江西省南昌市外国语学校2019年高三高考适应性测试文科数学试卷
2019年江西省南昌市高考数学三模试卷(文科)
2019年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合＝，＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可．【解答】＝＝或，＝＝＝，则＝，则＝，2. 已知复数的实部为，则其虚部为A. B. C. D.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于求得值，则虚部可求．【解答】解：∵的实部为，即，∴则的虚部为.故选．3. 已知等差数列的前项和为，＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】等差数列的前项和为，∴，解得＝（10）∴＝＝＝（11）4. 若＝，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据二倍角的正切公式即可求出．【解答】∵＝，∴＝，5. 已知直线＝与圆＝相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆＝的圆心坐标为，代入点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离，求出弦长，然后求解三角形的面积．【解答】圆＝的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，弦长为：，则的面积为：．6. 对具有相关关系的两个变量，，收集了组数据：，…，，根据最小二乘法得到线性回归方程，则下列说法一定正确的是（）A.，都有＝B.，使得＝C.，都有D.，使得【答案】D【考点】求解线性回归方程 【解析】线性回归直线一定经过样本点的中心，样本点不一定在回归直线上，由此逐一核对四个选项得答案． 【解答】如果变量 与 之间存在着线性相关关系，根据试验数据得到的点 ＝ ,…, 将散布在回归直线的附近，故 错误；线性回归方程不一定经过样本点，故 错误；样本点可能在回归直线的两侧，故 错误， 正确．7. 设，， ＝ ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】容易得出，，，从而可得出 ， ， 的大小关系．【解答】∵，，，∴ ．8. 如图，长方体 ， ＝ ＝ ， ＝ ，点 在线段 上，的方向为正（主）视方向，当 最短时，棱锥 的左（侧）视图为（ ）A.B.C.D.【答案】 B【考点】简单空间图形的三视图 【解析】依题意，棱锥 的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱 ， 被底面 遮挡，显示为虚线，当 最短时， ，因为 ＝ ， ＝，所以，所以两虚线的交点离点更近，即离右下角更近．【解答】依题意，棱锥的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱，被底面遮挡，显示为虚线，当最短时，，因为＝，＝，所以，所以两虚线的交点离点更近，即离右下角更近．9. 如图所示框图，若输入个不同的实数，输出的值相同，则此输出结果可能是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，画出函数的图象即可得解．【解答】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，作出函数的图象如下：由题意，输入个不同的实数，输出的值相同，可得，比较各个选项可得输出结果可能是．10. 若直线＝与曲线＝相切，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设切点为，求出函数的导数，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，再由切点在曲线上和切线上，列出满足条件的方程，求出和的值．【解答】设切点为，函数＝的导数为＝，则切线的斜率为＝，又＝＝，所以，解得＝，所以＝，11. 已知抛物线＝，其焦点为，准线为，为抛物线上第一象限内的点，过点作的垂线，垂足为当周长为时，的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设出求出、的坐标，利用三角形的周长，求解的长，判断三角形的形状，然后求解三角形的面积．【解答】如图所示，设＝，则，，，∴，∵周长为，所以，解得＝，∴＝，所以三角形是边长为的正三角形，所以三角形的面积为：．12. 如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将，、，、，分别对应重合为，，，得到组合体关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】画出正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形，连接，，运用等边三角形的性质和线面垂直的判定和性质，可判断①②；取的中点，连接，，，设边长为，运用余弦定理和诱导公式计算可判断③．【解答】如图正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形如右图：连接，，可得，，可得平面，即有，，即有，，取的中点，连接，，，设边长为，可得＝＝＝，可得，，可得＝，即，，三点共线，可得四边形，，，为菱形，即有，故①②③都对．二.填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分已知向量，，则＝________．【答案】【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】求出的坐标，然后求解向量的模即可．【解答】向量，，则，则若，满足约束条件，则＝的最小值为________．【答案】【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可得到结论．【解答】作出，满足约束条件如图：由＝得＝，平移直线＝，由图象可知当直线＝经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时＝＝，已知函数＝若存在使＝对一切实数恒成立，则＝________．【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】由＝对一切实数恒成立转化出满足条件的等式，从而列式求出值．【解答】∵函数＝对一切实数恒成立，∴＝对一切实数恒成立，化简得，＝对一切实数恒成立，化简展开得，＝对一切实数恒成立，∴只能＝，又∵∴．已知等差数列的前项和＝，若存在正整数，使得，，成等比数列，则的最大值与最小值的和为________．【答案】【考点】数列的求和【解析】由数列的递推式：＝时，＝；当时，＝，结合等差数列的通项公式可得＝，再由等比数列的中项性质，化简可得，再由基本不等式和，为正整数，可得所求最值之和．【解答】由＝，可得＝＝；当时，＝＝＝，由题意可得＝，则＝，，存在正整数，使得，，成等比数列，可得＝，即为＝，即＝，则＝，由，可得的最小值为，的最小值为；由＝，＝，或＝，＝，可得的最大值为，则的最大值为，可得则的最大值与最小值的和为三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分如图所示，在直角坐标系中，扇形的半径为，圆心角为，点是弧上异于，的点．Ⅰ若点，且，求点的横坐标；Ⅱ求面积的最大值．【答案】（1）连接，根据题意，在中，＝，，＝，所以，所以点的横坐标为．（2）设＝，，则，＝，因为，所以，所以当时，面积最大，且最大值为．【考点】余弦定理【解析】Ⅰ连接，根据题意在中，由余弦定理可求，进而可求点的横坐标．Ⅱ设＝，，则，利用三角形的面积公式可得，根据范围，利用正弦函数的性质可求其最大值．【解答】（1）连接，根据题意，在中，＝，，＝，所以，所以点的横坐标为．（2）设＝，，则，＝，因为，所以，所以当时，面积最大，且最大值为．如图，四边形是梯形，，，＝＝，是菱形，＝，平面平面．Ⅰ求证：Ⅱ过点作一平面与平面平行，设＝，＝，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，在，由已知可得＝，＝，，＝，∴＝，得．又∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面平面，∴，，又∵，∴＝＝，则是的中点，在中，∵，是的中点，∴是的中点，因此．设的中点为，∵＝＝，∴，又∵平面平面，∴平面．∴．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】Ⅰ取中点，连接，在，由已知可证．再由平面平面，利用面面垂直的性质可得平面，从而得到；Ⅱ由平面平面，得，，再由已知证得是的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积．【解答】（1）证明：如图，取中点，连接，在，由已知可得＝，＝，，＝，∴＝，得．又∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面平面，∴，，又∵，∴＝＝，则是的中点，在中，∵，是的中点，∴是的中点，因此．设的中点为，∵＝＝，∴，又∵平面平面，∴平面．∴．某校高三文科（1）班共有学生人，其中男生人，女生人．在一次地理考试后，对成绩作了数据分析（满分，成绩为分以上的同学称为“地理之星”，得到了如图表：如果从全班人中任意抽取人，抽到“地理之星”的概率为．Ⅰ完成“地理之星”与性别的列联表，并回答是否有以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关？Ⅱ若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为，方差为，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由．（得分均为整数分）参考公式：，其中＝．临界值表：【答案】,,,,,,,,【考点】独立性检验【解析】Ⅰ根据题意求出“地理之星”的总人数，填写列联表，计算，对照临界值得出结论；Ⅱ没有得满分的同学，讨论（1）若有个以上的满分时，和（2）若恰有个满分时，此时方差都与题意方差为不符，由此得出结论．【解答】（1）根据题意知“地理之星”总人数为，填写列联表如下；根据表中数据，计算，所以没有的把握认为获得“地理之星”与性别有关；（2）没有得满分的同学，记各个分值由高到低分别为，，…，；（1）若有个以上的满分，则，不合题意；（2）若恰有个满分，为使方差最小，则其他分值需集中分布在平均数的附近，且为保证平均值为，则有个得分为，其余个得分为，此时方差取得最小值；∴，与题意方差为不符，所以这些同学中没有得满分的同学．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，以为直径的圆过点．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点且斜率大于的直线与圆的另一个交点为，与直线＝的交点为，过点且与垂直的直线与直线＝交于点，求面积的最小值．【答案】（1）在圆的方程中，令＝，得＝，所以，，又因为，所以点坐标为，所以＝＝，则＝，＝，因此椭圆的标准范畴为；（2）设直线，所以点坐标为，将直线代入椭圆的方程得到＝，设，，所以所以，直线的方程为：，所以，所以，直线的方程为，所以点坐标为，所以＝，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】Ⅰ根据题意，求得点坐标，根据椭圆的定义，即可求得和的值，求得椭圆方程；Ⅱ设直线的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得的横坐标，求得直线方程，求得点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得面积的最小值．【解答】（1）在圆的方程中，令＝，得＝，所以，，又因为，所以点坐标为，所以＝＝，则＝，＝，因此椭圆的标准范畴为；（2）设直线，所以点坐标为，将直线代入椭圆的方程得到＝，设，，所以所以，直线的方程为：，所以，所以，直线的方程为，所以点坐标为，所以＝，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．已知函数（为自然对数的底数）．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ当＝，时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）因为函数（为自然对数的底数）．所以，若，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（2）当＝，时，等价于，当＝时，当时，得，设＝，则恒成立，因为＝，若，则＝，函数单调递增，＝，∴符合题意，若，令＝＝，即＝，存在＝，使得，即＝为方程的解，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增：而＝，所以必存在，，则与恒成立矛盾．所以不合题意舍去，综上可知，；【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】Ⅰ求函数的导数，分类讨论的范围可得函数的单调性；Ⅱ当＝，时，若恒成立，等价于，分类讨论当＝时，，当时，得，设＝，则恒成立，分别讨论验证的范围满足恒成立即可求实数的取值范围．【解答】（I）因为函数（为自然对数的底数）．所以，若，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（2）当＝，时，等价于，当＝时，当时，得，设＝，则恒成立，因为＝，若，则＝，函数单调递增，＝，∴符合题意，若，令＝＝，即＝，存在＝，使得，即＝为方程的解，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增：而＝，所以必存在，，则与恒成立矛盾．所以不合题意舍去，综上可知，；（二）选考题：共10分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线＝．Ⅰ求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；Ⅱ若点的直角坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为＝（4）直线＝（0）转换为直角坐标方程为．（2）利用Ⅰ的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），代入圆的方程＝，得到，所以，＝（和为、对应的参数），所以．【考点】圆的极坐标方程【解析】Ⅰ直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用Ⅰ的直线，首先求出直线的参数式，进一步利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】（1）曲线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为＝（4）直线＝（0）转换为直角坐标方程为．（2）利用Ⅰ的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），代入圆的方程＝，得到，所以，＝（和为、对应的参数），所以．选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知＝，＝．Ⅰ若恒成立，求实数的取值范围；Ⅱ若存在实数，，使得等式＝成立，求实数的取值范围．【答案】（1）＝＝，若恒成立，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（2）由Ⅰ知，的值域为，又＝，所以的值域为；若存在实数，，使得等式＝成立，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法与证明函数恒成立问题【解析】Ⅰ利用绝对值不等式求出的最小值，把化为关于的不等式，求出解集即可；Ⅱ分别求出、的值域，问题化为两个值域的交集非空时实数的取值范围即可．【解答】（1）＝＝，若恒成立，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（2）由Ⅰ知，的值域为，又＝，所以的值域为；若存在实数，，使得等式＝成立，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．。
江西省南昌市2019届高三第二次模拟考试数学文科试题有答案
ABCDEFG2019 年 高 三 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准13． 2 14． 2- 15． 1316． 2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……………………………………………6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，…8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气重度污染的选择有：5日，6日，7日，11日，12日，13日，……3分 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是16711313P =-=；…………………6分 （Ⅱ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，……………………………………9分 所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC AC ⊥，又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEFC ，所以BC AG ⊥，………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=，tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道,,CA CB CF 两两垂直，所以可以把四棱锥B AEFC -补成以,,CA CB CF 为同一顶点的一个长方体，………………………………………………8分 其外接球的直径2R ==所以球O 的表面积是2419S ππ==．………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD ==，所以2r ==，…………………………2分 因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；…………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…6分 当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--，圆心O 到直线m 的距离为：d =所以||PQ ==8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=， ||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅=— 高三数学(文科)答案第4页 —==(6,，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是[6,．………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+…………………………………………………………………2分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………………………………………………………………………………3分 （二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………………………………………………………………………4分(三)当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈， 所以函数()f x在区间()22a a -+上单调递减，在区间)+∞上单调递增．……………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知道当a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-， 对任意的)a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的)a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，…………………………8分即对任意的a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立，记2()ln 32h a a a a =+-+，则(1)0h =，1(21)(1)'()23a a h a a a a--=+-=，…………………………………………………10分因为a ∈，所以'()0h a >，当对任意a ∈， ()(1)0h a h >=成立。
江西省南昌市2019届高三上学期调研测试卷(数学文)
江西省南昌市 2019 届高三上学期调研测试卷（数学文）数 学 (文科 )本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4页，共 150 分． 第 I 卷考生注意：1．答题前，考生务必然自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目 ”与考生自己准考证号、姓名可否一致．2．第 I 卷每题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并回收．参照公式：若是事件A ，B互斥，那么球 的 表 面积公式P( A B) P( A) P( B)S 4πR 2若是事件A ，B互相独立，那么其中 R 表示球的半径P( A B) P( A) P( B)球 的 体 积公式若是事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，V 4 πR 33那么 n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径P ( k )C k p k (1p ) n knn一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项切合题目要求的 . 1．已知会集A { x | yln x} ，会集 B{2, 1,1,2} ，则 ABA ． (1,2)B ． {1,2}C ．{1, 2}D ． (0,)5i 2．已知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 ，则 z =2A ．2 iB ．2 iC ．2 iD ．2 i3． 若函数 f ( x) x 2 ax(a R ) ，则以下结论正确的选项是A ．存在 a ∈ R ， f x 是偶函数B ．存在 a ∈ R ， f x是 奇函数C ．关于任意的 a ∈R ， f x在 (0,＋∞)上是增函数D ．关于任意的 a ∈ R ， f x在(0,＋∞)上是减函数 4．以以下列图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个几何体的体积为1 / 83A ． 2B ．2 C ．3 D ．4S 3 S 215．已知数列{ a n }的前 n 项和为S n，且满足 3{ a n } 的公差是 2，，则数列 1A ．2 B ．1C ．2D ．36．若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是A ．k 9B ．k 8C ．k 8D ．k 8]π7 ．已知函数 y Asin( x) m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2 ，直线πx3 是 其图象的一条对称轴，则切合条件的函数分析式是y 4sin 4x π y 2sin 2 x π6 2A. B. 3y 2sin 4x π y 2sin 4x π2 2C. 3D.6f xa 2 x1, x ≤1,8．已知函数 log a x,x1.若 f x 在,上单调递加，则实数 a的 取值范围为A ． 1,2B ． 2,3C ． 2,3D ．2,9．直线 l 过抛物线y 22px ( p0)的焦点，且与抛物线的交于A 、B 两点，若线段 AB的长是 8， AB 的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线方程是A ． y 212xB ． y 28xC ． y 26 xD ． y 2 4x10．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD — A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同样样，有以下四个说法： ①水的部分向来呈棱柱状； ②水面四边形 EFGH 的面积不改变； ③棱 A1D1 向来与水面 EFGH 平行；④当 E AA 1 时， AE BF 是定值 .其中正确说法是A ． ①②③B ．①③C ．①②③④D ．①③④二．填空题：本大题共 5 小题，每题5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上．2 / 8x 2911．函数 f(x)=log 2(x 1)的定义域为 _________.x 1y 0 12．已知 O 为坐标原点，点M (3,2)，若N ( x, y)满足不等式组xy 4，则 OM ON的最大值为 __________.13．已知正三棱柱 ABC A 1B 1C1 的所有棱长都等于6，且各极点都在同一球面上，则此球的表面积等于 。
2019届江西省南昌市高三复习模拟测试卷文科数学(五)
2019届江西省南昌市高三复习模拟测试卷文科数学（五）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
必做部分一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知R 为实数集，集合{|(,1)(1,0)(1,)}A x x =∈-∞--+∞，{}1|(1)()02B x x x =+->，则集合()R C A B 为A. {1}[0,1]-B. 1[0,]2C. 1[1,]2- D. 1{1}[0,]2- 2．在复平面内，复数z 的对应点坐标为(1,2)-，则复数2z 为A.3+4i -B.34i --C.54i -D. 5+4i 3.函数2()ln 3ln 2f x x x =-+的零点是A ．(,0)e 或2(,0)e B ．(1,0)或2(,0)e C ．2(,0)e D ．e 或2e 4.已知实数x 、y ，满足224x y +=，则xy 的取值范围是A ．2xy ≤B ．2xy ≥C ．4xy ≤D ．22xy -≤≤ 5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A ．15 B. 16 C. 24 D. 256．已知实数x 、y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为A.94 B. 274 C. 9 D. 2727. “sincos 122x x=+”是“sin 0x =”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8．如图，椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心:ABF BFO S S ∆∆=A. (2:3B. 3):3C. (2:2D. 3):29．A 、B 、C 、D 四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车概率是A.13 B. 12 C. 59 D. 2310．已知数列{}n a 中第15项15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且 1n n n a a b +=⋅，则1a =A.12B.1C.2D.411．如图，ABC ∆的一内角3A π=，||3AB =, ||2AC =,BC 边上中垂线DE 交BC 、AB 分别于D 、E 两点，则AC CE ⋅u u u r u u u r值为A.54B.74C.114- D.134-12. 已知函数()log ,()ln(1)log 4(1)a x f x x x g x x a a =+=--+>，若存在实数0x ，使得00()()f x g x =，则a =A.2B.3C.4D.5 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知函数2,(0)()2(2),(0)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则(3)f = ．14．已知过抛物线22y x =-的焦点F ，且斜率为的直线与抛物线交于A 、B 两点，则||||||AF BF AB ⋅= ．15．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某 个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被 挖去的几何体的体积为 ．16．数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 和为n S ，存在非零实数t ，对任意*n N ∈恒有(1)n n n S a n t a =+-⋅成立，则t 的值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知()2sin(2)cos 26f x x a x π=++（a R ∈），其图象在3x π=取得最大值．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当(0,)3πα∈，且6()5f α=，求sin 2α值． 18．（本小题满分12分）如图：直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上， AB ，AD =，AD DB ⊥， AC BD O =I ， //OP AQ ，2AQ =，M 、N 分别是AQ 与CD 的中点． （Ⅰ）求证：//MN 平面QBC ； （Ⅱ）求三棱锥Q PBC -的体积．19．（本小题满分12分）中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。
江西省南昌市外国语学校2019届高三高考适应性测试文科数学试卷及解析
外…………○…………装学校:___________姓名内…………○…………装江西省南昌市外国语学校2019届高三高考适应性测试文科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合M ={x|0<x <5}，N ={x|m <x <6}，若M ∩N ={x|3<x <n}则m +n 等于( ) A. 9B. 8C. 7D. 62.设复数z 满足(1−i)z =|1+√3i|（i 为虚数单位），则z̅在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.有标号分别为1、2、3.的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是（ ） A. 12B. 15C. 25D. 3104.已知点(2,√3)在双曲线x 24−y 2a=1(a >0)的一条渐近线上，则a =（ ）A. 3B. 2C. √3D. 3105.执行如图所示的程序框图，若输出的S =88，则判断框内应填入的条件是( )A. k >4?B. k >5?C. k >6?D. k >7?6.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（ ）答案第2页，总16页外…………○…○…………线…………○※※※内…………○…○…………线…………○A. 5B. 6C. 7D. 87.将函数f (x )=sinωx (ω>0)的图象向左平移π4ω个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的图象关于直线x =ω对称且在区间(−ω,ω)内单调递增，则ω的值为（ ）A. √π2B.3√π2C. π4D. 3π28.正四棱锥V −ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为2√6,则此球的体积为（ ） A. 72√2π B. 36πC. 9√2πD. 9π29.若椭圆Γ:x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的离心率为13，A 、F 分别为椭圆的左、右焦点，B 为右顶点，过右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点C ，则cos∠ACB =（ ）A. 35B. 57 C. 3√27D. 72510.函数()2122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A.B. C. D.11.已知函数f (x )=xlnx +x (x −a )2(a ∈R)，若∃x ∈[12,2]，使得f (x )>xf ′(x )成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (94,+∞)B. (32,+∞)C. (√2,+∞)D. (3,+∞)…外…………○………学校:______…内…………○………第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）12.已知a ⃑⃑ =(2,1)，b ⃑⃑ =(4,−13)，则b ⃑⃑ 在a ⃑⃑ 上的投影为__________． 13.已知点P (x,y )在不等式组{2x −y +a ≥03x +y −3≤0（a 为常数）表示的平面区域上运动，若z =4x +3y的最大值为8，则a=_____．14.某运动队从A,B,C,D 四位运动员中选拔一人参加某项赛事，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 被选中”； 乙说：“是B 被选中”；丙说：“A ，D 均未被选中”； 丁说：“是C 被选中”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛资格的运动员是____． 15.已知数列{a n }中，a 1=2，且a n+12an=4(a n+1−a n )(n ∈N ∗)，则{na n }的前n 项和为_________．三、解答题（题型注释）16.已知ABC ∆中， 22,3sin 3AC A C B π===. （1）求AB ；（2）若D 为BC 边上一点，且ACD ∆，求ADC ∠的正弦值. 17.某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21.7，22.3]（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1)的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9)∪[22.1，22.2)的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8)∪[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与一等品产出率是否有关？答案第4页，总16页……装…………※不※※要※※在※※装……装…………附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．（Ⅱ）以上述两种工艺中各种产品的频率作为相应产品产出的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，从一件产品的平均利润考虑，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．18.已知四边形SBCD ，点A 为线段SD 的中点，且∠SAB=∠SDC =90∘. AD =2DC =2， AB =SD =4.现将△SAB 沿AB 进行翻折，使得∠SAD = 90°，得到图形如图所示，连接SC .（Ⅰ）若点F 在线段SC 上，证明： BD⊥AF ；（Ⅱ）若E 点为SB 的中点，求点B 到平面AEC 的距离.19.如图，已知抛物线2:2(0)E y px p =>与圆22:8O x y +=相交于,A B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点()00,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于C D ，两点，分别以C D ，为切点作抛物线E 的切线12,l l ， 1l 与2l 相交于点M . （1）求抛物线E 的方程；（2）求点M 到直线CD 距离的最大值.20.已知()ln f x x x m =-+（m 为常数）.（1）求()f x 的极值；（2）设1m >，记()()f x m g x +=，已知12,x x 为函数()g x 是两个零点，求证： 120x x +<.21.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin =⎧⎨=⎩x y αα(其中α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭πρθ.（Ⅰ）求C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（Ⅱ）设点P (0，2)，l 和C 交于B A ,两点，求PB PA +. 22.已知函数f (x )=|2x −1|+|2x −3|， x ∈R .（Ⅰ）解不等式f (x )≤5；（Ⅱ）若不等式m 2−m <f (x )， ∀x∈R 都成立，求实数m 的取值范围.答案第6页，总16页参数答案1.B【解析】1.根据交集结果，确定m ，n 值，即得结果. 因为M∩N ={x|0<x <5}∩{x|m <x <6}={x|3<x <n}，所以m =3，n =5,因此m +n =8，选B.2.D【解析】2.∵(1−i)z =|1+√3i|=√1+3=2 ，∴z =21−i=2(1+i)2=1+i,∴z̅=1−i ，∴z̅ 在复平面内对应点在第四象限，故选D.3.D【解析】3.先确定从这五张卡片中任取两张的事件数，再确定两张卡片颜色不同且标号之和小于4的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.因为从这五张卡片中任取两张共有C 52=10种基本事件，两张卡片颜色不同且标号之和小于4有2+1=3种基本事件，因此所求概率是310，选D.4.A【解析】4.先求双曲线渐近线方程，再代入点(2,√3)坐标，求得结果.由题意得双曲线渐近线方程为x 24−y 2a=0，所以224−（√3）2a=0，即a =3，选A.5.B【解析】5.分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输出S 的值，条件框内的语句决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到结果.…………○…………订：___________班级：___________考号…………○…………订程序在运行过程中各变量值变化如下：第一次循环k =2 ,S =2;是 第二次循环k =3 ,S =7;是 第三次循环k =4 ,S =18;是 第四次循环k =5 ,S =41;是 第五次循环=6 ,S =88;否故退出循环的条件应为k >5?，故选B.6.C【解析】6.试题由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个三棱柱所行的组合体，如下图所示：所以该几何体的体积V =V 正方体−V 三棱柱=23−12×2×1×1=8−1=7,故选C.7.A【解析】7.先根据图象变换得g (x )，再根据正弦函数对称性与单调性确定ω的值. 由题意得g (x )=sinω(x +π4ω)=sin (ωx +π4),因为函数g (x )的图象关于直线x=ω对称且在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4=π2+kπ,(k ∈Z ),−π2+2mπ≤−ω2+π4,ω2+π4≤π2+2mπ,(m ∈Z ), 因此k ≥0，kπ≤π2−2mπ，kπ≤2mπ，从而0≤π2−2mπ，0≤2mπ,即0≤m ≤π4， 所以m =0,k =0,ω=√π2，选A.8.B答案第8页，总16页【解析】8.先求四棱锥的高，再根据勾股定理得球的半径，最后根据球的体积公式得结果. 正四棱锥的高为√(2√6)2−(2√2)2=4，设外接球的半径为R,则R 2=(4−R)2+(2√2)2∴R =3,所以球的体积为43πR 3=43π⋅33=36π,选B. 9.D【解析】9.根据离心率得a,b,c 关系，再求点C 坐标，最后根据余弦定理求结果. 因为离心率为13，所以a=3c ，b =2√2c ,因为过右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点C ，所以得点C(c,±b 2a),即C(c,±83c)从而A (−c,0),B (3c,0),AC=103c,BC =103c,AB =4c,cos∠ACB =1009×c 2×2−16c 21009×c 2×2=725,选D.10.D【解析】10.易知函数()2122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数,故排除A 项,因为当0x =时， 3y =，排除C 项 ；由函数的单调性知在()0,+∞上是单调递减的，排除B 项.故选D 项.11.C【解析】11. 由f(x)>xf ′(x)得[f(x)x]′<0,设g(x)=f(x)x=lnx +(x −a)2，则存在x ∈[12,2]，使得g′(x)<0成立，即g′(x)=1x+2(x −a)<0成立.所以a >12x+x 恒成立，所以a >(12x+x)min 成立又12x +x ≥2√12x ⋅x =√2当且仅当12x =x 即x =√22取等号.所以a >√2,故选C .点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由f(x)>xf ′(x)可构造函数g(x)=…装…………○…………订____姓名：___________班级：___________…装…………○…………订f(x)x，则g′(x)<0即g′(x)=1x+2(x −a)<0恒成立，转化为a >(12x+x)min ，再求12x +x 的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果. 12.−√5【解析】12.先求数量积，再根据向量投影定义求结果.因为a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ =2×4−13=−5，所以b ⃑⃑ 在a ⃑⃑ 上的投影为a ⃑⃑ ∙b ⃑ |a ⃑⃑ |=5=−√5. 13.2【解析】13.由题意，由{2x −y +a =03x +y −3=0，可得交点(3−a 5,6+3a 5) ，当点P(x,y) 在不等式组{2x −y +a ≥03x +y −3≤0表示的区域上运动时，平移z =4x +3y 经过点(3−a 5,6+3a 5)时有最大值为8 ，∴4×3−a 5+3×6+3a 5=8,∴a =2 ，故答案为2 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.B答案第10页，总16页【解析】14.根据各人预测，结合只有两位说的话是对的得出结果.假设甲说的话是对，则乙说的话不对，若丁说的话是对，则C 被选中，丙说的话是对，与只有两位说的话是对的矛盾，若丁说的话不对，则D 被选中, 丙说的话不对，与只有两位说的话是对的矛盾，从而甲说的话不对，即C ，D 均未被选中，因此丁说的话不对，因此乙、丙说的话都对，即B 被选中，获得参赛资格的运动员是B. 15.(n −1)2n+1+2【解析】15.先根据条件化简得递推关系，根据等比数列定义求得{a n }通项公式，再根据错位相减法求和得结果.因为an+12a n=4(a n+1−a n )，所以（a n+1−2a n ）2=0，a n+1=2a n ，因为a 1=2，所以a n =2n ,na n =n ∙2n ,设S n=1⋅21+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，2S n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1，所以−S n=21+22+⋯+2n −n ⋅2n+1，−S n =2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1,S n =2−2n+1+n ⋅2n+1=(n −1)2n+1+2.16.（1）2AB AC ==（2）7【解析】16.试题分析：（13sin C B =得， cos 3C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简可得结果；（2）先根据ACD ∆的面积为4得2CD =，再由余弦定理得2AD =，进而根据正弦定理可得结果. 试题解析： （1）因为23A π=，所以3B C π=-， 由3sin C B =得， cos 3C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以13cos sin cos 22C C C C C ⎫=-=⎪⎪⎭，第11页，总16页所以1cos 2C C =，即tan C =. 又因为()0,C π∈， 所以6C π=，从而得36B C ππ=-=，所以2AB AC ==.（2）由已知得1··sin 264AC CD π=，所以2CD =， 在ACD ∆中，由余弦定理得， 22272?·cos 4AD AC CD AC CD C =+-=， AD =，由正弦定理得，sin sin AD ACC ADC=∠，故·sin sin AC C ADC AD ∠==. 17.（Ⅰ）没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关；（Ⅱ）选择乙工艺【解析】17.（Ⅰ）先根据数据填表，再根据公式计算卡方，最后对照数据作判断，（Ⅱ）根据数学期望公式计算平均数，再比较大小，最后作判断. （Ⅰ）2×2列联表如下 因为K2=200×(50×40−50×60)2110×90×100×100=20099<2.706， 所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．（Ⅱ）甲工艺生产一等品、二等品、三等品的概率分别为：0.5，0.3，0.2， 乙工艺生产一等品、二等品、三等品的概率分别为：0.6，0.1，0.3， 因此甲生产一件产品的平均利润为30×0.5+20×0.3+15×0.2=24， 因此乙生产一件产品的平均利润为30×0.6+20×0.1+15×0.3=24.5，因为24.5>24，所以应该选择乙工艺．18.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）821√42答案第12页，总16页【解析】18.（Ⅰ）根据线面垂直判定与性质定理得SA⊥BD ，再根据平几知识计算得AC ⊥BD ，最后根据线面垂直判定与性质定理得结论，（Ⅱ）根据等体积法求点B 到平面AEC 的距离. （Ⅰ）证明：在图中，因为∠SAD = 90°，则SA ⊥AD ，又SA⊥AB ，AD ∩AB =A ，故SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥BD ；在直角梯形ABCD 中， ∠BAD =∠ADC =90∘， AD =2CD =1， AB =4，所以tan∠ABD =tan∠CAD =12,又∠DAC +∠BAC =90°，所以∠ABD +∠BAC =90°，即AC ⊥BD ；又AC ∩SA =A ，故BD⊥平面SAC ，因为AF⊂平面SAC ，故BD ⊥AF .（Ⅱ）设点B 到平面AEC 的距离ℎ，因为V B−AEC =V E−ABC =12V S−ABC， 即13×S ΔAEC ×ℎ=12×13×S ΔABC ×SA 其中S ΔABC =12×4×2=4，SA =4−2=2， 在△AEC 中，AE=12SB =12×√SA 2+AB 2=√5,AC =√AD 2+DC 2=√5,取AB 中点G ，连接EG,CG ，易证EG∥SA,从而EG⊥平面ABCD ，EG⊥CG，所以EC =2+CG 2=√6,S ΔAEC =12×√6×√5−(√62)2=√424故ℎ=12×4×2√424=821√42，即点B 到平面AEC 的距离为821√42. 19.（1）22y x =;（Ⅱ）当且仅当02x =时， max 2d ==.【解析】19.试题分析：(1) 2A x =且在圆上可得A 点坐标，代入抛抛线方程可得1p =.(2) 设两切点211,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,2y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，结合导数求两切线和其交点为12122{2y y x y y y ⋅=+=,第13页，总16页又由2002{8y xx x y y =+=得01201202{16y y y x y y x +=-⋅=-从而M 为0008,y x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.再利用点到线的距离公式求解即可.试题解析：（1）由2A x =得24Ay =，故24,1A px p ==. 于是，抛物线E 的方程为22y x =.（Ⅱ）设211,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线1l ： 2112y y y kx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，代入22y x =得2211220ky y y ky -+-=，由0∆=解得11k y =, 1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+, 联立112212{12y y x y y y x y =+=+，解得12122{2y y x y y y ⋅=+=,易得CD 方程为008x x y y +=，其中0x ， 0y 满足2208x y+=，02,x ⎡∈⎣, 联立方程2002{8y xx x y y =+=得2002160x y y y +-=，则01201202{16y y y x y y x +=-⋅=-,∴(),M x y 满足0008{x x y y x =-=-,即点M 为0008,y x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 点M 到直线CD ： 008x x y y +=的距离2200088161616y x x d -++-+====关于0x 单调减，故当且仅当02x =时， max 2d ==. 20.（1）()f x 的极大值为()11f m =-，无极小值;（2）见解析.答案第14页，总16页【解析】20.试题分析：(1) 求导，判断单调性得极值即可.(2) 先在(),0m -上构造函数()()()r x h x h x =--和0比较大小，再在()0,+∞上利用函数()h x 单调性得()()21h x h x <-.试题解析：（1）()()1ln ,1f x x x m f x x=-+∴=-,由()0f x '=得1x =， 且01x <<时， ()'0f x >， 1x >时， ()'0f x <.故函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞. 所以，函数()f x 的极大值为()11f m =-，无极小值.（2）由()()g x f x m =+及（1）知()g x 的单调递增区间为(),1m m --，单调递减区间为()1,m -+∞.由条件知()()1122{ln x m x ln x m x +=+=，即1212{x x x m e x m e+=+=, 构造函数()x h x e x =-,知()x h x e x =-与y m =图像两交点的横坐标为1x ， 2x ,()1x h x e '=-，由()0h x '=得0x =，易知函数()h x 的单调递减区间为(),0m -，单调递减区间为()0,+∞.欲证120x x +<，只需证21x x <-，不妨设120x x <<， 考虑到()h x 在()0,+∞上递增，只需证()()21h x h x <-, 由()()21h x h x =知，只需证()()11h x h x <-, 令()()()e 2x x r x h x h x x e -=--=--，则()111e ln 2e 20e xxx x r x e e ⎛⎫=--=+-≥ ⎝'⎪⎭，即()r x 单调增，注意到()00r =，结合10x <知()10r x <，即()()11h x h x <-成立， 即120x x +<成立.点睛:本题考查的是函数的极值问题和极值点偏移问题.求极值时要注意判断在导数为0异号时为极值点，要记得判断是极大值还是极小值 ，否则不是极值点;在第二问极值点偏移中，要解决第15页，总16页两个问题，一是在(),0m -上构造函数()()()r x h x h x =--和0比较大小，二是在()0,+∞上利用函数()h x 单调性.21.（Ⅰ）2219x y +=,4π． ．【解析】21.试题分析：（Ⅰ）由参数方程消去参数α即得；由极坐标方程化为直角坐标方程，根据斜率即得倾斜角 （Ⅱ）根据()0,2P 在直线l 上， 可设直线l 的参数方程代入椭圆方程化简，根据一元二次方程根与系数的关系，利用参数的几何意义求解.试题解析：解法一：（Ⅰ）由3cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219x y +=，由sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（＊） 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入（＊），化简得2y x =+，所以直线l 的倾斜角为4π． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点()0,2P 在直线l 上， 可设直线l 的参数方程为cos ,42sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 即,222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=．(245271080∆=-⨯⨯=>． 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1212270,05t t t t +=<=>，所以120,0,t t << 所以()1212PA PB t t t t +=+=-+=解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）直线l 的普通方程为2y x =+.答案第16页，总16页由222,99y x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得21036270x x ++=， 于是236410272160∆=-⨯⨯=>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12180,5x x +=-<1227010x x =>，所以120,0x x <<. 故12120|0||5PA PB x x x x +=--=+=. 22.（1）[−14,94]（2）−1<m <2【解析】22.试题（1）根据绝对值号内式子的正负，将不等式f(x)≤5转化为{x <124−4x ≤5或{12≤x322≤5或{x >324x −4≤5，解不等式组可求解；（2）若不等式m 2−m <f(x)，∀x ∈R 都成立，则m 2−m <f(x)min ，求f(x)的最小值。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试卷及解析
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合M ={x|x 2−4≤0}，N ={x|log 2x <1}，则M ∩N =( )A. ∅B. (0,2)C. (−2,2)D. [−2,2)2.已知复数z =i(1+2i)，则|z|=( )A. √5B. √3C. √2D. 33.已知抛物线方程为x 2=−2y ，则其准线方程为( )A. y=−1 B. y=1 C. y =12D. y =−124.设函数f(x)={x 2−2x ,(x ≤0)f(x −3),(x >0)，则f(5)的值为( )A. -7B. -1C. 0D. 125.已知平面向量a ⃑⃑ ，b ⃑⃑ ，|a |=2，|b ⃑ |=1，则|a −b⃑ |的最大值为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 56.已知a =25ln 52，b =lne e（e 是自然对数的底数），c=ln22，则a,b,c 的大小关系是( )A. c<a <b B. a <c <b C. b<a <c D. c<b <a7.已知r>0，x,y ∈R ,p ：“x 2+y 2≤r 2”，q ：“|x|+|y|≤1”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数r 的取值范围是( ) A. (0,√22] B. (0,1] C. [√22,+∞) D. [1,+∞)8.如图所示算法框图，当输入的x 为1时，输出的结果为( )答案第2页，总16页…………装………………○…………线…………○※请※※不※※要※※在※答※※题※※…………装………………○…………线…………○A. 3B. 4C. 5D. 69.2021年广东新高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率( ) A. 12B. 13C. 16D. 1910.函数f(x)=ln(√x 2+1+x)−3xx +1的图像大致为( )A. B. C. D.11.过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点（M 点在切点T 的右侧），若ΔOTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线的方程为( ) A. y=±34xB. y =±43xC. y =±35xD. y =±53x12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )…………装………线…………○…校:___________姓名：_______…………装………线…………○…A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知{a n }为等差数列，若a 2=2a 3+1，a 4=2a 3+7，则a 3=__________．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为__________． 15.已知锐角A 满足方程3cosA −8tanA =0，则cos2A =__________．16.若对任意t∈[1,2]，函数f(x)=t 2x 2−(t +1)x +a 总有零点，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题（题型注释）17.函数f(x)=2sin(ωx +φ)（0<ω<π2，|φ|<π2）的部分图像如下图所示，A(0,√3)，C(2,0)，并且AB∥x 轴.（1）求ω和φ的值； （2）求cos∠ACB 的值. 18.如图，四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，CC 1⊥底面ABCD ，且∠BAD =60∘，CD =CC 1=2C 1D 1=4，E 是棱BB 1的中点.答案第4页，总16页○…………订…………线…………○※※订※※线※※内※※答※※○…………订…………线…………○（1）求证：AA 1⊥BD ；（2）求三棱锥B 1−A 1C 1E 的体积.19.市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换.（用频率估计概率）（Ⅰ）根据频率直方图估算B 型节能灯的平均使用寿命；（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p ，那么n 支灯管估计需要更换np 支.若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由. 20.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)与圆O ：x 2+y 2=1相切，并且椭圆E 上动点与圆O 上动点间距离最大值为2+√62.…线…………○……线…………○…（1）求椭圆E 的方程；（2）过点N(1,0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与E 交于A,B 两点，l 2与圆O 的另一交点为M ，求ΔABM 面积的最大值，并求取得最大值时直线l 1的方程.21.已知函数f(x)=e x (lnx −ax +a +b)（e 为自然对数的底数），a,b ∈R ，直线y =e2x 是曲线y=f(x)在x =1处的切线.（Ⅰ）求a,b 的值； （Ⅱ）是否存在k ∈Z ，使得y =f(x)在(k,k +1)上有唯一零点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+t,y =1+√3t（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =4+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程；（2）设点M(2,1)，直线l 与曲线C 相交于点A,B ，求|MA|⋅|MB|的值. 23.已知函数f(x)=|x +m 2|+|x −2m −3|. （1）求证：f(x)≥2；（2）若不等式f(2)≤16恒成立，求实数m 的取值范围.答案第6页，总16页参数答案1.B【解析】1.解一元二次不等式简化集合M ，再由对数的运算性质求出N ，再由交集的运算求出结果． 解：∵x 2−4≤0，∴﹣2≤x ≤2， ∴M ＝[−2,2]， ∵log 2x ＜1，∴0＜x ＜2， ∴N ＝(0,2)， ∴M ∩N=(0,2)，故选：B ． 2.A【解析】2.求出z ＝i +2i 2＝﹣2+i ，由此能求出|z |． 解：∵z ＝i （1+2i ）＝i +2i 2＝﹣2+i ， ∴|z |=√(−2)2+12=√5．故选：A ． 3.C【解析】3.利用抛物线方程直接求解准线方程即可． 抛物线x 2＝-2y 的准线方程为：y =12，故选：C ． 4.D【解析】4.利用分段函数的性质即可得出．∵函数f(x)={x 2−2x ,(x ≤0)f(x −3),(x >0)，∴f (5)=f (5−3)=f (2)=f (2−3)=f (−1)=(−1)2−2−1=12故选：D 5.C【解析】5.利用数量积运算可得|a ⃑⃑ −b ⃑⃑ |=√5−2a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ ，根据a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ ∈[−2,2]可得结果. ∵|a |=2，|b⃑ |=1， ∴|a ⃑⃑ −b ⃑⃑ |=√(a ⃑⃑ −b ⃑⃑ )2=√a ⃑⃑ 2−2a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ +b⃑⃑ 2=√5−2a ⃑⃑ ∙b⃑⃑ 又a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ ∈[−2,2] ∴|a ⃑⃑ −b ⃑⃑ |∈[1,3] ∴|a−b⃑ |的最大值为3 故选：C 6.A【解析】6.由题意构造函数f (x )=lnx x，利用函数单调性即可比较大小.记f (x )=lnx x，f′(x )=1−lnx x 2=0,可得x=e可知：f (x )在(0，e )上单调递增，又2＜52＜e∴ln22＜ln 5252＜lne e，即c <a <b 故选：A 7.A【解析】7.先作出不等式：“|x|+|y|≤1”，“x 2+y 2≤r 2”表示的平面区域，再结合题意观察平面区域的位置关系即可得解答案第8页，总16页………订…………○……※※线※※内※※答※※题※※………订…………○……解：“|x|+|y|≤1”，“x 2+y 2≤r 2”表示的平面区域如图所示，由p 是q 的必要不充分条件，则圆心O （0，0）到直线AD ：x +y ﹣1＝0的距离小于等于√22， 即0＜r≤√22，故选：A ．8.C【解析】8.根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可． 当x ＝1时，x ＞1不成立，则y ＝x+1＝1+1＝2， i ＝0+1＝1，y ＜20不成立，x ＝2，x ＞1成立，y ＝2x ＝4，i ＝1+1＝2，y ＜20成立， x ＝4，x ＞1成立，y ＝2x ＝8，i ＝2+1＝3，y ＜20成立， x ＝8，x ＞1成立，y ＝2x ＝16，i ＝3+1＝4，y ＜20成立x ＝16，x ＞1成立，y ＝2x ＝32，i ＝4+1＝5，y ＜20不成立，输出i ＝5， 故选：C ． 9.B【解析】9. 基本事件总数n =9，他们选课相同包含的基本事件m ＝3，由此能求出他们选课相同的概率．解：今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，…外…………○……学校:_____…内…………○……则基本事件有(地，地)，(地，化)，(地，生)，(化，地)，(化，化)，(化，生)，(生，地)，(生，化)，(生，生)，总数n =9，他们选课相同包含的基本事件m ＝3， ∴他们选课相同的概率p =m n=39=13．故选：B ． 10.A【解析】10.利用函数的对称性及特殊值即可作出判断.f (x )+f (−x )=ln(√x 2+1+x)−3xx 2+1+ln(√x 2+1−x)+3xx 2+1=0,即f (−x )=− f (x )，故f (x )为奇函数，排除C ，D 选项；f(1)=ln(√2+1)−32<0,排除B 选项，故选：A 11.B【解析】11.先从双曲线方程得：a ，b ．连OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝b ．连PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点得出|MO |﹣|MT |=12PF 2﹣（ 12MF 1﹣F 1T ）=12（PF 2﹣MF 1）﹣b 最后结合周长与勾股定理可得结果.解：连OT ，则OT ⊥F 1T ， 在直角三角形OTF 1中，|F 1T |=√OF12−OT 2=√c 2−a 2=b ．连PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点答案第10页，总16页∴OM =12PF 2，∴|MO |﹣|MT |=12PF 2﹣（ 12PF 1﹣F 1T ）=12（PF 2﹣PF 1）+b=12×(−2a)+b =b ﹣a ．又|MO |+|MT |+|TO |=4a ，即|MO |+|MT |=3a 故|MO |=b+2a2, |MT |=4a−b2, 由勾股定理可得：a 2+(4a−b 2)2=(b+2a 2)2，即b a =43∴渐近线方程为：y =±43x故选：B 12.A【解析】12.利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前n 项和为S n =1−2n 1−2=2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n =n(n+1)2，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选：A ． 13.−4【解析】13.利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 3． 解：∵{a n }为等差数列，a 2=2a 3+1，a 4=2a 3+7，第11页，总16页……订…………________考号：_________……订…………∴{a 1+d =2(a 1+2d)+1a 1+3d =2(a 1+2d)+7，解得a 1＝﹣10，d ＝3， ∴a 3＝a 1+2d ＝﹣10+6＝−4． 故答案为：−4． 14.√6【解析】14.作出符合题意的图形P ﹣ABC ，取底面中心O ，利用直角三角形POC 容易得解．解：如图，正三棱锥P ﹣ABC 中，O 为底面中心， ∵侧面为等腰直角三角形，AC ＝6， ∴PC =3√2， ∴OC =2√3，∴OP =√18−12=√6，故答案为：√6． 15.79【解析】15.化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 2A+8sinA ﹣3＝0，解得sinA 的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．∵锐角A 满足方程3cosA ﹣8tanA ＝0，可得：3cos 2A ＝8sinA ， ∵cos 2A+sin 2A ＝1，∴3sin 2A+8sinA ﹣3＝0，解得：sinA =13，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin 2A ＝1﹣2×19=79．答案第12页，总16页故答案为：79．16.(−∞，916]【解析】16. 由函数f(x)=t 2x 2−(t +1)x +a 总有零点可得∆≥0，变量分离后求最值即可. ∵函数f(x)=t 2x 2−(t +1)x +a 总有零点，∴∆=(t +1)2−4at 2≥0对任意t ∈[1,2]恒成立，∴a ≤(t+12t)2=(12+12t)2记y =(12+12t)2在[1,2]上单调递减，∴(12+12t)2≥(12+12×2)2=916∴a ≤916故答案为：(−∞，916]17.（1）ω=φ=π3；（2）5√714.【解析】17.（1）根据函数过A ，C 两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出B 的坐标，利用向量法进行求解即可．（1）由已知f(0)=2sinϕ=√3， 又|ϕ|＜π2，所以ϕ=π3，所以f(x)=2sin(ωx +π3)⋯⋯⋯（3分）由f(2)=0，即2sin(2ω+π3)=0，所以2ω+π3=2kπ+π，k ∈Z ， 解得ω=kπ+π3，k ∈Z ，而0<ω<π2，所以ω=π3.（2）由（Ⅰ）知，f(x)=2sin(π3x +π3)，令f(x)=√3，得π3x +π3=2kπ+π3或π3x +π3=2kπ+2π3，k∈Z，所以x ＝6k 或x ＝6k+1，由图可知，B(1，√3)．第13页，总16页…○…………外………装…………○…………订…………______姓名：___________班级：___________考号：_________…○…………内………装…………○…………订…………所以CA →=(−2，√3)，CB →=(−1，√3)，所以|CA|→=√7，|CB →|=2，所以cos∠ACB=CA →⋅CB →|CA →||CB →|=2√7=5√714．18.（1）详见解析；（2）2√33.【解析】18.(1) 推导出CC 1⊥BD ．BD ⊥AC ．从而BD ⊥平面ACC 1，由此能证明BD ⊥AA 1； (2)利用等积法即可得到三棱锥B 1−A 1C 1E 的体积. （1）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以.又，所以平面.又由四棱台知，四点共面.所以.（2）由已知，得，又因为，所以.19.（Ⅰ）3440小时；（Ⅱ）4；（Ⅲ）应选择A 型节能灯.【解析】19.（Ⅰ）由频率直方图即可得到平均使用寿命；（Ⅱ）根据题意即可得到一年内需更换的支数；（Ⅲ）分别计算所花费用，即可作出判断. （Ⅰ）由图可知，各组中值依次为，对应的频率依次为，故型节能灯的平均使用寿命为小时.（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，故估计一年内支型节能灯需更换的支数为.（Ⅲ）若选择型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10−3=870元；答案第14页，总16页……○……○若选择型节能灯，一年共需花费元.因为967.5>820，所以该商家应选择A 型节能灯.20.（1）x 23+y 2=1；（2）面积的最大值为√62，此时直线l 1的方程为x =±√22y +1.【解析】20.（1）由题意可得b ＝1，a ﹣1=2+√62，即可得到椭圆的方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据l 2⊥l 1，可设直线l 1，l 2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值． （1）椭圆E 与圆O ：x 2+y 2＝1相切，知b 2＝1；又椭圆E 上动点与圆O 上动点间距离最大值为2+√62，即椭圆中心O 到椭圆最远距离为√62， 得椭圆长半轴长a=√62，即a 2=32； 所以椭圆E 的方程：x 232+y 2=1（2）①当l 1与x 轴重合时，l 2与圆相切，不合题意． ②当l 1⊥x 轴时，M （﹣1，0），l 1：x ＝1，|AB|=√3，此时S △ABM =12×2√33×2=2√33．…（6分） ③当l 1的斜率存在且不为0时，设l 1：x ＝my+1，m≠0，则l 2：x =−1my +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =my +1，2x 23+y 2=1得，（2m 2+3）y 2+4my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−4m 2m 2+3，y 1y 2=−12m 2+3， 所以|AB|=√1+m 2|y 2−y 1|=2√3√m 2+1√2m 2+12m 2+3．由{x =−1m y +1，x 2+y 2=1得，(1m +1)y 2−2my =0，解得y M =2mm 2+1，所以|MN|=√1+1m2|y M |=√m 2+1， 所以S △ABM=12|AB||MN|=12⋅2√3√m 2+1√2m 2+12m 2+3⋅2=2√3√2m 2+12m 2+3=√3√2m 2+1+2√2， 因为√2m 2+1＞1，第15页，总16页………外…………○…………装…………○…………○…………线……学校:___________姓名：___________班级：__________………内…………○…………装…………○…………○…………线……所以√2m 2+1√2≥2√2，当且仅当m=±√22时取等号．所以S △ABM≤√62（2√33＜√62）综上，△ABM 面积的最大值为√62，此时直线l 1的方程为x =±√22y +1．21.（Ⅰ）a =1,b =12；（Ⅱ）存在k=0或2.【解析】21.（Ⅰ）由导数的几何意义布列方程组即可得到结果；（Ⅱ）研究函数f(x)的单调性与极值即可得到结果. （Ⅰ），由已知，有，即，解得a =1,b =12.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则令，则恒成立，所以在上单调递减，又因为，， 所以存在唯一的，使得g(x 0)=0，且当时，，即，当时，，即.所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为当时，，，，，所以存在或，使得在上有唯一零点.22.（1）ρ2−8ρcosθ−6ρsinθ+21=0；（2）4.答案第16页，总16页【解析】22.（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． （1）由参数方程{x =4+2cosθy =3+2sinθ，得普通方程(x −4)2+(y −3)2=4， 所以极坐标方程ρ2−8ρcosθ−6ρsinθ+21=0. （2）设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2，将{x =2+t,y =1+√3t代入得(x −4)2+(y −3)2=4得t 2−(√3+1)t +1=0所以t 1t 2=1,直线l :{x =2+t,y =1+√3t （t 为参数）可化为{x =2+12×2t,y =1+√32×2t， 所以|MA|⋅|MB|=|2t 1||2t 2|=4|t 1t 2|=4.23.（1）详见解析；（2）[−3,√14−1].【解析】23.（1）由绝对值不等式性质得f (x )≥|(x +m 2)−(x −2m −3)|即可证明；（2）由f (2)=m 2+2+|2m +1|去绝对值求解不等式即可.（1）因为f(x)=|x +m 2|+|x −2m −3|≥|(x +m 2)−(x −2m −3)|，所以f(x)≥|m 2+2m +3|=(m +1)2+2≥2.m 2+2m +3≤16,即(m +1)2≤14（2）由已知，f (2)=m 2+2+|2m +1|①当m≥-12时，f(2)≤16等价于m 2+2m +3≤16,即(m +1)2≤14，解得−√14−1≤m ≤√14−1所以−12≤m ≤√14−1②当m<-12时，f(2)≤16等价于，m 2−2m +1≤16,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<−12综上，实数m 的取值范围是[−3,√14−1].。
江西南昌市2019—2019学年度高三第一次模拟测试数学文
南昌市2021学年度高三第一次模拟测试数学〔理〕试题本试卷分第I 卷〔选择题〕和第n 卷〔非选择题〕两局部,共 150分. 考生注意：1 .做题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在做题卡上,考生要认真核对做题卡粘贴的条形码的 准考证号、姓名、测试科目 〞与考生本人准考证号、姓名是否一致.2 .第I 卷每题选出答案后,用 2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第n 卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在做题卡上作答,假设在试题卷上作答,答案无效.3 .测试结束,监考员将试题卷,做题卡一并收回.一、选择题：本大题共 10小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有 一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合A, B,那么AUB =庆是OB = B 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .假设复数z 满足匕义=i 〔i 为虚数单位〕,那么z 的虚部为 zA . 2iB . 2 C. -ID. -13 .在数列｛aj 中,假设a=2,且对任意的n w N*有2a n 由=1 +2a n ,那么数列｛aj 前10项的和为x-xe - eC. y =24. 5. B. 10八 5C.一2函数f 〔x 〕 = Acosgx 十日〕的图象如下图 f 〔-〕=C.卜列函数中,既是偶函数,又在区间〔22A . y = cos x -sin x1, 2) B. 5D.一42 一 二不那么f(\) =2 3内是增函数的为y = lg | x |3D . y 二x10 .点P 的底边长为2卮 高为2的正三棱柱外表上的动点,PM PN 取值范围是A . [0, 2]B . [0, 3]第II 卷考前须知：第n 卷须用黑色墨水签字笔在做题卡上书写作答,假设在试题上作答,答案无效.6.X 2V 2 .............. 1 9 ........................................... ..................................... ...............................................双曲线二=1与抛物线y=-X 2有一个公共焦点F,双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为b 2 a 2 82-3 ,那么双曲线的离心率等于 3 2,3 B . -------- 3 3.2C. ---------2D. .37.设a, b 是夹角为30.的异面直线,那么满足条件 'a Eu ,b =比且口 _L P 〞的平面口邛 A .不存在 展开式的三项为10,那么y 关于x 的函数图象的大致形状为8. riB.有且只有一对C.有且只有两对 D,有无数对9. 卜列四个命题中,①e x dx = e;②设回归直线方程为V= 2 — 2.5x,当变量x 增加一个单位时,y 大约减少2.5个单位；③服从正态分布 N仃2),且 P(-2 < <0) = 0.4 ,那么:P(£ a 2) =0.1④对于命题p :"之0"那么「p:x -1< 0"错误的个数是B, 1个C. 2个D. 3个MN 是该棱柱内切球的一条直径,那么C [0, 4]D. [-2, 2]11 . e , = (cos — ,sin —), e 2 = (2sin —4 6 4T12 .假设一个圆台的主视图如下图,那么其全面积等于 . 13 .三个好朋友同时考进同一所高中,该校高一有10个班,那么至少有 2人分在同一班的概率为.14 .函数 f (x) = asin( —x)+btan(—x)(a,b 为常数,x^R),右 f(1A 1 那么不等式55f(31) >log 2 x 的解集为 .三、选择题：请考生在以下两题中任选一题作答,假设两题都做,那么按做的第一题评阅计分,此题共5分.15 . (1)(坐标系与参数度方程选做题)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为x - 3 3cos 二 $,(€为参数),平面直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴为以极轴, 并在y =1.3 sin 二两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为 Pcos (日十二)=0 ,那么直6线l 裁,圆C 所得的弦长为.(2)(不等式选做题)假设对任意的aWR,不等式|x| + |x —1|引1+a|—11 —a|恒成立,那么实数 x的取值范围是.四、解做题：本大题共 6小题,共75分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.A ,…16 .(本小题总分值12分)设角A, B, C 为4ABC 的三个内角.(1)设fA) A A2n+,3 A 做0________________ _ __________________________ ___________________ T时,f(A)取极大值f(A 0),试求A 0和f (A O )的值；(2)当A 取A 0时,而AB-AC =—1,求BC 边长的最小值.17 .(本小题总分值12分)某市电视台的娱乐频道 好声音〞节目,制定第一轮晋级互第二轮的规那么如下; 每名选手准备三首有顺歌曲,按顺序唱,第一首歌专业评审团全票通过那么直接晋级到第二轮；否那么唱第二首歌和第三首歌,第二首歌由专业评审团投票是否通过,第三首歌由媒体评审团投 票是否通过.假设第二首歌获得专业评审团三分之二票数以上通过,且第三首歌获得媒体评审团三分之二票数以上通过,晋级到第二轮；假设第二首歌,没有获得专业评审团三分之二票数通过,但第三首歌,媒体评审团全票通过,也同样晋级到第二轮,否那么淘汰.某名选手估计自己三首 歌通过的概率,4cos —),e e 2 =3如下表：假设晋级后面的歌就不需要唱了,求( 1)求该选手晋级唱歌首数之的分布列及数学期望；(2)求该选手晋级概率.18.(本小题总分值12 分)设f (x) = ln(1 + x)—x—ax2.(1)当x=1时,f(x)取到极值,求a的值.1 1 ............................(2)当a满足什么条件时, f(x)在区间［—-,--］有单调递增区间.2 319.(本小题总分值12分)如图民多面体ABC—A1B1C1和它的三视图.(1)线段CC1上是否存在一点巳使BE,平面A1CC1,假设不存在请说明理由,假设存在请找出并证实；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值.20.(本小题总分值14 分)点M(—1,0), N(1,0),动点P(x,y)满足：|PM |+|PN |=2,3,(1)求P的轨迹C的方程；(是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A , B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形？假设存在,求出直线l的方程；假设不存在,说明理由.21.(本小题总分值14分)设正项数列｛a n｝的前项和是S n,假设｛a n｝和｛底｝都是等差数列,且公差相等,求｛a n｝的通项公式；(2 )假设a1,a2,a 3恰为等比数列｛b n｝的前三项,记数列24bC n = ---------------- n—,数歹U{c n}的前n项和为T n ,求证：对任意nW N*,者B有T n <2.(12b n -1)参考答案一、选择题 (本大题共10题,每题 5分,共50分) 题目 1 2 3 4 5 答案 C D C A B 二、填空题 (本大题共4小题,每题5,共20分)11. 2 12.5二 3 5：713.—三、选做题 (此题共 5分)257 8 9 D D C 14. 0,210 C四、解做题(本大题共 6小题,共75分)A 2AA A A 16.解：(1)由于 f (A) =cosA+cos —=2cos —+cos —-1 =(2cos ——1)(cos-+1). .......................................... 2 分 2 2 2 2 2A . 一 一 一 一A 1 由于 0 < A ,那么 cos — +1 >0.由 f (A) >0 ,得 cos — >-,222所以 0< 一 < 一 即 0<A< ............................................................................................................... 4 分 2 3 32 二一 2二2二 所以当A = (0,——)时,f(A)为增函数；当AJ ——,n)时,f (A)为减函数.故A O = ——3 33f(A)取极大值f (A 0) = f (―)=匹3 3 2⑵由A BAC = —1 知 bc =2而 a =出 +c 2 +bc 之"3bc =\Z6 , .................................................................. 当且仅当b=c=J2时,BC 边长的最小值为 爬 .................17.解：(1) E=1,3.P(X = 1)= 0.田占=(=3) 08分 10分 12分6分15.①4拒②(q,」]U[3,/)6 B (2)设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为A,第二首歌三分之二以上专业 评审团通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评审团通过且第三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为B 、C .那么(i)P(A) =0.2, ............................................................................................................... 7 分(ii)P(B) =(1-0.2)父0.5父0.8 =0.32, ............................................................................................ 9 分 (iii )P(C) =(1—0.2)父(1—0.5)M0.4=0.16 ............................................................................... 11 分 .•・该选手晋级的概率为： P 2 =P(A)+P(B)十P(C) = 0.68 ........................................................ 12分18.解：(1) f(x)的定义域为(—1,收),1 2ax -(2a 1)xf '(x): ---------- _2ax-1 ; ------------------ - ........... —1 x 1 x1 由题意得：f'(1)=0,那么 二a —2a —1 = 0,得 a = —1 4p1,又a = _一时,4当0 <x <1时,1 f'(x) = 2：x(x —1)=2 ,1 x所以f(1)是函数 f '(x) <0 ,当 x >1时,f(x)的极大值,所以a'(x)>0, 1—；.…41 1⑵ 要使的f(x)在区间［—―,-一］有单调递增区间,即要求2 3 …、八.11,f '(x) >0在区间［——,--］有解,当2 32①当1 ,, 一,§ 时 f '(x)>0 等价于 2ax+(2a +1)>0.=0时,不等式恒成立;②当 A0时得x ③当 <0时得x 2a 综上所述,a •(」,；)••2a 1 A- ------- ,此时只要2a 2a 1 <- ------ ,此时只要12分 2a 1 2a 2a 1 2a 1 3< 一一,解得 a >3 4 1 … ,> 一一,解得 a > -1 10分 11分19.证实：由(1)知AAABAC 两,垂直,如图建系,BC = 2J5,那么A0 %-2,0),G(-七1,2) , CC I =(-1,1,2)AG=(-1,-1,0),AC=(0,-2,1). ....................................................................................设 E(x,y,z),那么 CE =(x,y+2,z), E C 1 = (—1 — x,—1 — y,2 — z),A (0,0,2) ,B(-2,0,0),*2x 一一’ - ' x y 2 — —1 — 1 y |z =2= /z-'-2 - ' 2 ■■■ ■ 一那么 E(H ,：—,丁),BE=( 1 1 1 1 1 1由 BE AC =0< __ h ___ ■ B E AC =02十尢十2十九 -1+1 —2 —九十 2九二0 ,得九=2 二0所以线段CC I 上存在一点E , CE =2EG,使BE _L 平面ACC 1 另证：补形成正方体,易证 CE : EC 1 =2:1 ⑵设平面ACQ 的法向量为m = (x,y,z),那么由 m AC I =0-x- y = 0r ,得?取 x =1 ,那么 y = -1, z =1.故 m = (1, —1,1),1分3分4分显然 cos Z MPN 1 ,假设 cos/MPN =1 ,那么 P(±V3,0) 否那么,P,M,N 构成三角形,在 APMN 中,(PM +PN )2=12,即 PM +PN|=25/322所以P 的轨迹C 的方程为—+-y- =1……32(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y-,由题意知l 的斜率一定不为0,故不妨设l :x = my + 1,代入椭圆方程 整理得(2m 2+3)y 2 +4my —4 = 0,显然 0 >0. 那么 y + y 2 = -------42m- , y 1y 2 = ---------- 4—— 2m 2 3 2m 2 3假设存在点Q,使得四边形OAQB 为平行四边形,其充要条件为 OQ=OA+OB,那么点Q 的坐标为22,、 (x x2)(y V 2)(x 1 +乂2»+丫2).由点 Q 在椭圆上,即」一 j(y 1 y 2) =1. 3 2整理得 2x ； 3y l 2 2x 22 3V2 44x 2 6y l y 2 =6. ...................................................................................... 又 A 、B 在椭圆上,即 Zx,+BySna 2x 22+3y 22=6.故 2x 1x 2+3y 1y 2= —3 ……②将x 1x 2 =(my i +1)(my 2 +1) =m 2y 1 y 2 +m(y [ +y 2) +1 代入由①②解得 m = .即直线l 的方程是：x = ±-y +1,即2x ±J 2y —2=02d =工,2 2n -1(3n -1)2(3n -1)(3n -3) - (3n -1)(3n " -1) - 3n4 -1 3n -13 2 32 2 3n 3 1当 n"时,T n =3+^r A T +HI +^r J -T^3+(I -2 (3 -1) (3 -1) 2 221.解：设｛a n ｝的公差为d ,那么J S T = Jdn,且 a-a 2 2=0 ............ 2 分(2)易知b n1 =—3 42 3n2 3n 2 3n42 3n 弓二(3n -1)21 7分.而平面A 1AC 的一个法向量为n = (1,0,0),那么' 3 m n 1 cos；：,ml, n * =^= mn 」353 ........ 11 分 飞3平面GAC 与平面ACA 夹角的余弦值为 、3312分20.解：(1)由 PM LPN| =1 cos. MPN得 PM [_PN|cos/MPN =4-PM 」PN4 = MN2=PM ,2+ PN -2PML PN cosZMPN =|PM 2 +| PN 2-2(4 - PM JPN|)10分13分, 2d 1a [二一二一a n 32 -1nr(3n」-1 3n -1 )=23n -114分.且工=3 <；2故对任意n^N , T n <2 ..............................................................................2。
江西省南昌市2019届高三上学期调研测试卷(数学文).doc
江西省南昌市 2019 届高三上学期调研测试卷（数学文）数 学 (文科 )本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4页，共 150 分． 第 I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目 ”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A ，B互斥，那么球 的 表 面积公式P( A B) P( A) P( B)S 4πR 2如果事件A ，B相互独立，那么其中 R 表示球的半径P( A B) P( A) P( B)球 的 体 积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，V 4 πR 33那么 n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径P ( k )C k p k (1p ) n knn一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1．已知集合A { x | yln x} ，集合 B{2, 1,1,2} ，则 ABA ． (1,2)B ． {1,2}C ．{1, 2}D ． (0,)5i 2．已知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 ，则 z =2A ．2 iB ．2 iC ．2 iD ．2 i3． 若函数 f ( x) x 2 ax(a R ) ，则下列结论正确的是A ．存在 a ∈ R ， f x 是偶函数B ．存在 a ∈ R ， f x是 奇函数C ．对于任意的 a ∈R ， f x在 (0,＋∞)上是增函数D ．对于任意的 a ∈ R ， f x在(0,＋∞)上是减函数 4．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个几何体的体积为3A ． 2B ．2 C ．3 D ．4S 3 S 215．已知数列{ a n }的前 n 项和为S n，且满足 3{ a n } 的公差是 2，，则数列 1A ．2 B ．1C ．2D ．36．若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是A ．k 9B ．k 8C ．k 8D ．k 8]π7 ．已知函数 y Asin( x) m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2 ，直线πx3 是 其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是y 4sin 4x π y 2sin 2 x π6 2A. B. 3y 2sin 4x π y 2sin 4x π2 2C. 3D.6f xa 2 x1, x ≤1,8．已知函数 log a x,x1.若 f x 在,上单调递增，则实数 a的 取值范围为A ． 1,2B ． 2,3C ． 2,3D ．2,9．直线 l 过抛物线y 22px ( p0)的焦点，且与抛物线的交于A 、B 两点，若线段 AB的长是 8， AB 的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线方程是A ． y 212xB ． y 28xC ． y 26 xD ． y 2 4x10．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD — A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形 EFGH 的面积不改变； ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；④当 E AA 1 时， AE BF 是定值 .其中正确说法是A ． ①②③B ．①③C ．①②③④D ．①③④二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上．x 2911．函数 f(x)=log 2(x 1)的定义域为 _________.x 1y 0 12．已知 O 为坐标原点，点M (3,2)，若N ( x, y)满足不等式组xy 4，则 OM ON的最大值为 __________.13．已知正三棱柱 ABC A 1B 1C1 的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 。
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绝密★启封并使用完毕前2019届高三高考适应性考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|05}M x x =<<，{|6}N x m x =<<, 若{|3}M N x x n ⋂=<<，则m n +等于（ ）（A ）9（B ）8（C ）7（D ）6（2）设复数z 满足()11i z -=+i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是（ ）（A （B ）15 （C ）25 （D ）310（4）已知点(在双曲线()22104x y a a-=>的一条渐近线上，则=a （ ）（A ）3 （B ）2 （C （D ）310（5）执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）（A ）?4>k （B ）?5>k （C ）?6>k （D ）?7>k （6）若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（ ）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第5题图 第6题图（7）《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变小．在这个问题中的中间．．两节容量和是（ ） （A ）升 （B ）升 （C ）升 （D ）升（8）将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向左平移4πω个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于直线x ω=对称且在区间(),ωω-内单调递增，则ω的值为（ ）（A ）2π（B ）32π（C ）4π（D ）32π（9）正四棱锥V ABCD -的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为26,则此球的体积为（ ）（A ）722π（B ）36π（C ）92π（D ）92π （10）若椭圆2222:1x y a b Γ+=(0)a b >>的离心率为13，A 、F 分别为椭圆的左、右焦点，B 为右顶点，过右焦点F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于点C ，则cos ACB ∠=（ ）（A ）35（B ）57（C（D ）725（11）函数()2122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（12）已知函数()()2ln ()f x x x x x a a R =+-∈，若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x >'成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（B ）3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（C）)+∞（D ）()3,+∞第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必做题和选做题两部分.第(13)题~第(21)题为必做题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(23)题为选做题，考生根据要求作答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13）已知(2,1)a =，(4,13)b =- ，则b 在a 方向上的投影为 ．（14）已知点(),P x y 在不等式组20330x y a x y -+≥⎧⎨+-≤⎩（a 为常数）表示的平面区域上运动，若43z x y =+的最大值为8，则=a ．（15）某运动队从,,,A B C D 四位运动员中选拔一人参加某项赛事，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 被选中”； 乙说：“是B 被选中”；丙说：“A ，D 均未被选中”； 丁说：“是C 被选中”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛资格的运动员是 ．（16）已知数列{}n a 中，12a =，且2*114()()n n n na a a N a n ++=-∈，则{}n na 的前n 项和为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（17）（本题满分12分）已知ABC ∆中， 22,3sin 3AC A C B π===. （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若D 为BC 边上一点，且ACD ∆，求ADC ∠的正弦值.（18）（本题满分12分）某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21.7，22.3]（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1)的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9)[22.1，22.2)的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8)[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与一等品产出率是否有关？k2.7063.841 6.635附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．（Ⅱ）以上述两种工艺中各种产品的频率作为相应产品产出的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，从一件产品的平均利润考虑，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．（19）（本题满分12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD ，点A 为线段SD 的中点，且SAB SDC ∠=∠90=. 22AD DC ==， 4AB SD ==.现将△SAB 沿AB 进行翻折，使得SAD ∠=90°，得到图形如图（2）所示，连接SC .（Ⅰ）若点F 在线段SC 上，证明： BD AF ⊥； （Ⅱ）若E 点为SB 的中点，求点B 到平面AEC 的距离.（20）（本题满分12分）如图，已知抛物线)0(2:2>=p px y E 与圆8:22=+y x O 相交于B A ,两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点),(00y x P 作圆O 的切线交抛物线E 于D C ，两点，分别以D C ，为切点作抛物线E 的切线21,l l ，1l 与2l 相交于点M .（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）求点M 到直线CD 距离的最大值.（21）（本题满分12分）已知m x x x f +-=ln )(（m 为常数）.S A B D图（1）FE S B A 图（2）C（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）设1>m ，记)()(x g m x f =+，已知21,x x 为函数)(x g 是两个零点，求证：021<+x x .请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα==⎧⎨⎩（a 为参数），在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线L 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线L 的倾斜角；（2）已知点()0,2P ，且直线L 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +．（23）（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2123f x x x =-+-， R x ∈. （Ⅰ）解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若不等式()2m m f x -<， R x ∀∈都成立，求实数m 的取值范围.参考答案（13）（14）2 （15）B（16）1(1)22n n +-+（17）【解析】2分即tan C =.………………………………………………………3分 又因为()0,C π∈，所以6C π=，……………………………………………………………4分得36B C ππ=-=，……………………………………………………………………………5分所以2AB AC ==. …………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知得1··sin26AC CD π=，所以CD =， (8)在ACD ∆中， AD =10分由正弦定理得，sin sin AD ACC ADC=∠12分 （18）【解析】（Ⅰ）2×2列联表如下…………………3分所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）甲工艺生产一等品、二等品、三等品的概率分别为：0.5，0.3，0.2，乙工艺生产一等品、二等品、三等品的概率分别为：0.6，0.1，0.3，………………8分 因此甲生产一件产品的平均利润为300.5200.3150.224⨯+⨯+⨯=，因此乙生产一件产品的平均利润为300.6200.1150.324.5⨯+⨯+⨯=，………………11分 因为24.524>，所以应该选择乙工艺．……………………………………………12分（19）【解析】（Ⅰ）证明：在图（2）中，因为SAD ∠=90°，则SA AD ⊥，又SA AB ⊥，AD AB A =，故SA ⊥平面ABCD ，……………………………………2分 又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥；……………………………………………………3分在直角梯形ABCD 中， 90BAD ADC ∠=∠=， 21AD CD ==， 4AB =，所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=, 又90DAC BAC ∠+∠=°，所以90ABD BAC ∠+∠=°，即AC BD ⊥；…………4分 又AC SA A =，故BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，故BD AF ⊥.………………………………………………………6分（Ⅱ）设点B 到平面AEC 的距离h ，因为12B AEC E ABC S ABC V V V ---==，………………7分即111323AEC ABC S h S SA ∆∆⨯⨯=⨯⨯⨯…………………………………………………………8分 其中14242ABC S ∆=⨯⨯=，422SA =-=，………………………………………………9分在△AEC 中，2211522AE SB SA AB ==+=,225AC AD DC =+=取AB 中点G ，连接EG ,CG ，易证EG ∥SA ,从而EG ⊥平面ABCD ，EG ⊥CG ， 所以226EC EG CG =+=,2164265()224AEC S ∆=-=………………11分故421428242142h ⨯⨯==，即点B 到平面AEC 的距离为84221.……………………12分 （20）【解析】（Ⅰ）由2=A x 得42=A y ，故1,42==p px A . 于是，抛物线E 的方程为x y 22=.……………………4分（Ⅱ）设211,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线1l ：2112y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，代入22y x =得2211220ky y y ky -+-=，由0∆=解得11k y =,……………………5分 1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+, 联立11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,……………………7分易得CD 方程为008x x y y +=，其中0x ，0y 满足2208x y +=，0[2,22]x ∈,………8分联立方程20028y x x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2002160x y y y +-=，则0120120216y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩,∴(),M x y 满足0008x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即点M 为),8(000x y x --.……………………10分点M 到直线CD ：008x x y y +=的距离221682216822168800020020202002+-=+-=+=+---=x xx x x y y x x y d 关于0x 单调减，故当且仅当20=x 时，2292218max ==d .……………………12分 （21）【解析】（Ⅰ）∵()ln f x x x m =-+，∴1'()1(0)f x x x=->,…………………1分 由0)(='x f 得1=x ，……………………2分且10<<x 时，()'0f x >，1>x 时，()'0f x <，故函数()f x 的单调递增区间为)1,0(，单调递减区间为),1(+∞.……………………3分所以，函数()f x 的极大值为1)1(-=m f ，无极小值. ……………………4分（Ⅱ）由)()(m x f x g +=及（1）知)(x g 的单调递增区间为)1,(m m --，单调递减区间为),1(+∞-m .……………………5分由条件知()()1122ln ln x m x x m x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即1212xx x m e x m e ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩, 构造函数x e x h x -=)(,知x e x h x-=)(与y m =图像两交点的横坐标为1x ，2x ,………6分1)(-='x e x h ，由0)(='x h 得0=x ，易知函数)(x h 的单调递减区间为)0,(m -，单调递减区间为),0(+∞.……………………8分 欲证120x x +<，只需证12x x -<，不妨设210x x <<，考虑到)(x h 在),0(+∞上递增，只需证)()(12x h x h -<,由)()(12x h x h =知，只需证)()(11x h x h -<,……………………9分 令xxex e x h x h x r ---=--=2)()()(，则02121ln)1()(≥-+=--='x x x x ee e e e x r ， 即)(x r 单调增，……………………10分注意到0)0(=r ，结合01<x 知0)(1<x r ，即)()(11x h x h -<成立， 即120x x +<成立. ……………………12分（22）【解析】（Ⅰ）由3cos sin x y αα==⎧⎨⎩消去参数α，得C 的普通方程为2219x y +=……2分由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，(*) 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+，所以直线L 的倾斜角为4π…………………5分（Ⅱ）易知点()0,2P 在直线L 上，可设直线L 的参数方程(t为参数)，t 为参数)， 代入2219x y +=，化简得25270t ++=……7分于是(245∆=-⨯ 271080⨯=>，……………………8分故可设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t，则120t t +=<， 122705t t ⋅=>， 120,t t ∴<，PA PB += 12t t += ()12t t -+=10分 （23）【解析】（Ⅰ）原不等式等价于12445x x <-≤⎧⎪⎨⎪⎩或132225x ⎧≤≤≤⎪⎨⎪⎩或32445x x ⎧>-≤⎪⎨⎪⎩，………2分11 得1142x -≤<或1322x ≤≤或3924x <≤，因此不等式的解集为19,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.……………5分 （Ⅱ）()2123f x x x =-+- ()21232x x ≥---=，……………………7分 ()2min 2m m f x ⎡⎤∴-<=⎣⎦ 220m m ⇒--<.……………………10分。