2019-2020学年江西省五市八校高三(下)第二次联考数学试卷(文科)(4月份)

2019-2020学年江西省五市八校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 记全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A ＝{1, 2, 3, 5}，B ＝{2, 4, 6}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.{4, 6, 7, 8}B.{2}C.{7, 8}D.{1, 2, 3, 4, 5, 6}【答案】 C【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【解析】由文氏图知，图中阴影部分所表示的集合是∁U (A ∪B)．由此能求出结果． 【解答】 由文氏图知，图中阴影部分所表示的集合是∁U (A ∪B)． ∵ A ＝{1, 2, 3, 5}，B ＝{2, 4, 6}， ∵ 全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}， ∴ A ∪B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}， ∴ ∁U (A ∪B)＝{7, 8}．2. 设i 是虚数单位，若复数z 满足z ⋅i ＝4−9i ，则其共轭复数z ¯=( ) A.−9−4i B.−9+4i C.9−4i D.9+4i【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】利用复数的四则运算计算出z 后即可求其共轭． 【解答】由z ⋅i ＝4−9i ，得z =4−9i i=(4−9i)(−i)−i 2=−9−4i ，故z ¯=−9+4i ，3. 点(√3,4)在直线l:ax −y +1＝0上，则直线l 的倾斜角为（ ） A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.120∘ 【答案】 C【考点】直线的倾斜角【解析】点(√3,4)在直线l:ax−y+1＝0上，a=√3，即直线的斜率为√3可得直线的倾斜角．【解答】∵点(√3,4)在直线l:ax−y+1＝0上，∴√3a−4+1=0，∴a=√3，即直线的斜率为√3，直线l的倾斜角为60∘．4. 为了更好的支持“中小微企业”发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免，某机构调查了当地的中小微企业的年收入情况，根据所得的数据画出了样本频率分布直方图，下面有三个结论：①样本数据落在区间[300, 500)的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受税收减免政策，则估计当地有55%的中小微企业能享受到这一政策；③样本的中位数为480万元．其中正确结论的个数有( )A.0B.1C.2D.3【答案】D【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图【解析】先求出a的值，再根据题意算出所求的问题即可．【解答】解：根据题意0.1+0.2+0.15+0.05+200a=0.5+200a=1，得a=0.0025，①样本数据落在区间[300, 500)的频率为0.2+0.25=0.45，故正确；②500万元以内的概率约为0.25+0.1+0.2=0.55，故正确；③由②知，中位数在(400, 500)之间，设为x，则由0.1+0.2+0.0025(x−400)=0.5，解得x=480，故正确，综上，正确的有3个.故选D.，则tan a6的值为（）5. 若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=22π3A.√3B.−√3C.±√3D.−√33【答案】B【考点】等差数列的性质根据所给的前11项的和，根据前11项的和等于11倍的第六项，写出第六项的结果是2π3，求出第六项的正切值是−√3，得到结果．【解答】解：∵S11=11(a1+a11)2=11a6=22π3∴a6=2π3∴tan a6=−√3，故选B．6. 定义运算：|a1a2a3a4|=a1a4−a2a3，将函数f(x)=|√3cos x21sin x2|的图象向右平移m(m>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A.π3B.2π3C.4π3D.7π3【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换二阶行列式的定义【解析】先根据新定义求出f(x)，然后根据f(x)是偶函数，则x＝0时函数取得最值，列出m的方程即可．【解答】由题意：f(x)=√3sin x2−cos x2，∴f(x)=2sin(x2−π6)．向右平移m个单位后得g(x)=2sin(x2−m2−π6)．因为g(x)是偶函数，所以g(0)=−2sin(m2+π6)=±2，故m2+π6=π2+kπ,k∈Z，显然k＝0时，m取最小值2π3．7. 已知{x−y+1≥07x−y−7≤0x≥0,y≥0，表示的平面区域为D，若“∃(x, y)∈R，2x+y>a”为假命题，则实数a的取值范围是（）A.[5, +∞)B.[2, +∞)C.[1, +∞)D.[0, +∞)【答案】A【考点】简单线性规划设z ＝2x +y ，原命题转化为∀(x, y)∈D ，2x +y ≤a 为真命题，则等价为求z 的最大值即可． 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝2x +y ，若“∃(x, y)∈R ，2x +y >a ”为假命题即∀(x, y)∈D ，2x +y ≤a 为真命题，则等价为求z 的最大值，由z ＝2x +y 得y ＝−2x +z ， 平移直线y ＝−2x +z ，由图象可知当直线y ＝−2x +z 经过点A 时，直线y ＝−2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x −y +1=07x −y −7=0，解得A(43, 73)，代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×43+73=5． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为5．则a ≥5，8. 若直线y =52x 与曲线y ＝mx −ln (2x +1)相切于点O(0, 0)，则m ＝（ ）A.0B.52C.72D.92【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】利用导数的几何意义可得：f′(0)=52，求解即可． 【解答】y ＝f(x)＝mx −ln (2x +1)，f′(x)＝m −22x+1，由题意可得：f′(0)＝m −2=52，解得：m =92．9. 2019年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的4名专家对石柱县的A 、B 、C 、D ，4乡镇进行调研，要求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在A 乡镇，乙不在B 乡镇的概率为（ ） A.18B.112C.14D.16【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】先计算出事件A “甲安排在A 乡镇，乙不在B 乡镇”包含的安排方案的种数，再利用古典概求出概率． 【解答】由题设条件可知：四名专家安排到四个乡镇，每个乡镇安排一名专家有A 44=24种安排方案；又每个乡镇安排一名专家，甲安排在A 乡镇，乙不在B 乡镇有C 21A 22=4种安排方案． 设“甲安排在A 乡镇，乙不在B 乡镇”为事件A ，根据古典概型知：P(A)=424=16．10. 已知球O 表面上的四点A ，B ，C ，P 满足AC ＝BC =√2，AB ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则球O 的表面积为（ ） A.254πB.259πC.2516πD.8π【答案】 A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】由题意画出图形，可知当平面ABD 与平面ABC 垂直时，四面体ABCD 体积最大，求出D 到底面ABC 的距离，设外接球半径为r ，再由勾股定理列式求得r ，则答案可求． 【解答】 如图，当平面ABD 与平面ABC 垂直时，四面体ABCD 体积最大， 由AC ＝BC =√2，AB ＝2，得∠ACB ＝90∘， ∴ 13×12×√2×√2×DG =23，解得DG ＝2，设四面体ABCD 的外接球半径为r ， 则r 2＝(2−r)2+12，解得r =54． ∴ 球O 的表面积为4π×(54)2=254π．11. 已知点F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60∘的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且|MF 1→+MF 2→|=|MF 1→−MF 2→|，则椭圆C 的离心率为（ ） A.√3−1 B.2−√3C.12D.√22【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】将|MF 1→+MF 2→|=|MF 1→−MF 2→|两边平方，可得MF 1⊥MF 2，进而可得MF 1，MF 2的值，由椭圆的定义可得a ，c 的关系，即求出离心率的值． 【解答】将|MF 1→+MF 2→|=|MF 1→−MF 2→|两边平方，易得MF 1→⋅MF 2→=0，即MF 1⊥MF 2，|OM|=12|F 1F 2|＝c ．又∠MOF ＝60∘，∴ |MF 2|＝c ，|MF 1|=√3c ，∴ 2a =√3c +c ，∴ e =ca =√3−1．12. 已知函数f(x)={1−x1+x ,x ≥0x 2+2x +1,x <0，函数g(x)＝f(1−x)−kx +k −12恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A.(−2−√2,0]∪{92} B.(−2+√2, 0]∪{92} C.(−2−√2,0]∪{12} D.(−2+√2, 0]∪{12}【答案】 D【考点】分段函数的应用 【解析】求得y ＝f(1−x)的解析式，由题意可得f(1−x)＝kx −k +12有三个不同的实根，作出y ＝f(1−x)和y ＝kx −k +12的图象，考虑直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围． 【解答】函数f(x)={1−x1+x ,x ≥0x 2+2x +1,x <0， 可得f(1−x)={x2−x ,x ≤1(x −2)2,x >1，函数g(x)＝f(1−x)−kx +k −12恰有三个不同的零点，即为f(1−x)＝kx −k +12有三个不同的实根， 作出y ＝f(1−x)和y ＝kx −k +12的图象，当直线y ＝kx −k +12与曲线y =x 2−x (x ≤1)相切于原点时， 即k =12时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx−k+1与曲线y＝(x−2)2(1<x<2)相切，设切点为(m, n)，2=(m−2)2，可得切线的斜率为k＝2(m−2)，且km−k+12解得m＝1+√2，k=√2−2，2即√2−2<k≤0时，两图象恰有三个交点；}，综上可得，k的范围是(√2−2, 0]∪{12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力．在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别“水滴”、“有志”、“坚持”的________条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步，（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”【答案】必要不充分【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用充分不必要条件、必要不充分条件、充要或者既不充分也不必要条件的定义直接求解．【解答】∵水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”∴ “石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的必要不充分条件．已知圆C的圆心坐标为(1, 0)，且y轴被⊙C截得的弦长为4√2，则圆C的方程为________．【答案】(x−1)2+y2＝9【考点】圆的标准方程【解析】根据垂径定理构造r满足的方程，将r求出即可．【解答】由题意设C：(x−1)2+y2＝r2．所以圆心到y轴的距离为1，结合弦长为4√2．)2=9．所以：r2=12+(4√22故圆的方程为(x−1)2+y2＝9．如图，一栋建筑物AB高(30−10√3)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15∘和60∘，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30∘，则通信塔CD的高为60m．【答案】 60【考点】 解三角形 【解析】设AE ⊥CD ，垂足为E ，在△AMC 中，利用正弦定理，求出AC ，即可得出结论． 【解答】设AE ⊥CD ，垂足为E ，则在△AMC 中，AM =AB sin 15=20√6，∠AMC ＝105∘，∠C ＝30∘，∴ ACsin 105=20√6sin 30， ∴ AC ＝60+20√3，∴ CE ＝30+10√3，∴ CD ＝30−10√3+30+10√3=60，如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，∠DAB ＝90∘，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →=mAB →+nAD →（m ，n 均为正实数），则1m +1n 的最小值为________．【答案】7+4√34【考点】平面向量的基本定理 基本不等式 【解析】假设BP →=λBC →，用AB →,AD →表示出AP →，使用平面向量的基本定理得出m ，n 与λ的关系，得到1m +1n 关于λ的函数，求出函数的最值． 【解答】AC →=AD →+DC →=14AB →+AD →，BC →=AC →−AB →=−34AB →+AD →， 设BP →=λBC →=−3λ4AB →+λAD →(0≤λ≤1)，则AP →=AB →+BP →=(1−3λ4)AB →+λAD →．∵ AP →=mAB →+nAD →，∴ m ＝1−3λ4，n ＝λ．∴ 1m +1n =44−3λ+1λ=λ+4−3λ2+4λ=128−(3(λ+4)+64λ+4)≥28−2√3×64=7+4√34． 当且仅当3(λ+4)=64λ+4即(λ+4)2=643时取等号．三、解答题：本题共5小题，每小题12分某公司为了增加某产品的销售利润，调查了该产品年宣传费用投入x （万元）与该产品年销售利润y （万元）的近5年具体数据，如表：（1）求线性回归方程y =b x +a ；（2）如果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为多少？ 参考公式：回归直线方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2=∑−i=1n xiyi nx ¯y¯∑ n i=1x i 2−nx¯2，a =y ¯−b x ¯，x ¯y ¯为样本平均值．【答案】 x ¯=1+3+5+7+95=5，y ¯=2+4+8+11+155=8，b =∑−i=1n xiyi nx ¯y¯∑ n i=1x i 2−nx¯2=266−5×5×8165−5×52=1.65，a =y ¯−b x ¯=8−1.65×5＝−0.25，∴ 线性回归方程为y =1.65x −0.25；在y =1.65x −0.25中，取x ＝11，得y =1.65×11−0.25=17.9．故如果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为17.9万元． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由已知求得b 与a 的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x ＝11求得y 值即可． 【解答】 x ¯=1+3+5+7+95=5，y ¯=2+4+8+11+155=8，b =∑−i=1n xiyi nx ¯y¯∑ n i=1x i 2−nx¯2=266−5×5×8165−5×52=1.65，a =y ¯−b x ¯=8−1.65×5＝−0.25，∴ 线性回归方程为y =1.65x −0.25；在y =1.65x −0.25中，取x ＝11，得y =1.65×11−0.25=17.9．故如果该产品明年宣传费用投入11万元，预测该产品明年销售利润为17.9万元．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a(sin A+4sin B)＝8sin A．（1）若b＝1，A=π6，求sin B；（2）已知C=π3，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【答案】由于b＝1，A=π6，所以a(sin A+4sin B)＝8sin A转换为a(sin A+4sin B)＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得sin2π6=4⋅sinπ6⋅sin B，解得sin B=18．利用正弦定理a(sin A+4sin B)＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式8=a+4b≥2⋅2√ab=4√ab，解得ab≤4，即a＝4b时，S△ABC=12ab sin C=√3，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2−2ab cos C＝1+16−4＝13，解得c=√13所以l△ABC=a+b+c=1+4+√13=5+√13．【考点】正弦定理【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】由于b＝1，A=π6，所以a(sin A+4sin B)＝8sin A转换为a(sin A+4sin B)＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得sin2π6=4⋅sinπ6⋅sin B，解得sin B=18．利用正弦定理a(sin A+4sin B)＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式8=a+4b≥2⋅2√ab=4√ab，解得ab≤4，即a＝4b时，S△ABC=12ab sin C=√3，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2−2ab cos C＝1+16−4＝13，解得c=√13所以l△ABC=a+b+c=1+4+√13=5+√13．在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．(Ⅰ)证明：A1O⊥平面ABC；(Ⅱ)求三棱锥C1−ABC的体积．【答案】（本小题满分1证明：(Ⅰ)∵AA1＝A1C，且O为AC的中点∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC（2）∵A1C1 // AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1 // 平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离由(Ⅰ)知A1O⊥平面ABC且A1O=√AA12−AO2=√3，∴三棱锥C1−ABC的体积：V C1−ABC =V A1−ABC=13S△ABC⋅A1O=13×12×2×√3×√3=1⋯【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)推导出A1O⊥AC，由此能证明A1O⊥平面ABC．(Ⅱ)推导出C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离，从而V C1−ABC =V A1−ABC，由此能求出三棱锥C1−ABC的体积．【解答】（本小题满分1证明：(Ⅰ)∵AA1＝A1C，且O为AC的中点∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC（2）∵A1C1 // AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1 // 平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离由(Ⅰ)知A1O⊥平面ABC且A1O=√AA12−AO2=√3，∴三棱锥C1−ABC的体积：V C1−ABC =V A1−ABC=13S△ABC⋅A1O=13×12×2×√3×√3=1⋯已知抛物线C：y2=2px过点A(1, 1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(3, −1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．【答案】(1)解：由题意抛物线y2=2px过点A(1, 1)，所以p=12，所以得抛物线的方程为y2=x.(2)证明：设过点P(3, −1)的直线l的方程为x−3=m(y+1)，即x=my+m+3，代入y2=x得y2−my−m−3=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则y1+y2=m，y1y2=−m−3，所以k1⋅k2=y1−1x1−1⋅y2−1 x2−1=y1−1y12−1⋅y2−1y22−1=1(y1+1)(y2+1)=1 1212=−12. 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 抛物线的标准方程 【解析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P(3, −1)的直线l 的方程为x −3＝m(y +1)，即x ＝my +m +3，代入y 2＝x 利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k 1⋅k 2的值． 【解答】(1)解：由题意抛物线y 2=2px 过点A(1, 1)，所以p =12， 所以得抛物线的方程为y 2=x .(2)证明：设过点P(3, −1)的直线l 的方程为x −3=m(y +1)， 即x =my +m +3，代入y 2=x 得y 2−my −m −3=0， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则y 1+y 2=m ，y 1y 2=−m −3， 所以k 1⋅k 2=y 1−1x 1−1⋅y 2−1x 2−1=y 1−1y 12−1⋅y 2−1y 22−1 =1(y 1+1)(y 2+1)=1y 1y 2+(y 1+y 2)+1=−12.已知函数f(x)=a ln x +x 2，其中a ∈R ． (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a =1时，证明：f(x)≤x 2+x −1；(3)求证：对任意正整数n ，都有(1+12)(1+122)⋯(1+12n)<e （其中e ≈2.7183为自然对数的底数）. 【答案】(1)解：f(x)的定义域是(0, +∞)， f′(x)=ax +2x =2x 2+a x，a ≥0时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增， a <0时，令f′(x)<0，解得：0<x <√−a2； 令f ′(x)>0，解得：x >√−a2，故f(x)在(0, √−a2)上单调递减，在(√−a2, +∞)上单调递增； (2)证明：a =1时，f(x)=ln x +x 2， f(x)≤x 2+x −1即ln x ≤x −1，令ℎ(x)=ln x −x +1，(x >0)， 则ℎ′(x)=1x −1=1−x x，令ℎ′(x)>0，解得：0<x <1， 令ℎ′(x)<0，解得：x >1，故ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减， 故ℎ(x)max =ℎ(1)=0， 故ℎ(x)≤0恒成立， 故f(x)≤x 2+x −1；(3)证明：由(2)知，当a =1时，ln (x +1)≤x ， 令x =12n (n ∈N +)，得ln (1+12n )≤12n ， ∴ ln (1+12)+ln (1+122)+...+ln (1+12n ) ≤12+122+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n <1， ∴ (1+12)(1+122)⋯(1+12n)<e ．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)代入a 的值，问题转化为ln x ≤x −1，令ℎ(x)＝ln x −x +1，(x >0)，根据函数的单调性证明即可；(Ⅲ)根据ln (x +1)≤x ，令x =12n(n ∈N +)，得ln (1+12n)≤12n，累加即可．【解答】(1)解：f(x)的定义域是(0, +∞)， f′(x)=ax +2x =2x 2+a x，a ≥0时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增， a <0时，令f′(x)<0，解得：0<x <√−a2； 令f ′(x)>0，解得：x >√−a2，故f(x)在(0, √−a 2)上单调递减，在(√−a2, +∞)上单调递增；(2)证明：a =1时，f(x)=ln x +x 2， f(x)≤x 2+x −1即ln x ≤x −1， 令ℎ(x)=ln x −x +1，(x >0)， 则ℎ′(x)=1x −1=1−x x，令ℎ′(x)>0，解得：0<x <1， 令ℎ′(x)<0，解得：x >1，故ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减， 故ℎ(x)max =ℎ(1)=0，故ℎ(x)≤0恒成立， 故f(x)≤x 2+x −1；(3)证明：由(2)知，当a =1时，ln (x +1)≤x ， 令x =12n (n ∈N +)，得ln (1+12n )≤12n ， ∴ ln (1+12)+ln (1+122)+...+ln (1+12n ) ≤12+122+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n <1，∴ (1+12)(1+122)⋯(1+12n)<e ．选考题：请考生在第22、23题中任选一题解答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：ρ＝a(1−sin θ)(a >0)国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”．明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox 中，方程ρ＝a(1−sin θ)(a >0)表示的曲线C 1就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中，已知曲线C 2的参数方程为{x =1+√3t y =√33+t（t 为参数）．（1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长． 【答案】曲线C 2的参数方程为{x =1+√3t y =√33+t（t 为参数），消去参数t 可得直角坐标方程：x −√3y ＝0．把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可得：tan θ=√33，可得θ=π6，(ρ∈R)．∴ 曲线C 2的极坐标方程为：θ=π6，(ρ∈R)．把θ=π6，θ＝π+π6，代入方程ρ＝a(1−sin θ)(a >0)， 可得|AB|＝|ρA −ρB |＝a|−sin π6+sin (π+π6)|＝2a ． 【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）曲线C 2的参数方程为{x =1+√3t y =√33+t（t 为参数）．消去参数t 可得直角坐标方程：x −√3y ＝0．把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可得曲线C 2的极坐标方程．（2）把θ=π6，θ＝π+π6，代入方程ρ＝a(1−sin θ)(a >0)，可得|AB|＝|ρA −ρB |．【解答】曲线C 2的参数方程为{x =1+√3t y =√33+t（t 为参数），消去参数t 可得直角坐标方程：x −√3y ＝0．把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可得：tan θ=√33，可得θ=π6，(ρ∈R)．∴ 曲线C 2的极坐标方程为：θ=π6，(ρ∈R)．把θ=π6，θ＝π+π6，代入方程ρ＝a(1−sin θ)(a >0)，可得|AB|＝|ρA −ρB |＝a|−sin π6+sin (π+π6)|＝2a ． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|3x −1|+|3x +3|．（1）求不等式f(x)≥10的解集；（2）正数a ，b 满足a +b ＝2，证明：√f(x)≥√a +√b ． 【答案】f(x)＝|3x −1|+|3x +3|={6x +2,x >134,−1≤x ≤13−6x −2,x <−1 ．∵ f(x)≥10，∴ {6x +2≥10x >13 或{−6x −2≥10x <−1 ， ∴ x ≥43或x ≤−2，∴ 不等式的解集为{x|x ≥43或x ≤−2}．f(x)＝|3x −1|+|3x +3|≥|(3x −1)−(3x +3)|＝4．∵ 正数a ，b 满足a +b ＝2，∴ f(x)≥2(a +b)，∴ √f(x)≥√2⋅√a +b =√2⋅√(√a)2+(√b)2≥√a +√b ， 当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴ √f(x)≥√a +√b ． 【考点】 不等式的证明绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≥10分别解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f(x)的范围，再根据a +b ＝2，利用均值不等式即可证明√f(x)≥√a +√b ． 【解答】f(x)＝|3x −1|+|3x +3|={6x +2,x >134,−1≤x ≤13−6x −2,x <−1 ．∵ f(x)≥10，∴ {6x +2≥10x >13 或{−6x −2≥10x <−1 ， ∴ x ≥43或x ≤−2，∴ 不等式的解集为{x|x ≥43或x ≤−2}．f(x)＝|3x −1|+|3x +3|≥|(3x −1)−(3x +3)|＝4．∵ 正数a ，b 满足a +b ＝2，∴ f(x)≥2(a +b)，∴ √f(x)≥√2⋅√a +b =√2⋅√(√a)2+(√b)2≥√a +√b ， 当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴ √f(x)≥√a +√b ．。