2018-2019学年人教A版数学选修2-3同步导学精品课件：第三章 统计案例3.1

• ①用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的 ，通常我们并不知道真实模型是什么)所引起的误差．可 能存在非线性的函数能更好地描述y与x之间的关系，但是 现在却用线性函数来表述这种关系，结果会产生误差．这 种由模型近似所引起的误差包含在e中． • ②忽略了某些因素的影响．影响变量y的因素不只变量x， 可能还包括其他许多因素(例如在描述身高和体重关系的 模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食 习惯、生长环境等其他因素的影响)，它们的影响都体现 在e中． • ③观测误差．由于测量工具等原因，导致y的观测值产生 误差(比如一个人的体重是确定的数，但由于测量工具的
2 2 2 2 ＝ 84 ＋ 64 ＋ … ＋ 57 ＋ 71 ＝47384， y2 i i＝1
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，
i＝1
10
所以，相关系数为 73796－10×107.8×68 r＝ 116584－10×107.8247384－10×682 ≈0.7506， 由 0.7506>0.75 知，两次数学考试成绩有显著的线性相关关系．
正相关
负相关
• 二、线性回归分析 • 1．随机误差 • (1)随机误差的概念：当样本点散布在某一条直线的附近， 而不是在一条直线上时，不能用一次函数y＝bx＋a来描述 y＝bx＋a＋e x y 两个变量之间的关系，而是用线性回归模型 2 e σ 0 _______________来表示，这里_____称为解释变量， _____称为预报变量，_____称为随机误差，E(e)＝_____ ，D(e)＝_____． • (2)随机误差及其产生的原因 • 从散点图中我们可以看到，样本点散布在某一条直线附近 ，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y＝bx＋a来
i＝1 n
相关指数 R2 的计算公式是 R2＝1－
．
y i－ y 2
i＝1
n
R2 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果(即回归效果) 好 ． 越______
相关系数r___的平方． 在含有一个解释变量的线性模型中，R2 恰好等于__________
• 1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤 ： • ①对所求出的回归直线方程作出解释； • ②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n； • ③求线性回归方程； • ④求相关系数； • ⑤根据所搜集的数据绘制散点图． D • 如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结 论，则在下列操作顺序中正确的是 ( ) • A．①②⑤③④ B．③②④⑤①
^ a ＝
相关系数r___来描述线性相关关系的强 3．线性相关关系强与弱的判断：用__________
弱． 对于变量 x、y 随机抽取到的 n 对数据(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，其相
xi－ x yi－ y
i ＝1
n
xiyi－n x y
i ＝1
n
关系数 r＝
＝
． x2 i －n i＝1
x i－ x y i－ y
2 i＝1 i＝1
n
n
2

n
2 x y2 － n y i 2 i＝1
n
• 当r>0时，表明两个变量__________；当r<0时，表明两 强 个变量__________.r的绝对值越接近1，表明两个变量的 0.75 线性相关性越______；r的绝对值接近于0时，表明两个变 量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|大于 _________时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
请问：这 10 个学生的两次数学考试成绩是否具有显著的线性相关关系？
[ 解析]
－ 1 x ＝10(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
－ 1 y ＝10(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
2 2 2 2 x2 i ＝120 ＋108 ＋…＋99 ＋108 ＝116584， i＝1 10 10
• [解析] 对两个变量进行回归分析时，
• 首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据 绘制散点图． • 观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱， • 求相关系数，写出线性回归方程， • 最后依据所求出的回归直线方程作出解释； • 故正确顺序是②⑤④③① • 故选D．
2．(2018· 南充模拟)已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组 数据： x y
3．残差图 残差 为纵坐标，____________( 样本编号 或身高数据，或体重的估计值等)为横 以________ 坐标作出的图形，称为残差图．
贡献率 R2 越 4．在线性回归模型中，R2 表示解释变量对预报变量变化的__________.
接近于 1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强；反之，R2 越小，说明随 机误差对预报变量的效应越大． ^ y i－ y i 2
• 5．下图是根据变量x、y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…， 10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x、y具有 D 相关关系的图是 ( )
• A．①② B．①④ • C．②③ D．③④ • [解析] 根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变 量x，y具有相关的关系．
互动探究学案
• 『规律总结』 变量间是否具有线性相关关系，可通过散 点图或相关系数作出判断，散点图只是粗略作出判断，用 相关系数能够较准确的判断相关的程度．
〔跟踪练习 1〕 现随机抽取了我校 10 名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次 考试数学成绩(y)，数据如下表： 学生号 x y 1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71
命题方向1 ⇨变量间的相关性检测
典例 1
x y 关于两个变量 x 和 y 的 7 组数据如下表所示： 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325
试判断 y 与 x 是否线性相关．
[ 解析]
－ 1 x ＝7(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
1 2
自主预习学案
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案

• 2015年4月25日尼泊尔发生了8.1级地震，此次地震系本世 纪陆地第5次八级大地震，余震频繁而且震级还高，仅7级 以上余震就发生了2次，你知道地震的震级与地震次数之 间有什么关系吗？
相关关系 的一种统计方法．若两个变 1．回归分析是处理两个变量之间____________ 线性回归分析 ． 量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为________________
－ 1 y ＝7(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，
2 2 2 2 2 2 2 x2 i ＝21 ＋23 ＋25 ＋27 ＋29 ＋32 ＋35 ＝5414， i＝1 7
7
x iyi ＝ 21×7 ＋ 23×11 ＋ 25×21 ＋ 27×24 ＋ 29×66 ＋ 32×115 ＋ 35×325 ＝
2．残差 ^ ^ ^ ^ 对于样本点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，其回归方程为y＝bx＋a，用y作
y＝bx＋a＋e 为回归模型 2中 Ee＝0，De＝σ
bx＋a 的估计值，随机误差 ei＝yi－bxi－a 的估
^ ^ ^ y － b x － a i ____ i _____(i＝1,2，…，n)，称为相应于点(xi，yi)的残差． 计值ei＝___
^
6 6
5 5
^
10 3
12 2 ( B )
则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为 A．y＝0.7x－2.3
^
B．y＝－0.7x＋10.3
^
C．y＝－10.3x＋0.7
D．y＝10.3x－0.7
[ 解析]
根据表中数据，得；
1 33 x ＝4(6＋5＋10＋12)＝ 4 ， 1 y ＝4(6＋5＋3＋2)＝4， 且变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关，
xi－ x yi－ y
i＝1 n
n
^ ^ i＝ 1 2．回归直线方程为 y ＝ b x＋ a ，其中 b ＝__________________ ^ ( x__ ， y __ ) ____称为样本点的中心． y － b x __________ ，____ __
^
^
x i－ x 2
i＝1
18542．
2 2 2 2 2 2 2 ＝ 7 ＋ 11 ＋ 21 ＋ 24 ＋ 66 ＋ 115 ＋ 325 ＝124393， y2 i i＝1 7
－－ x y － 7 x y ii
i＝1
7
∴r＝
7 2 2 2 xi －7 x y2 － 7 y i i＝1 i＝1

7

18542－7×27.4×81.3 ＝ 5414－7×27.42×124393－7×81.32 2948.66 ≈3520.92＝0.8639． 由于 r＝0.8639>0.75，∴x 与 y 具有线性相关关系．
^ 33 33 所以，验证 x ＝ 4 时，y＝－0.7× 4 ＋10.3≈4， ^
即回归直线y＝－0.7x＋10.3 过样本中心点( x ， y )． 故选 B．
3．(2016· 武汉高二检测)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人 员获得了一组样本数据： 年龄 脂肪 23 9.5 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2 53 29.6 56 31.4 58 33.5 60 35.2