7.3空间向量配套习题

7.3空间向量配套习题【感悟高考真题】（1）（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）.……4分（Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CM SN=-=--,因为110022CM SN∙=-++=，所以CM⊥SN ……6分（Ⅱ）1(,1,0)2NC=-,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则10,2210.2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). ……9分因为cos ,2a SN ==所以SN 与片面CMN 所成角为45°。

……12分（2）（2010北京理数）（16）（本小题共14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

证明：（I ） 设AC 与BD 交与点G 。

因为EF//AG ，且EF=1，AG=12AC=1.所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF//平面EG ，因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF//平面BDE.（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面 相互垂直，且CE ⊥AC ， 所以CE ⊥平面ABCD.如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-xyz .则C （0，0，0），A0），B （00）.所以(,1)22CF =，(0,BE =，()DE = .所以0110CF BE =-+= ,1010CF DE =-++=所以CF BE ⊥,CF DE ⊥. 所以CF ⊥BDE.(III) 由（II）知，(22CF = 是平面BDE 的一个法向量.设平面ABE 的法向量(,,)n x y z =,则0n BA = ，0n BE =.即(,,)0(,,)0x y z x y z ==⎧⎨⎩所以0,x =且,z = 令1,y =则z =所以n =.从而cos ,||||n CF n CF n CF 〈〉==。

因为二面角A BE D --为锐角，所以二面角A BE D --的大小为6π.【考点精题精练】一、选择题1．正方体1111ABCD A BC D -中，1A B 与平面11BB D D 所成角的大小为…………………………（ D ）A ．90B ．60C ．45D ．302．两异面直线所成角的范围是…………………………………………………………………………（ C ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭3．已知向量(2,2,2)a =，则向量a 的单位方向向量一定是（ D ）A． B．(C ．(1,1,1)(1,1,1)---或D ．((,333333--或 4．已知,a b 分别是两条直线12,l l 的方向向量，(2,1,2),(6,3,a b =--=--，则（ A ）A ．12//l lB ．12l l 与相交C ．12l l 与异面D ．12l l ⊥5．若12,n n 分别是平面,αβ的法向量且αβ⊥，1(1,2,)n x = ，2(,1,)n x x x =+，则x 的值为( B )A ．1或2B ．－1或－2C ．－1D ．－26．已知直线1l 的方向向量为1(1,0,1)a =- ，直线2l 的方向向量为2(1,1,0)a =-，则12l l 与的夹角为（C ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．23π7．已知A （1，0，1），B （0，1，1），C （1，1，0），则平面ABC 的一个单位法向量可以是 （ D ） A ．（1，1，1） B ．（－1，－1，－1）C ．(333- D ．(,333--- 8. 在空间直角坐标系中点P （1，3，－5）关于对称的点的坐标是（ C ）A ．（－1，3，－5）B ．（1，－3，5）C ．（1，3，5）D ．（－1，－3，5）9. 已知空间直角坐标系中且，则B 点坐标为（ ）A 、（9,1,4）B 、（9,－1，－4）C 、（8,－1，－4）D 、（8,1,4）10. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 为D 1C 1上的点，且D 1M:MC 1=3:1，则CM 和平面AB 1D 1所成角的大小是θ，则sin θ等于 （ ）A．B．C．D．11. 在直三棱柱A1B1C1—ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取范围为（）A．B．C．D．解析：建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）.所以，.因为，所以，由此推出. 又，，从而有12. 正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF与底面ABC 所成角的余弦为（ C ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13. 已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为__(0, ___．14. 在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, ),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是_(0,) ___．15. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于3π.16. 如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）中，四边形ABCD 是边长为1的菱形，E 为的中点，F 为的中点，则异面直线AC 与所成的角的大小为 090 ．三、解答题17．（全国二19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ···························································································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······································································ 8分EFCE CF CG EF ⨯==EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ······························································· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分1AC，n 等于二面角1A DE B --的平面角，4214==． 所以二面角1A DE B --的大小为arccos42． ······························································ 12分 18. 如图，，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 上的射影为B 1. 已知AB=2，AA 1=1，BB 1=，求：（Ⅰ）直线AB 分别与平面所成角的大小；（Ⅱ）二面角A 1—AB —B 1的大小. 解法一：（I ）如图，连接A 1B ，AB 1.∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥，BB1⊥a.则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角.Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1=∴∠BAB1=45°Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，∴sin∠ABA1=∴∠ABA1=30°.故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.（II）∵BB1⊥，∴平面ABB1⊥.在平面内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=，∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin .解法二：（I）同解法一.（II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.在AB上取一点F（x , y, z），则存在t∈R，使得，即(x, y, z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t, 1－t).要使即(t, t, 1－t)·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=,∴点F的坐标为设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，），∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.。