江西省高考数学试卷(理科)
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B.C.D.2. 若复数z 满足，则( )A. B. C. 5D. 173. 函数，则( )A. B.C. 1D. 24. 的展开式中含项的系数是( )A.B. 112C.D. 285. 已知非零向量与满足，且，则向量与的夹角是( )A.B.C.D.6.在直三棱柱中，是等边三角形，，D ，E ，F 分别是棱，，的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，，，x ，已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为，则( )A. B.C. D.8. 设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a 的取值范围是( )A.B. C.D.9. 已知函数，则( )A. 的最小正周期是B. 在上单调递增C. 的图象关于点对称D.在上的值域是10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是( )A. B. C. D.11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是( )A. 32B. 64C. 128D. 25612. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是______ .14. 已知，则______ .15. 已知是定义在上的减函数，且的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为______ .16. 在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则的最小值为______ .17. 设数列的前n项和为，且，求的通项公式；若，求数列的前n项和18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A，B，C三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当即每局比赛每人获胜的概率都是求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X，求X的数学期望.19. 已知椭圆C：的离心率是，点在椭圆C上.求椭圆C的标准方程.直线l：与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点点P不与原点重合，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.20. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，，，，E是棱PB的中点.证明：平面ABCD；若，求平面DEF与平面PAB夹角的余弦值的最大值.21. 已知函数当时，讨论的单调性.证明：①当时，；②，22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.23. 已知函数求的最小值；若，不等式恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解：构造函数，因函数，均在R上单调递增，则在R上单调递增，又，则，故，，则故选：构造函数，利用其单调性可化简集合A，后化简集合B，后由交集定义可得答案．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，故选：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由，得，则故选：根据函数解析式，先求出，进而可求．本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得，其通项公式为，令，可得，所以含项的系数是故选：根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：非零向量与满足，且，可得，可得，向量与的夹角是，所以向量与的夹角是故选：利用已知条件求解向量的数量积，然后求解向量的夹角．本题考查平面向量的数量积的运算，向量的夹角的求法，是中档题．6.【答案】A【解析】解：取等边的AC边的中点O，连接OB，则，过O作的平行线，则以O为原点，分别以OB、OC、Oz为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设等边的边长为2，则根据题意可得：，，，，，，，，异面直线BE与DF所成角的余弦值为，故选：取等边的AC边的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果．本题考查向量法求解异面直线所成角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．7.【答案】D【解析】解：因为平均数为，所以，因为方差为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以故选：先由平均数和方差分别得到和的值，再整体代入计算的值即可．本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，由“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，记，所以a的取值范围是函数的值域，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，所以，即a的取值范围是故选：根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：，对于A，的最小正周期，A错误；对于B，当时，，此时单调递减，在上单调递增，B正确；对于C，令，解得，此时，的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，，则，在上的值域为，D错误．故选：利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：若按要求用5种颜色任意涂色：先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择，再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择，则共有种方法，若恰只用其中4种颜色涂色：先在5种颜色中任选4种颜色，有种选择，先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择，再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择；为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择，若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择，则共有种方法，故恰用4种颜色的概率是故选：先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可．本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意可得，显然，斜率存在且不为0，设直线方程为，设，，由，得，，即，以代替上式中的k，可得，，当且仅当，即时等号成立，四边形ADBE面积的最小值是故选：两条直线的斜率都存在且不为0，因此先设一条直线斜率为k，写出直线方程，与抛物线方程联立求出相交弦长，同理再得另一弦长，相乘除以2即得四边形面积，再由基本不等式求得最小值．本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦问题，四边形面积的最值的求解，函数思想，基本不等式的应用，属中档题．12.【答案】B【解析】解：，即，，，由正弦定理得：，即，，或，解得或舍去，又为锐角三角形，则，，解得，，又，，，，即的取值范围故选：由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：因为双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，所以，解得，，所以双曲线C的焦距是故答案为：根据已知条件，结合离心率的公式，以及实轴的定义，即可求解．本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为故答案为：首先将化简为，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：函数的图象关于点对称，函数的图象关于原点对称，令，则为奇函数，又是在上的减函数，也是在上的减函数，又等价于：，又为奇函数，，又是在上的减函数，，解得，原不等式的解集为故答案为：构造新函数，根据题意可易得为上的减函数和奇函数，再利用其奇函数和增函数的性质求解不等式，即可得解．本题主要考查了函数的奇偶性和对称性，函数的单调性的应用，属中档题．16.【答案】【解析】解：如下图所示：设与平面交于点E，易知，平面ABCD，由平面ABCD，所以，又，AC，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，由，BD，平面，所以平面因为，所以，又因为，所以倍长EC至F，则，故点F是点关于平面的对称点．那么有所以如下图，以C为原点，CD，CB，分别为x轴、y轴、z轴建系，则，，，即所以，即的最小值为故答案为：根据正方形体对角线与平面垂直，找到点关于平面的对称点F，将转化为FP，再根据三角形三边关系得的最小值为，最后通过建系利用坐标计算得的长度即可．本题主要考查棱柱的结构特征，两点间的距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，当时，，两式相减得，即，所以；由得，所以，所以…【解析】先根据，可得数列是以为公差的等差数列，从而可得数列的通项，再根据与的关系结合累乘法即可得解；先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解．本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．18.【答案】解：设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件A，则故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为的可能取值为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为：X 0 1 2 3P所以【解析】进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门分为来自A，B，C三个部门，分别求出其概率，由分类加法计数原理即可得出答案；求出X的可能取值及每个变量X对应的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．19.【答案】解：由题意可得，，，联立解得，，椭圆C的标准方程为设，，假设在y轴上存在点，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值．直线PA的方程为，与x轴交点为；直线PB的方程为，与x轴交点为把代入方程，解得，，，令，解得，在y轴上存在点，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值【解析】由题意可得，，，联立解得，，即可得出椭圆C 的标准方程．设，，假设在y轴上存在点，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值．直线PA的方程为，与x轴交点为；同理可得直线PB与x轴交点为把代入方程，解得，计算，进而得出结论．本题考查椭圆的标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、定值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：取CD中点M，连接BD、BM，设，，，四边形ABMD为矩形，，，，E是棱PB的中点，，，PC、平面PBC，平面PBC，又平面PBC，，BD，平面PBD，平面PBD，又平面PBD，，，，BC、平面ABCD，平面ABCD；因为DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即，设平面DEF的法向量为，，则，即，令，得平面DEF的法向量，设平面PAB的法向量为，，则，即，令，得平面PAB的法向量，所以，令则，则当，即时，取得最大值为故平面DEF与平面PAB夹角的余弦值的最大值为【解析】由线线垂直证平面PBC，并依次证、平面PBD、、平面ABCD；由向量法求面面角，建立面面角余弦值的函数，进而讨论最大值．本题主要考查直线与平面垂直的判定，平面与平面所成角的求法，考查空间向量法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：由题可知，当时，，令，得在单调递减，在单调递增；当时，，当时，零点为，，令解得，故在单调递增，在，单调递减；当时，，，在单调递减．综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在，单调递减；当时，在单调递减．证明：①，令，其中则不等式成立，即函数在恒小于零，由可知，在定义域内单调递减，，因此当时，；②由①可知，因此，解得，，得证．【解析】求出的导数，分类讨论a的不同取值范围时的单调性即可；①展开为，利用换元法简化不等式，再用导数求解不等式恒成立即可；②利用①中结论放缩，再求和即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：，①②得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：；由可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为为参数，代入曲线C的普通方程得，由韦达定理可知：，，所以【解析】曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，当时，，当时，，综上，，由此可知由可知，解得，当时，欲使不等式恒成立，则，即，解得，即a的取值范围是【解析】根据x的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出的最小值；根据中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可．本题主要考查不等式恒成立问题，函数最值的求法，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
2023江西省高考数学试卷(理科)
2023江西省高考数学试卷（理科）考试必备2023年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：1锥体体积公式V=Sh，其中S为底面积，h为高。
3第I卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=某+y,某∈A,y∈B｝中的元素的个数为A．5B.4C.3D.22.下列函数中，与函数y=A．y=1定义域相同的函数为 3某1n某sin某1 B.y= C.y=某e某 D.某某sin某?某2?1,某?13.若函数f(某)= ?，则f(f(10)=lg某,某?1?A.lg101 B.b C.1 D.0 14.若tan?+ =4,则sin2?=tan?1111A． B. C. D.54325．下列命题中，假命题为A．存在四边相等的四边形不是正方形．B．z1,z2?C,z1?z2为实数的充分必要条件是z1,z2为共轭复数C．若某,y?R，且某?y?2,则某,y至少有一个大于101nD．对于任意n?N,Cn都是偶数?Cn？?Cn6．观察下列各式：a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7,a5?b5?11,?则-1-考试必备a10?b10?A．28B．76C．123D．1997．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则PA?PBPC222=A．2B．4C．5D．108．农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A．50，0B．30，20C．20，30D．0，509.样本（某1,某2,?,某n）的平均数为某，样本（y1,y2,?ym）的平均数为y(某?y)，若样本（某1,某2,?,某n，y1,y2,?ym）的平均数z?a 某?(1?a)y，其中0？?1，则n,m2的大小关系为A．n?mB．n?mC．n?mD．不能确定10．如右图，已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE?某(0?某?1),截面下面部分的体积为V(某),则函数y?V(某)的图像大致为-2-考试必备2023年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
高考理科数学江西卷试题与答案word解析版
20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C： (a>b>0)经过点P ，离心率e＝ ，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
20XX年普通高等学校夏季招题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013江西，理1)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )．
A．－2i B．2i C．－4i D．4i
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．
A．S＝2*i－2B．S＝2*i－1
C．S=2*iD．S＝2*i＋4
8．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
9．(2013江西，理9)过点( ，0)引直线l与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )．
A． B． C． D．
10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧 的长为x(0＜x＜π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是( )．
[高考数学]江西理科数学高考卷-6页word资料
![[高考数学]江西理科数学高考卷-6页word资料](https://img.taocdn.com/s3/m/9694628fb04e852458fb770bf78a6529647d35f0.png)
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x+3，那么f(3)的值为（）A. 9B. 12C. 15D. 183. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a3b的坐标为（）A. (8,1)B. (8,1)C. (8,1)D. (8,1)5. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。
（）2. 任何两个实数的和都是实数。
（）3. 对数函数的定义域为全体实数。
（）4. 两条平行线的斜率相等。
（）5. 三角函数是周期函数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知数列{an}为等差数列，a1=1，a5=9，则公差d=______。
2. 若函数f(x)=x²2x+1，则f(x)的最小值为______。
3. 向量a=(3,4)，b=(2,1)，则a与b的夹角为______。
4. 已知函数f(x)=3x+2，那么f(2)的值为______。
5. 若复数z满足|z|=2，则z在复平面上的对应点位于______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及通项公式。
2. 解释不等式的基本性质。
3. 描述函数的单调性及其判定方法。
4. 如何求解一元二次方程的根？5. 举例说明向量线性相关的概念。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求前5项和。
2. 解不等式2x3>4x+1。
3. 求函数f(x)=x²4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.理)含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（ ） Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能111B10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范11y围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++ 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以11A 2222211121(12)233222B AAC C AA C C V S BH -==+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m =，0BC m =得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos 22m l m l m l===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线．1x方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<， 解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥． 又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
全国高考理科数学考试试卷(江西)参考答案
高考理科数学考试真题（江西卷）参考答案1．D 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则(,)z a bi a b R =-∈，又2=+z z ，即()()2a bi a bi ++-=，所以22a =，解得1a =．又2)(=-i z z ，可解得1b =-，所以1z i =-.2．C 【解析】由题意可得20x x ->，解得1x >或0x <，所以所求函数的定义域为(,0)-∞(1,)⋃+∞．3．A 【解析】因为[(1)]1f g =，且||()5x f x =，所以(1)0g =，即2110a ⋅-=，解得1a =． 4．C 【解析】 由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 232ABC S ab π∆== 5．B 【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．6．D 【解析】因为222152(6221410)5281636322016363220χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，222252(4201612)521121636322016363220χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，222352(824128)52961636322016363220χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，222452(143062)524081636322016363220χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则有22224231χχχχ>>>，所以阅读量与性别关联的可能性最大．7．B 【解析】第一次循环：10lglg313S =+=->-； 第二次循环：133,lglg lg5135i S ==+=->-； 第三次循环：155,lg lg lg 7157i S ==+=->-第四次循环：177,lg lg lg9179i S ==+=->- 第五次循环：199,lg lg lg111911i S ==+=-<-，故输出9i =．8．B 【解析】因为1()f x dx ⎰为常数，所以()2f x x '=，所以可设2()f x x c =+（c 为常数），所以2231012()|3x c x x cx +=++，解得23c =-，10()f x dx =⎰120()x c dx +=⎰123100212()()|333x dx x x +=+⎰=13-． 9．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时25r =，得5r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 10．C 【解析】根据反射的对称性，质点是在过1,,A E A 的平面内运动，因为73114<，所以过1,,A E A 作长方形的截面1AA NM 如图所示．设点A 关于平面1111A B C D 的对称点为A '，易知它在z 轴上，且1112A A AA '==，连接A E '并延长交平面ABCD 于点1E ，因为15A E =，所以110AE =，且1E 到AB ，AD 的距离分别为6，8，即1(8,6,0)E ，而它在线段AM 上，从而知112L AE EE L ===；事实上，只需要在1AA NM 内，过1E 作AE 的平行线交MN 于点2E ，再过2E 作1E E 的平行线交1A N 于点3E ，可知1234123EE E E L E E L >=>=，故1243L L L L =>>，故z yxA 1BD 11B 1E选C ．11 (1)．C 【解析】111x x y y -++-++|1||1(1)|123x x y y --+--+=+=≥． 11 (2)．A 【解析】由题意得sin 1cos ρθρθ=-，所以(sin cos )1ρθθ+=，1sin cos ρθθ=+，又01x ≤≤，所以01y ≤≤，所以点(,)x y 都在第一象限即坐标轴的正半轴上，则02πθ≤≤．12．12【解析】从10件产品中任取4件共有C410=210种不同取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有1337C C 105=种不同的取法，故所求的概率为10512102P ==． 13．(ln 2,2)-【解析】由题意有xy e -'=-，设(,)P m n ，直线210x y ++=的斜率为2-，则由题意得2me--=-，解得ln 2m =-，所以(ln 2)2n e --==．14．3【解析】因为2212(32)9232cos 49α=-=-⨯⨯⨯+=a e e ，所以||3=a ， 2212(3)8=-=b e e，所以||=b 1212(32)(3)8⋅=--=a b e e e e ，所以cos ||||3a b a b β⋅===⋅． 15．2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得 1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=，且121212y y x x -=--，所以22221()02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以2e =．16．【解析】（1）当4a πθ==时，()sin())sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-因为[0,]x π∈，从而3[,]444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π最小值为-1.（2）由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩，又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩17．【解析】（1）因为11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，0,n b n N +≠∈所以1112,2n nn n n na a c cb b +++-=-= 所以数列{}nc 是以首项11c =，公差2d =的等差数列，故2 1.n c n =- （2）由13n n b -=知1(21)3n n n n a c b n -==- 于是数列{}n a 前n 项和0111333(21)3n n S n -=⋅+⋅++-⋅1231333(21)3n n S n =⋅+⋅++-⋅相减得121212(333)(21)32(22)3n n n n S n n --=+⋅++--⋅=--⋅所以(1)3 1.n n S n =-⋅+ 18．【解析】（1）当时，()12f x x'=-，由()0f x '=得2x =-或0.x =当(,2)x ∈-∞-时，()0,()f x f x '<单调递减，当(2,0)x ∈-时，()0,()f x f x '>单调递增，当1(0,)2x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减，故()f x 在2x =-取极小值(-2)=f 0，在0.x =取极大值(0)=f 4. （2）()12f x x'=-因为当1(0,)3x ∈时,012x<-依题意当1(0,)3x ∈时，有5320x b +-≤，从而53203b +-≤所以b 的取值范围为1(,].9-∞19．【解析】（1）证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD平面ABCD=AD所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD（2）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ,BC ⊥PG 在直角三角形BPC 中，23266PG GC BG ===设,AB m =，则2224,3DP PG OG m=-=-，故四棱锥P-ABCD 的体积为 2214686.333m V m m m =⋅⋅⋅-=-因为22228866()33m m m -=--+故当6m =时，即6AB =时，四棱锥的体积P-ABCD 最大.建立如图所示的空间直角坐标系，66626266(0,0,0),((O B C D P 故62666((0,6,0),(PC BC CD ===- 设平面BPC 的法向量1(,,1),x y =n ，则由1PC ⊥n ,1BC ⊥n 得6266060y y ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩解得1,0,x y ==1(1,0,1),=n同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2=n ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为 121210cos ||||1214θ⋅==⋅⋅+n n n n20．【解析】（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以21c a =+直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c cB a -又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a= 又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a -=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=（2）由（1）知3a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y - 则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =21．【解析】（1）当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（2）ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+-又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于(1,2,,2),(3)n k k n n +=-≥时，不同的分组方法有22k k C 种；所以当2n =时，42()63P C == 当3n ≥时22122(2)()n kk k n nC P C C-=+=∑（3）由（2）当2n =时，1(),3P C =因此()(),P C P C >而当3n ≥时，()(),P C P C <理由如下： ()(),P C P C <等价于22214(2)n knk n k C C -=+<∑①用数学归纳法来证明：1当3n =时，①式左边124(2)16,C =+=①式右边3620,C ==所以①式成立2假设(3)n m m =≥时①式成立，即22214(2)m kmk m k C C -=+<∑成立那么，当1n m =+时，①式左边122112222222114(2)4(2)44m m k k m m m kk m m m k k CC C C C +--++++===+=++<+∑∑2(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++ 2112222(1)(2)(22)!(4)2(1)(1)!(1)!(21)(21)m m m m m m m m m m C C m m m m +++++-+<=⋅<+++-=①式右边即当1n m =+时①式也成立综合12得，对于3n ≥的所有正整数，都有()()P C P C <成立。
2019-2023年高考真题——数学理(江西卷)word版含答案
2019-2023年高考真题——数学理（江西卷）word版含答案2019-2023年高考真题——数学理（江西卷）word版含答案为题，用中文写一篇3000字文章。
好的，我将为您撰写一篇3000字的文章。
在江西省高考的数学理科试题中，每年都包含一系列的数学问题，涵盖了数学的各个分支，如代数、几何、函数、统计等。
这些题目旨在考察考生的数学思维能力、解决问题的能力和逻辑推理能力。
通过解答这些问题，考生可以展示自己在数学领域的知识和技巧。
在2019年的数学理科试题中，有一道代数题要求考生解决一个方程组，并求出方程组的解。
这个题目涉及了方程的表达、方程的解的求解和代数运算等知识点。
考生需要应用这些知识点，进行推理和计算，最终得出正确的答案。
另外，在2020年的数学理科试题中，有一道几何题要求考生证明两个三角形相似。
在这个问题中，考生需要运用几何学的基本原理和定理，如相似三角形的判定条件、比例关系等。
通过使用这些原理和定理，考生可以证明这两个三角形是相似的，并得出相应的结论。
对于2021年的数学理科试题而言，有一道函数题要求考生求解一个复杂的函数表达式的最大值。
这个问题涵盖了函数的定义域、函数图像、函数的最值等知识点。
考生需要通过对函数的分析，找到函数的极值点，并求出函数在特定条件下的最大值。
此外，在2022年的数学理科试题中，有一道统计题要求考生对一个数据集进行分析和解释。
考生需要运用统计学的知识，计算样本均值、标准差、相关系数等统计量，并分析数据的趋势和规律。
通过这个问题，考生可以展示自己在统计学方面的能力和理解程度。
最后，在2023年的数学理科试题中，有一道综合题要求考生综合运用多个知识点，解决一个综合性问题。
这个题目可能涉及代数、几何、函数、统计等多个数学分支的知识点。
考生需要将不同的知识点整合起来，进行分析、推理和计算，最终得出综合性的解答。
总结而言，江西省高考的数学理科试题覆盖了数学的各个分支，考察了考生的数学思维能力、解决问题的能力和逻辑推理能力。
2023江西高考理科数学试题及答案(完整版)
2023江西高考理科数学试题及答案（完整版）2023江西高考理科数学试题及答案（完整版）我带来了2023江西高考理科数学试题及答案，数学能让我们思索任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。
还能使我们的脑子反映敏捷，对突发大事的处理手段也更理性。
下面是我为大家整理的2023江西高考理科数学试题及答案，期望能帮忙到大家!2023江西高考理科数学试题及答案高考数学空间几何体表面积体积公式总结1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)。
2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高。
3、a—边长，S=6a2，V=a3。
4、长方体a—长，b—宽，c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc。
5、棱柱S—h—高V=Sh。
6、棱锥S—h—高V=Sh/3。
7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3。
8、S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中h—高，V=h(S1+S2+4S0)/6。
9、圆柱r—底半径，h—高，C—底面周长S底—底面积，S侧—，S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h。
10、空心圆柱R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh(R^2—r^2)。
11、r—底半径h—高V=πr^2h/3。
12、r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6。
14、球缺h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r—h)/3。
15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6。
16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4。
17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh(2D2+d2)/12，(母线是圆弧形，圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2008年江西省高考数学试卷（理科）、选择题（共 12小题，每小题 5 分，满分 60分） 5 分）在复平面内，复数 z sin2 i cos2 对应的点位于 （A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限圆离心率的取值范围是 （ ） 2． 5 分）定义集合运算： A* B {z|z xy ， x A ， y B} ． 设 A {1，2}，B {0，2} ， 3． 4． 5． 则集合 A ．0 5 分） A* B 的所有元素之和为 （ 若函数 1 A ．[2,3] B ．2 C ． D ．6y f （ x ） 的值域是 1[12,3]，则函数 F(x) f (x) f （x ）的值域是（B ． 10 [2,130]C ． [52,130]D ． 10 [3,130] x325分) l x im 1 x x 312 ( 1 A ． 2 B ． C ．D ． 不存在5 分）在数列{ a n } 中， a 1 2 ， a n 1 a n 1ln (1 )，则 a nnA ． 2 ln nB ． 2 (n 1)ln nC ． 2 n lnD ．1 n ln 6．7． 5 分）已知 F 1 、 F 2 是椭圆的两个焦点，满足MF 1 MF 2 0的点 M 总在椭圆内部， 则椭1． A ． (0,1)B ．(0， 12]C ．(0, 22)2D ．[ 2 ，1)28．( 5分) (1 3x)6(1 41 )10展开式中的常数项为 ( )A ．1 B．46 C． 4245 D． 42469．( 5 分)若 0 a1 a2 ， 0 b1 b2 ，且 a1 a2 b1 b2 1 ，则下列代数式中值最大的是()1 A．a1b1 a2b2 B．a1a2 b1b2 C． a1b2 a2b1 D．1 12 2 1 2 1 2 1 2 2 1 210．( 5分)连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD 的长度分别等于 2 7 、 4 3 ，M 、 N 分别为AB 、 CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、 CD可能相交于点M ；②弦AB 、 CD可能相交于点 N；③MN 的最大值为 5；④ MN 的最小值为 1其中真命题的个数为 ( )A．1 个 B．2 个C．3 个D．4 个11．(5分)电子钟一天显示的时间是从 00: 00到23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 ( )1 1 1 1A ．B ．C． D ．180 288 360 480倒置，水面也恰好过点 P （图（ 2） ） 有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 PD ．若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满． 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号） ．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17 ．（ 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ， a 2 3 ，A B C tan tan 4 ， 2218．（ 12 分）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、 0.9 倍、0.8倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年 产量的 1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量 达到灾前的 1.2 倍、 1.0倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为 上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令 i （i 1,2） 表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． 1）．写出 1、 2 的分布列；2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？3）．不管哪种方案， 如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量， 预计可带来效益 10 万元； 两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产量， 预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？19．（ 12 分）数列 { a n } 为等差数列， a n 为正整数，其前 n 项和为 S n ，数列 {b n }为等2sin BcosC sin A ，求 A ， B 及b ，c ．比数列，且a 1 3，b 1 1，数列 { b a n}是公比为 64的等比数列， b 2S 2 64 ．（1）求 a n ， b n ；（2）求证1 1 1 3 ． S 1 S 2S n 420．（ 12分）如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为 2．E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点， H 是EF 的中点，过 EF 作平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其 延长线分别相交于 A 1、 B 1、 C 1，已知 OA 1 3．1 1 1 12 （1）求证： B 1C 1 平面 OAH ； 2）求二面角 O A 1B 1 C 1 的大小．2221．（12分）设点 P （x 0，y 0）在直线 x m （y m,0 m 1）上，过点 P 作双曲线 x 2 y 2 1的1 两条切线PA 、 PB ，切点为 A 、B ，定点 M （ ,0） ．m（1）求证：三点 A 、 M 、B 共线．（2）过点 A 作直线 x y 0的垂线，垂足为 N ，试求 AMN 的重心 G 所在曲线方程． 22．（14 分）已知函数 f （x ） 1 1 ax ， x （0, ）1 x 1 a ax 8 （1）当 a 8时，求 f （x ） 的单调区间； （2）对任意正数 a ，证明： 1 f （x ）2 ．2008 年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12小题，每小题 5 分，满分 60分）1．（ 5分）在复平面内，复数 z sin2 icos2 对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】 解： sin2 0 ， cos2 0 ， z sin2 i cos2 对应的点在第四象限，故选D ． 2．（5分）定义集合运算： A* B {z|z xy ，x A ，y B} ．设 A {1，2}，B {0，2}，则集合 A * B 的所有元素之和为 （ ）解答】 解：根据题意，设 A {1，2}，B {0， 2}，故选： D ．则 y t 1⋯2 t 1 2 1当且仅当 t 即 t 1 时取 t 所以 y 的最小值为 2 故选： B ．lim ( x 3 2)( x 3 2)( x 1) x 1 x 1 ( x 1)( x 1)( x 3 2)A ．0B ．2C ．3D ．6则集合 A* B 中的元素可能为： 0、 2、0、4， 又有集合元素的互异性，则 A * B {0 ， 2， 4｝， 其所有元素之和为 6；3．（5 分）若函数 1y f ( x) 的值域是 [ ,3] ，2 则函数 F(x) f (x) 1 f(1x) 的值域是 ( )1 A ．[2,3] B ． 10 [2,130] C ． 5 10[52,130] 10 D ．[3,130]解答】 解：令 t f （x ） ， 1 t [ 12 ,3]，x324．( 5分) l x im 1 ( A ．12B ．C ．D ．不存在解答】 解： l x im 1 x 3 2lxim1(x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 3 2) 1， 2， 故选：A ．15．( 5分)在数列 {a n }中， a 1 2，a n1 a n ln(1)，则 a n ( n2 lnn ．故选： A ．6．( 5 分)函数 y tan x sin x | tan x sin x| 在区间解答】 解：函数 y tanx sinx tanx sinx分段画出函数图象如 D 图示，A ． 2 ln nB ． 2 (n 1)ln nC ． 2 n ln nD ． 1 n ln n解答】 解： 在数列 {a n } 中， a 1 2， a n 1 a n ln(1 1) ， n 1 n 1 a n 1 a n ln(1 n ) ln n ，a n a 1 (a 2 a 1) (a 3 a 2 ) (a n a n 1 )2 ln 2 ln3 ln n2n1 2 ln (2 32n n n 1) 3 ) 内的图象是 ( )2故选： D ．7．(5 分)已知 F 1 、 F 2是椭圆的两个焦点，满足 MF 1 MF 2 0的点 M 总在椭圆内部，则椭 圆离心率的取值范围是 ( )1 2 2A ． (0,1)B ． (0， ]C ． (0, )D ．[ ，1)2 22【解答】 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a ，b ，c ，M 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆． 又 M 点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即 c b ， c 2 b 2 a 2 c 2 ．e 2c 2 1，2 ．e 2 ， 0 e ．a 2 22故选： C ． 18．( 5分) (1 3 x)6(1 41 )10展开式中的常数项为 ( ) 4xA ．1B ．46C ． 4245D ． 4246r【解答】 解： (1 3 x)6的展开式的通项为 T r 1 C 6r (3x)r C 6r x 3 ，其中 r 0，1， 2 6r k r k(1 3 x)6(1 41 )10的通项为 C 6r x 3 C 1k 0x 4 C 6r C 1k 0x 3 4 4x 当 r k 0 时，展开式中的项为常数项 34 r 0 r 3 r 6r 0， r 3 ， r 6时，展开式中的项为常数项 k 0 k 4k 8展开式中的常数项为 1 C 63C 140 C 66C 180 4246 故选： D ． 9．( 5 分)若 0 a 1 a 2 ， 0 b 1 b 2 ，且 a 1 a 2 b 1 b 2 1 ，则下列代数式中值最大的是()1 A ．a 1b 1 a 2b 2B ．a 1a 2 b 1b 2C ． a 1b 2 a 2b 1D ．1 12 2 1 2 1 2 1 2 2 12(11 )10 4x )的展开式的通项为k1 kT k 1 C 1k 0( 4 )kkC 10x 4 ，其中 k 0 ， 1， 2， 101288360A ． 1 180B ． 1C ．D ．1 480解答】 解：一天显示的时间总共有 24 60 1440 种， 和为 23 有 09:59 ，19:58 ， 18:59 ，19: 49总共有 4 种， 解答】 解： a 1a 2 b 1b 2, (a1 a2)2 (b1 b2 )2 12 2 2又a 1b 1 a 2b 2(a 1 b 2 a 2b 1) (a 1 a 2 )b 1 (a 1 a 2 )b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1) 0 a 1b 1 a 2b 2 ( a 1b 2 a 2b 1)而1 (a 1 a2 )(b 1 b 2) a 1b 1 a 2b 1 a 1b 2 a 2b 2 2(a 1b 1 a 2b 2 )1a 1b 1 a 2b 2⋯2解法二：取 a 1 1 ， a 2 3 ， b 1 1 ， b 2 2 即可．1 42 4 13 2 3故选： A ．10．（5 分）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为别等于 2 7、4 3， M 、 N 分别为 AB 、 CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动， 有下列四个命题：①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ；②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ；③MN 的最大值为 5；④ MN 的最小值为 1 其中真命题的个数为 （ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】 解：因为直径是 8，则①③④ 正确；②错误．易求得 M 、 N 到球心 O 的距离分别为 3、2， 若两弦交于 N ，则 OM MN ， Rt OMN 中，有 OM ON ，矛盾． 当 M 、O 、 N 共线时分别取最大值 5最小值 1． 故选： C ．11．（5分）电子钟一天显示的时间是从 00: 00到23:59 的每一时刻都由四个数字组成， 则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 （ ）4 的球的两条弦 AB 、 CD 的长度分第 9 页(共 19 页)故选： C ．212．(5 分)已知函数 f (x) 2mx 2 2(4 m)x 1，g(x) mx ，若对于任一实数 x ，f (x) 与 g(x) 至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,2)B ． (0,8)C ． (2,8)D ． ( ,0)【解答】 解：当 m, 0 时，2当 x 接近 时，函数 f (x) 2mx 2 2(4 m)x 1与 g(x) mx 均为负值， 显然不成立 当 x 0 时，因 f (0) 1 0 当 m 0 时，若 b 4 m ⋯0 ，即 0 m, 4时结论显然成立；2a 2m若 b 4 m 0 ，时只要△ 4(4 m)2 8m 4(m 8)(m 2) 0即可，即 4 m 8 2a 2m 则 0 m 8 故选： B ．二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)13．(4 分)直角坐标平面上三点 A(1,2) 、 B(3, 2)、 C(9,7) ，若 E 、 F 为线段 BC 的三等分 点，则 AE AF 22 ．【解答】 解：根据三等分点的坐标公式， 得 E(5,1) ， F (7,4) ； AE (4, 1) ， AF (6,2)故所求概率为 P1440 360故答案为： 22x 3 1 114．(4 分)不等式 2 x , 1 的解集为 {x|x, 2 3 或 0 x, 1}解答】 解： 2x3 x 34 6 2 22x, 3或 0 x, 1．故答案为： {x|x, 3或0 x, 1} ．215．（ 4分）过抛物线 x 1 2 2py （p 0） 的焦点 F 作倾斜角为 30 的直线，与抛物线分别交于 A 、解答】 解：如图，作 AA 1 x 轴， BB 1 x 轴．则 AA 1 / /OF / /BB 1 ， | AF | |OA 1| |x A | ， |FB | |OB 1 | |x B | ，又已知 x A 0 ， x B 0 ， | AF | x A |FB |x B直线 AB 方程为 y x tan30 p2即 y 3 x p ，32 与 x 2 2 py联立得x 2 2 3 px p 2 032 3 2x A x B p ， x A x Bp ，334( x 2A x B 2 2x A x B ) 3x A 2 3 x 2B 10x A x B 0 两边同除以 x B 2（x B 2 0） 得 x A 2 x A3( A ) 10 A 3 0 x B x B23x A x BxA3 或x Bx 2 2x 3x0， (x 3)( x 1),0B 两点（点 A 在 y 轴左侧），则| AF |1 |FB |3x A x B ( A 2 3 B )3x A x B ，x A1，x B| AF | x A 1 1( ) ．| FB | x B 3 3另解：设 AF a ， BF b ，由抛物线的定义可得 AC AF a， BD BF b ，由直角三角形中 30 所对的直角边为斜边的一半，可得b a 23(a b)，即有 b 3a，即||A F F B ||16．（ 4 分）如图（ 1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图（ 2））有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：BD （写出所有真命题的代号）．3sin C ，又 C (0, )解答】 解：设图（ 1）水的高度 h 2 几何体的高为 h 1 图（ 2）中水的体积为 b 4 1 5h 1 b 6 7h 2 b 2（h 1 h 2 ），2 2 2 5 所以3 b 2h 2 b 2（h 1 h 2 ） ，所以 h 1 3h 2，故 A 错误， D 正确． 33对于 B ，当容器侧面水平放置时， P 点在长方体中截面上， 又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，故 B 正确．对于 C ，假设 C 正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 25 2经计算得水的体积为 25b 2h 2 2 b 2h 2 ，矛盾，故 C 不正确．36 3 故选 BD三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）解答】 解：由 tan A B tan C 4 得cot C tan C 42 2 2 2CC cos sin2 2 4 CC sin cos 22即 sin （B C ） 0 B C A （B C ） 2631由正弦定理a b c得b c a sin B2 3 2 2sin A sinB sinC sin A 3218．（ 12 分）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种CC sin cos 225 5C 6 ，或 C 5617 ．（ 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ，b ，c ， a 2 3， tan AB 2C tan 4 2 2sin BcosC sin A ，求 A ， B 及b ，c ．拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、 0.9 倍、0.8倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令i （i 1,2）表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）．写出1、2 的分布列；（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10 万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【解答】解：（1）1 的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.252 的所有取值为 0.8、0.96、 1.0、1.2、1.44，1 22）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P（A） 0.15 0.15 0.3 ，P（ B） 0.24 0.08 0.32方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令i 表示方案 i 所带来的效益，则1 2方案一所带来的平均效益更大．19．（ 12 分）数列 { a n} 为等差数列， a n为正整数，其前n 项和为 S n，数列且a1 3 ， b11 ，数列{ b a n}是公比为 64 的等比数列， b2S2 64 ．1)求 a n ， b n ；1 1 1 32)求证1 1 1 3．S1 S2 S n 4解答】解：（1）设 {a n} 的公差为 d ，{b n} 的公比为q，则 d 为正整数，b n q n11(11 1 2 3 2 1114351n211 12(1 121n11n2{b n} 为等比数列，a n 3 (n 1)d ，20．（ 12分）如图，正三棱锥 O ABC 的三条侧棱 OA、OB 、OC 两两垂直，且长度均为 2．E 、F分别是AB、 AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF作平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其3延长线分别相交于 A1、 B1、 C1，已知 OA1 3．2（1）求B1C1 平面 OAH ；2）求二面角 O A1B1 C1 的大小．解答】解：（1）证明：依题设，EF是 ABC的中位线，所以 EF //BC ，则 EF / / 平面 OBC ，所以 EF / /B1C1 ．又H 是EF 的中点，所以AH EF ，则 AH B1C1 ．因为 OA OB ， OA OC ，所以 OA 面OBC ，则 OA B1C1 ，因此 B1C1 面 OAH ．（2）作 ON A1B1于N ，连 C1N ．因为 OC1 平面 OA1 B1 ，根据三垂线定理知，C1 N A1B1 ， ONC1就是二面角 O A1B1 C1 的平面角．作 EM OB1 于M ，则 EM / /OA ，则M 是 OB 的中点，则 EM OM 1 ．设OB1 x ，由OB1 OA1得，x 3，解得 x 3， MB 1 EM x 1 2在 Rt △ OA1B1中， A1B1OA12 OB12 3 5，则， ON OA1 OB1 32 A1B1 5所以 tan ONC1 OC1 5 ，故二面角 O A1B1 C1为arctan 5 ．1ON1 1 1解法二：(1)以直线 OA、 OC 、 OB分别为x、y、 z轴，建立空间直角坐标系， 11 O xyz则 A(2,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0), E(1,0,1),F(1,1,0),H (1, , )22所以 AH ( 1,1, 1),OH (1,1, 1),BC (0,2, 2)22 2 2所以 AH BC 0, OH BC 0所以 BC 平面 OAH ，由 EF / /BC 得 B1C1 / /BC ，故： B1C1 平面 OAH3(2)由已知 A1( ,0,0) ，设 B1(0，0， z)2则 A1E ( 1 ,0,1), EB1 ( 1,0,z 1)1211 由 A1 E与EB1 共线得：存在R有A1E EB1得2 z3 B1(0,0,3)1 ( z 1) 33 同理： C1(0 ，3， 0) ，A1B1 ( ,0,3), A1C1 ( ,3,0)22设n1 (x1,y1, z1 )是平面 A1 B1C1的一个法向量，3x 3z 02则2令 x 2，得 y z 1， n1 (2,1,1) ．31x 3 y 02又 n2 (0,1,0) 是平面 OA1B1 的一个法量 cos n1,n2所以二面角的大小为 arccos 62221．(12 分)设点 P(x0 ，y0 )在直线 x m(y m,0 m 1)上，过点P 作双曲线 x2 y2 1的1两条切线PA、PB ，切点为A、B，定点 M ( ,0) ．m(1)求证：三点A、M 、B共线．(2)过点A作直线 x y 0 的垂线，垂足为 N ，试求 AMN 的重心 G 所在曲线方程．【解答】证明：( 1)设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，2 2 2 2由已知得到 y1 y2 0 ，且 x1 y1 1 ， x2 y2 1 ，设切线PA的方程为：y y1 k(x x1) 由y2y12k(x x1)xy12 2 2得(1 k )x 2k( y1 kx1)x ( y1 kx1) 1 0从而△ 4k2(y1 kx1)2 4(1 k2)(y1 kx1)2 4(1 k2) 0 ，解得k x1y1因此PA 的方程为： y1y x1x 1同理PB的方程为： y2 y x2x 1 又 P(m, y0) 在PA 、PB上，所以 y1y0 mx1 1， y2 y0 mx2 1即点A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 都在直线 y0y mx 1上1又 M ( ,0) 也在直线 y0 y mx 1 上，所以三点A 、M 、B 共线 m2)垂线 AN 的方程为： y y1 x x1 ，设重心 G(x, y)1 1 x1 y1x (x1 1 1 )3m21 x1 y1y 1( y1 0 1 1)32由x12y121可得(3x 3y 1)(3x 3y 1) 2即(x 1 )2y2 2为重心G所在曲线方程m m 3m 922．(14 分)已知函数 f (x) 1 1 ax， x (0, )1 x 1 a ax 81)当 a 8时，求 f(x) 的单调区间；2)对任意正数a ，证明： 1 f (x ) 2 ．【解答】解：(1)当 a 8时， f (x) 1 x 1，求得 f (x) 1 x3 1 x 3 2 x (1 x)3于是当 x (0 ， 1]时， f (x)⋯0 ；而当 x [1， ) 时， f (x), 0 ．即 f (x) 在 (0 ， 1]中单调递增，而在 [1， )中单调递减．2)对任意给定的a 0， x 0，由 f(x) 11x由y y1 x x1xy0 得垂足N(x1 y12x1 y1)2所以9 x 3y解得x19yy1413xm若令 b 8 ，则 abx 8①，且 f ( x) ax 一 )先证 f ( x) 1:因为1 1， 1 11 x 1 x 1 a 1 a 又由2 a b x 厖2 2a 2 bx 4 4 2abx 8，得 a b x ⋯6．1 1 1 1 1 1 所以 f (x )1 x 1 a 1 b 1 x 1 a 1 b3 2(a b x) (ab ax bx) ⋯9 (a b x) (ab ax bx)(1 x)(1 a)(1 b) (1 x)(1 a )(1 b) 1 (a b x) (ab ax bx) abx1．b 的对称性，不妨设 x 厖a b ，则 0 b, 2 ．即证 ab 8 (1 a)(1 b)，即证 a b 7 ．据③ 可得此式显然成立，因此 ⑦得证． 再由 ⑥可得 f (x) 2 ．综上所述，对任何正数 a ， x ，皆有 1 f (x) 2 ．5 分)函数 y tan x sin x | tan x sin x | 在区间 ( , 3 )内的图象是( )212．(5分)已知函数 f(x) 2mx 2 2(4 m)x 1，g(x) mx ，若对于任一(1 x )(1 a )(1 b)二 ) 再证 f (x) 2: 由① 、 ②式中关于ⅰ) 当 a b ⋯7 ，则 a ⋯5，所以 x 厖a 5 ， 因为 1 1b 1，此时， 111f (x)1 x 1 a 1 b 2．a b 7 ③ ，由 ① 得， x 8ab 1 xab ，ab 81 bb 2 b 1 2 [1 1 b 1 b 4(1 b)2同理得 1 1 a ⑤ ． 2(1 a)a b 2 ab ) ⑥．因为1a1 f (x)2 12(1今证明a b 1 a 1 bab ab 8⑦：ab 因为a b ⋯21 a 1 b (1 a)(1 b) 2(1 b)]，所以1 b 12(1 b)④，，故只要证ab ab ，(1 a)(1 b) ab 8实数x，f(x) 与 g(x) 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( )A． (0,2) B． (0,8) C． (2,8)D． ( ,0)二、填空题(共4小题，每小题4分，满分16 分)13．(4分)直角坐标平面上三点 A(1,2) 、 B(3, 2) 、 C (9,7) ，若E、F为线段 BC的三等分点，则 AE AF ．x x31 114．(4分)不等式 2 x , 1的解集为．215．( 4分)过抛物线 x2 2py(p 0)的焦点F 作倾斜角为 30 的直线，与抛物线分别交于A、B 两点(点A 在y轴左侧)，则| AF |．|FB|16．( 4 分)如图( 1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器由 2sin B cosC sin A 得 2sin B cosC sin( B C)。