高等数学(同济大学第五版)第五章 定积分

π
3 6 3
, M = f ( 3 ) = 3 arctan 3 =
π
3
.
因此
π
6 3
( 3−
1 3
) ≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤
3
3
π
3
( 3−
1 3
),
即
π
9
≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤
3
2
3
2π . 3
(4)先求函数 f ( x) = e x
f ′( x ) = e x
成 n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: Δx i =
第二步: 在第i个小区间[xi−1, xi] (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n)上取右端点 ξ i = x i = a +
S n = ∑ f (ξ i )Δx i = ∑ [(a +
i =1 i =1 n n
b−a 2 b−a i ) +1]⋅ n n
2 2 2 2 1 1
b
b
b
b
(4) ∫0 xdx 还是 ∫0 ln(1+ x)dx ？ (5) ∫0 e x dx 还是 ∫0 (1+ x)dx ？ 解 (1)因为当 0≤x≤1 时, x2≥x3, 所以 ∫0 x 2 dx ≥ ∫0 x 3 dx . 又当 0<x<1 时, x2>x3, 所以 ∫0 x 2 dx > ∫0 x 3 dx . (2)因为当 1≤x≤2 时, x2≤x3, 所以 ∫1 x 2 dx ≤ ∫1 x 3 dx . 又因为当 1<x≤2 时, x2<x3, 所以 ∫1 x 2 dx < ∫1 x 3 dx . (3)因为当 1≤x≤2 时, 0≤ln x<1, ln x≥(ln x)2, 所以 ∫1 ln xdx ≥ ∫1 (ln x) 2 dx . 又因为当 1<x≤2 时, 0<ln x<1, ln x>(ln x)2, 所以 ∫1 ln xdx > ∫1 (ln x) 2 dx . (4)因为当 0≤x≤1 时, x≥ln(1+x), 所以 ∫0 xdx ≥ ∫0 ln(1+ x)dx . 又因为当 0<x≤1 时, x>ln(1+x), 所以 ∫0 xdx > ∫0 ln(1+ x)dx . (5)设f(x)=ex−1−x, 则当 0≤x≤1 时f ′(x) =ex−1>0, f(x)=ex−1−x是单调增加的. 因此当 0≤x≤1 时, f(x)≥f(0)=0, 即ex≥1+x, 所以 ∫0 e x dx ≥ ∫0 (1+ x)dx . 又因为当 0<x≤1 时, ex>1+x, 所以 ∫0 e x dx > ∫0 (1+ x)dx .
2
−x
在区间[0, 2]上的最大值 M 与最小值 m.
−x
1 ( 2 x −1) , 驻点为 x = . 2
−1 −1 1 比较f(0)=1, f(2)=e 2, f ( ) = e 4 ,得 m = e 4 , M=e 2. 于是 2
e 即
−1 4
(2 − 0) ≤ ∫0 e x
0
2
2
2
−x
dx ≤ e 2 ⋅ (2 − 0) ,
2
π
π π
因为 cos x
为偶函数, 所以此图形关于 y 轴对称. 因此图形面积的一半为 ∫02 cos xdx , 即
π
∫−2π cos xdx = 2∫02 cos xdx .
2
π
π
4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力 大小)是水深h的函数, 且有p=9⋅8h (kN/m2). 若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时 闸门所受的水压力P. 解 建立坐标系如图. 用分点 x i = 小区间的长为 Δx i =
习题 5−1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面 积. 解 第一步: 在区间[a, b]内插入 n−1 个分点 x i = a +
b−a i (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n−1), 把区间[a, b]分 n b−a (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). n b−a i , 作和 n
1 3
, 3 ] 上的最大值 M 与最小值 m.
f ′( x) = arctan x +
[ 1 3
x 1+ x
2
. 因为当
1 3
≤ x ≤ 3 时, f ′(x)>0, 所以函数 f(x)=x arctan x 在区间
, 3 ] 上单调增加. 于是 m= f ( 1 3 )= 1 3 arctan 1 =
b n
1 b
b−a b−a (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). 在第 i 个小区 i (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n−1), 则 Δx i = n n
b−a i (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). 于是 n
n
∑ξ i Δxi = nlim ∑ (a + ∫a xdx = nlim →∞ →∞
π
1
1
π
4
;
(3) ∫−π sin xdx = 0 ; (4) ∫ 2π cos xdx = 2∫02 cos xdx .
− 2
π
π
解 (1) ∫02 xdx 表示由直线 y=2x、x 轴及直线 x=1 所围成的面积, 显然面积为 1. (2) ∫0 1− x 2 dx 表示由曲线 y = 1− x 2 、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1 的面积的 1 : 4
λ →0 i =1 λ →0 i =1
n n b n n b b b b b
(2) ∫a1⋅ dx = lim ∑1⋅ Δxi = lim ∑ Δxi = lim (b − a ) = b − a .
λ →0 i =1 λ →0 i =1 λ →0
b
6. 估计下列各积分的值: (1) ∫1 ( x 2 +1)dx ; (2) ∫π4 (1+ sin 2 x)dx ;
4
π
5 ≤ x ≤ π 时, 1≤1+sin2x≤2, 所以 4 4
5 π π π 5 5 1⋅ ( π − ) ≤ ∫π4 (1+ sin 2 x)dx ≤ 2 ⋅( π − ) , 4 4 4 4 4
即
π ≤ ∫π4 (1+ sin 2 x)dx ≤ 2π .
4
5
π
(3)先求函数 f(x)=x arctan x 在区间 [
−1 4
− 2e 2 ≤ ∫2 e x
−x
dxdx ≤ −2e
.
7. 设 f(x)及 g(x)在[a, b]上连续, 证明: (1)若在[a, b]上, f(x)≥0, 且 ∫a f ( x)dx = 0 , 则在[a, b]上 f(x)≡0; (2)若在[a, b]上, f(x)≥0, 且 f(x)≢0, 则 ∫a f ( x)dx > 0 ; (3)若在[a, b]上, f(x)≤g(x), 且 ∫a f ( x)dx = ∫a g ( x)dx , 则在[a, b]上 f(x)≡g(x). 证明 (1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使 f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值. 再由连续性, 存在[c, d]⊂[a, b], 且x0∈[c, d], 使当x∈[c, d]时, f ( x) >
i =1 i =1
b−a b−a i)⋅ n n
= (b − a ) 2 lim [a (b − a ) +
n →∞
(b − a ) 2 n(n +1) 2n
2
1 ] = (b 2 − a 2 ) . 2
i 1 (2)取分点为 x i = (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n−1), 则 Δx i = (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n). 在第 i 个小区间上取右端点 n n
n → ∞ i =1 n n n → ∞ i =1
n(n +1) H H = 4. 8 L ⋅ H 2 . i ⋅ = 9.8 L ⋅ H 2 lim n → ∞ 2n n n
将 L=2, H=3 代入上式得 P=88.2(千牛). 5. 证明定积分性质: (1) ∫a kf ( x)dx = k ∫a f ( x)dx ; (2) ∫a1⋅ dx = ∫a dx = b − a . 证明 (1) ∫a kf ( x)dx = lim ∑ kf (ξ i )Δx i = k lim ∑ f (ξ i )Δx i = k ∫a f ( x)dx .
1 1 = (b − a )[a 2 + a (b − a ) + (b − a ) 2 +1] = (b 3 − a 3 ) + b − a . 3 3
2. 利用定积分定义计算下列积分: (1) ∫a xdx (a<b); (2) ∫0 e xdx . 解 (1)取分点为 x i = a + 间上取右端点 ξ i = x i = a +
f ( x0 ) . 于是 2
∫
b
a
f ( x)dx ≥ ∫ f ( x)dx ≥
c
b
d
f ( x0 ) (d − c) > 0 . 2
b b
证法二 因为 f(x)≥0, 所以 ∫a f ( x)dx ≥ 0 . 假如 ∫a f ( x)dx > 0 不成立. 则只有 ∫a f ( x)dx = 0 , 根据结论(1), f(x)≡0, 矛盾. 因此 ∫a f ( x)dx > 0 . (3)令 F(x)=g(x)−f(x), 则在[a, b]上 F(x)≥0 且