(人教B)高二数学必修4课件：2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
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人教B版高中数学必修四课件2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（2+（-3），1+4） =（-1，5）；
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)
课件9：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.
2018版高中数学人教B版必修四课件：2-2-2 向量的正交
规律方法 求点和向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位
置向量的坐标. (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终 点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
跟踪演练2
在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图
所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标.
解
由 A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得
→ CA＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)，
例2
→ 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA
→ ＝60° ，求向量OA的坐标.
解 → → 设点 A(x， y)， 则 x＝|OA|cos 60° ＝4 3cos 60° ＝2 3， y＝|OA|sin
→ 60° ＝4 3sin 60° ＝6，即 A(2 3，6)，∴OA＝(2 3，6).
第二章——
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标 运算
[学习目标]
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区 分开来.
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破
2. 相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相 同吗？ 答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等 向量的起点、终点的坐标可以不同.
→ 3.求向量AB的坐标需要知道哪些向量？
→ 答 求向量AB的坐标，需要知道点 A 和点 B 的坐标.
[预习导引]
1.向量的正交分解 (1)如果两个向量的基线 互相垂直 ，则称这两个向量互相垂直.
高中数学人教B版必修四2.2.1- 2.2.2《平面向量基本定理 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》ppt课件
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课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
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考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
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-5-
M Z Z 2.2.2 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算
目标导航
UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
归纳总结 1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们 的起点和终点的坐标却不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6), 则 ������������=(3,3),������������=(3,3),显然������������ = ������������, 但A,B,C,D各点的坐标却不相 同.
(x,y).
-3-
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与向量的直角坐标运算
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【做一做1】 已知a=(2 016,-2 017),且a=xe1+ye2,{e1,e2}为正交
-2-
M Z Z 2.2.2 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算
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HHale Waihona Puke SHI SHULI重难聚焦
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12
1.向量的坐标 (1)若两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直. (2)若基底的两个基向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底. 在正交基底下分解向量,叫做正交分解. (3)在平面直角坐标系xOy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个 单位向量e1,e2,则对任一向量a,存在唯一的有序实数对(a1,a2),使得 a=a1e1+a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标,即a=(a1,a2). 其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量,a2叫做a在y轴上的坐标分量. (4)向量的坐标:设点A的坐标为(x,y),则 ������������ =xe1+ye2=(x,y).(x,y) 在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又 可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量
人教B版高中数学必修4课件 2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件(人教B版)
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第二单元 · 平面向量
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
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新课导入 向量正交分解的概念 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直 2.如果基底的两个基向量? ?1 ，? ?2互相垂直，则称这个基底 为正交基底 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解
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探求新知
向量的直角坐标运算
设? ?=(? ?1 , ? ?2 ) ，? ?=(? ?1 , ? ?2 )
? ?+? ? = ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2 + ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2
= ? ?1 +? ?1 ? ?1+ (? ?2 +? ?2 )? ?2
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探求新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中a1叫做向量? ?在x轴上的坐标分量 ，a2 叫做向量? ?在y轴上的坐标分量。
练习：
0 = 0，0
? ?1 = 1,0 ? ?2 = (0,1)
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探求新知
设向量? ?=(? ?1 , ? ?2 )，? ?的方向相当于x
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牛刀小试 在直角坐标系xOy中，已知点A（? ?1 ，? ?1），点B（? ?2 ，? ?2），
求线段AB中点的坐标
解：设点M（x，y）是线段AB的中点，则 1
? ? ? ? = 2 (? ? ? ?+? ? ? ? )
上式换用向量的坐标，得
? ?2 )]
第二单元 · 平面向量
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
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新课导入 向量正交分解的概念 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直 2.如果基底的两个基向量? ?1 ，? ?2互相垂直，则称这个基底 为正交基底 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解
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向量的直角坐标运算
设? ?=(? ?1 , ? ?2 ) ，? ?=(? ?1 , ? ?2 )
? ?+? ? = ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2 + ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2
= ? ?1 +? ?1 ? ?1+ (? ?2 +? ?2 )? ?2
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其中a1叫做向量? ?在x轴上的坐标分量 ，a2 叫做向量? ?在y轴上的坐标分量。
练习：
0 = 0，0
? ?1 = 1,0 ? ?2 = (0,1)
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设向量? ?=(? ?1 , ? ?2 )，? ?的方向相当于x
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牛刀小试 在直角坐标系xOy中，已知点A（? ?1 ，? ?1），点B（? ?2 ，? ?2），
求线段AB中点的坐标
解：设点M（x，y）是线段AB的中点，则 1
? ? ? ? = 2 (? ? ? ?+? ? ? ? )
上式换用向量的坐标，得
? ?2 )]
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(2)直角坐标的求法 分别过向量 AB 的起点、终点作x轴和y轴的垂线,设垂足分别为A1,B1和A2,B2. 坐标分量a1为向量 A1 B1 在x轴上的坐标,坐标分量a2为向量 A2 B2 在y轴上的坐 标.显然0= (0,0) ,e1= (1,0) ,e2= (0,1) . 设向量a=(a1,a2),a的方向相对于x轴正向的转角为θ ,由三角函数的定义
自我检测
1.已知a=(2,1),b=(1,3),则-2a-3b等于( (A)(-7,-11) (B)(-7,11) A )
(C)(7,-11)
(D)(7,11)
解析:-2a-3b=-2(2,1)-3(1,3)=(-4,-2)-(3,9)=(-7,-11).故选A.
2.已知A(x,2),B(5,y-2),若=(4,6),则x,y值分别为( (A)x=9,y=-2 (C)x=1,y=-10 (B)x=1,y=10 (D)x=-1,y=-10 B )
.
.
即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的 和 .
即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的 差
.
减去 始点的坐标. (4)若a=(a1,a2),λ ∈R,则λ a=λ (a1,a2)= (λ a1,λ a2) . 即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的 积 .
4.中点公式
设线段AB两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则其中点M(x,y)的坐标计
可知
a1= |a|cosθ ,a2= |a|sinθ .
(3)向量的直角坐标的意义
在直角坐标系中(如图所示),一点A的位置被点A的位置向量 OA所唯一确定.
设点A的坐标为(x,y),容易看出 OA =xe1+ye2=(x,y),即点A的位置 OA向量 的坐标(x,y),也就是点A的坐标;反之点A的坐标也是点A相对于坐标原点的 位置向量 OA 的坐标.
第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修4
解: ������������=(1,3),������������ =(2,4),������������ =(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1), ∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得 ������������ + ������������ + ������������ =m· ������������+n· ������������ , ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ������ = 32, ������ + 2������ = -12, 可得 解得 ������ = -22. 3������ + 4������ = 8, ∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������ .
)
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标. 解:由题图可知, a=������������1 + ������������2 =2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 反思感悟求向量的坐标有三种方法 (1)正交分解;(2)将向量的起点平移到原点,向量的终点,即为向量 的坐标;(3)利用转角求横、纵坐标.
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＝－12，1－23，13＝－76，23.
明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
1234
B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.
1.向量的直角坐标 (1)正交分解：在正交基底下分解向量叫做正交分解. (2)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相 同的两个 单位向量 e1，e2作为基底，对于平面内的一个向量a， 有且只有一对实数x，y使得a＝ xe1＋ye2 ，则 有序数对(x，y) 叫 做向量a的坐标， a＝(x，y) 叫做向量a的坐标表示. (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则 O→A＝ (x，y) ；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
例1 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b 的坐标. 解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)， a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)， 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6， 19). 反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是 终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实 数的运算. 明目标、知重点
二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.
明目标、知重点
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3，7)， (4，6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标. 解 不妨设A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x， y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形. ①当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C， ∴(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，
明目标、知重点
思考2 在正交基底下分解向量，叫 做正交分解.如图，向量i、j是两个互 相垂直的单位向量，向量a与i基线的 夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为 基底，向量a如何表示？ 答 a＝2 3i＋2j.
明目标、知重点
ห้องสมุดไป่ตู้
小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量e1、e2作为基底.对于平面内的任一向 量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x， y，使得a＝xe1＋ye2.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标.显然有，e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0 ＝(0，0).
明目标、知重点
∴1－x＝1， －2－y＝－1，
∴x＝0， y＝－1.
∴D(0，－1).
②当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).
③当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6，15).
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)
或(6，15).
明目标、知重点
4.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ ma＋nb，则m＋n＝__7__.
2m＋n＝9，
m＝2，
解析 由
解得
故 m＋n＝7.
－3m＋2n＝4，
n＝5.
明目标、知重点
呈重点、现规律 1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原 点为起点的向量、有序实数对三者之间建立 一一对应关系.关系图如图所示： 2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量 的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同. 3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.
明目标、知重点
明目标、知重点
2.向量的直角坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量的积 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
当堂测·查疑缺
1234
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( B )
A.(－2，1)
B.(2，－1)
C.(2，0)
D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.
明目标、知重点
1234
2.已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是( A )
跟踪训练1 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
明目标、知重点
(3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
明目标、知重点
设点 M 的坐标为(x，y)，则C→M＝(x－3，y－4).
x－3＝－14，
x＝－11，
由向量相等坐标相同可得
解得
y－4＝－19，
y＝－15.
∴点M的坐标为(－11，－15).
反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的
法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，
明目标、知重点
思考 3 在平面直角坐标系中，作向量O→A＝a，若O→A＝(x，y)， 此时点 A 的坐标是什么？根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标， 其中每个小正方形的边长是 1.
答 A(x，y). a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).
明目标、知重点
探究点二 平面向量的坐标运算 思考1 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向 量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用 基底i、j表示？ 答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
A.2，72
B.2，－12
C.(3，2)
D.(1，3)
解析 设 D 点坐标为(x，y)，则B→C＝(4，3)，A→D＝(x，y－2)，
→ → 4＝2x， 由BC＝2AD得
3＝2y－2，
x＝2， ∴y＝72，
∴D(2，72).
明目标、知重点
1234
明目标、知重点
→ 思考 3 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB的坐标是什么？一般 地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？
→ 答 AB＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的 有向线段的终点坐标减去始点坐标. (1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等 号. (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终 点的坐标相同. (3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个 向量，叙述中应明目指标明、知点重点(x，y)或向量(x，y).
－4＝3x＋y， 解得x＝－2，y＝2， ∴ c ＝－2a＋2b.
明目标、知重点
反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一， 它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程 组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常 用方法.
明目标、知重点
跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3，2)，c＝(－2，2)， 试用b，c表示a. 解 设a＝λb＋μc (λ，μ∈R). 则(10，－5)＝λ(3，2)＋μ(－2，2) ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).
明目标、知重点
思考2 根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标 分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 答 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1). 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标.
明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
1234
B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.
1.向量的直角坐标 (1)正交分解：在正交基底下分解向量叫做正交分解. (2)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相 同的两个 单位向量 e1，e2作为基底，对于平面内的一个向量a， 有且只有一对实数x，y使得a＝ xe1＋ye2 ，则 有序数对(x，y) 叫 做向量a的坐标， a＝(x，y) 叫做向量a的坐标表示. (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则 O→A＝ (x，y) ；若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1) .
例1 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b，3a＋4b 的坐标. 解 a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)， a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)， 3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6， 19). 反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是 终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实 数的运算. 明目标、知重点
二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.
明目标、知重点
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3，7)， (4，6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标. 解 不妨设A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x， y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形. ①当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C， ∴(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，
明目标、知重点
思考2 在正交基底下分解向量，叫 做正交分解.如图，向量i、j是两个互 相垂直的单位向量，向量a与i基线的 夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为 基底，向量a如何表示？ 答 a＝2 3i＋2j.
明目标、知重点
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小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量e1、e2作为基底.对于平面内的任一向 量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x， y，使得a＝xe1＋ye2.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标.显然有，e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，0 ＝(0，0).
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∴1－x＝1， －2－y＝－1，
∴x＝0， y＝－1.
∴D(0，－1).
②当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).
③当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6，15).
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)
或(6，15).
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4.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ ma＋nb，则m＋n＝__7__.
2m＋n＝9，
m＝2，
解析 由
解得
故 m＋n＝7.
－3m＋2n＝4，
n＝5.
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呈重点、现规律 1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原 点为起点的向量、有序实数对三者之间建立 一一对应关系.关系图如图所示： 2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量 的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同. 3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.
明目标、知重点
明目标、知重点
2.向量的直角坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ (λx，λy) ，即实数与向量的积 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
当堂测·查疑缺
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1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( B )
A.(－2，1)
B.(2，－1)
C.(2，0)
D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，故选B.
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2.已知向量O→A＝(3，－2)，O→B＝(－5，－1)，则向量12A→B的坐标是( A )
跟踪训练1 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
明目标、知重点
(3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1，2)－13(2，1)
明目标、知重点
设点 M 的坐标为(x，y)，则C→M＝(x－3，y－4).
x－3＝－14，
x＝－11，
由向量相等坐标相同可得
解得
y－4＝－19，
y＝－15.
∴点M的坐标为(－11，－15).
反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的
法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，
明目标、知重点
思考 3 在平面直角坐标系中，作向量O→A＝a，若O→A＝(x，y)， 此时点 A 的坐标是什么？根据下图写出向量 a，b，c，d 的坐标， 其中每个小正方形的边长是 1.
答 A(x，y). a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).
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探究点二 平面向量的坐标运算 思考1 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向 量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用 基底i、j表示？ 答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
A.2，72
B.2，－12
C.(3，2)
D.(1，3)
解析 设 D 点坐标为(x，y)，则B→C＝(4，3)，A→D＝(x，y－2)，
→ → 4＝2x， 由BC＝2AD得
3＝2y－2，
x＝2， ∴y＝72，
∴D(2，72).
明目标、知重点
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明目标、知重点
→ 思考 3 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB的坐标是什么？一般 地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？
→ 答 AB＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的 有向线段的终点坐标减去始点坐标. (1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等 号. (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终 点的坐标相同. (3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个 向量，叙述中应明目指标明、知点重点(x，y)或向量(x，y).
－4＝3x＋y， 解得x＝－2，y＝2， ∴ c ＝－2a＋2b.
明目标、知重点
反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一， 它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程 组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常 用方法.
明目标、知重点
跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3，2)，c＝(－2，2)， 试用b，c表示a. 解 设a＝λb＋μc (λ，μ∈R). 则(10，－5)＝λ(3，2)＋μ(－2，2) ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).
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思考2 根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标 分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 答 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1). 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标.