高中数学(人教B版,选修2-2)：第一章 导数及其应用+(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,2
人教课标版(B版)高中数学选修2-2第一章 导数及其应用导数
感悟高考
由 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝2. 所以当 x∈(－∞， 1)时， g′(x)＜0， g(x)在(－∞， 1)上为减函数；
当 x∈(1，2)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，2)上为增函数； 当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上为减函数； 1 所以，当 x＝1 时，g(x)取得极小值 g(1)＝ ，当 x＝2 时函数取 e 3 得极大值 g(2)＝ 2. e 函数 y＝k 与 y＝g(x)的图象的大致形状如上， 1 3 由图象可知，当 k＝ 和 k＝ 2时，关于 x 的方程 f(x)＝kex 恰有两 e e 个不同的实根．
1 1 ①当 x∈－2，0时，h′(x)>0，∴h(x)在－2，0上单调递增．
②当 x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1 1 1－2ln 2 ∴当 x∈－2，0时，h(x)>h－2＝ . 4
g（3）<0， 即a＋4－2ln 2<0， 解得 2ln 3－5≤a<2ln 2－4. g（4）≥0， a＋5－2ln 3≥0，
综上所述，a 的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4)． 2 方法二 ∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1) ，
∴f(x)＋x2－3x－a＝0 x＋a＋1－2ln(x－1)＝0， 即 a＝2ln(x－1)－x－1， 令 h(x)＝2ln(x－1)－x－1， 3－x 2 ∵h′(x)＝ －1＝ ，且 x>1， x－1 x－1 由 h′(x)>0，得 1<x<3；由 h′(x)<0，得 x>3. ∴h(x)在区间[2，3]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减．
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(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
人教B版高中数学选修2-2课件1.1.1《函数的平均变化率》.pptx
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第一章 导数
你 看 过 高 台 跳 水 比 赛 吗? 照片中锁定了运动员比 赛 的 瞬 间.已 知 起 跳1 s后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m 可用函数
ht 4.9t 2 6.5t 10表
示.如 何 求 他 在 某 时 刻 的 速 度 ?他 距水面的最大 高 度 是 多 少?
f 于是, 平均变化率可表示为 .
x
y
fx2 fx1
y fx
fx2 fx1
x2 x1
O
x1
x2
x
图1.1 1
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
变化率
f f x2 f x1
x
x2 x1
表 示 什 么?
x2 x1
示, 我 们 把 这 个 式 子 称 为 函数 f x从 x1到 x2的 平均变化率 average rate of change .习 惯 上
用x表 示 x2 x1 ,即x x2 x1 ,
x是一个整体符号,而不是与x相乘.
可把x 看作是相对于x1 的一个"增量", 可用x1
x代替x2; 类似地, f f x2 f x1 .
人们发现, 在高台跳水运动中, 运动员相对于水
面的高度 h 单位 : m与起跳后的时间t单位 : s
存在函数关系ht 4.9t 2 6.5t 10.
如果我们用运动员某段时间内的平均速度v描
述其运动状态,那么
在0 t 0.5这段时间里,
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05 m
/
s;
在1 t 2这段时间里,
v
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修2_2
, × - 2 = 12 .
5 125
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①求f'(x); ②解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0); ③确认并指出函数的单调区间. (2)求可导函数f(x)在区间[a,b]上最大(小)值的步骤: ①求出f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将f(x)在区间(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与 最小值.
(1)当 a=1 时,f'(x)= 单调减区间为( 2, 2).
2),
(2)当 x∈(0,1]时,f'(x)=
1 . 2
> 0,
所以 f(x)在区间(0,1]上单调递增,故 f(x)在区间(0,1]上的最大值 为 f(1)=a,因此 a=
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 用定积分求平面图形的面积 用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用,几种典型 的平面图形的面积计算如下:
因为 l1⊥l2,所以 2b+1=− 3 , ������ = − 3. 所以直线 l2 的方程为 y=− 3 ������ − 9 .
1 22
1
2
专题一
专题二
专题三
专题四
1 ������ = , ������ = 3������-3, 6 (2)解方程组 1 22 得 5 ������ = - 3 ������- 9 , ������ = - 2 , 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 6 ,- 2 . 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0), - ,0 3 1 22 所以所求三角形的面积为 S= 2 × 1 + 3
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)教师用书：第1章 导数及其应用 1.2.1、1.2.2
1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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[思路点拨]
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第一章 导数及其应用
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
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第一章 导数及其应用
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.5.3
1.5.3 定积分的概念明目标、知重点1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?答(1)定积分ʃb a f(x)d x是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f(x)d x与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃba f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值． 解 令f (x )＝x 3. (1)分割在区间0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间0,1]等分成n 个小区间i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .解 (1)分割：将区间1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n20＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n .(3)取极限：S ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二 定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答 当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃba f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答 如果在区间a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)． 由于b －an>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n ≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃbaf (x )d x ＝－S.当f (x )在区间a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆， 其面积为S ＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π.(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广①ʃb a f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N *)． 思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在－a ，a ]上连续不断，则ʃa－a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa0g (x )d x . 例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解 如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2d x＝π×322＝9π2，ʃ3－3x3d x＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x2－x3)d x＝ʃ3－39－x2d x－ʃ3－3x3d x＝9π2.反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x3d x＝14，ʃ21x3d x＝154，ʃ21x2d x＝73，ʃ42x2d x＝563，求：(1)ʃ203x3d x；(2)ʃ416x2d x；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x.解(1)ʃ203x3d x＝3ʃ20x3d x＝3(ʃ10x3d x＋ʃ21x3d x)＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x2d x＝6ʃ41x2d x＝6(ʃ21x2d x＋ʃ42x2d x)＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x＝ʃ213x2d x－ʃ212x3d x＝3ʃ21x2d x－2ʃ21x3d x＝3×73－2×154＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x3d x＝∑i＝1n i3n3·1n；②ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n(i－1)3n3·1n；③ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n i3n3·1n.A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 ②③成立．2．定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x . 答案 ①> ②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间0，T ]n 等分，则Δx ＝Tn. (2)近似代替、求和取ξi ＝T i n(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n(T i n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3. 呈重点、现规律]1．定积分ʃbaf (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础过关1．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在a ，b ]上恒正 答案 D解析 对于A ，f (－x )＝－f (x )，ʃa－a f (x )d x＝ʃ0－a f (x )d x ＋ʃa 0f (x )d x ＝－ʃa 0f (x )d x ＋ʃa0f (x )d x ＝0，同理B 正确；由定积分的几何意义知，当f (x )>0时，ʃb a f (x )d x >0即C 正确；但ʃb a f (x )d x >0，不一定有f (x )恒正，故选D. 2．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 答案 B解析 偶函数图象关于y 轴对称， 故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 3．已知ʃt 0x d x ＝2，则ʃ0－t x d x 等于( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 在－t ，t ]上是奇函数， ∴ʃt －t x d x ＝0.而ʃt －t x d x ＝ʃ0－t x d x ＋ʃt0x d x ， 又ʃt0x d x ＝2，∴ʃ0－t x d x ＝－2.故选D.4．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A ．ʃ40(x 2－4)d x B.||ʃ40(x 2－4)d x C ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x 答案 C5．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36 D ．2 016 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016， 得ʃa－a |x |d x ≤36，∴ʃa－a |x |d x ＝2ʃa0x d x ＝a 2≤36， 即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6.7.lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x答案 B解析 lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋1n )(1＋2n)…(1＋n n ) ＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋i n )n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋in )n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间0,1])．二、能力提升8．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案 －ʃ0－πsin x d x解析 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsinx d x .9．计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________. 答案 π解析 由于ʃ1－14－4x 2d x ＝2ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的面积π，所以ʃ1－14－4x 2d x ＝π. 10．设f (x )是连续函数，若ʃ10f (x )d x ＝1，ʃ20f (x )d x ＝－1，则ʃ21f (x )d x ＝________. 答案 －2解析 因为ʃ20f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ，所以ʃ21f (x )d x ＝ʃ20f (x )d x －ʃ10f (x )d x ＝－2.11．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么． 解 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间1,2]等分为n 个小区间1＋i －1n ，1＋in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 32n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6]＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23， ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．12．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)⎰x .解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3， x ∈[－2，2)2x ， x ∈[2，π)cos x ， x ∈[π，2π]，求f (x )在区间－2,2π]上的积分．解 由定积分的几何意义知 ʃ2－2x 3d x ＝0，ʃπ22x d x ＝(π－2)(2π＋4)2 ＝π2－4， ʃ2ππcos x d x ＝0， 由定积分的性质得ʃ2π－2f (x )d x ＝ʃ2－2x 3d x ＋ʃπ22x d x ＋ʃ2ππcos x d x ＝π2－4.。
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＝12180x2＋80x0－145，
h′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x02 3(0≤x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x＝80时，h(x)取得极小值． 此时h(x)＝1281000×803－830×80＋8×54＝445＝11.25(L)． ∴当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油最少，最少为11.25 L.
要耗油1281000×403－830×40＋8×2.5＝17.5(L)． ∴当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要 耗油17.5L.
(2)当速度为x
km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了
100 x
h，
设耗油量为h(x) L，依题意得
h(x)＝1281000x3－830x＋8×10x 0
成才之路 ·数学
人教B版 • 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 导数及其应用
第一章
1.3 导数的应用 第3课时 导数的实际应用
1 课前自主导学 2 课堂互动探究
3 学法归纳总结 4 课后强化作业
课前自主导学
低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化碳的排 放，就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能环 保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们 希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或 每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
课堂互动探究
费用最省问题
已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水 而行到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的 平方成正比．当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为 了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.
利用导数求实际问题的最值的一般步骤： (1)找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系y＝f(x)． (2)______求__导__数__f′_(x_)_，__解__方__程__f′_(x_)_＝__0________. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的值的大小，最 大(小)者为最大(小)值．
所以函数v＝16时取得极值，并且是极小值． 当v0≥16时，v＝16使y最小． 即全程燃料费最省． 当v0<16时，可得y＝1v0－008v2在(8，v0]上递减， 即当v＝v0时，ymin＝1v000－0v820. 综合上述得：若v0≥16，当v＝16km/h时，全程燃料费最 省；若8<v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．
水库的蓄水量随时间而变化．现用t表示时间，
以月为单位，年初为起点．根据历年数据，某水库的蓄水量
(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为
[解析] 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k， 则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720， ∴720＝k·122解得k＝5，∴y1＝5v2. ∴全程的燃料费y＝y1·v2－008＝1v0－008v2(8<v≤v0)． y′＝2000vv－ v－88－2 1000v2＝1000vv2－－8162000v. 令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．
所以当x＝ 23时，S取得最大值， 此时，S最大＝329 3，y＝83. 即矩形的边长分别为4 3 3，83时，矩形的面积最大． [说明] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一 边长．
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆 柱的高h的值．
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S 圆柱侧＝2πrh，
[说明] 解决费用最省问题，也是导数的一个重要应 用．解决这类问题，首先要选取合适的量为自变量，并确定 其取值范围，然后将费用表示为自变量的函数，再利用导数 求最值，使问题得到解决．
统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y(升)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y＝
1 128000
面积、体积最大问题
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点 位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大 时的边长．
[分析] 如图所示，设出AD的长， 进而求出|AB|表示出面积S，然后利用导 数求最值．
[解析] 设矩形边长AD＝2x， 则|AB|＝y＝4－x2. ∴矩形面积为S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3.所以 S′＝8－6x2. 令S′＝0，解得x1＝ 23，x2＝－ 23(舍去)． 当x< 23时，S′>0；当x> 23时，S′<0.
如何使汽油的使用效率最高？
1．知识与技能 能利用导数解决实际问题中的最优化问题． 2．过程与方法 通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数 学问题的方法，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的 方法．
3．情感态度与价值观 通过本节的学习，进一步体会数学是从实践中来，又将 应用于实践中去，体验数学的应用价值，从而提高学习数学 的兴趣，坚定学好数学的信心.
x3－830x＋8(0≤x≤120)，已知甲、乙两地相距100 km. (1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 最少？最少为多少升？
[解析] (1)当x＝40 km/h时，汽车从甲地到乙地行驶了 14000＝2.5 h，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh. ∴h＝S－2π2rπr2，
又圆柱的体积V＝πr2h＝2r(S－2πr2)＝rS－22πr3， V′＝S－26πr2， 令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，
又r＝ 6Sπ，
∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为 36ππS.
实际应用问题