带电体在电场中的圆周运动

带电粒子在电场中的圆周运动

带电粒子在电场中的圆周运动知识要点：电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动：临界状态在等效“最高点”.一、等效“最高点”：特点: mg和Eq的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相同.二、等效“最低点”: 物体速度最大,绳的拉力最大.特点: mg和Eq的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相反.练习题1、如图1所示，细线拴一带负电的小球，球处在竖直向下的匀强电场中，使小球在竖直平面内做圆周运动，则（）A．小球不可能做匀速圆周运动B．当小球运动到最高点B时绳的张力一定最小C．小球运动到最低点A时，球的线速度一定最大D．小球运动到最低点A时，电势能一定最大图1 图22、如图2所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在其上端与圆心等高处有一个质量为m，带电荷量为+q的小球由静止开始下滑，则（）A．小球运动过程中机械能守恒 B．小球经过最低点时速度最大C．小球在最低点对环的压力大小为（mg+qE） D．小球在最低点对环的压力大小为3（mg+qE）1、如图所示,质量为m,带电量为q(q>0)的小球,用一长为L的绝缘细线系于一足够大的匀强电场中的O点,电场方向竖直向下,电场强度为E ,为使带电小球能在竖直面内绕O点作完整的圆周运动,求在最低点时施给小球水平初速度v0应满足什么条件？小球在运动中细线受到的最大拉力应满足什么条件？2、(变式1)若上题中的匀强电场方向是竖直向上,其他条件不变,使小球做完整圆周运动,求在最低点时施给小球水平初速度v0应满足什么条件？小球在运动中细线受到的最大拉力应满足什么条件？提示：考虑三种情况要完成圆周运动的临界点：（1）、若Eq=mg (2)若Eq>mg (3)若Eq<mg3、在方向水平向左的匀强电场中,一根长为L的不可伸长的不导电细线的一端连着一质量为m的带电小球,另一端固定于O点,把小球拉起直至细线与场强平行的A点,然后无初速度释放,已知小球下摆到最低点的另一侧的B点,线与竖直方向的最大夹角为α(如图示).求:①判断小球带正电还是负电②小球经过最低点时细线拉力。

带电粒子在电场中的圆周运动

圆周运动的周期和频率
周期
$T = frac{2pi r}{v}$，其中$r$为带电粒子做圆周运动的半径，$v$为带电粒子的线速度。
频率
$f = frac{1}{T} = frac{v}{2pi r}$。
圆周运动的向心加速度
• 向心加速度的大小：$a_{n} = \frac{v^{2}}{r}$，方向始终指向圆心。
带电粒子在电场中的圆周运动
目录
• 引言 • 带电粒子在电场中的受力分析 • 带电粒子在电场中的圆周运动 • 带电粒子在电场中的运动轨迹 • 带电粒子在电场中的能量转化 • 带电粒子在电场中的圆周运动实验研究
引言
01
主题介绍
带电粒子在电场中的圆周运动是物理学中的一个重要概念，主要涉及到电场力对带电粒子的作用以及带电粒子在电场中的运动轨迹。
这些应用领域都需要深入理解带电粒子在电场中的行为，以及如何通过控制电场来影响带电粒子的运动轨迹和行为。
带电粒子在电场中的
02
受力分析
电场力
电场力定义
带电粒子在电场中受到的力称为电场力，其大小和方向与电场强度和粒子的电荷量有关。
电场力公式
电场力的大小为$F = qE$，其中 $q$为带电粒子的电荷量，$E$为电场强度。
带电粒子在电场中的
04
运动轨迹
运动轨迹的描述
描述带电粒子在电场中的运动轨迹需要确定粒子的初始位置、速度和方向。
运动轨迹可以通过数学公式进行描述，如牛顿第二定律和库仑定律等。
描述运动轨迹时需要考虑粒子的质量、电荷量和加速度等物理量。
运动轨迹的形状和变化
带电粒子在电场中的运动轨迹可以是直线、圆、椭圆或更复杂的曲线，取决于粒子的初始条件和电场分布。

电场中的圆周运动

电场中的圆周运动作者：金爱兵来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期带电体在电场中的圆周运动是近几年高考和高校自主招生考试的的热点问题.为应对新的自主招生考试模式，笔者根据几例自主招生考题和它的母题谈带电体在电场中圆周运动这一重要的模型.并将这一模型用于开放式探究性复习课的课堂，这将有助于培养学生的联想能力、知识与方法的迁移能力、空间想象能力、总结归纳能力，更为突出的是培养学生在物理学习中作图这一技术素养.1.带电体在点电荷电场中的匀速圆周运动母题1 已知电子的电荷量为e，质量为m，氢原子的核外电子在原子核的静电力吸引下做半径为r的匀速圆周运动，则电子运动形成的等效电流大小为多少？解析由库仑力提供向心力有：ke2r2=m4π2T2r得T=2πremrk根据电流的定义即可算出等效电流的大小，截取电子运动轨道的任一截面，在电子运动一周的时间T内，通过这个截面的电荷量q=e，则有I=qt=eT=e22πr2mkmr.考题1 （2011年华约自主招生）如图1所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则（）.A.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动B.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动C.若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变D.若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动解析答案：ACD.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变小的曲线运动.若库仑力小于所需的向心力，P2围绕P1做离心运动，以后P2做加速度、速度都变小的曲线运动.若P1、P2带异种电荷，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，库仑力的方向与带电质点P2的速度方向垂直，若正好满足库仑力等于向心力，P2围绕P1做匀速圆周运动，以后P2的速度大小和加速度大小都不变.考题2 一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图2所示，现有一质量为m，带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略，求：1.微粒的带电性质.2.微粒的轨迹所在平面及圆心O的位置解析 1.微粒的静电力和重力的合力提供向心力，异种电荷相互吸引，故微粒带负电;2.考虑重力的带电体做圆周运动的轨迹在水平面内，且圆心O在点电荷的正下方，设其离O点的距离为H;对于微粒受力分析如图3所示.由牛顿第二定律得mgtanα=m4π2T2r ①由几何知识得r=Htanα ②由①②得H=gT24π2带电体的轨迹所在平面为水平面，圆心O在Q下方的位置.本题的实质上是圆锥摆模型.若使小球带上- q 的负电荷，同时在悬点处置一电量为+Q 的正点电荷，合理选取参数，即可实现负电荷在某一平面上做匀速圆周运动.还可以让学生讨论该带电体的轨迹平面是否可以在固定点电荷的正上方;如果将固定点电荷换成负电荷，那么带电体的电性及轨道又如何？2.带电体在辐向电场中的匀速圆周运动母题2 如图4所示，空间A 、B 两点固定着一对等量正点电荷，今有一重力可忽略的带电微粒在它们产生的电场中运动，带电微粒在电场中所做的运动可能是（）.A. 匀变速直线运动B. 类平抛运动C. 机械振动D. 匀速圆周运动解析 CD.从匀速圆周运动的条件出发思考，重力可忽略的带电体要做匀速圆周运动，等量异种电荷的电场对带负电的带电体施加一大小不变且方向指向圆心的电场力，电场力提供圆周运动的向心力.轨迹是在AB连线的中垂面内以O为圆心的圆，但要使带负电的带电体在AB连线的中垂面内具有一定的速度.设两同种点电荷带电量为Q，之间距离为2a，另一在AB连线中垂面内做圆周运动的点电荷电量为-q，距O点的距离为x，速率为v.圆轨道处的电场强度大小为E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32电场力提供向心力Eq=mv2x得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向与电场方向垂直.3.带电体在匀强电场中的约束轨道做非匀速圆周运动母题3 水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度v0至少应为多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）解析静止时对球受力分析如右图，且F=mgtan37°=34mg等效场力F′=（mg）2+F2=54mg，方向与细线拉力方向相反，等效加速度g′=54g，与重力场相类比可知，小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处，且最小的速度vB′=g′R，从B到A运用动能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.考题3 （2013年北约试题）如图所示，在水平O-xy 坐标平面的第Ⅰ象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y 轴方向的匀强电场.带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Eko.P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一.1.试问P所带电荷是正的，还是负的？为什么？2.P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2R≥x≥0范围内导出 P 的动能Ek随x变化的函数.3.P在运动过程中受管道的弹力FN也许是径向朝里的（即指向圆心的），也许是径向朝外的（即背离圆心的）.通过定量讨论，判定在2R≥x≥0 范围内是否存在FN径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域;继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在FN径向朝外x取值区域，若存在，请给出该区域.解析 1.带电质点 P在管道内无摩擦地运动，动能减少，电势能增加，电场力做负功，故该带电质点带负电（-q）.2.设P运动到某一位置坐标为（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根据能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③联立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.3. 根据题意判断该带点质点的运动具有对称性，只需讨论0≤x≤R范围即可.设P运动到某一位置坐标为（x，y），质点和（R，0）点连线与竖直方向夹角为θ，假设弹力FN的方向径向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤当x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的弹力FN为最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R减小，Eqcosθ增大，FN减小，当x=R时，mv2R达最小值，Eqcosθ达最大值为Eq，此位置的弹力FN为最小值，FNmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R区域内有FN>0，故FN的方向径向朝里.根据对称性，0≤x≤2R 范围内FN径向朝里，不存在FN径向朝外的取值范围.这个模型可以转化成轨道在竖直平面内，不受电场力，在重力和弹力的作用做变速圆周运动，那么这个模型就是考生比较熟悉的“双轨约束”模型.如果将本题改编为将圆轨道放在竖直平面内且考虑带电体的重力，也可以运用相同的方法解决.电场中的圆周运动类型较多，无论有无外界约束轨道、无论是否匀速率，解题的关键就是对向心力来源的分析以及对轨迹平面、圆心、半径的确定，根据牛顿定律和能量知识列方程，再利用数学知识进行讨论解答.本文着重例析几种不同电场情境中的圆周运动，在课堂中采用开放探究教学，以提高学生的综合能力.。

教案电场中的圆周运动问题

带电粒子电场中的圆周运动
带电物体在电场力和重力共同作用下的运动。
当带电体的重力和电场力大小可以相比时，不能再将重力忽略不计。这时研究对象经常被称为“带电微粒”、 “带电尘埃”、“带电小球”等等。
例1.水平光滑绝缘轨道与竖直平面内半径R＝0.40m的1/4圆弧形粗糙绝缘轨道平滑连接．整个装置处在E＝1.0×104N/C的水平向右的匀强电场中. 质量m＝0.10kg的带电质点放在与B端距离x＝1.0m的位置，由于受到电场力的作用带电体由静止开始运动，当运动到圆弧形轨道的C点时，速度恰好为零。已知带电体所带电荷 q＝8.0×10－5C，g＝10m/s2，求：
B
mg qE
vB g1r
A---B由动能定理：
1 1 2 2 mv B mv A mg 1 2r 2 2
O
vA 5g1r
+q m
C
A
E
另一种情况：若滑块最多只能在圆形轨道上运动到C点，则可以在A点两侧沿圆轨道往复摆动：则 vC =0
由动能定理得
v A 2 g1r
解析珠子在运动过程中，受重力和电场力的大小、方向都不发生变化，则重力和电场力的合力大小、方向也不变，这样就可以用合力来代替重力和电场力，当珠子沿合力方向位移最大时，合力做功最多，动能最大．
3 (1)qE＝ mg，所以 qE、 mg的合力 F合与竖直 4 qE 3 方向夹角的正切 tan θ＝＝，即θ＝ 37° ， mg 4 则珠子由 A点静止释放后从 A到 B过程中做加速运动，如右图所示， B点动能最大，由动能定理得 qErsin θ－ mgr(1－ cos θ)＝ Ek 1 解得 B点动能即最大动能 Ek＝ mgr 4

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。

(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。

②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。

③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。

[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。

该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。

(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题

用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。

(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。

②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。

③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。

[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。

该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。

(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。

电场中的圆周运动

电场中的圆周运动作者：金爱兵来源：《理科考试研究·高中》2015年第01期带电体在电场中的圆周运动是近几年高考和高校自主招生考试的的热点问题.为应对新的自主招生考试模式，笔者根据几例自主招生考题和它的母题谈带电体在电场中圆周运动这一重要的模型.并将这一模型用于开放式探究性复习课的课堂，这将有助于培养学生的联想能力、知识与方法的迁移能力、空间想象能力、总结归纳能力，更为突出的是培养学生在物理学习中作图这一技术素养.1.带电体在点电荷电场中的匀速圆周运动母题1 已知电子的电荷量为e，质量为m，氢原子的核外电子在原子核的静电力吸引下做半径为r的匀速圆周运动，则电子运动形成的等效电流大小为多少？解析由库仑力提供向心力有：ke2r2=m4π2T2r得T=2πremrk根据电流的定义即可算出等效电流的大小，截取电子运动轨道的任一截面，在电子运动一周的时间T内，通过这个截面的电荷量q=e，则有I=qt=eT=e22πr2mkmr.考题1 （2011年华约自主招生）如图1所示，带电质点P1固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2，P2在桌面上运动，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，则（）.A.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做速度变大的曲线运动B.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变大的曲线运动C.若P1、P2带异种电荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不变D.若P1、P2带异种电荷，以后P2可能做加速度、速度都变小的曲线运动解析答案：ACD.若P1、P2带同种电荷，以后P2一定做加速度变小的曲线运动.若库仑力小于所需的向心力，P2围绕P1做离心运动，以后P2做加速度、速度都变小的曲线运动.若P1、P2带异种电荷，某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向，库仑力的方向与带电质点P2的速度方向垂直，若正好满足库仑力等于向心力，P2围绕P1做匀速圆周运动，以后P2的速度大小和加速度大小都不变.考题2 一带电量为Q的固定正点电荷在真空中形成的电场如图2所示，现有一质量为m，带电量为q的微粒在此点电荷附近做周期为T的匀速圆周运动，微粒的重力不能忽略，求：1.微粒的带电性质.2.微粒的轨迹所在平面及圆心O的位置解析 1.微粒的静电力和重力的合力提供向心力，异种电荷相互吸引，故微粒带负电;2.考虑重力的带电体做圆周运动的轨迹在水平面内，且圆心O在点电荷的正下方，设其离O点的距离为H;对于微粒受力分析如图3所示.由牛顿第二定律得mgtanα=m4π2T2r ①由几何知识得r=Htanα ②由①②得H=gT24π2带电体的轨迹所在平面为水平面，圆心O在Q下方的位置.本题的实质上是圆锥摆模型.若使小球带上- q 的负电荷，同时在悬点处置一电量为+Q 的正点电荷，合理选取参数，即可实现负电荷在某一平面上做匀速圆周运动.还可以让学生讨论该带电体的轨迹平面是否可以在固定点电荷的正上方;如果将固定点电荷换成负电荷，那么带电体的电性及轨道又如何？2.带电体在辐向电场中的匀速圆周运动母题2 如图4所示，空间A 、B 两点固定着一对等量正点电荷，今有一重力可忽略的带电微粒在它们产生的电场中运动，带电微粒在电场中所做的运动可能是（）.A. 匀变速直线运动B. 类平抛运动C. 机械振动D. 匀速圆周运动解析 CD.从匀速圆周运动的条件出发思考，重力可忽略的带电体要做匀速圆周运动，等量异种电荷的电场对带负电的带电体施加一大小不变且方向指向圆心的电场力，电场力提供圆周运动的向心力.轨迹是在AB连线的中垂面内以O为圆心的圆，但要使带负电的带电体在AB连线的中垂面内具有一定的速度.设两同种点电荷带电量为Q，之间距离为2a，另一在AB连线中垂面内做圆周运动的点电荷电量为-q，距O点的距离为x，速率为v.圆轨道处的电场强度大小为E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32电场力提供向心力Eq=mv2x得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向与电场方向垂直.3.带电体在匀强电场中的约束轨道做非匀速圆周运动母题3 水平向右的匀强电场中，用长为R的轻质细线在O点悬挂一质量为m的带电小球，静止在A处，AO的连线与竖直方向夹角为37°，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度v0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度v0至少应为多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）解析静止时对球受力分析如右图，且F=mgtan37°=34mg等效场力F′=（mg）2+F2=54mg，方向与细线拉力方向相反，等效加速度g′=54g，与重力场相类比可知，小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO连线B处，且最小的速度vB′=g′R，从B到A运用动能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.考题3 （2013年北约试题）如图所示，在水平O-xy 坐标平面的第Ⅰ象限上，有一个内外半径几乎同为R、圆心位于x=R、y=0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y 轴方向的匀强电场.带电质点P在管道内，从x=0、y=0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为Eko.P运动到x=R、y=R位置时，其动能减少了二分之一.1.试问P所带电荷是正的，还是负的？为什么？2.P所到位置可用该位置的x坐标来标定，试在2R≥x≥0范围内导出 P 的动能Ek随x变化的函数.3.P在运动过程中受管道的弹力FN也许是径向朝里的（即指向圆心的），也许是径向朝外的（即背离圆心的）.通过定量讨论，判定在2R≥x≥0 范围内是否存在FN径向朝里的x取值区域，若存在，请给出该区域;继而判定在2R≥x≥0范围内是否存在FN径向朝外x取值区域，若存在，请给出该区域.解析 1.带电质点 P在管道内无摩擦地运动，动能减少，电势能增加，电场力做负功，故该带电质点带负电（-q）.2.设P运动到某一位置坐标为（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根据能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③联立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.3. 根据题意判断该带点质点的运动具有对称性，只需讨论0≤x≤R范围即可.设P运动到某一位置坐标为（x，y），质点和（R，0）点连线与竖直方向夹角为θ，假设弹力FN的方向径向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤当x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的弹力FN为最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R减小，Eqcosθ增大，FN减小，当x=R时，mv2R达最小值，Eqcosθ达最大值为Eq，此位置的弹力FN为最小值，FNmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R区域内有FN>0，故FN的方向径向朝里.根据对称性，0≤x≤2R 范围内FN径向朝里，不存在FN径向朝外的取值范围.这个模型可以转化成轨道在竖直平面内，不受电场力，在重力和弹力的作用做变速圆周运动，那么这个模型就是考生比较熟悉的“双轨约束”模型.如果将本题改编为将圆轨道放在竖直平面内且考虑带电体的重力，也可以运用相同的方法解决.电场中的圆周运动类型较多，无论有无外界约束轨道、无论是否匀速率，解题的关键就是对向心力来源的分析以及对轨迹平面、圆心、半径的确定，根据牛顿定律和能量知识列方程，再利用数学知识进行讨论解答.本文着重例析几种不同电场情境中的圆周运动，在课堂中采用开放探究教学，以提高学生的综合能力.。