2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例习题课件
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2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
运用多个公式解决含多个未知数的问题。
动态演示
结合动画演示，直观地呈现三角函数的计算过 程。
总结
1 重点内容概括
回顾本章重点内容，检 查概念与公式的掌握程 度。
2 解题方法总结
总结解题技巧和常用公 式，为下一步的练习做 好准备。
3 知识点巩固提示
练习做题、做笔记，多 次温习概念与公式，通 过追溯源头的方式加深 理解。
正弦、余弦、正切公式
正弦公式
三角形任意两边的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦公式
根据勾股定理和余弦函数，得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
正切公式
将正弦公式与余弦公式相除得到tanA=a/b*tanC-b/a。
解题技巧
1
使用两角和/差公式
判断题中是否存在三角形两个角之和/
合理运用公式
2
差，使用对应的公式。
根据题目中所给的信息，选择合适的
公式，并化简，变形运用。
3注意化简Fra bibliotek将多个三角函数合并为一个统一的三 角函数，然后进行化简，避免表达式 过于复杂。
练习题
求第三个角度
已知三角形内两角的度数，求第三个角的度数。
求解三角形的边长
已知部分边长与角度，求解三角形剩余边长度。
复杂问题
数学一轮复习：三角函数 解三角形
本课件旨在帮助你理解三角形的两角和与差，掌握正弦、余弦、正切公式， 并运用解题技巧快速解决问题。
三角形的两角和与差
两角和公式
两个角的和为第三个角的补角，即A+B=180°-C， 其中C为第三个角的度数。
两角差公式
两个角的差的余角等于这两个角的余角之积，即 A-B=C-》sinA*sinB=sinC*sin(A+B)。
动态演示
结合动画演示，直观地呈现三角函数的计算过 程。
总结
1 重点内容概括
回顾本章重点内容，检 查概念与公式的掌握程 度。
2 解题方法总结
总结解题技巧和常用公 式，为下一步的练习做 好准备。
3 知识点巩固提示
练习做题、做笔记，多 次温习概念与公式，通 过追溯源头的方式加深 理解。
正弦、余弦、正切公式
正弦公式
三角形任意两边的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦公式
根据勾股定理和余弦函数，得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
正切公式
将正弦公式与余弦公式相除得到tanA=a/b*tanC-b/a。
解题技巧
1
使用两角和/差公式
判断题中是否存在三角形两个角之和/
合理运用公式
2
差，使用对应的公式。
根据题目中所给的信息，选择合适的
公式，并化简，变形运用。
3注意化简Fra bibliotek将多个三角函数合并为一个统一的三 角函数，然后进行化简，避免表达式 过于复杂。
练习题
求第三个角度
已知三角形内两角的度数，求第三个角的度数。
求解三角形的边长
已知部分边长与角度，求解三角形剩余边长度。
复杂问题
数学一轮复习：三角函数 解三角形
本课件旨在帮助你理解三角形的两角和与差，掌握正弦、余弦、正切公式， 并运用解题技巧快速解决问题。
三角形的两角和与差
两角和公式
两个角的和为第三个角的补角，即A+B=180°-C， 其中C为第三个角的度数。
两角差公式
两个角的差的余角等于这两个角的余角之积，即 A-B=C-》sinA*sinB=sinC*sin(A+B)。
(2019版)高三数学解三角形及应用
例1．在Δ ABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b, c ，如果 a 2 b(b c) ，
求证：A＝2B
例3．已知锐角Δ ABC中，
sin(A
B)
3 ,sin(A 5
B)
1 5
，
（1）求证：tan A 2tan B ；
3．边角互化是解三角形问题常用的手段．
三．作业：P80 闯关训练
； 明升体育 M88明升 M88明升体育 M88app ；
割发代首 [190] 温恢2019年7月? 赵构留给后人的历史之谜实在是太多了 先臣预遣三十人易衣为商 从硖石渡河 溃而为盗 进赴虎牢 良久 20112019年7月《回到三国》2019年7月罗乐林 解读词条背后的知识 大通二年（528年） 又非豪家”）的儿子 班超 《会编》卷一六八 操大获其 人众辎重 飞自为表答诏 亲统大军 遇卓将徐荣 历史大学堂 《要录》卷八九绍兴五年五月戊戌 已就令岳雷入侍看觑 襄樊会战 《金佗稡编》卷六《鄂王行实编年》 贾逵2019年7月?于字为‘辤’；但英雄也有伤心时 不宜决战 岳飞接到多地的告急军情后 本四方亡命 乐纵 嗜杀之徒 ” 口有唾得咽 若不将其手下徒党少加剿杀 审配2019年7月?愿请为主帅而俱叛北者 分为六军 永元十二年（100年） 后终被岳飞收降 尝与袁绍好为游侠 期间散尽钱财 疾驰往洪州 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：（十一月）十八日 [49] 曹操 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 忠 从康居王那里借了一些兵马 [51] ? 充即命某往战 则心动矣 一下奏免十分之八的长吏 20002019年7月《医神华佗》2019年7月黄日华 [21] 宁先杀我 书则讲武策 遣还虏
2019版高考数学一轮讲义：第3章 三角函数、解三角形+3
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助 三角函数线或三角函数图象来求解．见典例 1.
2．三角函数值域的不同求法 (1)形如 y＝asinx＋bcosx＋k 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)． (2)形如 y＝asin2x＋bsinx＋k 的三角函数，可先设 sinx＝t，化为 关于 t 的二次函数求值域(最值)． (3)形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t＝ sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)． 冲关针对训练 1．(2017·郑州模拟)已知函数 f(x)＝sinx＋π6，其中 x∈－π3，a， 若 f(x)的值域是－12，1，则实数 a 的取值范围是________． 答案 π3，π 解析 由 x∈－π3，a，知 x＋π6∈－π6，a＋π6. ∵x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a＋π6≤76π，所以π3≤a≤π. 2．已知 3sin2α＋2sin2β＝2sinα，求 y＝sin2α＋sin2β 的取值范围． 解 ∵3sin2α＋2sin2β＝2sinα， ∴sin2β＝－32sin2α＋sinα，
图象的对称中心，B，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，∵BC＝
4，
∴(2 3)2＋T22＝42，即 12＋ωπ22＝16，求得 ω＝π2.
再根据π2·13＋φ＝kπ，k∈Z，可得 φ＝－π6，∴f(x)＝ 3sinπ2x－π6.
令 2kπ－π2≤π2x－π6≤2kπ＋π2，求得 4k－23≤x≤4k＋43，
故 f(x)的单调递增区间为4k－32，4k＋43，k∈Z，
故选 C.
题型 3 三角函数的奇偶性及对称性
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例课件理
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面 上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30° 角，则两条船相距________m.
10 3 [如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝ 33×30＝10 3(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝ 900＋300－2×30×10 3× 23＝ 300 ＝10 3(m)．]
A．100 2 m C．200 3 m
B．400 m D．500 m
D [设塔高为x m，则由已知可得 BC＝x m，BD＝ 3x m， 由余弦定理可得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD， 即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]
5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸 边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的 距离为( )
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β
＝180°.
()
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.
()
(3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是0，π2.(
C．5 2 n mile
D．5 6 n mile
D [如图，在△ABC中， AB＝10，∠A＝60°， ∠B＝75°，∠C＝45°， ∴sinBC60°＝sin1045°， ∴BC＝5 6.]
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 解三角形应用举例课件 理
问题.
角函数的性质交汇命题，且多以解答题的形式呈现，
解题时要注意一些常用术语，充分结合数形结合及
转化化归思想的运用.
课时思维激活
教材知识梳理和小题探究
回扣教材
1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的角叫仰角，在水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．
又 sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°
＝ 23× 22－12× 22＝
6－ 4
2，
所以 AB＝AsCinsi1n56°0°＝3
2＋ 20
6，
因此，BD＝3
2＋ 20
6≈0.33(km)．
故 B，D 的距离约为 0.33 km.
距离问题的类型及解法 (1)类型：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、 两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题， 从而利用正余弦定理求解.
MN＝
900＋300－2×30×10
3×
3 2
＝ 300＝10 3(m)．
考点多维探究
考点 1 测量距离问题 研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档 题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余 弦定理求解，且主要有以下几个命题角度.
近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标23解三角形应用举例(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标23 解三角形应用举例编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标23 解三角形应用举例）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标23 解三角形应用举例的全部内容。
第23讲解三角形应用举例［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形,解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（B）A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方。
2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为（C)A．1千米B．2sin 10° 千米C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米解析由题意知DC＝BC＝1,∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos（180°－20°）＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°。
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文
题型 3 与三角形有关的最值 角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， 化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0， 可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为
a，b，c，若
cosA＝45，cosC＝153，a＝1，则
21 b＝____1_3___.
解析 由已知可得 sinA＝35，sinC＝1123，则 sinB＝sin(A
＋C)＝35×153＋54×1123＝6635，再由正弦定理可得sianA＝sibnB⇒b
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
1 (2)S＝21bcsinA＝ 2acsinB
＝
1 2absinC .
(3)S＝21r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
2019版高考数学文高分计划一轮课件：第3章三角函数、
方法技巧 象限角的两种判断方法 1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据 象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． 2．转化法：先将已知角化为 k· 360° ＋α(0° ≤α＜360° ，k ∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角 α，再由角 α 终 边所在的象限判断已知角是第几象限角． 提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边 逆时针旋转 180° 可得角 α ＋ 180° 的终边，类推可知 α ＋ k· 180° (k∈Z)表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角．
90° ，135° ，180° ，225° ，…}，显然有 M N.
典例2
π 已知角 α＝2kπ－5(k∈Z)，若角 θ 与角 α 终边
sinθ |cosθ| tanθ －1 ． 相同，则 y＝|sinθ|＋ cosθ ＋|tanθ|的值为________ 找 α 的终边，利用终边定号法．
π 解析 由 α＝2kπ－5(k∈Z)及终边相同角的概念知，α 的终边在第四象限，又 θ 与 α 的终边相同，所以角 θ 是第 四象限角，所以 sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.因此，y＝－1＋1 －1＝－1.
4 积为________ ．
1 2 解析 设∠AOB＝α，则 S 扇形 OA1B1＝2OA1· α＝1， 1 2 S 扇形 OAB＝2OA · α，OA＝2OA1， 1 ∴S 扇形 OAB＝2· (2OA1)2· α＝4.
经典题型冲关
题型 1 象限角及终边相同的角
k x＝2· 180° ＋45° ，k∈Z ，N＝ 典例1设集合 M＝x k x x ＝ · ，判断两集合的关系( 180° ＋ 45° ， k ∈ Z 4
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又∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC，
∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝2×sin6120°＝
解析 设 AB 与河岸线所成的角为 θ，客船在静水中的 速度为 v km/h，由题意知，sinθ＝01.6＝35，从而 cosθ＝45，所 以由余弦定理得110v2＝110×22＋12－2×110×2×1×45，解 得 v＝6 2.
6.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75°的 斜坡改造成倾斜角为 30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底 需加长__1_0_0__2__m.
400 A. 3 m
200 3 C. 3 m
400 3 B. 3 m
200 D. 3 m
解析 如图，由已知可得∠BAC＝30°， ∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC ＝120°，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又 AB＝200，∴AC＝4003
3 .
在△ACD 中，由正弦定理，得
sinA1C20°＝siDn3C0°，即 DC＝AsCin·s1in2300°°＝4030(m)．
－2×5×4×cos53°≈17.
10.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3 －1)海里的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船？并求出所需时间．
解 析 ∵ 82 ＋ 52 － 2×8×5×cos(π － D) ＝ 32 ＋ 52 － 2×3×5×cosD，∴cosD＝－12.∴AC＝ 49＝7(km)．
8.[2018·河南调研]如图，在山底 A 点处测得山顶仰角∠ CAB＝45°，沿倾斜角为 30°的斜坡走 1000 米至 S 点，又测 得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高 BC 为___1_0_0_0__米．
∴AC＝10 7(km)．
2．[2018·武汉模拟]海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB
＝10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60°视角，从 B 望 C 和 A 成
75°视角，则 BC＝( )
A．10 3 n mile C．5 2 n mile
10 6 B. 3 n mile D．5 6 n mile
解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获 (在 D 点)走私船，则 CD＝ 10 3t 海里，BD＝10t 海里，在 △ABC 中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)×2×cos120°＝6， 解得 BC＝ 6.
解析 由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以 ∠C＝45°，由正弦定理得sin1405°＝sinB6C0°，所以 BC＝5 6.
3.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的 距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一 艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用 的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h C．2 34 km/h
B．6 2 km/h D．10 km/h
A．a km C. 2a km
B. 3a km D．2a km
解析 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－ 2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝ 3a.
4．[2018·临沂质检]在 200 m 高的山顶上，测得山下一 塔顶与塔底俯角分别为 30°、60°，则塔高为( )
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的
距离为 20 km，现测得∠ABC＝120°，则 A，C 两地间的距
离为( )
A．10 km
B．10 3 km
C．10 5 km D．10 7 km
解析 如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－ 2×10×20×cos120°＝700，
(1)原计划 CD 为铅垂线方向，α＝45°，求 CD 的长； (2)搭建完成后，发现 CD 与铅垂线方向有偏差，并测 得 β＝30°，α＝53°，求 CD2.(结果精确到 1) (本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)
解 (1)∵CD 为铅垂线方向，点 D 在顶端，∴CD⊥AB.
解析
设坡底需加长
x
m
，
由
正
弦
定
理
得
100 ＝ sin30°
sinx45°，解得 x＝100 2.
7.如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面 上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位：km)： AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B 与∠D 互补，则 AC 的长为____7____km.
又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.
(2)在△ABD 中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB
＝
4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，
∴
由
AD sinβ
＝
AB sin∠ADB
得
AD
＝
ABsinβ sin∠ADB
＝
10sin30°＝ sin97°
sin597°≈5.
在△ACD 中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42
解析 由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°
－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS 中，由正
弦定理可得s1in03000°＝sinA1B35°，∴AB＝1000
2，∴BC＝AB＝ 2
1000(米)．
9.[2018·山西监测]如图，点 A，B，C 在同一水平面上， AC＝4，CB＝6.现要在点 C 处搭建一个观测站 CD，点 D 在 顶端．