高中数学人教B版选修2-1练习：第一章 常用逻辑用语

阶段水平测试(一)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. 下面所给三个命题中真命题个数有( )(1)若ac 2>bc 2，则a >b ；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该二次函数图象与x 轴有公共点；A. 0B. 1C. 2D. 3解析：(1)该命题为真命题，因为当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以c 2一定大于0，则a >b .(2)该命题为真命题，根据圆内接四边形的定义可进行判定．(3)该命题为假命题，因为当b 2－4ac <0时，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x 轴无公共点．综上所述，故选C.答案：C2. [2012·福建高考]下列命题中，真命题是( )A. ∃x 0∈R ，e x 0≤0B. ∀x ∈R,2x >x 2C. a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D. a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2有交点．如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．答案：D3. [2014·浙江高考]设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：若“四边形ABCD为菱形”，则对角线“AC⊥BD”成立；而若对角线“AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD有可能为空间正四面体”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．答案：A4. 若命题p：|x＋1|≤4，q：x2<5x－6，则“綈p”是“綈q”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵p：－5≤x≤3，则綈p：x<－5或x>3；∵q：2<x<3，则綈q：x≤2或x≥3，∴綈p是綈q的充分不必要条件．答案：A5. 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A. 不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B. 存在x0∈R，x30－x20＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D. 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：题目中命题的意思是“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0都成立”，要否定它，只要能找到至少一个x0，使得x30－x20＋1>0即可，故命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．答案：C6．[2013·上海高考]钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件解析：根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B.答案：B7. [2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A. (綈p)∨(綈q)B. p∨(綈q)C. (綈p)∧(綈q)D. p∨q解析：綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.答案：A8．下列命题中是真命题的为()A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件B．“A∩B≠∅”是“A B”的充分条件C．“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R”的充要条件D．“圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切”是“c2＝(a2＋b2)r2”的充要条件解析：A项中，“x>2且y>3”⇒“x＋y>5”，但“x＋y>5”不能推出“x>2且y>3”，如：x＝0且y＝6，满足x＋y>5，但不满足x>2，故A是假命题；B项中，“A∩B≠∅”不能推出“A B”，如A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，A∩B＝{2}，但A不是B的真子集．故B是假命题；C项中，如：一元二次不等式－2x2＋x－1>0的解集为∅，但b2－4ac＝1－8＝－7<0，故C是假命题；D项中，“圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切”⇔圆心到直线的距离等于半径，即d＝|c|a2＋b2＝r，即c2＝(a2＋b2)r2，所以充分性成立；反之也成立，即必要性也成立，故D是真命题．答案：D9．设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0)，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是()A. 0<a<1或a>2B. 0<a<1或a≥2C. 1<a≤2D. 1≤a≤2解析：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.依题意，得p 假q 真，或p 真q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a >2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2. 答案：C10．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题，其中正确的是( )A. ②③B. ①②④C. ①③④ D ．①②③④解析：∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．答案：D11．[2014·重庆高考]已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A. p ∧qB. (綈p )∧(綈q )C. (綈p )∧qD. p ∧(綈q )解析：本题主要考查指数函数的性质、含逻辑联结词的命题的真假判断及充分、必要条件，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．依题意，命题p 是真命题．由x >2⇒x >1，而x >1D ⇒/x >2，因此“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则綈q 是真命题，p ∧(綈q )是真命题，选D.答案：D12．[2014·天津高考]设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件解析：本题以不等式为背景考查函数的单调性定义的正用、逆用，充要条件的判断等知识点，意在考查考生的推理论证能力和转化化归能力．构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.选C.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________．答案：如果一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于圆的半径14. 设集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<1}，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是________．解析：A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}，则“A ∩B ≠∅”的充要条件是－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，所以－2<b <2.答案：(－2,2)15. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 均为真命题．p 为真命题：a ≥e ，q 为真命题：Δ＝42－4a ≥0，a ≤4.综上，a ∈[e,4]．答案：[e,4]16. 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3)；p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π]；p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3]；p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]；其中真命题为________．解析：由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ>1，得2＋2cos θ>1，∴cos θ>－12，∴0≤θ<2π3.由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ>1，得2－2cos θ>1，∴cos θ<12，∴π3<θ≤π.∴p 1，p 4正确．答案：p 1，p 4三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(10分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等；(2)四条边相等的四边形是正方形；(3)若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1.解：(1)“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题．否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题．逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题．(2)“若p，则q”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题．逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题．否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题．逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．(3)逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．18．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：正数的对数都是正数．(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0.(3)p：所有的矩形都是平行四边形．(4)p：有的三角形是等边三角形．(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.(6)p：有一个素数含三个正因数．解：(1)綈p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．(2)綈p：任意x∈R，x2－x＋1>0.真命题．(3)綈p：存在一个矩形，它不是平行四边形．假命题．(4)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．(5)綈p：存在x0∈Z，使x20的个位数字等于3.假命题．(6)綈p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．19．(12分)用反证法证明：若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．证明：假设a、b、c都是奇数，那么a2、b2、c2一定也都是奇数．∴a2＋b2为偶数．∴a2＋b2≠c2，这与已知a2＋b2＝c2矛盾．故假设不成立，即a、b、c不可能都是奇数．20．(12分)指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}．(2)p：－2<m<0,0<n<1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．解：(1)∵{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，∴{x|x>－2或x<3}⇒/{x|－2<x<3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1，有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<－m <2，0<n <1， 即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以pD ⇒/q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．21．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：先证必要性．∵a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.再证充分性．∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2≠0，从而只有a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.11 22．[2014·沈阳高二检测](12分)已知命题p ：f (x )＝|x ＋a |在[0，＋∞)上是增函数；命题q ：点O (0,0)与点P (1,1)在直线y ＝a (x ＋1)的两侧．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．解：∵f (x )＝|x ＋a |在[－a ，＋∞)上是增函数，若p 为真，应有[0，＋∞)⊆[－a ，＋∞)，∴－a ≤0，即a ≥0.若q 为真，应有a (2a －1)<0，解得0<a <12.由p ∧q 为假，p ∨q 为真可知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，得⎩⎨⎧ a ≥0，a ≤0或a ≥12，解得a ＝0或a ≥12.当p 假q 真时，得⎩⎨⎧ a <00<a <12，此时a 无解．综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥12}．。