矩阵理论_课件_9

( ) det( E A) ( 1 ) r ( 2 ) r ( s ) r
1 2
s
为计算矩阵函数 f ( At ) ak ( At ) ，
k

记 f ( t ) ak t
k 0

k 0
k k
.将 f(λt) 改写为 (一定可以)，
f ( At ) q ( A, t ) ( A) r ( A, t ) r ( A, t )
bn 1 (t ) An 1 b1 (t ) A b0 (t ) E
可见，只需求出 bk (t ) (k 0,1, , n 1) 即可得到 f(At).
(l ) 注意到， (i ) 0 (l 0,1, , ri 1; i 1, 2, , s )
f (t ) q ( , t ) ( ) r ( , t )
其中q(λ,t)是含参数t的λ幂级数， 幂级数 r(λ,t)是次数不超过 (n -1)的λ多项式， n 1 r ( , t ) bn 1 (t ) b1 (t ) b0 (t )
由Hamilton-Cayley定理知，φ(A)=O，于是
f (t ) q ( , t ) ( ) r ( , t ) 两边对λ求导
l l d d b0 (t ), , bn 1 (t ) tl f r t ( ) ( , ) l dl d n 个方程 t
i i
(l 0,1, , , , ri 1; ; i 1, , 2, , , s )
利用待定系数法求矩阵函数 f(At) 或 f(A) 的步骤： 第一步：求矩阵A的特征多项式； 第二步：设 r ( , t ) bn 1 (t )
n 1
b1 (t ) b0 (t )
r (l ) (i ) t l f (l ) ( )
i t
(l 0 0,1, 1 , ri 1; i 1 1, 2, 2 s)
e 3e e 2 4e
0 e2 0
2 2e e 3e e
f ( J1t ) sin At P
sin t t cos t 1 1 P P sin t P f ( J 2t ) sin 2 t
t cos t t cos t sin t sin 2t 2t cos t sin t
sin t 2t cos t 0 sin t 2t cos t sin 2t sin 2t 0 4t cos t
利用Jordan标准形来求矩阵函数值的方法，是一种较 为通用的方法 但计算量较大. 为通用的方法，但计算量较大
1 J
1 1
2
第二步 求把A化为Jordan 第二步：求把 J d 标准形所用的相似变换矩阵P 设相似变换矩阵 P = (p1, p2, p3)，由P-1AP=J 得，AP=PJ
1 1 A( p1 , p2 , p3 ) ( p1 , p2 , p3 ) 1 2 ( Ap A 1, A Ap2 , A Ap3 ) ( p1 , p1 p2 , 2 p3 )
1 P ( p1 , p2 , p3 ) 1 2
0 1 1
0 1 0
1 所以， 1 P AP J
所以，
f ( J1 ) e P
A
1 1
2
e e 1 1 P P e P f (J 2 ) 2 e
列方程组求解 b0, b1, …bn-1 1;
第三步：计算
f ( At ) r ( A, t ) bn 1 (t ) An 1 b1 (t ) A b0 (t ) E
1 0 1 A 1 2 0 例1：已知 4 0 3
解 A的特征多项式为 解：
矩 阵 理 论
(Matrix Theory)
姜国义(工学院)
gyjiang@stu edu cn gyjiang@
第五章：矩阵分析
(Matrix Analysis and its Application )
矩阵函数值的计算
方法一：利用 Hamilton – Cayley y y 定理 方法二：利用相似对角化
ri 1 t t ( ri 1) 所以， ( ) f ( ) f f ( ) (ri 1)! ) 1! f ( ) k k f ( J i t ) ak J i t k 0 t f ( ) 1! f ( ) it
，求 e At
.
det( E A) ( 1) 2 ( 2)
设 r ( , t ) b2 b1 b0
2
t r (1) b b b e , λ=1的0阶导数 2 1 0 t r (1) 2 b b te , λ=1的1阶导数 2 1 2t r (2) 4 b 2 b b e . λ=2的0阶导数 2 1 0
利用矩阵的最小多项式
（如果已知矩阵的最小多项式，那么利用最小多项式会使方程个数大大减少）
利用特征多项式 f ( t ) q ( , t ) ( ) r ( , t ) 利用特征多项式：
[ 其中 r(λ,t) 的次数低于 φ(λ) ]
利用最小多项式： f ( t ) q ( , t )mA ( ) r ( , t )
[ 其中 r(λ,t) 的次数低于 mA(λ) ]
3 1 1 At A 2 0 2 例2：已知 ，求 e . 1 1 3
解 A的Jordan 解： d 标准形为
2 J 2 1 2
所以A的最小多项式为， mA ( ) ( 2) 2 可设， r ( , t ) b1 b0 (次数低于最小多项式) 可设
由，
2t r (2) 2b1 b0 e , 2t λ=2的1阶导数 r (2) b te . 1
λ=2 2的0阶导数
2t 解得， b te , 1
2t b0 (1 2t )e .
b2 e 2t et tet , 2t t t 解得 解得， b1 2e 2e 3te , t 2t b e 2 te . 0
所以， 所以
et 2tet 2t t At 2 e b2 A b1 A b0 E e e 2te t t t te 4 0 e 2t 0 2t t t e e te t 2tet et tet
T
p3 k3 (0 (0,1, 1 0)
1 0 2
1 0 0
T
(可取k1=k3=1)
而p2要由求解非齐次线性方程组(E - A)x x= - p1 得到，由
2 ( E A, p1 ) 1 4 0 1 0 1 1 2 0 1 0
Jordan块Ji的k次幂公式
从而，
f ( J1t ) f ( At ) ak Ak t k ak ( PJP 1 ) k t k P k 0 k 0

1 P f (J st )
常用的基本初等函数的导数公式：
k 1 (1). 1 2 0
对应2重特征值 λ1= λ2=1 只有一个线性无关的特征向量，
(1 1 (1, 1, 2)
T (0,1, 0) 对应特征值 λ3=2 的特征向量为 .
T
故对应2重特征值 λ1= λ2=1 只有一个Jordan块，阶数为2.
由特征向量法知，A的Jordan标准形如下：
方法三 利用Jordan 方法三：利用 J d 标准形
nn nn A C 设 ，且 P Cn ，使得 使得 J1 J2 1 , P AP J Js
i 1 i Ji 1 i r r i i
.
解 第 步 求该矩阵的Jordan 解：第一步：求该矩阵的 J d 标准形 可求得A的特征值为 λ1 = λ2 =1， λ3 =2. 当 λ1= λ2=1 时，解方程组 (E-A)x = 0，由
2 E A 1 4
0 1 0
1 初等行变换 0 2
1 0 0
1 2 12 0
初等行变换
1 2 1 2 0
得通解为，
1 2 1 2 x 1 2 k2 1 2 (k2 C) 0 1 (非齐次的通解=非齐次的特解+相应齐次的通解)
取 p2=(0, -1, 1)T, 故所用的相似变换矩阵为，
x (2). (e ) e x
(3). (sin x) cos x (4). (cos x) sin x
x (5) (a ) a l (5). ln a (a 0, 0 a 1) x
1 例：已知 A= 1 4
0 2 0
1 0 ，求 e A , sin At 3
Ap1 p1 A 2 p1 p2 Ap Ap p3 2 p3
( E - A) p1 0 ( E - A) p2 p1 ( (2 E - A) p3 0
可见p1, p3是A的对应特征值1和2的特征向量，已求得， 的特征向量 已求得
p1 k1 (1, (1 1 1, 2) ,
3 0 例：设 A 0 0
1 0 0 3 1 0 1 ，求 f ( A) . A 0 3 1 0 0 3
1 f (3) 1! f (3) 所以， f (3) 1 1 f ( A) E diag ( f ( J1 )) E A 1 1 1 1 3 9 27 81 1 1 1 3 9 27 1 1 3 9 1 3