天津市武清区雍阳中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测(包含答案解析)

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新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠ 2．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（）A ．22B ．23C ．231+D ．232+ 3．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（）A ．4B ．5C ．8D ．104．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD 的周长为()433a b + 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形6．下列命题中，错误的是（）A ．一组对边平行的四边形是梯形；B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C ．对角线相等的平行四边形是矩形；D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．7．下列命题中，正确的命题是（）A ．菱形的对角线互相平分且相等B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为（）A ．4B ．8C 13D ．69．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③ 10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )A ．若∠ACP=45°，则CP=5B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5C ．若∠ACP=45°，则CP=245D ．若∠ACP=∠B ，则CP=24512．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（）A ．12aB ．25aC 3D 3 二、填空题13．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．14．如图，在菱形ABCD 中，13cm AB =，24cm AC =，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为________cm ．15．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 是对角线BD 上一动点（点O 与端点B ，D 不重合），OM ⊥AD 于点M ，ON ⊥AB 于点N ，连接MN ，则MN 长的最小值为_____．16．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 17．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．18．如图，点E 是长方形纸片DC 上的中点，将C ∠过E 点折起一个角，折痕为EF ，再将D ∠过点E 折起，折痕为GE ，且C ，D 均落在GF 上的一点H 处．若1649'∠=︒，则CEF ∠=_______．19．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．20．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．三、解答题21．如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ．（1）求证：PBE QDE ≅△△；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．22．（1）如图，已知线段a ，c ，求作Rt ABC ，使得90C ∠=︒，BC a =，AB c =；（2）在Rt ABC 中，斜边AB 边上的中线长为5，7BC =，试比较AC ，BC 的大小． 23．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．（1）求证：AE DF =；（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．24．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是AC 上的两点，并且AE CF =，连接DE ，BF ．（1）求证：△≌△DOE BOF ；（2）若BD EF =，连接EB ，DF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由． 25．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．（1）求证：AE CF =；（2）若AC 平分HAG ∠，判断四边形AGCH 的形状，并证明你的结论．26．如图，平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作,AE BD CF BD ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于M 、N ．（1）求证：四边形CMAN 是平行四边形；（2）已知4,3DE FN ==．求BN 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．D解析：D【分析】连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHF HEF ∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,又∵GI HF ，2MN =，∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FIGI ， ∴31EF HF HI FI ， ∴正方形的对角线2231232ACEF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 3．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据题意求出EF ，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=6， ∵DE=3DF ，∴EF=4，∵∠AFC=90°，E 是AC 的中点，∴AC=2EF=8，故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE ==，DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，BE AE ∴==，DF =，2AB BE ∴==，2AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当=时，它是菱形，故本选项不符合题意；AB BC⊥时，四边形ABCD是菱B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90∠=时，四边形ABCD是ABC矩形，故本选项不符合题意；=时，它是矩形，不是正方D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．6．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．7．B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．8．A解析：A【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝12AB，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝12BD，∵菱形ABCD的面积＝12×AC×BD＝12×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝12BD＝4；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12 BD．9．D解析：D【分析】①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x）-45°=45°+x，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x，从而可得到∠DBM=∠CDE；③由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=12 AC；④可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，所以△DNB 的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积+△BNE的面积；【详解】解：①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x，∵BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x．∴∠DBM=∠CDE，故①正确；②由①得∠DBM=∠CDE ，如果BN=DN ，则∠DBM=∠BDN ，∴∠BDN=∠CDE ，∴DE 为∠BDC 的平分线，∴△BDE ≌△FDE ，∴EB ⊥DB ，已知条件∠ABC=90°，∴②错误的；③在△BDM 和△DEF 中，DBM CDE DMB DFE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDM ≌△DEF （AAS ），∴BM=DF ，∵∠ABC=90°，M 是AC 的中点，∴BM=12AC ， ∴DF=12AC ，即AC=2DF ；故③正确．④由③知△BDM ≌△DEF （AAS ）∴S △BDM =S △DEF ，∴S △BDM -S △DMN =S △DEF -S △DMN ，即S △DBN =S 四边形MNEF ．∴S △DBN +S △BNE =S 四边形MNEF +S △BNE ，∴S △BDE =S 四边形BMFE ，故④错误；故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用面积法证明S △BDE =S 四边形BMFE 是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=12（∠ADF+∠CDF）=45°，∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.11．D解析：D【分析】四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．【详解】解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，∴22228610AB AC BC+=+=，当CP为AB的中线时，152CP AB==，若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP =90°，∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，∵BC≠AC，∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；当CP为AB的高线时，1122ABCS AC BC AB PC =⋅=⋅△,即11861022PC⨯⨯=⨯⋅，解得245PC=,故D选项正确，C选项错误．故选：D．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．12．D解析：D【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根据勾股定理得：3a，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．二、填空题13．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB再以E为圆心EA为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD中∠AEB=105°∵点P在正解析：60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB，再以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，分类讨论即可．【详解】如图所示，在正方形ABCD中，∠AEB=105°，∵点P在正方形的边上，且AE=EP，∴可以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，①当P在AD上时，如图，AE=EP1，∵∠EBA=45°，∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP1=60°，△EAP1为等边三角形，∴此时∠AEP1=60°；②当P在CD上时，如图，AE=EP2，AE=EP3，由①可知∠DEP1=180°-105°-60°=15°，∴此时∠DEP1=∠DEP2=15°，∠CEP2=∠AEP1=60°，∴此时∠AEP2=60°+15°+15°=90°；∠AEP3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，故答案为：60°或90°或150°．【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．14．10【分析】连接对角线BD交AC于点O证四边形BDEG是平行四边形得EG＝BD利用勾股定理求出OD的长BD＝2OD即可求出EG【详解】解：连接BD 交AC于点O如图：∵菱形ABCD的边长为13cm∴A解析：10【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．【详解】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13cm，∴AB//CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，∵点E、F分别是边CD、BC的中点，∴ EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，∴AC⊥BD，AO＝CO＝1AC＝12cm，OB＝OD，2又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13cm，CO＝12cm，∴OB＝OD22-=cm，13125∴BD＝2OD＝10cm，∴EG＝BD＝10cm；故答案为：10．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．15．1【分析】连接AO可证四边形AMON是矩形可得AO＝MN当AO⊥BD时AO有最小值即MN有最小值由等腰直角三角形的性质可求解【详解】解：如图连接AO∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BD＝AB＝解析：1.【分析】连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得AO＝MN，当AO⊥BD时，AO有最小值，即MN有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接AO，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD2BD2＝2，∠DAB＝90°，又∵OM⊥AD，ON⊥AB，∴四边形AMON是矩形，∴AO＝MN，∵当AO⊥BD时，AO有最小值，∴当AO⊥BD时，MN有最小值，此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，∴AO＝1BD＝1，2∴MN的最小值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质，利用矩形的对角线相等，把线段MN的最小值转化为线段AO的最小值是解题的关键. 16．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半解析：9【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．【详解】解：由已知得，下底=2×7-5=9cm．故答案为9．【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．17．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG分别是的中点∴∵分别是BEBC的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角解析：5【分析】根据三角形中位线定理分别求出GF、GH的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】F ，G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132GH CE ==， ∵∠FGH =90°，∴由勾股定理得，5FH ===，故答案为：5．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．18．【分析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1∠HEF=∠CEF 从而可求出∠DEH ∠CEF 的度数【详解】解：∵∠GEH=∠1∴∠GEH=∴∠DEH=+=∴∠HEF=∠CEF=×(180°-)=故答案为：【解析：2551'︒【分析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1，∠HEF=∠CEF ，从而可求出∠DEH ，∠CEF 的度数．【详解】解：∵1649'∠=︒，∠GEH=∠1，∴∠GEH=649'︒，∴∠DEH =649'︒+649'︒=12818'︒，∴∠HEF=∠CEF=12×(180°-12818'︒)=2551'︒，故答案为：2551'︒．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质找出相等的角是解题的关键． 19．【分析】取AB 的中点E 则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB 的中点E 连接OEDE ∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE 中根据勾股定理得DE==1【分析】取AB 的中点E ，则OE=1，.【详解】如图，取AB 的中点E ，连接OE ，DE ，∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线，AB=2，∴OE=1，在直角三角形DAE 中，根据勾股定理，得DE=22DA AE +=2，∴当O ，D ，E 三点共线时，DO 最大，且最大值为2+1，故应该填21+.【点睛】本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 20．【分析】由题意和图示可知将两个边长为1的正方形沿对角线剪开将所得的四个三角形拼成一个大正方形大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长根据正方形的性质利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可【详解】∵如 2【分析】由题意和图示可知，将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大正方形，大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长，根据正方形的性质，利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可．【详解】∵如图是两个边长为1的小正方形，∴其对角线的长度22112=+=，∴22【点睛】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，熟练运用和掌握以上两个知识点是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由ASA 证PBE QDE ≅△△即可；（2）由全等三角形的性质得出EP EQ =，同理可得EM EN =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形PMQN 是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，EB ED ∴=，//AB CD ，EBP EDQ ∴∠=∠，在PBE △和QDE △中，EBP EDQ EB ED BEP DEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PBE QDE ASA ∴≅△△；（2）证明：如图所示：PBE QDE ≅△△，EP EQ ∴=，同理可得EM EN =，∴四边形PMQN 是平行四边形，PQ MN ⊥，∴四边形PMQN 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（1）见解析；（2）BC ＜AC【分析】（1）画射线BD ，以B 为端点取BC=a ，过点C 作BD 的垂线，再以点B 为圆心，c 为半径画弧，与该垂线交于点A 即可；（2）根据直角三角形的性质得到AB ，利用勾股定理求出AC ，再比较大小即可．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所作；（2）如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则CD=5，BC=7，∴AB=10，∴AC=22=51，107∵7=49＜51，∴BC＜AC．【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，勾股定理，实数的大小比较，解题的关键是依据题意作出图形．23．（1）见解析；（2）菱形，见解析【分析】（1）由DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，可证得四边形AEDF是平行四边形，即可证得结论；（2）由AD平分∠BAC，DE∥AC，易证得△ADE是等腰三角形，又由四边形AEDF是平行四边形，即可证得四边形AEDF是菱形．【详解】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥ AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE=AF；（2）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；理由：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠FAD，∴∠EAD=∠ADE ，∴AE=DE ，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．24．（1）见解析；（2）矩形，见解析【分析】（1）已知四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA ＝OC ，OB ＝OD ，由AE ＝CF 即可得OE ＝OF ，利用SAS 即可证明△BOE ≌△DOF ；（2）四边形BEDF 是矩形．由（1）得OD ＝OB ，OE ＝OF ，根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF 是平行四边形，再由BD ＝EF ，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD 是矩形．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， OB OD ∴=，OA OC =．又AE CF =，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，在DOE △和BOF 中，OE OF DOE BOF OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△DOE BOF ．（2）四边形EBFD 是矩形，理由如下： BD ，EF 相交于点O ，OD OB =，OE OF =，∴四边形EBFD 是平行四边形．又BD EF =，∴四边形EBFD 是矩形．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，平行四边形的性质及判定、矩形的判定，熟练运用相关的性质及判定定理是解决问题的关键．25．（1）见解析；（2）四边形AGCH 是菱形，见解析【分析】（1）利用SAS 证明△AOE ≌△COF 即可得到结论；（2）四边形AGCH 是菱形．根据△AOE ≌△COF 得∠EAO=∠FCO ，推出AG ∥CH ，证得四边形AGCH 是平行四边形，再根据AD ∥BC ，AC 平分HAG ∠，得到GAC ACB ∠=∠，证得GA=GC ，即可得到结论．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BE DF =，OB BE OD DF ∴-=-，即OE OF =，又AOE COF ∠=∠，AOE COF ∴≌，AE CF ∴=．（2）四边形AGCH 是菱形．理由：AOE COF ≌，EAO FCO ∴∠=∠，//AG CH ∴，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，∴四边形AGCH 是平行四边形，//AD BC ，HAC ACB ∠∠∴=，AC 平分HAG ∠，HAC GAC ∠∠∴=，∴GAC ACB ∠=∠，GA GC ∴=，∴平行四边形AGCH 是菱形．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．26．（1）见解析；（2）5【分析】（1）只要证明CM ∥AN ，AM ∥CN 即可．（2）先证明△DEM ≌△BFN 得BN ＝DM ，再在Rt △DEM 中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∵AM ⊥BD ，CN ⊥BD ，∴AM ∥CN ，∴CM ∥AN ，AM ∥CN ，∴四边形AMCN 是平行四边形．（2）∵四边形AMCN 是平行四边形，∴CM ＝AN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ，CD ∥AB ，∴DM ＝BN ，∠MDE ＝∠NBF ，在△MDE 和△NBF 中，MDE NBF DEM NFB DM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDE ≌△NBF （AAS ），∴ME ＝NF ＝3，在Rt △DME 中，∵∠DEM ＝90°，DE ＝4，ME ＝3，∴DM ＝222234DE ME +=+＝5，∴BN ＝DM ＝5．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

八年级数学下册《平行四边形》单元测试卷(附答案)

八年级数学下册《平行四边形》单元测试卷（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（）A．4B．5C．6D．72．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形4．如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（）A．9个B．8个C．6个D．4个5．如图，▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，BE＝5，DE＝4，则CE的长为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为30，则△ABE的周长为（）A．30B．26C．20D．157．如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4B．6C．8D．108．如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③连接BD，交AC于点O；④又∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC．正确的证明步骤是（）A．①②③④B．③④②①C．③②④①D．④③②①9．如图，在▱ABCD中，点M，N分别是AD、BC的中点，点O是CM，DN的交点，直线AB分别与CM，DN的延长线交于点P、Q．若▱ABCD的面积为192，则△POQ的面积为（）A．72B．144C．208D．21610．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°②③S平行四边形ABCD＝AB•AC④，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共8小题，满分32分）11．如图，已知▱ABCD中，AD⊥BD，AC＝10，AD＝4，则BD的长是．12．下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是．A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CDC．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．14．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），则顶点D的位置用数对表示为．15．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和．16．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，E，F分别是边AD，BC上不与端点重合的两点，连接EF，下列条件中使得四边形BFDE是平行四边形的是．（多选）A．AE＝CFB．EF经过BD的中点C．BE∥DFD．EF⊥AD18．在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为个．三．解答题（共6小题，满分48分）19．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．20．在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝3，BC＝5，求AF的长．21．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．22．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．23．如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边△ADE，边ED与AB交于点G．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB的中点F，连接CF，EF，求证：四边形CDEF是平行四边形．24．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；②求证：CD＝CH．参考答案与解析一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：在▱ABCD中，AD＝8；∴BC＝AD＝8，AD∥BC；∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED；∵DE平分∠ADC；∴∠ADE＝∠CDE；∴∠CDE＝∠CED；∴CD＝CE＝5；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm；∴OA＝OC＝AC＝5（cm），OB＝OD＝BD＝3（cm）；∵∠ODA＝90°；∴AD＝＝＝4（cm）；∴BC＝AD＝4（cm）；故选：A．3．解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形；∴选项A不符合题意；B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；∴选项B不符合题意；C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形；∴选项C符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形；∴选项D不符合题意；故选：C．4．解：设EF与NH交于点O；∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB；∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD；则图中的四边BEON、DFOH、DHNC、BEFC、BAHN、AEOH、AEFD、ONCF都是平行四边形，共8个．故选：B．5．解：∵AE＝3，BE＝5；∴AB＝8；∵四边形ABCD是平行四边形；∴CD＝AB＝8，AB∥CD，AD＝BC；∴∠DCE＝∠CEB；∵CE平分∠BCD；∴∠DCE＝∠BCE；∴∠BCE＝∠BEC；∴BC＝BE＝5＝AD；∵AE2+DE2＝9+16＝25，AD2＝25；∴AE2+DE2＝AD2；∴∠AED＝90°；∵DC∥CD；∴∠CDE＝90°；在△DCE中，由勾股定理可得：CE＝＝＝4；故选：A．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD；又∵OE⊥BD；∴OE是线段BD的中垂线；∴BE＝DE；∴AE+ED＝AE+BE；∵▱ABCD的周长为30；∴AB+AD＝15；∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝15；故选：D．7．解：∵平行四边形ABCD；∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC；∵EO⊥AC；∴AE＝EC；∵AB+BC+CD+AD＝16；∴AD+DC＝8；∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8；故选：C．8．解：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形DEBF为平行四边形；∴OD＝OB，OE＝OF；又∵AE＝CF；∴AE+OE＝CF+OF；即OA＝OC；∴四边形ABCD为平行四边形；即正确的证明步骤是③②④①；故选：C．9．解：连接MN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形；∴CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC；∴∠CDQ＝∠Q，∠DCB＝∠CBQ；∵点M，N分别是AD、BC的中点；∴DM＝CN，CN＝BN；∴四边形CDMN是平行四边形；在△CDN和△BQN中；；∴△CDN≌△BQN（AAS）；同理可得：△CDM≌△P AM；∴△POQ的面积＝四边形ABCD的面积+△COD的面积，O是CM的中点；∵▱ABCD的面积为192；∴四边形CDMN的面积是96；∴△CDM的面积为四边形CDMN的面积的一半，即48；∴△COD的面积为24；∴△POQ的面积＝四边形ABCD的面积+△COD的面积＝192+24＝216．故选：D．10．解：①∵AE平分∠BAD；∴∠BAE＝∠DAE；∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°；∴∠DAE＝∠BEA；∴∠BAE＝∠BEA；∴AB＝BE＝1；∴△ABE是等边三角形；∴AE＝BE＝1；∵BC＝2；∴EC＝1；∴AE＝EC；∴∠EAC＝∠ACE；∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°；∴∠ACE＝30°；∵AD∥BC；∴∠CAD＝∠ACE＝30°；故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC；∴OE＝AB＝，OE∥AB；∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°；Rt△EOC中，OC＝；∵四边形ABCD是平行四边形；∴∠BCD＝∠BAD＝120°；∴∠ACB＝30°；∴∠ACD＝90°；Rt△OCD中，OD＝；∴BD＝2OD＝；故②正确；③由②知：∠BAC＝90°；∴S平行四边形ABCD＝AB•AC；故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线；∴OE＝AB；∵AB＝BC；∴OE＝BC＝AD；故④正确；故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）11．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AO＝CO＝AC，DO＝BO；∵AC＝10；∴AO＝5；∵AD⊥DB；∴∠ADB＝90°，AD＝4；∴DO＝＝3；∴BD＝6；故答案为：6．12．解：A．根据AB∥CD，AD∥BC能推出四边形ABCD是平行四边形；B．根据AD＝BC，AB＝CD能推出四边形ABCD是平行四边形；C．根据AB∥CD，AD＝BC能得出四边形是等腰梯形，不能推出四边形ABCD是平行四边形D．根据∠A＝∠C，∠B＝∠D能推出四边形ABCD是平行四边形；故答案为：ABD．13．解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°；∵∠ABC＝60°；∴∠BAM＝30°；∴BM＝AB＝×2＝1；在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2；∴AM＝＝＝；∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3；∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，BO＝DO；∴∠OBE＝∠ODF；在△BOE和△DOF中；；∴△BOE≌△DOF（ASA）；∴S△BOE＝S△DOF；∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝；故答案为：．14．解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3）；∴点D坐标为（8，6）；故答案为：（8，6）．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB＝CD＝5；∵△OCD的周长为23；∴OD+OC＝23﹣5＝18；∵BD＝2DO，AC＝2OC；∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36；故答案为：36．16．解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O；∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，AB∥CD；∴∠ABC+∠DCB+180°；∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD；∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF；∴∠CBE+∠BCF＝90°；∴∠BHC＝90°；∵AM∥CF；∴∠AOE＝∠BHC＝90°；∵AD∥BC；∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE；∴AB＝AE＝5；又∵∠AOE＝90°；∴BO＝OE＝3；∴AO＝＝＝4；在△ABO和△MBO中；；∴△ABO≌△MBO（ASA）；∴AO＝OM＝4；∴AM＝8；∵AD∥BC，AM∥CF；∴四边形AMCF是平行四边形；∴CF＝AM＝8；故答案为：8．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC；∵AE＝CF，AD＝BC；∴DE＝BF；∴四边形BFDE是平行四边形；故A选项符合题意；若EF经过BD的中点O；∵AD∥BC；∴∠EDO＝∠FBO；在△BOF和△DOE中；；∴△BOF≌△DOE（ASA）；∴BF＝DE；∴四边形BFDE是平行四边形；故B选项符合题意；∵DE∥BF，BE∥DF；∴四边形BFDE是平行四边形；故C选项符合题意；由EF⊥AD不能判定四边形BFDE是平行四边形；故D选项不符合题意；故答案为：A，B，C．18．解：如图所示：图中平行四边形有▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC共3个．故答案为：3．三．解答题（共6小题，满分48分）19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD∴∠ABE＝∠CDF；∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD；∴∠BAE＝∠DCF；∴△ABE≌△CDF（ASA）；∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°；∵∠ABC＝70°；∴∠BAD＝110°；∵AM平分∠BAD，AD∥BC；∴∠AMB＝∠DAM＝55°．20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形；∴∠AEB＝∠EBC；∵BE平分∠ABC；∴∠ABE＝∠EBC；∴∠ABE＝∠AEB；∴AE＝AB；（2）解：AC⊥AB，AB＝3，BC＝5；∴AC＝；过F点作FH⊥BC，垂足为H；∵BE平分∠ABC，AC⊥AB；∴AF＝FH；∵S△ABC＝S△ABF+S△BFC；∴AB•AC＝AB•AF+BC•FH；即；∴AF＝．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD；∴∠E＝∠DCF；∵点F是AD中点；∴AF＝DF；∵∠EF A＝∠CFD；∴△AFE≌△DFC（AAS）；∴CD＝AE；∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD；∵BC＝2AE；∵∠E＝31°；∴∠AFE＝∠E＝31°；∴∠DAB＝2∠E＝62°．22．证明：（1）∵BE＝CF；∴BE﹣CE＝CF﹣CE；即BC＝EF；又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F；∴∠ACB＝∠DFE＝90°；在△ABC和△DEF中；；∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）由（1）知△ABC≌△DEF；∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF；∴AB∥DE；∴四边形ABED是平行四边形．23．（1）解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点；∴AD⊥BC，∠BAC＝60°；∴∠DAC＝∠BAC＝30°；∵△AED是等边三角形；∴∠EAD＝60°；∴∠CAE＝∠EAD+∠DAC＝90°；（2）证明：∵F是等边△ABC边AB的中点，D是边BC的中点；∴CF＝AD，CF⊥AB；∵△AED是等边三角形；∴AD＝ED；∴CF＝ED；∵∠BAD＝∠BAC＝30°，∠EAG＝∠EAD＝30°；∴ED⊥AB；∴CF∥ED；∵CF＝ED；∴四边形CDEF是平行四边形．24．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点；∴AD∥BC，BO＝DO；∴∠ADB＝∠CBD；在△BOE与△DOF中；；∴△BOE≌△DOF（ASA）；∴DF＝BE且DF∥BE；∴四边形BEDF是平行四边形；（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N；∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4；∴EN＝CN＝2；∴DN＝＝＝4；∵∠DBC＝45°，DN⊥BC；∴∠DBC＝∠BDN＝45°；∴DN＝BN＝4；∴BE＝BN﹣EN＝4；②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE；∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°；∴∠EDN＝∠ECG；∵DE＝DC，DN⊥EC；∴∠EDN＝∠CDN；∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN；∴∠CDB＝∠DHC；∴CD＝CH．。

新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(答案解析)(3)

一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒ 2．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠ 3．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B AG E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（）A ．3100mB ．4600mC ．5500mD ．6100m 4．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．18C ．20D ．245．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 6．下列命题中，错误的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 7．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A ．90D ∠=；B ．AB CD =；C ．AD BC =； D ．BC CD =． 8．如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC ∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF =+ 9．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝6，BE ＝2，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．60B ．30C ．20D ．1610．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为（）A ．4B ．8C 13D ．611．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．2012．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（）A ．240+B ．213+C ．13D ．6二、填空题13．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则ABH ∠=______°．14．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．15．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．16．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，，按这样的规律下去，202020202020A B C △的周长为____．17．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________18．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．19．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．20．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，延长BC 至E 点，使CE BC =，连结AE 交CD 于点F ，连结BF 并延长与线段DE 交于点G ，则FG 的长是____．三、解答题21．如图，已知，四边形ABCD 是平行四边形，AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，EF BC ⊥交BC 延长线于点F ，求证：四边形ABFD 是等腰梯形．22．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF ．23．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E ，F 分别是AD 和AB 上的点，2AE =，F 是AB 的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图1中，作一个以EF为直角边的直角三角形；（2）在图2中，作一个以EF为边的平行四边形．∠的角平分线，分别交24．已知：如图，ABCD中，AE、CF分别是BAD∠和BCD=．边DC、AB于点E、F，求证：AE CF25．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠=︒．求证：DE DFEDF90=．26．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB）顶端有一根绳子（AC），自然垂下后，绳子底端离地面还有BC=），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处（即点E到AB的距离0.7m（即0.7为3m），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE）为1.7m，求宣传牌（AB）的高度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．D解析：D【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．【详解】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．B解析：B【分析】连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．【详解】解：连接GC ，∵四边形ABCD 为正方形，所以AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∵∠CDB=45°，GE ⊥DC ，∴△DEG 是等腰直角三角形，∴DE=GE ．在△AGD 和△GDC 中，AD CD ADG CDG DG DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AGD ≌△GDC （SAS ）∴AG=CG ，在矩形GECF 中，EF=CG ，∴EF=AG ．∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE ，=AD=1500m ．∵小敏共走了3100m ，∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m ），故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF ，DE=GE ．4．C解析：C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．【详解】，解：A、∵AE CF∴AO=CO，由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，∴四边形DEBF是平行四边形；B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．7．D解析：D【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．【详解】解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD 为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD 为正方形，故选：D ．【点睛】本题考查正方形的判定．掌握相关判定定理正确推理论证是解题关键．8．C解析：C【分析】根据矩形的性质及HL 定理证明Rt △DEF ≌Rt △DEC ，然后利用全等三角形的性质进行推理判断【详解】解：在矩形ABCD 中，∠C=90°，AB=CD∵DF AE ⊥于点F ，且DF AB =∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD在Rt △DEF 和Rt △DEC 中DF DC DE DE =⎧⎨=⎩ ∴Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FDE=∠CDE ，即DE 平分AEC ∠，故A 选项不符合题意；∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FED=∠CED又∵矩形ABCD 中，AD ∥BC∴∠ADE=∠CED∴∠FED=∠ADE∴AD=AE ，即ADE ∆为等腰三角形，故B 选项不符合题意∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴EF=EC在矩形ABCD 中，AD=BC ，又∵AD=AE∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF ，故D 选项不符合题意由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，无法证得AF=DF，故无法证得AB=AF，故C选项符合题意故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．9．C解析：C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．10．A解析：A【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝12AB，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD ＝90°，∴OH ＝12BD ， ∵菱形ABCD 的面积＝12×AC×BD ＝12×12×BD ＝48， ∴BD ＝8，∴OH ＝12BD ＝4；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12BD ． 11．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】解：长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．12．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF 的长为2，然后作出点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ，此时DEF 周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF 为矩形，得出FF′=3，然后在Rt △DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF 周长的最小值．【详解】解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，2'2222313DF DF FF +=+='∴△DEF 周长的最小值13故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．二、填空题13．75【分析】由将正方形纸片对折折痕为MN 可得MA=MD=由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB 可推出AH=AD=2AM 可求∠AHM=30°利用平行线性质可求∠BAH=30°在△AHB解析：75．【分析】由将正方形纸片对折，折痕为MN ，可得MA=MD=1AD 2，由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB ，可推出AH=AD=2AM ，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB 由内角和可求∠ABH=75︒即可．【详解】解:∵正方形纸片对折，折痕为MN ，∴MN 是AD 的垂直平分线，∴MA=MD=1AD 2， ∵把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，∴AB=AH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∴AH=AD=2AM ，∵∠AMH=90°，AM=1AH 2， ∴∠AHM=30°，∵MN ∥AB ，∴∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB ， ∴∠ABH=()()11180BAH 180307522︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：75．【点睛】本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度．14．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC ∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O （00）A （30）∴OA=3∵四边形OABC 是平行四边形∴BC ∥OABC=OA=3∵B （43）∴点解析：()1,3【分析】由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC ∥OA ，BC=OA=3，即可得出结果．【详解】解：∵O （0，0）、A （3，0），∴OA=3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA=3，∵B（4，3），∴点C的坐标为（4-3，3），即C（1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．【分析】根据点MNP分别是DEBCCD的中点可以证明MP是ΔDEC的中位线NP是ΔDBC的中位线根据中位线定理可得到MP=NP再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=1EC，2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD，2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．16．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的解析：2020212【分析】由21ABC C AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：111121,22A B C ABC C C ==2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C n C =从而运用规律可得答案．【详解】解：探究规律：AB =8，BC =6，AC =7， 21ABC C AB BC AC ∴=++=， 111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222A B C A B C C C ==⨯= ······总结规律：21,2n n n A B C nC =运用规律：当2020n =时，202020202020202021.2A B C C= 故答案为：202021.2【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．17．【分析】先根据勾股定理求得AB 再做△ABD 的中位线EF 可得EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是解析：10 【分析】先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，∴∠D=90°，22BD AB AD 8=-=，∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，∴152CD AE BE AB ====，取BD 的中点F,连接CF ，∴EF 为△ABD 的中位线，∴132EF AD ==,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°，在Rt △BEF 中，根据勾股定理，2222534BF BE EF =-=-=,∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，在Rt △CEF 中，根据勾股定理，22221310CE CF EF +=+=10【点睛】本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．18．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是解析：4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．【详解】在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，30,2ACB AB ︒∠==，2224AC AB ∴==⨯=，∵四边形ABCD 是矩形，4BD AC ∴==．故答案为：4．【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 19．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意解析：17 【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．20．【分析】用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF进而得出FG是△DCP的中位线得出DG=GP=PE=再利用勾股定理得出BG的长进而得出FG即可【详解】解：如图过点C作CP∥BG交DE于点P∵B解析：5 3【分析】用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出DG=GP=PE=1223DE=，再利用勾股定理得出BG的长，进而得出FG即可．【详解】解：如图，过点C作CP∥BG，交DE于点P．∵BC=CE=2，∴CP是△BEG的中位线，∴P为EG的中点．又∵AD=CE=2，AD∥CE，在△ADF和△ECF中，AFD EFCADC FCEAD CE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴CF=DF，又CP∥FG，∴FG是△DCP的中位线，∴G为DP的中点．∵CD=CE=2，∴2，因此DG=GP=PE=12233DE=．连接BD，易知∠BDC=∠EDC=45°，所以∠BDE=90°．又∵22BD=∴BG ===．∴11243FG CP BG ===，【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．三、解答题21．见解析．【分析】首先证明四边形ABDE 是平行四边形，即可得AB=DE ，等量代换可得CD=DE ，根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF ＝CD ＝DE ，进而可得AB=DF ，再说明线段AB 和DF 不平行即可求证结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB CD =．∴AB ∥DE ；又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴AB DE =．∴CD DE =．∵EF BC ⊥，∴DF ＝CD ＝DE ．∴AB DF =．∵CD 、FD 交于点D ，∴线段AB 与线段FD 不平行．∴四边形ABFD 是等腰梯形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定，直角三角形的斜边中线的性质定理，解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形．22．见解析【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】(1)连接CE ，CF ，先利用勾股定理计算EF ，EC ，CF 的长，再利用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状即可；(2)过点E 作BC 的垂线E 1G ，连接1G D ，取CD ，C 1G 的中点即可，过点E 作E 1H ⊥1G D ，垂足为1H ，也可以得到符合题意的平行四边形.【详解】解：（1）在图1中，连接CE ，CF ，则EFC 即为所作；理由如下：∵4AB =，6AD =，2AE =，F 是AB 的中点，∴AF=BF=2，ED=4，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，∴2EF =22AE AF +=8，2EC =22DE DC +=32，2CF =22BC BF +=40，∵2EF +2EC =2CF ，∴EFC 是直角三角形.（2）如图2，四边形EFGH 即为所作．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定定理是解题的关键.24．见解析【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE ∵、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆．AE CF ∴=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．25．见解析【分析】利用ASA 证明△ADE ≌△CDF 即可得到结论．【详解】证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90A DCF ADC ∠=∠=∠=︒，又90EDF ∠=︒，ADC EDC EDF EDC ∴∠-∠=∠-∠．ADE CDF ．在ADE 与CDF 中，ADE CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE CDF ASA ∴△≌△．DE DF ∴=．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 26．5.7m【分析】过点E 作EF AB ⊥于点F ，构造直角三角形，设m AF x =，根据勾股定理列方程，求出AF ，再根据矩形性质，加上DE 长即可．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ．由题意，得AC AE =，0.7CB =， 1.7BF DE ==，3EF BD ==，∴ 1.70.71m CF BF BC DE BC =-=-=-=．设m AF x =，则(1)m AE AC x ==+，在Rt AEF 中，90AFE ︒∠=，由勾股定理，得222AE AF EF =+，即222(1)3x x +=+，解得4x =．∴4 1.7 5.7(m)AB AF BF =+=+=．答：宣传牌（AB ）的高度为5.7m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理建立方程是解题关键．。

新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．42．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（）A ．5B ．6C ．8D ．103．下列命题是真命题的是（）A ．三角形的三条高线相交于三角形内一点B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对于所有自然数n ，237n n -+的值都是质数D ．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等4．已知平行四边形ABCD 的一边长为5，则对角线AC ，BD 的长可取下列数据中的（）A ．2和4B ．3和4C ．4和5D ．5和6 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形6．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，15CAE ∠=︒．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB =；④150∠=︒AOE ；⑤AOE COE S S =，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6B ．8C ．3D ．48．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm ，则这个菱形的较短的对角线长是（） A ．3cm 2 B ．33cm 2 C ．3cm D ．33cm 9．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠10．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 11．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（）A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.512．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 上，且:1:2AE BE =，连接AD ，CE 交于点F ，若60ABC S =△，则DBEF S =四边形（）A ．15B ．18C ．20D ．25二、填空题13．三角形的三边长分别为21，5，2，则该三角形最长边上的中线长为____． 14．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．15．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AE 是对角线，则EAB ∠的度数是__________．16．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．17．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________．18．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．19．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．20．如图，在正方形ABCD 中，AB=6，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．∠ABE 的平分线交AD 于点M ，当满足四边形AGDF 面积2BCE S △时，线段AM 的长度是_______．三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝12cm ，AB ＝18cm ，CD ＝23cm ，动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，以2cm/s 的速度向点D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t ＝3时，PB ＝ cm ．（2）当t 为何值时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）四边形PBQD 能否成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．22．如图所示，小明在测量旗杆AB 的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C 处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D 处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆AB 的高度是多少米？23．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，A 、B 是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：（1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰Rt ABC △，其中90ABC ∠=︒；（2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段AB 的垂直平分线．24．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥．（1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数；（2）求证：=+BA BC AD ；（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．25．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,O E 是AD 的中点，点,F G 在AB 上，,//EF AB OG EF ⊥．（1）判断四边形OEFG 的形状；（2）若8,6AC BD ==，求菱形ABCD 的面积和EF 的长．26．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 2．A解析：A【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出12CM BD =，设CM x =，则2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．【详解】解：90ACB ∠=︒，M 是BD 的中点，12CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==16AC =162CD AC AD x ∴=-=-在Rt BCD △中，根据勾股定理得222BC CD BD +=即()()22281622x x +-=解得：5x =，故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．D解析：D【分析】根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A 进行判断；根据平行四边形的判定对B 进行判断；取n=6可对C 进行判断；根据三角形全等的知识可对D 进行判断．【详解】解：A 、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A 选项错误；B 、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B 选项错误；C 、当n=6时，n 2-3n+7=25，25不是质数，所以C 选项错误；D 、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D 选项准确．故选：D ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．4．D解析：D【分析】由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【详解】解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，所以12（AC-BD）＜5＜12（AC+BD），由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．5．D解析：D【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB BC=时，它是菱形，故本选项不符合题意；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90ABC∠=时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD=时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．6．B解析：B【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB ＝AB ，再求出OB ＝BE ，可判断②，由直角三角形的性质可得BC AB ，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE ＝75°，再根据∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝135°，可判断④；由面积公式可得AOE COE SS =可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴∠AEB ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BE ，∵∠CAE ＝15°，∴∠ACE ＝∠AEB−∠CAE ＝45°−15°＝30°，∴∠BAO ＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD 中：OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴△ABO 是等边三角形，△COD 是等边三角形，故①正确；∴OB ＝AB ，又∵ AB ＝BE ，∴OB ＝BE ，∴△BOE 是等腰三角形，故②正确；在Rt △ABC 中∵∠ACB=30°∴BC，故③错误；∵∠OBE ＝∠ABC−∠ABO ＝90°−60°＝30°＝∠ACB ，∴∠BOE ＝12（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO ＝CO ，∴AOE COE S S =，故⑤正确；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．7．A解析：A【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【详解】解：如图连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=24，∴S△ACF= 1×24=6，4∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=6，∴S阴=6．故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．C解析：C【分析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．【详解】解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．∵菱形的边长是3cm，∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．故选：C．【点睛】此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．9．D解析：D【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB=∠EBA，∵点F是AB的中点，∴AF=BF，∵∠AFD=∠BFE，∴△ADF≌△BEF，∴AD=BE，∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∠=∠时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合A、当BAD BDA题意；B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；D、当DE平分ADB故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．10．A解析：A【分析】以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．【详解】解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．11．A解析：A【分析】先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．【详解】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴2222345AC BC++=，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF=CM，∵点P是EF的中点，∴CP=12EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积=12AB×CM=12AC×BC，∴CM=•AC BCAB=342.45⨯=，∴CP=12EF=12CM=1.2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．12．D解析：D【分析】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．【详解】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，∵D 为BC 的中点，∴DG 为△BCE 的中位线，∴BE ＝2GD ，CG ＝EG ，∵:1:2AE BE =，∴AE=GD ，∵DG ∥AB ，∴∠AEF=∠DGF ，∠EAF=∠GDF ，∴△DGF ≅△AEF ，∴AF=DF ，∵60ABC S =△，∴S △ABD ＝30，S △AED ＝10，∴S △AEF ＝5，∴S 四边形DCEF ＝S △ABD −S △AEF ＝30−5＝25，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．二、填空题13．【分析】利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【详解】∵∴此三角形是直角三角形斜边为5∴该三角形最长边上的中线长为：5=故答案为：【点睛】本题考查解析：52【分析】利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】 ∵221222255+==，∴此三角形是直角三角形，斜边为5，∴该三角形最长边上的中线长为：12⨯5=52．故答案为：52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理的应用，熟记性质并判断出此三角形是直角三角形是解题的关键．14．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2+×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．15．【分析】根据正多边形的性质求解即可【详解】解：∵八边形是正八边形∴=∠HAB=×=故答案为：【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理正多边形的性质掌握相关定理是解题的关键解析：67.5︒【分析】根据正多边形的性质求解即可【详解】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴EAB ∠=12∠HAB=12×()821808-⨯=67.5︒．故答案为：67.5︒．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，正多边形的性质，掌握相关定理是解题的关键． 16．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ，当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +如图，四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形，同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意．故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．17．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．【分析】过点P 作PG ⊥CB 交CB 的延长线于点G 过点Q 作QF ⊥CB 运用AAS 定理证明△QBF ≌△BPG 根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC 为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC 的长然后结合全解析：10【分析】过点P 作PG ⊥CB ，交CB 的延长线于点G ，过点Q 作QF ⊥CB ，运用AAS 定理证明△QBF ≌△BPG ，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC 为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt△ABC中，BC=228AB AC-=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF⊥BC，∠ECB=45°∴△CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键19．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a．【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，A，∵点()9,9AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，⊥，∠EAD=90°，∵AB AC∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，=，AE=AD，∵AB AC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．20．【分析】根据正方形ABCD得结合题意推导得通过证明得从而得到正方形面积结合四边形面积计算得到；过点M 作交BE 于点N 连接ME 根据正方形ABCD 通过计算即可完成求解【详解】∵正方形ABCD ∴∴∵过点D 且解析：3【分析】根据正方形ABCD ，得90ADC BAD ∠=∠=，BAC ACD ∠=∠，AB BC CD AD ====CDF ADG ∠=∠、FCD DAG ∠=∠，通过证明CDF ADG △≌△，得CDF ADG S S =△△，从而得到12ACDS=正方形ABCD 面积，结合四边形AGDF面积BCE =△，计算得到CE ；过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME ，根据ABMNBMBCENMEEDMS SSSS++++=正方形ABCD ，通过计算即可完成求解．【详解】 ∵正方形ABCD∴90ADC BAD ∠=∠=，//AB CD，AB BC CD AD ====∴90CDF ADF ∠+∠=，90BAC CAD ∠+∠=，BAC ACD ∠=∠ ∵过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ∴90FDG ADF ADG ∠=∠+∠=，90CAG CAD DAG ∠=∠+∠= ∴CDF ADG ∠=∠，BAC DAG ∠=∠ ∴ACD DAG ∠=∠，即FCD DAG ∠=∠∴FCD DAG CDF ADG CD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF ADG △≌△ ∴CDF ADG S S =△△∵四边形AGDF 面积=12ADF ADG ADF CDF ACD S S S S S +=+==△△△△△正方形ABCD 面积 ∴四边形AGDF 面积=132=∵12BCE S BC CE CE =⨯=△，且满足四边形AGDF面积BCE =△∴3CE =∴CE =∴3BE ===如图，过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME∵∠ABE 的平分线交AD 于点M ∴ABM NBM ∠=∠∵BM BM =，90BAM BNM ∠=∠= ∴ABM NBM △≌△ ∴6BN AB ==，MN AM =设AM x =1622ABM NBM S S AB x x ==⨯=△△ 113632222BCE S BC CE =⨯==△ ()(11136222NME S NE MN BE BN MN x =⨯=-⨯=-△ ()())111636222EDM S ED DM CD CE AD AM x =⨯=-⨯-=△∵ABMNBMBCENMEEDMSSSSS++++=正方形ABCD∴()63112236636662222x x x ⨯+=∴3333x ==+ 故答案为：33．【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、一元一次方程、二次根式、三角形角平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、三角形角平分线的性质，从而完成求解．三、解答题21．（1）15；（2）t ＝6或233；（3）能，t ＝5.【分析】（1）先求出AP ，即可求解；（2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；（3）由菱形的性质可求DP ＝BP ，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）当t ＝3时，则AP ＝3×1＝3cm ， ∴PB ＝AB ﹣AP ＝18﹣3＝15cm ，故答案为：15．（2）若四边形PBCQ 是平行四边形， ∴PB ＝CQ ， ∴18﹣t ＝2t ， ∴t ＝6，若四边形PQDA 是平行四边形， ∴AP ＝DQ ， ∴t ＝23﹣2t ， ∴t ＝233，综上所述：t ＝6或233；（3）如图，若四边形PBQD 是菱形， ∴BP ＝DP ，∵222AP AD DP +=， ∴22144(18)AP AP +=-， ∴AP ＝5， ∴t ＝51＝5， ∴当t ＝5时，四边形PBQD 为菱形．【点睛】本题考查了平行四边形，菱形的判定，勾股定理，分类思想，熟练掌握菱形的判定定理，灵活运用分类思想是解题的关键. 22．旗杆AB 的高度为10.6米【分析】过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，可证四边形BCDE 为长方形，可知 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE x =-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ， ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°， ∴四边形BCDE 为长方形， ∴ 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE AB BE x =-=-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=， ∴222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，整理得223 2.25360.60.09x x x x -++=++，即3.638.16x =，解得10.6x =．答：旗杆AB 的高度为10.6米．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）如图1所示，取点C ，连接AC 、BC ，然后找出图中全等的三角形，依据全等三角形的性质可证明AB=BC ，最后再结合全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明90ABC ∠=︒；（2）先确定出AB 的中点D ，然后再确定出AC 的中点E ，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到AE=BE ，则DE 为AB 的垂直平分线．【详解】解：如图：（1）三角形ABC 即为所求；（2）直线DE 即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，熟练掌握矩形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定方法是解题的关键．24．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）52a 或3910a 【分析】（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．【详解】（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥，∴11804022BAP DAP BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒；（2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ， ∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠，∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，在ABP △和AGP 中，BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠，∴ABP AGP ≌，∴BA GA =，BP GP =，∵//BC AD ， ∴CBP DGP ∠=∠，在BCP 和GDP △中，CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，∴BCP GDP △≌△， ∴=BC GD ，∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；（3）分两种情况讨论，①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ， ∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE BF =，∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，由（2）可知，ABP AGP ≌， ∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，由（2）可知，BCP GDP △≌△， ∴=CP DP ，=BC GD ， ∵//BC AD ， ∴BFP GEP ∠=∠，在CFP 和DEP 中，CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠， ∴CFP ≌DEP ， ∴CF DE =， ∵=BC GD ，∴BC CF GD DE +=+, ∴BF EG =，又∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴BF AE =,∴BF AE EG ==,∴25AG AE a ==， ∴52AE a =；图2②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，同①可得PFC PED △≌△， ∴CF DE =，∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+， ∴5BF AE BC AD AB a +=+==，在Rt ABP 中，2162ABP S BP AP a =⋅=△，由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，梯形ABCD 的面积2122BC ADBH a +=⨯=，解得，245BH a =，在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =-=，∵//BC AD ，∴BH FI =，BF HI =， ∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，BH FI =，AB EF =， ∴Rt BHA △≌Rt FIE △，∴75AH EI a ==，∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+，∴2()BF AE BF AH +=+， ∴1110BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=．图3 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等． 25．（1）矩形；（2）24，125【分析】（1）先证明四边形OEFG 是平行四边形，再根据垂直即可得到结果；（2）根据菱形的面积求解和等面积法计算即可；【详解】解:()1四边形OEFG 是矩形．在菱形ABCD 中，,DO BO =E 是AD 的中点， ,AE DE ∴=//,OE AB ∴ //,OE FG ∴又//,OG EF∴四边形OEFG 是平行四边形．,EF AB ⊥ 90,EFG ∴∠=︒四边形OEFG 是矩形．()2菱形的面积11862422AC BD =⋅=⨯⨯=．四边形ABCD 是菱形，11,4,322BD AC AO AC BO BD ∴⊥====， 5AB ∴=．由()1知，四边形OEFG 是矩形，,EF OG OG AB ∴=⊥．1122AO BO AB OG ∴⋅=⋅， 125AO BO OG AB ⋅∴==， 125EF ∴=．【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的判定和性质，准确计算是解题的关键． 26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ， ∵DC CE =， ∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//BC AD ，BCE D ∠=∠， ∵四边形ABEC 是平行四边形，又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠， ∴FC FE =，AE BC =， ∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．。

人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(答案解析)

C.四边形PECF 的周长是8D. -BD^EF<AB-X 选择题1. 如图，RlAABC 中，ZBAC = 90°, AB = AC, AD 丄 BC 于点 £>, ZABC 的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ,连 DM ,下列结论：①DF = DN ；②zXDA/N 为等腰三角形：③DM 平分ZBMN ：④AE = NC,其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD.已知图甲中，ZF = 45°> ZH = 15°,图乙中MN = 2.则图2中正方形的对角线AC 长为（）A. 2迈B. 2>/3C. 2苗+1D. 2血+23. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4,点P 是对角线BD±一动点（不与D, B 重合），PF 丄CD 于点F, PE 丄BC 于点E,连接AP, EF ・则下列结论错误的是（）B. AP = EF 且 AP 丄D图1 图2A. PD = 2EC4・下列命题中，错误的是（）A.有一个角是直角的平行四边形是正方形：B.对角线相等的菱形是正方形：C.对角线互相垂直的矩形是正方形：D. 一组邻边相等的矩形是正方形.5.如果平行四边形ABCD的对角线相交于点0,那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD为菱形的是（）A. ZOAB = ZOBA:B. ZOAB = ZOBC:C. ZOAB = Z0CD ；D・ZOAB = ZOAD ・6.四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点0・给出下列四组条件:①43 II CD, AD ll BC；②AB = CD, AD = BC；®AO = CO, BO = DO ： @AB n CD，AD = BC.其中一左能判泄这个四边形是平行四边形的条件共有（）A. 1 组:B. 2 组:C. 3 组:D. 4 组.7.如图.己知四边形&BCD是平行四边形，下列说法正确的是（）••AA.若AB = AD，则平行四边形43CD是矩形B.若= 则平行四边形&BCD是正方形C.若4B丄BC，则平行四边形ABCD是矩形D.若AC丄BD,则平行四边形ABCD是正方形&下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对边相等且平行9.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分N4DC, AD = 6, BE = 2、则平行四边形ABCD的周长是（）C. 20D. 2410.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形OMN0与ABCD的边长均为a, OM与CD相交于点E，与BC相交于点F，且满足DE = CF,则两个正方形重合部分的面积为（）长比△AOB 的周长大10,则A3的长为（）・12.如图，矩形纸片ABCD 中，43 = 4, AD = 3,折叠纸片使AD 边与对角线3D 重C. 2二.填空题13.如图，在RtA ABC 中，ZACB = 90。

天津市第一中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(有答案解析)

19．如图，在平行四边形 ABCD 中，BF 平分∠ ABC，交 AD 于点 F，CE 平分∠ BCD，交 AD 于点 E，AB＝8，EF＝1，则 BC 长为__________．
20．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝2．将∠ A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A ，折痕为
DE．若将∠ B 沿 EA 向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B ，则 AB＝_______．
______．
15．如图，在菱形 ABCD 中， AB 13cm ， AC 24cm ，E，F 分别是 CD 和 BC 的中点，
连接 EF 并延长与 AB 的延长线相交于点 G，则 EG 的长度为________cm．
16．如图，在 ABC 中， BAC 45 ， AB AC 4 ，点 D 是 AB 上一动点，以 AC 为
EM 对折，使点 A 落在点 A' 处，点 B 落在点 B ' 处，若 A' EB' 30，则 NEM 的度数
为（）
A． 70 二、填空题
B． 75
C． 80
D． 85
13．点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心， AD AB ， E 、 F 分别是 AB 边上的点，且
EF
1 2
AB ； G
11．在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为 5, 0， 1, 3 ， 2, 5 ，当四边
形 ABCD 是平行四边形时，点 D 的坐标为（）
A． 8,2
B． 7,3
C． 8,3
D． 14, 0
12．如图，长方形纸片 ABCD，点 E，M，N 分别在边 AB，BC，AD 上，将纸片分别沿 EN，
一、选择题
1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（）个

新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(有答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．18C ．20D ．242．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（）A ．（一3，0）B ．（3，0）C ．（0，0）D ．（1，0） 3．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点Р是对角线BD 上一动点（不与D ，B 重合），PF CD ⊥于点F ，PE BC ⊥于点E ，连接AP ，EF ．则下列结论错误的是（）A ．2PD EC =B ．AP EF =，且AP EF ⊥C ．四边形PECF 的周长是8D ．12BD EF AB ≤<5．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．正方形 6．下列命题中，错误的是（）A ．一组对边平行的四边形是梯形；B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C ．对角线相等的平行四边形是矩形；D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．7．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（）A ．平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形8．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα= 12．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（）A ．3B ．423C ．2D ．352二、填空题13．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．14．如图，直线a 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．15．如图所示，在平行四边形ABCD 中2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 边于点E ，且4AE =，则AB 的长为______．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（10，8），过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，点D 在AB 上．将△CAD 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在x 轴上的点E 处，则点D 的坐标为_______．17．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ．18．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________19．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．20．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE ＝BF ；分别以E ，F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在∠ABD 内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，若AP ＝3，则点P 到BD 的距离为_______．三、解答题21．用总长度为4a 的铁丝可围成一个长方形或正方形，小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对不对？请你用数学知识进行说理．22．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长；（2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．23．已知：线段,a b ，α∠（如图），用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段,a b ，且两条对角线所成的一个角等于α∠．24．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到GFC ．（1）求证：BE DG =（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ︒∠=，求:AB BC 的值．25．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．（1）求证：四边形BNDM 是平行四边形．（2）猜想：四边形MPNQ 是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．26．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB ）顶端有一根绳子（AC ），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m （即0.7BC =），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m 处（即点E 到AB 的距离为3m ），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE ）为1.7m ，求宣传牌（AB ）的高度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．2．D解析：D【分析】由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．【详解】如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，∴△CDE 的周长最小．∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，∴OD ＝2，∴D （0，2），∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，∵OE ∥BC ，∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B=''，即：623OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）故选：D ．【点睛】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．3．A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B +∠D ＝100°，∴∠B ＝12×100°＝50°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．4．A解析：A【分析】由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形PECF 是矩形，得到EC PF =，再结合正方形的性质，解得2PD EC =，由此判断A ；过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，由角平分线的性质得到PN PE =，继而结合勾股定理证明AP EF =、证明四边形PEFM 是平行四边形，即可得到EF PM AP ==，设BE x =，结合勾股定理证明222PM A M P A +=，即可判断B ；根据等腰直角三角形的性质计算四边形PECF 的周长即可判断C ；设BE x =，由勾股定理解得EF 的长，再结合04x ≤≤，解得EF 与BD AB 、的数量关系即可判断D ．【详解】解：A. ,PE BC PF CD ⊥⊥90PEC PFC ∴∠=∠=︒90C ∠=︒∴四边形PECF 是矩形EC PF ∴=正方形ABCD 中45PDF ∠=︒22PD PF EC ∴==故A 错误；B.过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，BD 平分ABC ∠，PN AB ⊥，PE BC ⊥PN PE ∴=222222,AP AN PN EF EC PE =+=+且,AN EC PN PE ==AP EF ∴=//,//PM EF PE CD∴四边形PEFM 是平行四边形EF PM AP ∴==设BE x =，则,42PE FC MF x DM x ====-，4EC PF x ==-AP EF PM ===222216(42)AD MD AM x +==+-222AP PM AM +=AP PM ∴⊥AP EF ∴⊥故B 正确；C. BPE 为等腰直角三角形PE BE ∴=4PE PF BE EC BC ∴+=+==故四边形PECF 的周长为2()8PE PF +=，故C 正确；D.设BE x =EF ∴==04x ≤≤EF ∴≥12EF BD ∴≥ 4EF <EF AB ∴<12BD EF AB ∴≤< 故D 正确，故选：A ．【点睛】本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 5．A解析：A【分析】画出图形，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F，G，H是菱形各边的中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．7．D解析：D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.8．C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ，FC=AE ，∴DF=BE ，DF ∥BE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.9．A解析：A【分析】以AC为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AB为对角线，可得AD∥BC，AD=BC；以AD为对角线，可得AB∥CD，AB=CD．【详解】解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．10．C解析：C【分析】根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=12（∠ADF+∠CDF ） =45°，∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.11．A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠ M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．D解析：D【分析】首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，∠DA′G ＝∠A ＝90°，∴∠BA′G ＝90°，BG ＝AB-AG ＝4-x ，A′B ＝BD-A′D ＝5-3＝2，∵在Rt △A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，∴x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， ∴AG ＝32，∴在Rt △ADG 中，DG =．故选：D ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题13．3【分析】根据菱形的轴对称性可得AC 关于BD 对称当APE 三点共线时的值最小为AE 再根据三角形的面积即可得出答案【详解】解：∵四边形菱形∴AC 关于BD 对称∵点EC 在BD 的同侧∴当APE 三点共线时的值最解析：3【分析】根据菱形的轴对称性可得A 、C 关于BD 对称，当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小为AE ，再根据三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 菱形，∴A 、C 关于BD 对称，∵点E ，C 在BD 的同侧，∴当A 、P 、E 三点共线时，PE PC +的值最小，且最小值为AE ；∵以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3， 2DE =， ∴112322⨯=⨯=AE DE AE ， ∴AE=3， ∴PE PC +的最小值是3故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．14．【分析】先由正方形的性质可知再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA 再由全等三角形的性质可得；最后在在Rt △BEA 中由勾股定理得：即得本题答案【详解】解：在正方形中；∵∴；∵∴；在Rt △AFD 和Rt △BEA【分析】先由正方形的性质可知DA AB =，再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA ，再由全等三角形的性质可得3DF AE ==，1AF BE ==；最后在在Rt △BEA 中，由勾股定理得：AB ==【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AB =；∵DF AF ⊥，BE AE ⊥，∴90AFD AEB ∠=∠=︒，90ADF DAF ∠+∠=︒；∵90DAF BAE ∠+∠=︒，∴ADF BAE =∠∠；在Rt △AFD 和Rt △BEA 中，AFD AEB ADF BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △AFD ≌Rt △BEA （AAS ），∴3DF AE ==，1AF BE ==；在Rt △BEA 中，由勾股定理得：AB ===．【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的性质与判定以及勾股定理的知识． 15．4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DCAD ∥BC 推出∠DEC=∠BCE 求出∠DEC=∠DCE 推出DE=DC=AB 得出AD=2DE 即可求出AB 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB=D解析：4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC ，AD ∥BC ，推出∠DEC=∠BCE ，求出∠DEC=∠DCE ，推出DE=DC=AB ，得出AD=2DE ，即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AD ∥BC ，∴∠DEC=∠BCE ，∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCE=∠BCE ，∴∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC=AB ，∵AD=2AB=2CD ，CD=DE ，∴AD=2DE ，∴AE=DE=4，∴DC=AB=DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE=AE=DC 是解决问题的关键．16．【分析】如详解中图先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10DE=DA=8-m 利用勾股定理计算出OE=6则EB=4在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m2+42然后解方程求出m 即可得解析：(10,3)【分析】如详解中图，先作出△CDE；再由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4．在Rt△DBE中利用勾股定理得到（8-m）2=m2+42．然后解方程求出m即可得到点D的坐标．【详解】解：如图，作△CDE．设DB=m．由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，∵△CED与△CAD关于直线CD对称，∴CE=CA=10，DE=DA=8-m，在Rt△COE中，22，108∴EB=10-6=4．在Rt△DBE中，∠DBE=90°，∴DE2=DB2+EB2．即（8-m）2=m2+42．解得m=3，∴点D的坐标是（10，3）．故答案为（10，3）．【点睛】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．17．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半解析：9【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．【详解】解：由已知得，下底=2×7-5=9cm．故答案为9．【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．18．【分析】先根据勾股定理求得AB再做△ABD的中位线EF可得EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是解析：10 【分析】先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，∴∠D=90°，22BD AB AD 8=-=，∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，∴152CD AE BE AB ====，取BD 的中点F,连接CF ，∴EF 为△ABD 的中位线，∴132EF AD ==,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°，在Rt △BEF 中，根据勾股定理，2222534BF BE EF =-=-=,∴DF=BD-BF=8-4=4，∴CF=CD-DF=5-4=1，在Rt △CEF 中，根据勾股定理，22221310CE CF EF +=+=10【点睛】本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．19．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH分别是各边中点过点G作EH的垂线垂足解析：122【分析】画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC和BD夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴MG=23322=，∴四边形EFGH的面积=MG EH⋅=62，∴平行四边形ABCD的面积为122，故答案为：122．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．20．3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD∵∠A＝90°AP＝3∴点P到BD的距离等于AP的长为3解析：3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD 的距离即可．【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A ＝90°，AP ＝3，∴点P 到BD 的距离等于AP 的长，为3，故答案为：3．【点睛】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP 平分∠ABD ．三、解答题21．对，见解析【分析】设长方形的长为x ，则宽为4222a x a x -=-，由长方形面积公式求得(2)S x a x =-长方形，2S a =正方形，由两者左侧22(2)()0S S a x a x a x -=--=->正方形长方形，即S S >正方形长方形即可．【详解】解：小东同学的看法对，理由如下，设长方形的长为x ，则宽为4222a x a x -=-， 2x a x ≠-，x a ∴≠，长方形面积为：(2)S x a x =-长方形，若铁丝围成正方形，则其边长为a ，2S a =正方形，∴()()2222220S S a x a x a ax x a x -=--=-+=->正方形长方形，即S S >正方形长方形，所以正方形的面积较大．小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对．【点睛】本题考查周长一定，围成的长方形中，正方形面积最大问题，掌握求长方形与正方形面积公式，作差后利用公式因式分解是解题关键．22．（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP ＝AD ＝5，CP ＝BC ＝5，进而得出AB 的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB ＝QB ，再根据BP 平分∠ABQ ，即可得出BP ⊥AQ ，AP ＝QP ，依据勾股定理得出AP 的长，进而得到△ABQ 的周长．【详解】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt△ABP中，22AB BP，∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．23．见解析【分析】先作线段a、b的垂直平分线得到12a和12b，再作∠AOB=∠α，且OA=12a，OB=12b，然后在OA的反向延长线上截取OD=12a，在OB的反向延长线上截取OC=12b，则利用平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD为平行四边形．【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．（1）见详解；（2）AB：BC=2：3．【分析】（1）根据平移的性质，可得：AE=CG，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG即可得到BE=DG；（2）根据四边形ABFG是菱形，得出AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．∵AE=CG，AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．∴BE=DG；（2）∵四边形ABFG是菱形∴AB∥GF，AG∥BF，∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=1AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）2∵四边形ABFG是菱形，∴AB=BF．∴BE=CF，∴EF=1AB，2∴BC=3AB，2∴AB：BC=2：3．【点睛】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的性质．25．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）因为M，N分别是AD，BC的中点，由矩形的性质可得DM=BN，DM∥BN，利用平行四边形的判定定理可得结论；（2）由四边形DMBN是平行四边形，求出BM=DN，BM∥DN，求出三角形MPNQ是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质求出MQ=NQ，根据菱形判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵M、N分别AD、BC的中点，∴DM=BN，∴四边形DMBN是平行四边形；（2）四边形MPNQ是菱形．∵四边形DMBN是平行四边形，∴BM=DN，BM∥DN，∵P、Q分别BM、DN的中点，∴MP=NQ，MP∥NQ，∴四边形MPNC是平行四边形，连接MN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵M、N分别AD、BC的中点，∴DM=CN，∴四边形DMNC是矩形，∴∠DMN=∠C=90°，∵Q 是DN 中点，∴MQ=NQ ，∴四边形MPNQ 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键26．5.7m【分析】过点E 作EF AB ⊥于点F ，构造直角三角形，设m AF x =，根据勾股定理列方程，求出AF ，再根据矩形性质，加上DE 长即可．【详解】解：如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ．由题意，得AC AE =，0.7CB =， 1.7BF DE ==，3EF BD ==，∴ 1.70.71m CF BF BC DE BC =-=-=-=．设m AF x =，则(1)m AE AC x ==+，在Rt AEF 中，90AFE ︒∠=，由勾股定理，得222AE AF EF =+，即222(1)3x x +=+，解得4x =．∴4 1.7 5.7(m)AB AF BF =+=+=．答：宣传牌（AB ）的高度为5.7m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理建立方程是解题关键．。

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一、选择题1．下列命题中，其逆命题是真命题的有（）个①全等三角形的对应角相等，② 两直线平行，同位角相等，③等腰三角形的两个底角相等，④正方形的四个角相等．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（）A ．8B ．10C ．12.5D ．153．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（）A ．5B ．6C ．8D ．104．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°5．下列命题为假命题的是（）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．6．如图，ABE 、BCF 、CDG 、DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（）A ．72B ．62C ．7D ．737．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为（）A ．8B ．9C ．10D ．119．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )A ．若∠ACP=45°，则CP=5B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5C ．若∠ACP=45°，则CP=245D ．若∠ACP=∠B ，则CP=24510．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（）A ．240+B ．213+C 13D ．611．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（）A ．3B ．423C ．2D ．35212．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（）A ．12aB ．25aC ．3aD ．3a 二、填空题13．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（10，8），过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，点D 在AB 上．将△CAD 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在x 轴上的点E 处，则点D 的坐标为_______．15．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）：已知由信纸折成的长方形纸条（图①）长为25cm ，宽为cm x .如果能折成图④的形状，且为了美观，纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，则在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）为______cm ．16．如图，将ABCD 沿对角线AC 进行折叠，折叠后点D 落在点F 处，AF 交BC 于点E ，有下列结论：①ABF CFB ≌；②AE CE =；③//BF AC ；④BE CE =，其中正确结论的是__________．17．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，，按这样的规律下去，202020202020A B C △的周长为____．18．如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结EG 并延长交BD 于点N ，交AD 于点M ．则线段MN 的长是__________．19．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，CF 平分ECD ∠，则BE =_________．20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．参考答案三、解答题21．如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =．求证：（1）BE DF =；（2）//BE DF ．22．如图，在正方形ABCD 中，10cm AB BC CD AD ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4cm AE =，如果点P 在线段BC 上以2cm/秒的速度B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．（1）若点Q 与点P 的运动速度相等，经过2秒后，BPE 与CQP 是否全等？请说明理由；（2）若点Q 与点P 的运动速度不相等，则当t 为何值时，BPE 与CQP 全等？此时点Q 的运动速度为多少？23．如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BD 于点E ，交BC 于点M ，CF 平分BCD ∠交BD 于点F ．（1）若70ABC ∠=︒，求AMB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．24．如图，菱形ABCD 的边长为2．2BD =，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=．（1）求证：BDE BCF △≌△；（2）判断BEF 的形状，并说明理由．25．下图所示的三种拼块A ，B ，C ，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A 的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用1个A 种拼块，2个B 种拼块，4个C 种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位；（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A 种拼块和1个B 种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A ，B ，C 三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．26．如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接DE 交AC 于点M ．（1）如图1，若2,30,AB C AD BC =∠=︒⊥，求CD 的长；（2）如图2，若45ADB ∠=︒，点N 为ME 上一点，12MN BC =，求证：AN EN CD =+；（3）如图3，若30C ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点，直线DE 与直线AC 交于点M ，当ADM △为等腰三角形时，请直接写出此时CDM ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先把每一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三组角分别对应相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故①不符合题意；“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，故②符合题意；“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“在一个三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故③符合题意；“正方形的四个角相等”的逆命题是“四个角相等的四边形是正方形”，逆命题是假命题，故④不符合题意；综上：符合题意的有②③．故选：.B【点睛】本题考查的是命题与逆命题，命题真假的判断，正方形的判定方法，掌握由原命题得到逆命题，以及判断命题的真假是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．3．A解析：A【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出12CM BD =，设CM x =，则2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．【详解】解：90ACB ∠=︒，M 是BD 的中点，12CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==16AC =162CD AC AD x ∴=-=-在Rt BCD △中，根据勾股定理得222BC CD BD +=即()()22281622x x +-=解得：5x =，故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝1×100°＝50°，2故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．5．B解析：B【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．C、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；D、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．A解析：A【分析】根据勾股定理求出BE，证明四边形EFGH为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，由勾股定理得，BE12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH为正方形，∴EG，故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．7．C解析：C【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形，12AD AE AB ∴==， ∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=， ∴∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，∴S ▱ABCD =AD•BD ，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE ，∴DB 平分∠CDE ，故②正确；∵Rt △AOD 中，AO ＞AD ，∵AD=DE ，∴AO ＞DE ，故③错误；∵O 是BD 的中点，∴DO=BO,∵E 是AB 的中点，∴BE=AE=DE∵OE =OE∴△DOE ≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE 垂直平分BD ，故④正确；正确的有3个，故选择：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．8．C解析：C【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BAC DCE ∠=∠，然后证明ACB DCE ∆≅∆，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【详解】解：如图：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC CD =，90ACD ∠=︒；90ACB DCE ACB BAC ，即BAC ECD ∠=∠，在ABC ∆和CED ∆中，90ABC CED ACB CDEAC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACB CDE AAS ，AB CE ∴=，BC DE =；在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：22222221310AC AB BC AB DE ，即10b S ，则b 的面积为10，故选：C ．【点睛】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明ACB DCE ∆≅∆是解题的关键． 9．D解析：D【分析】四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．【详解】解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，∴22228610AB AC BC+=+=，当CP为AB的中线时，152CP AB==，若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP =90°，∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，∵BC≠AC，∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；当CP为AB的高线时，1122ABCS AC BC AB PC =⋅=⋅△,即11861022PC⨯⨯=⨯⋅，解得245PC=,故D选项正确，C选项错误．故选：D．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．10．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF 的长为2，然后作出点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ，此时DEF 周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF 为矩形，得出FF′=3，然后在Rt △DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF 周长的最小值．【详解】解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，2'2222313DF DF FF +=+='∴△DEF 周长的最小值13故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．11．D解析：D【分析】首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，∴∠BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∴x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∴AG＝32，∴在Rt△ADG中，DG=．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．12．D解析：D【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根据勾股定理得：，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC是等边三角形．二、填空题13．【分析】由ASA可证△ABQ≌△DAP可得AP＝BQ列出方程可求t的值【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB∠B＝∠BAD＝90°∵AQ⊥DP∴∠QAD＋∠ADP＝90°且∠DAQ＋∠BAQ＝解析：8 3【分析】由“ASA”可证△ABQ≌△DAP，可得AP＝BQ，列出方程可求t的值．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠B＝∠BAD＝90°∵AQ⊥DP∴∠QAD＋∠ADP＝90°，且∠DAQ＋∠BAQ＝90°，∴∠BAQ＝∠ADP，且∠B＝∠BAD＝90°，AD＝AB∴△ABQ≌△DAP（ASA）∴AP＝BQ∴2t＝8−t∴t＝83，故答案为：83．【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，正方形的性质，一元一次方程的应用，证明△ABQ≌△DAP是本题的关键．14．【分析】如详解中图先作出△CDE；再由折叠性质得到CE=CA=10DE=DA=8-m利用勾股定理计算出OE=6则EB=4在Rt△DBE中利用勾股定理得到（8-m）2=m2+42然后解方程求出m即可得解析：(10,3)【分析】如详解中图，先作出△CDE；再由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4．在Rt△DBE中利用勾股定理得到（8-m）2=m2+42．然后解方程求出m即可得到点D的坐标．【详解】解：如图，作△CDE．设DB=m．由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，∵△CED与△CAD关于直线CD对称，∴CE=CA=10，DE=DA=8-m，在Rt△COE中，22108-，∴EB=10-6=4．在Rt△DBE中，∠DBE=90°，∴DE2=DB2+EB2．即（8-m）2=m2+42．解得m=3，∴点D的坐标是（10，3）．故答案为（10，3）．【点睛】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．15．【分析】按图中方式折叠后可得到除去两端纸条使用的长度为5个宽由此解题即可【详解】解：根据折叠的过程发现中间的长度有5个宽则在开始折叠时起点与点的距离为：故答案为：【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）解析：2552x-【分析】按图中方式折叠后，可得到除去两端，纸条使用的长度为5个宽，由此解题即可．【详解】解：根据折叠的过程，发现中间的长度有5个宽，则在开始折叠时起点M与点A的距离为：2552x-，故答案为：2552x-．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．①②③【分析】根据SSS即可判定△ABF≌△CFB根据全等三角形的性质以及等式性质即可得到EC＝EA根据∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA即可得出BF∥AC根据E不一定是BC的中点可得BE＝CE解析：①②③【分析】根据SSS 即可判定△ABF ≌△CFB ，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC ＝EA ，根据∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA ，即可得出BF ∥AC ．根据E 不一定是BC 的中点，可得BE ＝CE 不一定成立．【详解】解：由折叠可得，AD ＝AF ，DC ＝FC ，又∵平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AF ＝BC ，AB ＝CF ，在△ABF 和△CFB 中，AB CF AF CB BF FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CFB （SSS ），故①正确；∴∠EBF ＝∠EFB ，∴BE ＝FE ，∴BC -BE ＝FA -FE ，即EC ＝EA ，故②正确；∴∠EAC ＝∠ECA ，又∵∠AEC ＝∠BEF ，∴∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA ，∴BF ∥AC ，故③正确；∵E 不一定是BC 的中点，∴BE ＝CE 不一定成立，故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的解析：2020212【分析】由21ABCC AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：111121,22A B C ABC C C ==2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C nC =从而运用规律可得答案．【详解】解：探究规律：AB =8，BC =6，AC =7，21ABC C AB BC AC ∴=++=，111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222A B C A B C C C ==⨯= ······总结规律：21,2n n n A B C n C =运用规律：当2020n =时，202020202020202021.2A B C C= 故答案为：202021.2【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键． 18．【分析】根据题意易证明和是等腰直角三角形再根据勾股定理即可求出MN 【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形∴∴和是等腰直角三角形∴∴在中故答案为：【点睛】本题考查正方形和平行线的性质等腰直角三角形【分析】根据题意易证明MND 和MDG 是等腰直角三角形，2DM DC GC =-=．再根据勾股定理即可求出MN ．【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，//AD BE ．∴45DMG BEM MDN DGM ∠=∠=∠=∠=︒，∴MND 和MDG 是等腰直角三角形，∴422DG DM DC GC ==-=-=．∴在Rt MND △中，2MN MD ===故答案为：2．【点睛】本题考查正方形和平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．根据题意证明MND 是等腰直角三角形在结合勾股定理求解是解答本题的关键．19．【分析】延长CF 交EA 的延长线于点G 连接EF 过点F 作FH ⊥CE 于点H 过点E 作EM ⊥CF 于点M 由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG 进而可得△CDF ≌△CME 然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：76【分析】延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，由题意易得FH=FD ，FH=EM ，EC=EG ，进而可得△CDF ≌△CME ，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形，∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，3BG =，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+，解得：76x =， ∴76BE =；故答案为76．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．20．【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4 解析：201812【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【详解】解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12， ∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12，同理C 2＝4×12×12=4×212， …C n ＝4×12n， ∴20202020201811422C =⨯=．故答案为：201812．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,//AD BC AD BC ∴=，DAC BCA ∴∠=∠，DAF BCE ∴∠=∠，AE CF =，AF EC ∴=，在ΔFAD 和ΔECB 中，AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔ()FAD ECB SAS ∴≅，BE DF ∴=；（2）ΔΔFAD ECB ≅，F E ∠=∠∴，//BE DF ∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD ≌△ECB 是解题的关键．22．（1）全等，理由见解析；（2）52t =秒，点Q 的运动速度为12cm/s 5．【分析】（1）由题意可得BP ＝CQ ，BE ＝CP ，由“SAS”可证△BPE ≌△CQP ；（2）由全等三角形的性质可得BP ＝CP ＝5，BE ＝CQ ＝6，即可求点Q 的速度．【详解】解：（1）全等．理由：由题意：2BP CQ t ==，当2t =时，4BP CQ ==，10AB BC ==，4AE =，1046BE CP ∴==-=，在BPE ∆与CQP ∆中BP CQ B C BE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPE CQP ∴∆≅∆；（2）P 、Q 运动速度不相等，BP CQ ∴≠，90B C ∠=∠=︒，∴当BP CP =，CQ BE =时，BPE CPQ ∆≅∆，152BP CP BC ∴===，6CQ BE ==， ∴当5522t =÷=（秒）时，BPE CPQ ∆≅∆，此时点Q 的运动速度为5126(/)25cm s ÷=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键．23．（1）55°；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得到//AD BC ，根据平行线的性质得到180ABC BAD ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得到1552DAM BAD ∠=∠=︒，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB CD =，BAD BCD ∠=∠，//AB CD ，求得ABE CDF ∠=∠，根据角平分线的定义及等量代换得到BAE DCF ∠=∠，根据全等三角形的性质即可得到AE CF =．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴ 180ABC BAD ∠+∠=︒．∵70ABC ∠=︒，∴110BAD ∠=︒．∵AE 平分BAD ∠， ∴1552DAM BAD ∠=∠=︒． ∵//AD BC ， ∴55AMB DAM ∠=∠=︒．（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，BAD BCD ∠=∠，//AB CD ，∴ ABE CDF ∠=∠．∵AE 平分BAD ∠， ∴12BAE BAD ∠=∠． ∵CF 平分BCD ∠， ∴12DCF BCD ∠=∠． ∵BAD BCD ∠=∠， ∴BAE DCF ∠=∠．又∵AB CD =，ABE CDF ∠=∠，∴ABE CDF △≌△，∴AE CF =．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析【分析】（1）由菱形ABCD 边长与对角线都是2，知ABD △和BCD △都是等边三角形．可得60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，可证BDE BCF △≌△；（2）由BDE BCF △≌△，得DBE CBF ∠=∠，BE BF =，利用=60DBF DBE DBF CBF ∠+∠=∠+∠︒．可证BEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵菱形ABCD 的边长为2，2BD =，∴ABD △和BCD △都是等边三角形．∴60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，∵2AE DE AD +==，而2AE CF +=，∴DE CF =，∴BDE BCF △≌△；（2）解：BEF 为等边三角形．理由如下：∵BDE BCF △≌△，∴DBE CBF ∠=∠，BE BF =，∵60DBC DBF CBF ∠=∠+∠=︒°，∴60DBF DBE ∠+∠=︒．即60EBF ∠=︒．∴BEF 为等边三角形．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质是解题解题关键．25．（1）25；（2）补图见解析．【分析】(1)根据题意，知A 的拼块的面积为 3 个单位，B 的面积为3个单位，C 的面积为4个单位，即可得出；(2)图1用了3个A ，2个B ，1个C ，图2用了4个A ，1个B ，1个C ，和(1)不同即可．【详解】（1）13234425⨯+⨯+⨯=，∴正方形的面积为25；（2）答案不唯一，如：【点睛】本题主要考查了正方形的面积组合，读懂题意是解题的关键．26．（1）3；（2）见解析；（3）60︒或15︒或37.5︒【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=12AB=1，即可得出CD 的长；（2）在BD 上截取DF=EN ，可证出AEN ADF △≌△，由全等三角形的性质得AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，可得出,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，则AMN ABF △≌△，可得12BF MN BC ==，即F 是BC 的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD ；（3）由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD ，②AM=AD ，③AD=MD ，根据等腰三角形的性质求出AMD ∠的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，2,30AB C =∠=︒，∴BC=2AB=4，60B ∠=︒，∵AD BC ⊥∴90,30ADB BAD ∠=︒∠=︒，∴BD=12AB=1， ∴CD =BC-BD=4-1=3；（2）证明：如图2，在BD 上截取DF=EN ，∵把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，∴AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，∵45ADB ∠=︒，∴45ADF AEN ∠=∠=︒，∴AEN ADF △≌△，∴AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，∵90EAD ∠=︒，EAN DAF ∠=∠，∴90NAF ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，ANE AFD ∠=∠，∴,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，∵AN=AF ，∴AMN ABF △≌△，∴12BF MN BC ==，即F 是BC 的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD ，∵AN=AF ，∴AN EN CD =+；（3）解：由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，∴45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD 时，∵AM=MD ，∴45EDA MAD ∠=∠=︒，∴90AMD ∠=︒，∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=60︒；②AM=AD 时，∵AM=AD ，∴45EDA AMD ∠=∠=︒，∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=15︒；③AD=MD 时，∵AD=MD ，∴AMD MAD ∠=∠，∴45EDA ∠=︒， ∴1804567.52AMD MAD ︒-︒∠=∠==︒， ∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=37.5︒．∴当ADM △为等腰三角形时，CDM ∠的度数为60︒或15︒或37.5︒．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．。