >>，2m n +=，则2242112m n
⎛⎫⎛⎫
-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是（ ）
A ．
92 B ．4 C. 7
2
D ．3 12.四面体P ABC -
的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积（ ） A ．
29
4
π B ．28π
D ．28π 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()43x x f x e e -=+-，则()f x 的最小值为 ．
14.棱长为a 的正四面体ABCD 中，侧棱AD 与底面ABC 所成角的正切值为 ． 15.南山中学高一某同学在折桂楼（记为点C )测得南山公园八角塔在南偏西80︒的方向上，塔顶仰角为45︒，此同学沿南偏东40︒的方向前进10m 到博雅楼（记为点D )，测得塔顶A 的仰角为30︒， 则塔高为 米.
16.长为2a 的线段PQ 以直角ABC ∆的直角顶点A 为中点，且BC 边长为a ，则B P C Q ⋅
的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=且32a +是2a 与4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n
a n n
b a =+，12n n S b b b =++
+，求使12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.
18.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，外接圆半径为R ，又2a m R ⎛= ⎝与
()
1,cos n A =垂直，且2a b ==.
（1）求c 的值；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积. 19. 如图，四边形ABCD 中，,//,6A B A D A D B C A D
⊥=,24BC AB ==，,E F 分别在,BC AD
上，//EF AB 现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .
（1）若1BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP PD λ=，使得//CP 平面
ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（2）求三棱锥A CDF -的体积的最大值. 20.已知一元二次函数()2f x ax bx c =++.
（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；
（2）若对任意x R ∈，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求2
22b a c +的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBBAC 6-10: DBDCA 11、12：AD 二、填空题
15. 10 16. 0 三、解答题
17. （1）设等比数列的公比为q ，由13223a a a +=，且()24322a a a +=+得 2q =或1q =(舍去）12a = ∴2n n a =.
（1）由（1）知：22
2log 2n n
n n b n -=+=- ∴()()121211222122222
n n n S n n n +=+++-++
+=---
∴不等式可化为:2900n n +->
故9n >或10n <-又*n N ∈，∴使得不等式成立的n 的最小值为10. 18.（1
）由已知可得sin 0A A =
知道tan A =，所以23
A π
=， 在ABC ∆中，
由余弦定理得222844cos 3
c c π
=+-即22240c c +-=， 解得6c =-(舍去），或4c =. （2）由题设可得2
CAD π
∠=
，所以6
BAD BAC CAD π
∠=∠-∠=
，故ABD ∆面积与ACD ∆面积
的比值为1sin
2
6112
AB AD AC AD π⋅⋅=⋅，又ABC ∆
的面积为142sin 2BAC ⨯⨯⨯∠= 所以ABD ∆
19.（1）在折叠后的图中过C 作CG FD ⊥,交FD 于G ,过G 作GP FD ⊥交AD 于P ，连接PC ， 在四边形ABCD 中，//,EF AB AB AD ⊥,所以EF AD ⊥.折起后,AF EF DF EF ⊥⊥， 又平面ABEF ⊥平面EFDC ,平面ABEF ⋂平面EFDC EF =,所以FD ⊥平面ABEF , 又AF ⊂平面ABEF ,所以FD AF ⊥,所以//,//CG EF PG AF ,
3
2
AP FG PD GD ==，因为,CG PG G EF AF F ⋂=⋂=,所以平面//CPG 平面ABEF ,因为CP ⊂平面CPG ，
所以//CP 平
面ABEF ，所以在AD 上存在一点P ，且3
2
AP PD =
，使//CP 平面ABEF . （2）设BE x =，则()04AF x x =<≤，6FD x =-，故
()()2
1112633323A CDF V x x x -=⨯⨯⨯-⨯=--+
所以当3x =时，A CDE V -取得最大值3 .
20.（1）∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<∴0a <，34b b -+=-，()34c
a -⨯=
∴(),120b a c a a =-=-<.故()22(2301500)2bx ax c b ax ax a +-+<⇔-++<< 从而22150x x --<，解得()3,5x ∈-.
（2）∵()()2220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立， ∴()()()()2
2224004400b a a c b a b a ac a ∆=---≤>⇔+-≤>， ∴()2
04b a c b ≤≤-∴()222222
4141c a c a b a a c a c c a ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， 令1c t a =
-，∵()240a c a b -≥≥ ∴1c
c a a
≥⇒≥，从而0t ≥， ∴()
2222
2442211b t t a c t t t ≤=+++++，令()()24022t
g t t t t =≥++. ①当0t =时，()00g =； ②当0t >时，(
)4222g t t t
=
≤=++ ， ∴2
22b a c +
的最大值为2.。