矩阵理论课件 (2)
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵理论及其应用(重大版第二章课件)
矩阵理论及其应用CQU第二讲基变换与坐标变换、线性子空间李东重庆大学数学与统计学院◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQU线性空间的基是不惟一的，同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。
不同的基之间、同一个向量在不同的基下的坐标之间有何关系呢？通过间单的计算知道它们之间相差一个可逆矩阵。
CQUCQU一、基变换设分别是线性空间上的两个不同的基。
由基的定义知道唯一存在可逆矩阵，使得(1)称A 称是由基到的过渡矩阵。
称(1)为基变换公式。
二、坐标变换设向量αϵV,α在这两组基下的坐标分别为：(2)则有下式成立。
CQUCQUCQU从而，有即：(4)称(4)为坐标变换公式。
思考：这里的基变换公式、坐标变化公式和教材有何差别？CQU例1 求R 4中的基，，，到基，，，的坐标变换公式。
解：见下页CQUCQU◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQUCQU定义1.5 设V 是K 上的线性空间，W ⊂V 按V 的线性运算也构成线性空间，称W 是V 的线性子空间(子空间)。
即：W 是V 的线性子空间W 是V 的线性子空间两个平凡子空间：V 和{0}.一、线性子空间的定义判别方法？Important Theorem（TH1.5.1 P11）W 是子空间 W 对V 的线性运算封闭子空间本身就是线性空间。
子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法CQU子空间和非子空间的例子I.V={x=(x1，x2，0｝⊆R3，是子空间II.V={x=(x1，x2，1｝⊆R3，不是子空间例1齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间，称为解空间。
S=｛X：AX=0｝⊆R n，例1’非齐次线性方程的解集：不是子空间M=｛X：AX=b｝CQU例2集合C=a ijn×n |a ij∈K,σi=1n aii=0⊂K n×n是线性子空间。
例3集合M=a ijn×n|a ij∈K，a ij=a ji⊂K n×n是线性子空间。
矩阵建模法全部课件
0
G2
x4 0
0
− G4 0 x1 1
0
−
G5
x2
+
0
u =Qx
+
Pu
0 G3
0
x3
0 x4
0 0
例6.6 数字滤波器系统函数
= x1 qx2 + 2u
x2
=
3 8
q
−
1 4
x3
+
1u 4
x1 1
x2
0
x3 0
*
x4 x5
+
0 0
*u
⇒
X
=
QX
+
PU
x6 0
x7
0
x8 0
⇒ (I - Q)X = PU ⇒ W = X/U = (I - Q) \ P
例6.3 两构件桁架的平衡问题
受
Nax + Ncx = 0
力
Nay + Ncy = 200
方 程
−Ncx sinθ1 + Ncy cosθ1
Nbx − Ncx = 0
= 86
Nby − Ncy = 100
组
Ncx sinθ2 + Ncy cosθ2 = -35
1 0 0 0 1
矩阵建模法是线代最大的应用
• 从上面给出的应用实例看，电路、力学、信号与系统、信号处理、 自动控制、…..那么多的主课，都可以藉助于矩阵建模法解决其遇到 的高阶系统的难题，并借助于它而进行机算，实现计算现代化。所 以它是线性代数最有价值的一个功能，凡是用了这个功能的，都会 毫无保留地承认线性代数是工科必修的基础课。矩阵建模法有几项 特别重大的贡献我们将在下面介绍。
矩阵理论及其应用(重大版第八章课件)
������→∞ ������→∞ ������→∞ ������→∞
{������������ }和{������������ }为数列，则 lim (������������ ������������ +������������ ������������ ) = ������������ + ������������。
(运用������(������) ������−1 (������)=E，然后两边求导)
������ (6) 几种特殊情况： ������������ ������ − ������sin ������������ , sin ������������ ������������
������ ������������
=
������������ ������������
=
������ ������������ ������
,
������ ������������
cos ������������
=
= ������cos ������������ 。
例1 设求二次型������ ������ ������������ 的导数（其中A对称）。
的每一个元素������������������ (������)是变量������
的可微函数，则称������(������)微，其导数定义为
������������ ������������
=
������′ (������)
=
������������������������ ������������ ������������
������→∞
CQU
4
向量和矩阵序列极限的性质
{������������ }和{������������ }为数列，则 lim (������������ ������������ +������������ ������������ ) = ������������ + ������������。
(运用������(������) ������−1 (������)=E，然后两边求导)
������ (6) 几种特殊情况： ������������ ������ − ������sin ������������ , sin ������������ ������������
������ ������������
=
������������ ������������
=
������ ������������ ������
,
������ ������������
cos ������������
=
= ������cos ������������ 。
例1 设求二次型������ ������ ������������ 的导数（其中A对称）。
的每一个元素������������������ (������)是变量������
的可微函数，则称������(������)微，其导数定义为
������������ ������������
=
������′ (������)
=
������������������������ ������������ ������������
������→∞
CQU
4
向量和矩阵序列极限的性质
矩阵低秩分解理论课件
多媒体技术与小学语文教学的有效融合【摘要】本文旨在探讨多媒体技术与小学语文教学的有效融合。
在介绍了这一主题的重要性。
在分别从多媒体技术在小学语文教学中的应用、提升教学效果、促进学生学习兴趣、缓解教学难点以及实践案例等方面进行了分析。
随后在总结了多媒体技术与小学语文教学融合的重要性，并探讨了未来多媒体技术在小学语文教学中的发展方向，倡导了深度融合的观点。
通过本文的研究，可以清晰地看到多媒体技术在小学语文教学中的价值和潜力，为提升教学质量和学生学习效果提供了新的思路和方法。
【关键词】多媒体技术、小学语文教学、融合、应用、提升效果、提高兴趣、缓解难点、实践案例、重要性、发展方向、深度融合1. 引言1.1 多媒体技术与小学语文教学的有效融合多媒体技术与小学语文教学的有效融合，是当前教育领域中备受关注的话题。
随着科技的发展和普及，多媒体技术在教育教学中的运用逐渐广泛，而在小学语文教学中，充分利用多媒体技术，将会对学生的语文学习起到积极的促进作用。
语文教学是小学教育的重要组成部分，而多媒体技术的引入使得传统的语文教学方式得到了革新和提升。
通过多媒体技术，教师可以呈现丰富多彩的教学内容，如图文并茂的课件、生动有趣的动画等，这不仅可以激发学生的学习兴趣，还能提升教学效果。
多媒体技术还能够帮助教师解决小学语文教学中的难点和问题，比如词语解释、生字认读等。
通过多媒体技术，这些看似抽象难懂的知识可以被生动形象地呈现出来，使学生更容易理解和掌握。
多媒体技术与小学语文教学的有效融合是一种创新、高效的教学方式，它不仅提升了教学效果，还帮助学生增加学习兴趣，促进了语文素养的提高。
在未来，随着多媒体技术的进一步发展，它将在小学语文教学中发挥出更大的作用，倡导多媒体技术与小学语文教学的深度融合将成为当前教育改革的重要方向。
2. 正文2.1 多媒体技术在小学语文教学中的应用多媒体技术在小学语文教学中的应用是指利用计算机、视频、音频、图像等多种媒体形式，结合教学内容和教学目标，为小学生提供多样化的学习方式和资源。
—逆矩阵
非奇异矩阵A 的逆矩阵一定存在。
反过来, 如果矩阵 A 的逆矩阵 A1 存在, 则 AA1 E 。
两边取成行列式, 得 | AA1 | | A || A1 | | E | 1,
故 | A| 0。
实际上 , 我们证明了一个定理。
逆矩阵存在的充要条件 矩阵 A 可逆的充要条件是其行列式 | A | 0。
r3 3 r1
0 1 0 2 1 0
3 2 1 0 0 1
0 2 1 3 0 1
r3 (2) r2
1
0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 7
0 1 2
0 0 , 故 1
1
A1 2 7
0 1 2
0
0 。 1
运用初等变换法的最大好处在于：
当不知道矩阵A 是否有逆矩阵时, 我们可以直接
运用初等变换法进行计算
或者说 : 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为满秩的。
或者说: 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为非奇异的。
利用伴随矩阵求逆矩阵 若矩阵 A 可逆 , 则 A1 A* 。 | A|
例
设
A
1 3
2 4
,
求 A－1。
解
| A|
1 3
2 4
2。
A11 4 , A12 3 , A21 2 , A22 1,
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An 2
Ann
称为 A的伴随矩阵。
转置！
由行列式的拉普拉斯按行 (列) 展开定理, 得
a11 a12
AA* a21
a22
an1 an2
a1n A11
第二章 信号矩阵理论PPT课件
R s 、R n分别表示信号和噪声的相关矩阵。
河南工业大学
9
2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
河南工业大学
3
一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
河南工业大学
4
自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
河南工业大学
12
提问与解答环节
河南工业大学
9
2.3梯度运算
10
梯度定义 实标量函数(W)对向量W的梯度为：
d e W ( W f) 0 a j 0 b 1 a j 1 b. . .L aj L T b
(2-9)
式部中，w即la：, wwlbl=分w别la+是jw向lb;量即W为的第(Wl个). 元素wl的实部和虚
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3
一般一个自适应系统的输入x(t)表示为
x(t)=a(t)ej e+n(t）
(2-1)
其中， a(t)为输入信号的复包络（时节缓变的 随机信号），为信号的载频， n(t)为输入噪 声。
输入信号用向量的形式表示，隐去时间函数， 则信号向量X可以表示为：
X=[x0 x1…xL]T
(2-2)
式中“T”表示矩阵转置。
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4
自适应系统的基本单元（线性组合器）
x0
w0
x1
w1
…
xL 权向量 wL
+ +
+
y
输出信号
图2-1 此基本单元由L+1个输入x0(t) ,x 1 (t),… xL (t),其相应的 一 组可调权为 w0 , w1 ,… wL ,而输出信号为y(t),用于调整权 的方法即 “自适应算法”。
W
W
(2-10)
w k * r kw l (w k a jk w )b r k( la jkr ) lw b l( ajlw ) b(2-11)
其中，rkl为相关矩阵R的第k行第l列的元
素，因为 rklrklajrklb
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12
提问与解答环节
矩阵理论矩阵的标准型ppt课件
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
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必要性：R( A) R( AH )uAuAuuuuuPuuRu(uAu)u,uAuuuAuuuuPuRu(uAuHuur) AA A A
返回
定理 4 设 A C mn，则有 (1) ( AH A) A ( AH ) ,( AAH ) ( AH ) A; (2) ( AH A) A ( AAH ) A AH ( AAH ) ( AH ); (3) AA ( AAH )( AAH ) ( AAH ) ( AAH );
返回
证:(1) r 0 A 0 A 0 (2) r 0 存在最大秩分解A BD,(B Crmr , D Crrn ) BH B Crrr , DDH Crrr G D1H4(2DD4H3)11(B4H2B)413BH
D的公式法构造的右逆 B的公式法构造的左逆
AGA A GAG G ( AG)H G H AH [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]H (BD)H
A[( AAH ) ]H A A ( AAH ) A (3) AA A [ AH ( AAH ) ] ( AAH )( AAH ) (I )
返回
( AAH ) ( AAH ) (BDDH BH ) (BDDH BH ) BDDH (DDH BH BDDH )1(BH B)1 BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1(BH B)1BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH BD[DH (DDH )1(BH B)1 BH ]
A ABBH AH ABB
,
为Hermite矩阵
返回
B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH
返回
( AG)H B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH B[(BH B)H ]1[(DDH )H ]1 DDH BH B(BH B)1(DDH )1 DDH BH
B(BH B)1 BH BDDH (DDH )1(BH B)1 BH AG (GA)H AHG H DH BH B[(BH B)1]H [(DDH )1]H D DH BH B(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH BD GA G是A的M P广义逆矩阵A
A A ( AH A)( AH A) ( AH A) ( AH A).
证: (1) A BD是最大秩分解
A DH (DDH )1(BH B)1 BH
( AH A) (DH BH BD) { DH 1B44H2B4D43为AH A最大秩分解 uuB1uuuuuDu1uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru
( AH A) (BH BD)H (BH BDDH BH B)1(DDH )1 D 返回
DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH B(BH B)1(DDH )1 D [DH (DDH )1(BH B)1 BH ][B(BH B)1(DDH )1 D] A ( AH ) (2) ( AH A) A ( AH ) A ( A )H A[ AH ( AAH ) ]H
返回
证:(2) A BD为最大秩分解 BH B, DDH可逆 ( A )T [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]T
(BH )T [BT (BH )T ]1[(DH )T DT ]1(DH )T (BT )H [BT (BT )H ]1[(DT )H DT ]1(DT )H ( AT )
AA (II )
(I ),(II )
AA ( AAH ) ( AAH )
( AAH )( AAH )
返回
定理 5 设A C ml，B B) R(B),
R(
BB
H
AH
)
R( AH
).
A ABBH AH
B
BAH
AB
BBH AH AH AB.
,
5 M - P广义逆矩阵A+
定义 1 设 A C mn，如果有G C nm，使得 AGA A, GAG G, (GA)H GA,( AG)H AG,
则称G是A的M P广义逆矩阵，记为G A .
定理 1 设A Crmn, A BD是A的最大秩分解,则
G DH (DDH )1(BH B)1 BH 就是A的M P广义逆矩阵A .
最大秩分解
返回
uAuHuuAuuuuBu1uDuu1u;uuBuu1uuuDuuHuu,uDu1uuuuBuHuuBuuDuru
( AH A) AH [D1H (D1D1H )1(B1H B1)1B1H ](BD)H (BH BD)H [(BH BD)(BH BD)H ]1(DDH )1 D(BD)H DH BH B(BH BDDH BH B)1(DDH )1 DDH BH DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH
uRu(uAuuAuuu) uuuRu(uAuu)u, uRu(uAuuuAuu)uuuRu(uuAuu)u,uRuu(uAuuu) uuuRu(uAuuHuur)u AA =PR( A), A A PR( AH ) (6)充分性：AA =A A，A是A的自反广义逆矩阵
R( A) R( AA ) =R( A A) R( A ) R( AH )
(3) A BD为最大秩分解 AH A (BD)H BD
DH BH BD DH (BH BD) uBu1uuuDuuHuu,uDuu1uuuBuuHuBuuDur
AH A B1D1 rank( A) rank( AH A) r r rank(D) rank(B1)
rank(BH BD) rank(D1) AH A B1D1是AH A的
DH (DDH )1(BH B)1 BH A (4) A是A的自反广义逆 rank( A ) rank( A) rank( AH )uRu(uAuuu)uuuuRu(uAuuHuur) R( A ) R( AH )
返回
(5) A是A的自反广义逆 AA和A A是幂等矩阵 AA =PR( AA ) , A A PR( A A)
返回
定理 2 设 A C mn，则A是唯一的.
定理 3 设 A C mn，则有 (1) ( A ) A; (2) ( AT ) ( A )T ,( AH ) ( A )H ; (3) A ( AH A) AH AH ( AAH ); (4) R( A ) R( AH ); (5) AA PR( A), A A PR( AH ); (6) R( A) R( AH ) AA A A.
返回
定理 4 设 A C mn，则有 (1) ( AH A) A ( AH ) ,( AAH ) ( AH ) A; (2) ( AH A) A ( AAH ) A AH ( AAH ) ( AH ); (3) AA ( AAH )( AAH ) ( AAH ) ( AAH );
返回
证:(1) r 0 A 0 A 0 (2) r 0 存在最大秩分解A BD,(B Crmr , D Crrn ) BH B Crrr , DDH Crrr G D1H4(2DD4H3)11(B4H2B)413BH
D的公式法构造的右逆 B的公式法构造的左逆
AGA A GAG G ( AG)H G H AH [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]H (BD)H
A[( AAH ) ]H A A ( AAH ) A (3) AA A [ AH ( AAH ) ] ( AAH )( AAH ) (I )
返回
( AAH ) ( AAH ) (BDDH BH ) (BDDH BH ) BDDH (DDH BH BDDH )1(BH B)1 BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1(BH B)1BH BDDH BH BDDH (DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH BD[DH (DDH )1(BH B)1 BH ]
A ABBH AH ABB
,
为Hermite矩阵
返回
B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH
返回
( AG)H B[(BH B)1]H [(DDH )1]H DDH BH B[(BH B)H ]1[(DDH )H ]1 DDH BH B(BH B)1(DDH )1 DDH BH
B(BH B)1 BH BDDH (DDH )1(BH B)1 BH AG (GA)H AHG H DH BH B[(BH B)1]H [(DDH )1]H D DH BH B(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH BD GA G是A的M P广义逆矩阵A
A A ( AH A)( AH A) ( AH A) ( AH A).
证: (1) A BD是最大秩分解
A DH (DDH )1(BH B)1 BH
( AH A) (DH BH BD) { DH 1B44H2B4D43为AH A最大秩分解 uuB1uuuuuDu1uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuru
( AH A) (BH BD)H (BH BDDH BH B)1(DDH )1 D 返回
DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 D DH (DDH )1(BH B)1 BH B(BH B)1(DDH )1 D [DH (DDH )1(BH B)1 BH ][B(BH B)1(DDH )1 D] A ( AH ) (2) ( AH A) A ( AH ) A ( A )H A[ AH ( AAH ) ]H
返回
证:(2) A BD为最大秩分解 BH B, DDH可逆 ( A )T [DH (DDH )1(BH B)1 BH ]T
(BH )T [BT (BH )T ]1[(DH )T DT ]1(DH )T (BT )H [BT (BT )H ]1[(DT )H DT ]1(DT )H ( AT )
AA (II )
(I ),(II )
AA ( AAH ) ( AAH )
( AAH )( AAH )
返回
定理 5 设A C ml，B B) R(B),
R(
BB
H
AH
)
R( AH
).
A ABBH AH
B
BAH
AB
BBH AH AH AB.
,
5 M - P广义逆矩阵A+
定义 1 设 A C mn，如果有G C nm，使得 AGA A, GAG G, (GA)H GA,( AG)H AG,
则称G是A的M P广义逆矩阵，记为G A .
定理 1 设A Crmn, A BD是A的最大秩分解,则
G DH (DDH )1(BH B)1 BH 就是A的M P广义逆矩阵A .
最大秩分解
返回
uAuHuuAuuuuBu1uDuu1u;uuBuu1uuuDuuHuu,uDu1uuuuBuHuuBuuDuru
( AH A) AH [D1H (D1D1H )1(B1H B1)1B1H ](BD)H (BH BD)H [(BH BD)(BH BD)H ]1(DDH )1 D(BD)H DH BH B(BH BDDH BH B)1(DDH )1 DDH BH DH BH B(BH B)1(DDH )1(BH B)1(DDH )1 DDH BH
uRu(uAuuAuuu) uuuRu(uAuu)u, uRu(uAuuuAuu)uuuRu(uuAuu)u,uRuu(uAuuu) uuuRu(uAuuHuur)u AA =PR( A), A A PR( AH ) (6)充分性：AA =A A，A是A的自反广义逆矩阵
R( A) R( AA ) =R( A A) R( A ) R( AH )
(3) A BD为最大秩分解 AH A (BD)H BD
DH BH BD DH (BH BD) uBu1uuuDuuHuu,uDuu1uuuBuuHuBuuDur
AH A B1D1 rank( A) rank( AH A) r r rank(D) rank(B1)
rank(BH BD) rank(D1) AH A B1D1是AH A的
DH (DDH )1(BH B)1 BH A (4) A是A的自反广义逆 rank( A ) rank( A) rank( AH )uRu(uAuuu)uuuuRu(uAuuHuur) R( A ) R( AH )
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(5) A是A的自反广义逆 AA和A A是幂等矩阵 AA =PR( AA ) , A A PR( A A)
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定理 2 设 A C mn，则A是唯一的.
定理 3 设 A C mn，则有 (1) ( A ) A; (2) ( AT ) ( A )T ,( AH ) ( A )H ; (3) A ( AH A) AH AH ( AAH ); (4) R( A ) R( AH ); (5) AA PR( A), A A PR( AH ); (6) R( A) R( AH ) AA A A.