解决平面向量问题的“神器”
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧解决初中数学解题困扰的利器——掌握平面向量的运算技巧数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，而初中数学的学习过程中，解题往往是困扰很多学生的难题。
然而，要解决这个问题并不难，只需要掌握好平面向量的运算技巧，就能在解答数学题目时游刃有余。
本文将为大家介绍平面向量的基本概念以及运算规则，希望对解决初中数学解题困扰有所帮助。
一、平面向量的基本概念在解决初中数学问题时，我们常常需要用到平面向量。
平面向量是指能够用有向线段来表示，具有大小和方向的量。
一个平面向量通常用字母加箭头来表示，例如：→AB，其中A、B为平面上的点。
有了这个基本概念，我们就可以更好地理解和应用平面向量来解决数学问题。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法是我们在解决数学问题中常常用到的基本运算。
其规则如下：1. 平面向量的加法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的和记作→AB + →CD。
要求得这两个向量的和，只需要将它们的对应分量分别相加即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的和为→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 平面向量的减法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的差记作→AB - →CD。
要求得这两个向量的差，只需要将它们的对应分量分别相减即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的差为→AB - →CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
通过掌握平面向量的加法和减法规则，我们能够更有效地解决初中数学解题过程中的运算问题。
三、平面向量的数量积和向量积除了加法和减法，平面向量还有两个重要的运算：数量积和向量积。
它们在解决数学问题中具有重要作用。
1. 数量积：数量积又称点积，它是两个向量的乘积。
计算数量积的公式为：→AB · →CD = AB·CD·cosθ，其中AB和CD分别为两个向量的模长，θ为它们之间的夹角。
解析几何教学中常用数学软件的对比分析
解析几何教学中常用数学软件的对比分析随着计算机技术的快速发展，数学教学软件在教学中扮演着越来越重要的角色。
特别是对于解析几何这一复杂的数学学科来说，采用数学软件进行教学能够更加直观、生动地展示各种几何概念和定理，为学生提供更好的学习体验。
目前，解析几何教学中常用的数学软件主要有GeoGebra、Cabri几何和MathType等。
本文将对这三款软件进行对比分析，以期为教师和学生在解析几何教学中选择合适的数学软件提供一定的参考。
一、GeoGebraGeoGebra是一款免费的数学软件，它支持几何、代数、微积分和统计等多个数学领域。
在解析几何教学中，GeoGebra主要用于绘制几何图形、演示几何定理、解决几何问题等。
它具有界面简洁、操作方便、功能齐全的特点，受到了广大教师和学生的喜爱。
1.功能特点：（1）绘制几何图形：GeoGebra可以通过简单的操作，绘制各种几何图形，如直线、线段、角、多边形等，使得抽象的几何概念得以直观呈现。
（2）演示几何定理：GeoGebra能够根据输入的几何命题，自动生成相应的图形，并且标注出相关的角度、边长、面积等数值，帮助学生更好地理解和掌握几何定理。
（3）解决几何问题：GeoGebra中内置了各种几何工具和计算功能，能够帮助学生解决各种几何问题，包括计算面积、体积、求解角度等。
2.优点和不足：GeoGebra的优点在于界面简洁直观，操作简单便捷，功能齐全易用，而且是免费的开源软件。
但是由于其功能过于丰富，对于一些初学者来说可能需要一定的时间和精力去熟悉和掌握。
二、Cabri几何Cabri几何是一款专业的解析几何教学软件，它专注于几何学习和教学，是教师和学生们非常喜爱的数学工具之一。
（1）动态几何学习：Cabri几何提供了丰富的动态几何工具，能够帮助学生直观地理解各种几何概念和定理，比如平移、旋转、对称等。
（2）交互式教学：Cabri几何支持交互式教学模式，教师能够制作丰富多样的几何动画和交互实例，为学生呈现更加生动、直观的几何学习内容。
数学知识辅助工具推荐
数学知识辅助工具推荐在当今高度信息化的社会中，数学作为一门基础学科，无论在学校还是在职场都扮演着重要的角色。
然而，对于许多人来说，数学并非易事。
为了帮助人们更好地理解和应用数学知识，许多数学辅助工具应运而生。
在本文中，我将向大家推荐几个优秀的数学辅助工具。
首先，我要推荐的是数学绘图工具GeoGebra。
GeoGebra是一个功能强大且免费的数学软件，它不仅可以进行几何图形的绘制，还可以进行代数计算、微积分、统计分析等多个数学领域的操作。
通过GeoGebra，用户可以直观地观察数学对象的变化，从而更好地理解数学概念和定理。
此外，GeoGebra还提供了在线社区，用户可以与其他数学爱好者交流学习心得，共同进步。
其次，我要介绍的是数学求解工具Wolfram Alpha。
Wolfram Alpha是一个基于人工智能的计算引擎，它可以回答各种数学问题，包括代数、几何、微积分等多个领域。
与传统搜索引擎不同，Wolfram Alpha能够给出详细的计算步骤和解答过程，帮助用户更好地理解问题的解决方法。
此外，Wolfram Alpha还提供了大量的数学知识和实用工具，如数学公式库、函数图像绘制等，使用户能够更高效地学习和应用数学知识。
除了上述的绘图和求解工具，还有一些数学学习平台也值得推荐。
其中之一是Khan Academy。
Khan Academy是一个免费的在线学习平台，提供了丰富的数学课程和练习题。
通过Khan Academy，用户可以根据自己的学习需求选择不同难度和内容的课程，系统地学习数学知识。
此外，Khan Academy还提供了学习进度跟踪和个性化建议，帮助用户更好地掌握数学技能。
另一个值得一提的数学学习平台是Coursera。
Coursera是一个在线教育平台，与世界各地的大学合作，提供了大量的数学课程。
通过Coursera，用户可以选择感兴趣的数学课程，跟随专业教授的讲解，深入学习数学理论和应用。
解决平面向量问题的两大法宝
解决平面向量问题的两大法宝作者：顾冬生
来源：《新高考·高二数学》2018年第01期
平面向量问题一般以基底法和坐标法为主，同学们灵活运用基底意识和坐标意识，针对不同的题型选择适当的方法，问题就会迎刃而解，下面我们就以几道考题为例，学习怎样灵活运用这两种方法，
例1 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=1/2AB，BE=2/3BC，若DE=λ1AB +λ2 AC（λ1，2λ为实数），则λ1+λ2的值为____.
解析由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一表示，本题已经给出了两个不共线的向量AB，AC，因此我们可以用它作为基底把其他的向量表示出來，
反思选取适当的基底，用它表示所涉及的其他向量，问题就转化为基底之间的一些表示和运算.
例2 如图2，在矩形ABCD中，AB=√2，BC =2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB.AF=√2，则AE.BF的值是_________.
解析本题给出的向量较多，给我们寻找适当的基底带来了难度，经分析发现：AB，AD 为正交基底，可以建立坐标系将向量用坐标表示进行计算，用坐标法解题，
以A为原点，AB为X轴，AD为y轴建立如图3所示平面直角坐标系XAy，则A（0，0），B（√2，0），C（√2，2），D（0，2），E（√2，1），设F（x，2），得到AB=（√2，o），AF=（X，2），则AB.AF=√2X=√2，故X=1.AE=（√2，1），BF=（l-√2，2），则AE.BF=√2（1 -√2）+l×2=√2.。
平面向量的几个秘密武器
平面向量的几个秘密武器茂名一中 易数工作室一、四个秘密武器1、斜坐标系——类比直角坐标系注：x 轴逆时针最小正角到y 轴。
类比点：两种坐标系下各个象限中的点的坐标2、三点共线——类比直角坐标系中的线性规划类比点：两种坐标系中：（1）x+y=1对应的点所在区域（2）x+y>1对应的点所在区域 （3）x+y<1对应的点所在区域3、向量数量积中的勾股结构必修4P 108B 组有这样一道题：在圆C 中，AB 中该圆的任一条弦，问：只需给出圆的半径还是弦长AB ，就可以求出AC AB ？略解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，由垂径定理，可知D 是弦AB 中点。
则 AC AB ＝22||122||||cos 2||||2||||2||AD AC AD AC AD CAD AC AD AD AB AC =∠=== 故只需给出弦长AB 的长，即可求出AC AB 。
如果改成求：AC AD ，立即得：AC AD ＝2||AD规律：斜边所在向量与直角边所在向量（起点同）的数量积等于该直角边的平方。
4、求法向量（理科）以前讲过，此处略。
二、实战训练1．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( )A.13(AC →＋2AB →)B.13(AB →＋2AC →)C.14(AC →＋3AB →)D.14(AC →＋2AB →) 2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知(3, 1)A 、(1, 3)B -，若点Ｃ满足 OC OA OB αβ=+ ，其中1=+∈βαβα，且、R ，则点Ｃ的轨迹方程为（ ）． Ａ．01123=-+y x Ｂ．5)2()1(22=-+-y x Ｃ．02=-y x Ｄ．052=-+y x 3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200O B aO A a O C=+ ，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200的值是（ ）A ．100B ．101C ．200D ．2014、如下图OM AB ，点P 在由射线OM ,线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+ ，则实数对（x 、y ）可以是（ ）A.（14，34）B.（23-，23） C.（14-，34） D.（15-，75） 5、 如上图，OM AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+ ，则x 的取值范围是 。
解析几何教学中常用数学软件的对比分析
解析几何教学中常用数学软件的对比分析近年来，随着计算机技术的迅猛发展，各种数学软件逐渐渗透到了解析几何的教学中。
这些数学软件不仅使解析几何的学习更加生动有趣，还能够提高学生的解决问题的能力。
本文将对几种常用的数学软件进行对比分析。
我们来看一下几何绘图软件。
在解析几何中，几何绘图是一个非常重要的环节。
好的几何绘图软件可以帮助学生更直观地理解几何图形的性质和关系。
常见的几何绘图软件有Geogebra、Cabri等。
Geogebra是一款功能强大且免费的数学软件，可以进行各种几何绘图和计算。
它支持动态几何的绘制，可以通过拖动点或者直接输入数值来改变图形，并即时展示图形的变化。
Geogebra还可以进行代数计算、微积分、统计等其他数学运算，方便学生在解析几何中进行多个方面的计算和分析。
与之相比，Cabri则更加注重动态几何的教学。
Cabri有一个友好的界面和丰富的绘图工具，可以帮助学生直观地探索几何图形的特性。
它还提供了强大的动画功能，可以模拟几何问题的演变过程，使学生更加深入地理解几何关系和定理。
除了几何绘图软件，解析几何教学中还常用到代数计算软件。
这些软件可以对解析几何问题进行符号化计算，有助于学生更深入地认识几何问题的本质。
常见的代数计算软件有Maple、Mathematica等。
Mathematica则更偏重于数学建模和计算机仿真。
它提供了强大的符号计算和数值计算能力，可以进行复杂的代数运算和方程求解。
Mathematica还支持三维绘图和动画制作，可以帮助学生更深入地理解几何图形的性质和变化规律。
几何绘图软件和代数计算软件在解析几何教学中都起到了重要作用。
几何绘图软件能够帮助学生直观地认识几何图形的特性和变化规律，而代数计算软件则能够帮助学生进行复杂的数学运算和推导，提高问题解决的能力。
在解析几何教学中，教师可以根据具体的教学目标和学生的能力水平选择合适的数学软件进行辅助教学，从而更好地促进学生的数学学习和能力培养。
利用三角函数解决平面向量问题
利用三角函数解决平面向量问题在数学学科中，平面向量问题是一个常见的考察点。
平面向量的运算和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
而解决平面向量问题中，三角函数是一种常用的工具，它可以帮助我们简化问题的推导和计算过程。
本文将通过几个实际应用的例子，说明如何利用三角函数解决平面向量问题。
首先，我们先来了解一下三角函数的基础知识。
在平面直角坐标系中，我们通常用坐标轴上的角度来表示方向。
而三角函数则是用来描述角度与比例关系的函数。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
一、解决平面向量的夹角问题在平面向量的问题中，经常需要求解向量之间的夹角。
这时，我们可以利用三角函数中求角度的函数来解决。
以两个向量A和B为例，设它们的夹角为θ，我们可以通过以下公式来求解夹角：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
通过求解夹角，我们可以判断两个向量之间的相对方向关系，并进一步解决问题。
二、解决平面向量的投影问题平面向量的投影问题是另一个常见的问题类型。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到它在另一个向量方向上的分量。
利用三角函数，我们可以很方便地求解向量的投影。
以向量A在向量B方向上的投影为例，投影向量记作P，其长度为P的模，我们有以下公式：P = |A|·cosθ其中，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
利用这个公式，我们可以通过已知向量的模和夹角，计算出向量的投影。
三、解决平面向量的平衡问题在物理学领域中，平面向量的平衡问题也经常被提到。
平衡问题通常是在已知一些力大小和方向的情况下，求解使体系保持平衡所需的额外力。
这时，我们可以利用三角函数和向量相加减的方法来解决。
以一个由两个力F1和F2组成的平衡系统为例，设额外力为F，我们有以下公式：F = - F1 - F2其中，-F1表示力F1的反方向，同理-F2表示力F2的反方向。
高三物理知识点软件推荐
高三物理知识点软件推荐在高三阶段，物理学科的学习显得尤为重要。
为了更好地掌握物理知识，提高解题能力，科技的力量为我们提供了许多辅助学习的工具，其中物理知识点软件是我们不可或缺的助手。
本文将向大家推荐几款高三物理知识点软件，帮助大家更好地学习和掌握物理知识。
一、物理知识点软件推荐1. 物理导学宝物理导学宝是一款专门为高中物理学生设计的学习软件，主要包含物理知识点、公式、题库等内容。
软件通过动画、图示、实验等多种方式直观地展示物理概念，帮助学生更好地理解物理原理。
同时，软件还提供大量的真题和习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
2. 物理速算大师物理速算大师是一款物理公式计算工具软件，主要用于解决物理题中的计算过程。
软件内置了物理公式库，用户只需要输入数据，即可自动计算出答案。
该软件界面简洁明了，操作方便快捷，是解题过程中的得力助手。
3. 物理图谱物理图谱是一款以知识点为导向的学习软件，提供了全面的物理知识体系。
软件内的知识点被分成了多个小模块，用户可以自由选择学习的内容。
每个知识点都有详细的解说和实例，方便学生理解和记忆。
此外，软件还提供了在线测试和练习，帮助学生检验学习效果。
二、使用物理知识点软件的好处1. 图文并茂：物理知识点软件通过图示和动画等多种形式呈现物理概念，使抽象的物理概念更加形象生动，有助于理解和记忆。
2. 提高学习兴趣：相比传统纸质教材，物理知识点软件的互动性更强，通过设置游戏关卡等方式，激发学生学习的兴趣，增加学习的乐趣。
3. 精准复习：物理知识点软件提供了丰富的习题和真题资源，可以针对不同知识点进行有针对性的复习，帮助学生查漏补缺。
4. 高效提升：物理知识点软件能够帮助学生更快地掌握物理知识，提高解题速度，提升学习效率。
5. 随时随地学习：使用物理知识点软件，学生可以随时随地进行学习，不再受限于纸质教材和教室环境，增加了学习的灵活性。
三、如何选择合适的物理知识点软件1. 参考评价：在选择物理知识点软件时，可以参考其他用户的评价和反馈，了解软件的质量和可靠性。
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解决平面向量问题的“神器”
作者：刘紫阳
来源：《中学生理科应试》2014年第04期
平面向量部分在教材中特别介绍了相关的坐标运算，这就给我们解决向量问题提供了一种思路——解析法.解析法是高中数学解析几何中最基本的方法.其思路是：通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，利用代数知识使问题得以解决.我们在解决一些与向量有关的问题（尤其是处理有关的小题）时，若适当考虑解析法，可使向量的运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使得向量的方法解决几何问题更加方便，从而极大提高解决问题的速度，降低问题的难度，达到事半功倍的目的.下面以近年来的高考试题中的向量小题为例，说明在具体问题中如何恰当地借助于解析法来解决相关问题.
一、利用解析法解决与向量有关的求值问题
例1（2005年全国卷Ⅰ理科）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH=m(OA+OB+OC)，则实数m=.
解析以AC所在的直线为x轴，以线段AC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设点
A(-a,0)、C(a,0)、B(s,t)，则由题意得点O、H的横坐标分别是0、s；于是向量OH的横坐标是s，向量OA+OB+OC的横坐标是-a+a+s=s；又OH=m(OA+OB+OC)，因此有m=1.
评注此题通过在平面图形中建立适当的坐标系及借助于向量的坐标运算，从而比较快速的得出结论，达到“小题小做”的目的.另外，在具体考试过程中本题也可考虑将题中的三角形特殊化为直角三角形，由此得出结论.
二、利用解析法解决与向量有关的最值问题
例2（2011年天津理）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为 .
图1解析建立如图1所示的直角坐标系,设点P(0,y)、C(0,b)，其中0≤y≤b，则B(1,b)、
A(2,0)，PA+3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y)，|PA+3PB|=52+(3b-4y)2的最小值是5，当且仅当
3b-4y=0，即y=3b4∈［0,b］时取得，因此|PA+3PB|的最小值为5.
评注在考虑向量的有关问题时，如果考虑通过建立直角坐标系的方式来解决问题，此时应当考虑如何建立适当的坐标系更有利于问题的解决，通常遵循的原则是：让尽可能多的点的坐标形式简单，且相关的动点的坐标便于表示.
三、利用解析法解决与平面图形的形状相关的问题
例3（2013年浙江理）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB 上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则（）.
A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°
C．AB=ACD． AC=BC
解析以AB的中点O为原点建立直角坐标系，不妨设点A(-2,0)、B(2,0)、P0(1,0)、
C(m,n)、P(x,0)，其中-2≤x≤2，则有PB=(2-x,0)，PC=(m-x,n),P0B=(1,0)，P0C=(m-1,n)；由PB·PC≥P0B·P0C得(2-x)(m-x)≥m-1，即(x-1)［x-(m+1)］≥0对任意x∈［-2,2］恒成立，于是有m+1=1,m=0,AC=BC，选D.
评注本题在处理时通过建立坐标系，从而将难于处理的向量数量积不等式恒成立问题转化为相关的代数不等式恒成立问题，由此确定图形的形状.
四、利用解析法解决与取值范围相关的问题
例4（2013年重庆理）在平面上，AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|
A．(0,52］B．(52,72］
C．(52,2］D．(72 ,2］
解析依题意，以A为原点，直线AB1、AB2分别为x、y轴建立直角坐标系，设点
B1(x,0)、B2(0,y)、O(a,b)，P(x,y)，则(x-a)2+b2=1,a2+(y-b)2=1，［(x-a)2+(y-b)2］+(a2+b2)=2，即|OP|2+|OA|2=2；又0≤|OP|
评注从此题的条件来看，不难让人联想到通过建立直角坐标系来解决，只是应当注意结合题目条件建立适当的坐标系，把哪个点作为坐标原点更有利于问题的解决，同时在处理过程中还应当注意观察相关量间的关系，否则处理起来会走弯路.
向量作为一种数学工具，它用代数的方法处理几何问题，简便快捷；尤其是引入坐标系后，向量法与解析法联袂演绎，相辅相成，相得益彰，如虎添翼，行若流水.向量法和解析法都是用代数方法处理几何问题，两者结合，强强联手，将数学题玩弄于股掌之中.从以上几个实例来看，要想通过借助于解析几何知识来处理向量的小题，真正做到小题小做的话，结合题目建立适当的坐标系是问题的关键，否则容易误入歧途，导致小题大做.
(收稿日期：2013-11-15)。