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北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 知识点总结及练习
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a≠0）•的形式，所以解一元一次方程可 以转化为：当某个一次函数的值 y=0 时，•求相应的自变量 x 的值，从图象上看，这相当于已知直线 y=ax+b，确定它与 x•轴交点的横坐标的值．
7.解析式与图像上点相互求解的题型 ○1 求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作 x、y 值代入解析式组成含有 k、 b 两个未知数的方程组，求出 k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。 ○2 求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐 标值即可。
2.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b，它可以看作由直线 y=kx 平移│b│ 个单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）．
3.系数 k 的意义：k 表征直线的倾斜程度，k 值相同的直线相互平行，k 不同的直线相交。 系数 b 的意义：b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。
k>0，撇 b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方 一二三象限 从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大
k>0，撇 b<0，与 y 轴交点在 x 轴下方 一三四象限 从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大
K<0，捺 b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方 一二四象限 从左到右下降 Y 随 x 的增大而减小
y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，y 的值称为函 数值． 4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法． a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。 b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。 c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的 方法叫做图像法。 5.求函数的自变量取值范围的方法． （1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；
北师大版八年级数学上册-第四章-一次函数知识点总结
第四章一次函数知识点总结4.1.1 变量和函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义4.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
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必过点：（0，0）、（1，k）
（6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；
走向：k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，图像经过二、四象限
当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
增减性：k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小 倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴
Ｄ．3m－1
（3）解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。
11、一次函数 y=kx＋b 的图象的画法.
（4）最后得到一次函数的表达式。
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条 15、一元一次方程与一次函数的关系
直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：
函数 y x 5 中自变量 x 的取值范围是___________.
系式是_______________．
已知函数 y 1 x 2 ，当 1 x 1 时，y 的取值范围是 （ ） 2
平行四边形相邻的两边长为 x、y，周长是 30，则 y 与 x 的函数关系式是 __________．
A. 5 y 3
第四章：一次函数知识点总结
值的乘积为-1）
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取
应用
同一数值的量。
一次函数 y=kx+b 的性质是：（1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k<0 时，
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 例题：在匀速运动公式 s vt 中, v 表示速度,t 表示时间, s 表示在时间t 内所走的路程, y 随 x 的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
新北师大版_八年级数学上册_第四章一次函数知识点总结和典型例题分析(星辰出品)精编版
新北师大版 八年级数学上册第四章 一次函数一、函数1、函数的概念（重点）一般的，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有一个唯一的值与它对应，那么我们就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
理解函数的关键四点：（1）有两个变量；（2）一个变量变化，另一个随之变化；（3）对于自变量x 每一个确定的值，函数y 有且仅有一个值与之对应；（4）函数不是数，是过程中x 、y 的变量关系。
2、函数的三种表示方法（难点） （1）列表法 （2）关系式法 （3）图像法3、函数的值及自变量的取值范围（重点）（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值a ，函数有唯一确定的对应值，称为自变量等于a 时的函数值。
（2）使得函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。
确定自变量取值范围两点：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是必须满足实际问题的意义。
二、一次函数与正比例函数 1、一次函数的概念（重点）若两个变量x 、y 间的对应关系可以表示成y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的形式，则成y 是x 的一次函数。
2、正比例函数的概念（重点）对于一次函数y kx b =+（0k ≠），当0b =时，变为y kx =，这是把y 叫做x 的正比例函数。
3、根据条件列一次函数的关系式（难点）认真分析，探究实际问题中的有关信息，再次基础上建立数学模型，从而解决问题。
步骤：（1）认真分析，理解题意； （2）找出等量关系；（3）写出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围，实际问题实际分析。
三、一次函数的图像 1、函数的图像（重点）把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形就叫做函数的图象。
注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。
2、正比例函数,(0)y kx k =≠的图像和性质（重点）（1）正比例函数,(0)y kx k =≠的图像是经过(0,0)、(1,)k 两点的直线。
北师大版数学八上一次函数的知识点及例题(精华)
【函数与变量】在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2S r π=，S 与r 是变量，π是常量注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。
常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
（实际上，函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的，也可以管y 叫x 的变化规律）对函数概念的理解： （1）有两个变量（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2=y ）(4) 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y (5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ B ）A 、长方形的宽一定，其长与面积B 、正方形的周长与面积C 、等腰三角形的底边与面积D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。
优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律 （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。
优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质 缺点：有些函数关系，不能用解析式表示（3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【函数图像的意义】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。
八年级数学上册 一次函数知识总结及训练 北师大版
函数及其图像知识要点剖析一、理解函数概念“五”注意教材中是这样定义的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.如果当x=a 时y=b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.正确理解函数这一概念必须注意如下五点：一、注意理解“在一个变化过程中，有两个变量”函数中的两个变量，一个是自变量，另一个是函数（即因变量），其中自变量的变化才能引起函数的变化.因此，函数关系是指两个变量之间的一种特殊的对应关系，即变量x 与变量y 之间存在的对应关系.例如，y = 2x - 1中的对应关系是指：因变量y 对应于自变量x 的2倍减去1的差 .二、注意理解“x 的每一个确定的值”这句话有两层含义：（1）自变量x 的取值不能使对应关系无意义，如y =11 x ，x 的取值不能为1；（2）自变量x 的取值不能使某个变化过程（实际问题）无意义.三、注意理解“x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应”值得注意的是“y 都有唯一确定的值”的含义，即有一个而且只有一个值.因此，自变量x 在取值X 围内的每一个确定的值，函数 y 都有一个而且只有一个值与它对应 .如 y = ±x ，这里y 不是 x 的函数，因为在自变量 x 每个值，y 有两个值与它对应 .或如图所示，皆不是函数关系：四、注意正确判断“谁是谁的函数”判断“谁是谁的函数”，即在某个函数关系中，谁是自变量，谁是函数. 在一个变化过程中，如果有两个变量，一个变量取其X 围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量“互为函数”，即谁都可作为对方的函数.通常，函数即因变量写在等号左边。
五、注意正确确定“自变量的取值X 围”1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义（1）整式型：其自变量的取值X 围是全体实数.如函数y=3x+1，y=x 2+x －4中自变量x 的取值X 围是全体实数.（2）分式型：其自变量的取值X 围是使得分母不为零的实数.如函数y=12-x 中变量x 的取值X 围是x ≠1（由x －1≠0得）.（3）二次根式型：其自变量的取值X 围是使得被开方式为非负数的实数.如函数y=1-x 中自变量x 的取值X 围是x ≥1（由x －1≥0得）.（4）复合型：即自变量同时含有上述两种或三种情况时，自变量的取值X 围是它们的公共解.如函数y=32--x x 中自变量x 的取值X 围是x －2≥0与x －3≠0的公共解，即x ≥2且x ≠3.2、自变量的取值必须使实际问题有意义当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.如一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，所得新正方形的周长为ycm.则y与x的关系式为y=12－4x, 自变量x的取值X围是0 < x < 3.2、函数的表示方法函数有三种表示方法：（1）列表法；（2）图象法；(3)表达式法（也称关系式或解析式）.二、一次函数的概念、图象及其图象的性质1、一次函数的概念课本首先列举两例，得出两个函数关系式，从而引导归纳出一次函数的定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b = 0时，称y是x的正比例函数.〖解读〗：（1）一次函数的表达式y = kx + b（k≠0）的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可为任意数.（2）正比例函数的表达式y = kx （k≠0）的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1，这是识别一次函数的关键；③无常数项或常数项为0.（3）正比例函数是一次函数的特殊形式.针对训练：（1）已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时，①这个函数为正比例函数？②这个函数是一次函数？析解：解题过程中要注意，一次项系数2m-1不等于0．解：①由正比例函数的定义，有1-3m=0且2m-1≠0，得21,31≠=m m ， ∴31=m 时，y=(2m-1)x+1-3m 为正比例函数． ②由一次函数的定义知，当21≠m 且31≠m 时，y=(2m-1)x+1-3m 为一次函数．（2）若函数()2322m y m x -=-+，则m=_______。
北师大版初二数学上册一次函数知识点总结和基础例题[1]
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一次函数一．知识回顾（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量.2、函数：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量,y是x的函数.*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域:一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:(1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
北师大版八年级数学上册 一次函数知识点总结和常考题
第1页（共40页） ()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10．待定系数法求函数解析式：⑴设函数解析式为一般式；（2）把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A ．±B．4 C ．±或4 D．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）第1页（共40页）A ．B ．C ．D ．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜07．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较8．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）第1页（共40页）A．10 B．16 C．18 D．2010．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）第1页（共40页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）第1页（共40页）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x 的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：第1页（共40页）①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．第1页（共40页）24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．第1页（共40页）。
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（x 的取值范围）
一次函数
1.．自变量 x 和因变量 y 有如下关系：
y=kx+b （k 为任意不为零实数，b 为任意实数） 则此时称 y 是 x 的一次函数。
特别的，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。
即：y=kx （k 为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。
第四章：一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取 同一数值的量。 例题：在匀速运动公式 s vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间 t 内所走的路程, 则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式 C=2πr 中，变量是________， 常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个 确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因 变量，y 是 x 的函数。
2
2
B. 3 y 5
2
2
C. 3 y 5
2
2
D. 3 y 5
2
2
5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐
标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是（ ）
A．y= 2 x
B．y= 1 x2
C．y= 4 x2
D．y= x 2 · x 2
A.0
B. 2
3
C. 2 3
D. 3 2
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出
则 13.5=3k+12，得 k=0.5
∴所求函数解析式为 y=0.5x+12
由 23=0.5x+12 得：x=22
∴自变量 x 的取值范围是 0≤x≤22
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为 23cm，求自变量 x 的取值
范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是
弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总
长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为 y=kx+12
*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之 对应
1 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1 中，
是一次函数的有（ ）
（A）4 个
（B）3 个
（C）2 个
（D）1 个
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且 m<0，即 且 ，所以 。
二、比较 x 值或 y 值的大小
例 2. 已知点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数 y=3x+4 的图象上的两个点，且
y1>y2，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2
解：由 kb>0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k<0。所以 b<0。故一次
函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选 A . 典型例题:
例 1. 一个弹簧，不挂物体时长 12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的
质量成正比例.如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm)与所
特别地，当 b=0 时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k＞0 时，直线只通过一、三象限；当 k＜0 时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K
D.无法确定
解：根据题意，知 k=3>0，且 y1>y2。根据一次函数的性质“当 k>0 时，y 随 x 的增大
而增大”，得 x1>x2。故选 A。
判断函数图象的位置
例 3. 一次函数 y=kx+b 满足 kb>0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过
（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。
一次函数性质： 1 在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 2 一次函数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函 数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个次函数 y=kx+b 的性质是：（1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。 一、确定字母系数的取值范围
例 1. 已知正比例函数 y (3m 5)x ，则当 m______________时，y 随 x 的增大而减
.函数 y=(k-1)x，y 随 x 增大而减小，则 k 的范围是 ( )
A. k 0
B. k 1
C. k 1
D. k 1
函数 y x 5 中自变量 x 的取值范围是___________.
已知函数 y 1 x 2 ，当 1 x 1 时，y 的取值范围是 （ ） 2
A. 5 y 3