2011年《高等数学》模拟题

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2011年高考数学模拟试题及答案(四)

2011年高三备考数学“好题速递”系列一、选择题1、已知全集U ＝R ，集合∁U M ＝{x |x ≤－3或x >5}，集合∁U N ＝{x |x ≤－5或x ≥5}，则M ∩N ＝（）A ．{x |－5<x <5}B ．{x |－3<x <5}C ．{x |－5<x ≤5}D ．{x |－3<x ≤5}2．若x ∈（2,4），a ＝2x 2，b ＝（2x ）2，c ＝22x ，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c3．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是（）A ．5B ．6C ．7D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），P （ξ≤4）＝0.84，则P （ξ≤0）＝（）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.845、设α、β为两个平面，l 、m 为两条直线，且l α，m β，有如下两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β，那么（A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①是真命题，②是真命题D ．①是假命题，②是假命题6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．（0,1）B ．（0，12] C ．（0，22）D ．[22，1）二、填空题7．设p：|4x－3|≤1；q：（x－a）（x－a－1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．8、已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.三、解答题9．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sin B ＝4cos A sin C，求b.10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a,0）（a＞0），B（0，a），C（－4，0），D（0,4），设△AOB的外接圆圆心为E.（1）若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值．（2）设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在，求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．11．设函数()(0)kx f x xe k =≠，（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设2()2 4.g x x bx =-+，当1=k 时，若对任意R x ∈1，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.参考答案一、选择题1、解析：选B.∵U ＝R ，∁U M ＝{x |x ≤－3或x >5}，∴M ＝{x |－3<x ≤5}． ∵∁U N ＝{x |x ≤－5或x ≥5}， ∴N ＝{x |－5<x <5}．∴M ∩N ＝{x |－3<x <5}，故选B. 2、解析：选B.∵b ＝（2x ）2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较x 2,2x,2x 当x ∈（2,4）时的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，容易得知，x 2>2x >2x ，则a >c >b .3、解析：选C.依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin60°，bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝b 2＋c 2－bc ＝（b ＋c ）2－3bc ，故a 2＝（20－a ）2－120，解得a ＝7.故答案为C.4、解析：选A.P （ξ≤0）＝P （ξ≥4）＝1－P （ξ＜4）＝1－0.84＝0.16.5、解析：选D.根据已知，若α∥β，l α，m β，则l 与m 不一定平行，还可以异面，所以命题①是假命题；若l ⊥m ，则α与β不一定垂直，有可能平行，或一般相交．因此①②均是假命题．6、解析：选C.设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a 、b 、c ，∵MF →1·MF →2＝0，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2＝a 2－c 2⇒2c 2＜a 2.∴e 2＝c 2a 2＜12，∴0＜e ＜22.故选C.二、填空题7、答案：[0，12]解析：p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，易知p 是q 的真子集， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.∴0≤a ≤12.8、答案：8解析：如图，由椭圆的定义可知： |F 1A |＋|F 2A |＝2a ＝10， |F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10， ∴|AB |＝|F 1A |＋|F 1B | ＝20－|F 2A |－|F 2B |＝8.三、解答题9、解：由余弦定理得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2c cos A ＋2.① 由正弦定理得b c ＝sin Bsin C ，又由已知得sin Bsin C ＝4cos A ，所以b ＝4c cos A .② 故由①②解得b ＝4.10、解：（1）易知，直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E （a 2，a 2），半径r ＝22a .由题意得|a 2－a 2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.（2）∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 的面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22（定值），要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10，此时，⊙E 的标准方程为（x －5）2＋（y －5）2＝50.11.解：（1）kx e kx x f )1()(/+=，因为0)0(=f ，且1)0(/=f ，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：x y = （2）令0)1()(/>+=kx e kx x f ，所以01>+kx ，当0>k 时，k x 1->，此时()f x 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k 上单调递增；当0<k 时，k x 1-<，此时()f x 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k上单调递减.（3）当1=k 时，()f x 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增，所以对任意R x ∈1，有ef x f 1)1()(1-=-≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以)(12x g e≥-，[]21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使e bx x x g 142)(2-≤+-=，即xe x b 142-++≥，即因为当[]1,2x ∈，]15,214[41ee x e x ++∈++-，所以e b 2142+≥，即实数b 取值范围是eb 412+≥.。

2011年高考数学高考模拟试题

2011年高考数学高考模拟试题河北正定中学杨春辉一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合22{|log (1)0},{|0},2xS x x T x x-=+>=<+则S T ⋂等于 A ．（0，2） B ．（－1，2） C ．（－1，+∞） D ．（2，+∞）2．复数122,1z i z i =-=+，那么复数12z z ⋅在复平面上对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是（）A ．55B ．55-C ．56D ．56-4．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为A ．0B ．6-C ．8D ．15．在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为 A ．24B ．39C ．52D ．1046．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 7．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，则函数3()4y f x π=-是 A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称8．设11522log 3,2,5a b c ===，则A ．b a c << B.c b a << C ．a b c << D ．a c b <<9．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，那么不同的分配方案有 A ．76 B ．100 C ．132 D ．150 10．函数()|21|xf x =-，若实数,a b 满足a b <，并且()()f a f b =，则122a b --的取值范围是 A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(222,)-+∞ D ．[222,)-+∞11．过双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左焦点作直线FE 与圆222x y a +=相切于点E ,与双曲线的右支交于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．152+B ．52C ．5D ．2512．四面体PABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝3，BC ＝1，PAB ∆是正三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，则四面体PABC 的外接球的表面积为 A ．43π B ．163π C ．4π D ． 16π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）． 13．设向量(sin ,2)a α=与向量(cos ,1)b α=共线，则tan 2α=. 14．不等式|21|x x a +-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是．15．已知不平行于x 轴的直线(0)y kx b b =+>与抛物线22(0)x py p =>交于A 、B 两点，点A 、B 到y 轴的距离的差等于2k ，则抛物线的焦点坐标为.16．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)()()2()2(=++++x f x f x f x f ，21)1(=f ，41)2(=f ，则(2011)f = 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，120C =︒，求11tan tan A B+的最小值. 18．（本题满分12分）在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数ξ如图所示．（Ⅰ）求E ξ；（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率．19．（本题满分12分）四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PD ⊥AC ，E 是棱PA 的中点．（I ）求证：PC//平面EBD ； (II)求二面角E-BD-A 的大小． 20．（本题满分12分）已知函数2(),,axf x x e x R =∈其中e 为自然对数的底数，a R ∈.(Ⅰ)设1,[1,1]a x =-∈-，求函数()y f x =的最值；（Ⅱ）若对于任意的0a >，都有22'1()()axx ax a f x f x e a+++≤+成立，求x 的取值范围. 21．（本题满分12分）过椭圆C ：)0(12222>>==+b a bx a y 上一点P ，作圆O ：222b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．（I ）设P ),(00y x ，且000≠⋅y x ，求直线AB 的方程．（II ）若椭圆C 的短轴长为8，且1625||||2222=+ON b OM a ，求此椭圆的方程．（III ）试问椭圆C 上是否存在满足PB PA ⊥的点P ，说明理由． 22．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 中24b =，前n 项和为n S ，且4()(*).n n S nb n a n n N -=+∈证明：1215(1).3n b n b +<参考答案：一、DADBC, CDBDA,CB二、13．43-；14．1(,)2-∞；15．1(0,)2 16．13三、17．解：120,60,60.C A B B A =︒∴+=︒=︒-由题意，060A ︒<<︒，则30230150A ︒<+︒<︒，所以当23090A +︒=︒，即30A =︒时，11tan tan A B+有最小值23 18．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以12的概率落入铁钉左边的空隙，同样以12的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到最后落入某一个球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则1(4,)2B η．(6)(0,4)(0)(4)P P P P ξηηηη======+=或0044404411111C ()()+C ()()22228==， (4)(1,3)(1)(3)P P P P ξηηηη======+=或1133314411111C ()()+C ()()22222==， (2)(2)P P ξη===22241163C ()()22168===．则113642 3.5828E ξ=⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率12P =，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验，则至少3次获得4分的概率33144441115C ()()+C ()22216P ==． 19．解：（I ）证明：在矩形ABCD 中，设AC 、BD 交点为O ，则O 是AC 中点．又E 是PA 中点，所以EO 是△PAC 的中位线．所以PC//EO ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ．所以PC//平面EBD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(II)取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．设AB=2m,AD=n ，则3A(m,0,0),B(,0,0),C(,n,0),D(,,0),P(0,0,3),(,0,)22m mm m m n m E --．所以(,,3)PD m n m =-，(2,,0)AC m n =-，33(,0,)22m m BE = 由PD ⊥AC ，得0PD AC ⋅=，即2220m n -+=，2n m =．所以，(2,2,0)BD m m = 设111(,,)x y z α=是平面EBD 的法向量，BE BD αα⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩00BE BD αα⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩1111113002200m x y z mx z ⎧+⋅=⎪⇒⎨⎪++⋅=⎩1111z y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 不妨取11x =，则得到平面EBD的一个法向量(1,α=-．由于)HP =是平面ABD 的法向量，故(0,0,1)β=-是平面ABD 的一个法向量．设(1,α=-与(0,0,1)β=-夹角θ，θ的大小与二面角E-BD-A 大小相等．3cos 2||||6αβθαβ⋅===⋅，45θ=︒．所以求二面角E-BD-A 的大小为45︒． 20．解：（Ⅰ)当1a =-时，2()exf x x -=⋅，()(2)exf x x x -'=-⋅-⋅．当x 在[1,1]-上变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴[1,1]x ∈-时，max ()(1)e f x f =-=，min ()(0)0f x f ==． (Ⅱ)∵2()e axf x x =⋅，2()(2)e axf x xax '=+，∴原不等式等价于：22221(2)axaxaxx ax a x e x ax e e a+++⋅≤+⋅+⋅, 即221()(1)3a x x x a+⋅+≥-, 亦即22131x x a a x -+≥+．∴对于任意的0a >，原不等式恒成立,等价于22131x xa a x -+≥+对0a >恒成立,∵对于任意的0a >时,12a a +≥=（当且仅当1a =时取等号）． ∴只需22321x xx -≤+，即2320x x ++≥，解之得2x ≤-或1x ≥-. 因此，x 的取值范围是(,2][1,)-∞--+∞. 21．解：（1）以O ，P 为直径的两个端点，构造圆的方程)0()(00=-+-y y y x x x （1）及222b y x =+ （2）两式相减得AB 方程为200b y y x x =+（2）令002016,0y y b y x ===令016,0x x y ==||16||,||16||00y ON x OM ==∴ 又P 点在椭圆上，1220220=+∴bxa y 162522⨯=∴b a4=b , 252=∴a∴椭圆方程为1162522=+x y (3)若PB PA ⊥，由切线定理|PA|=|PB|，知四边形必是正方形，b PO 2||=∴ 要使P 点存在，下列方程必有解b a b a 2≥∴> 时，存在点P ；若b a 2<，这样的点P 不存在。

2011年高考数学模拟试题及答案(三)

2011年高三备考数学“好题速递”系列一、选择题1．函数f（x）＝a x－b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<02．已知数列{a n}的通项a n＝nanb＋c（a、b、c都是正实数），则a n与a n＋1的大小关系是（）A．a n>a n＋1B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1D．不能确定3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦点分别为F1、F2，b＝4，椭圆的离心率为35，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）A．10 B．12 C．16 D．204．已知两条直线m，n，两个平面α，β．给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于（）A ． 6B ．2C ． 3D ． 26．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →，（其中λ为正常数），则点M 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题7．若函数f （x ）＝e －（x －μ）2（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且f （x ）是偶函数，则m ＋μ＝________．8．设A ＝{x |x －1x ＋1＜0}，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题9．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）判断数列{c n }的增减性；（3）当n ≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a （a －1）恒成立，求a 的取值范围．10．海岛B 上有一座为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。

2011年高考数学模拟试题及答案(五)

2011年高三备考数学“好题速递”系列一、选择题1．函数y ＝（12）2x －x 2的值域是（）A ．RB ．（0，＋∞）C ．（2，＋∞）D ．[12，＋∞]2．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是（）A ．an=n2-n+1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)23．设G 是△ABC 的重心，且（56sin A ）GA →＋（40sin B ）GB →＋（35sin C ）GC →＝0，则B 的大小为（）A ．15°B ．30°C ．45°4．如果椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（）A ．（0，2－1]B ．[2－1,1）C ．（0，3－1）D ．[3－1,1]5．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（）A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f （x ）＝a x －b （a ＞0，且a ≠1）的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）在（0，＋∞）上为增函数6．如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（） A ．K B ．HC ．GD ．B′二、填空题7．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A的值等于________，AC 的取值范围为________．8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题：①（A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→）2＝3（A 1B 1→）2；②A 1C →·（A 1B 1→－A 1A →）＝0；③AD 1→与A 1B →的夹角为60°；④此正方体体积为|AB →·AA 1→·AD →|．则错误命题的序号是________（填出所有错误命题的序号）．三、解答题9．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14（a n ＋1）2且a n ＞0．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝20－a n ，问数列{b n }的前多少项和最大？10．已知函数ax ax x f 313)(23-+-= （I ）若函数)(x f 在1-=x 时取到极值，求实数a 的值；（II ）试讨论函数)(x f 的单调性；（III ）当1>a 时，在曲线)(x f y =上是否存在这样的两点A ，B ，使得在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．11．已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N ．（１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（２）当32=PQ 时，求直线l 的方程；（３）探索AN AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．参考答案一、选择题1．解析：选D ．∵2x －x 2＝－（x －1）2＋1≤1，∴（12）2x－x2≥12，故选D．2．解析：选C．从图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2．3．解析：选D．∵G为△ABC的重心，∴GA→＋GB→＋GC→＝0，∴56sin A＝40sin B＝35sin C，结合正弦定理有56a＝40b＝35c，∴a＝57b，c＝87b，由余弦定理有cos B＝a2＋c2－b22ac＝12．∴B＝60°．4．解析：选B．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点P作左准线的垂线，垂足为M，则|PF1||PM|＝e，故|PF1|＝|PM|e．又|PF1|＝2a－|PF2|，|PM|＝|PF2|，所以有（1＋e）|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a1＋e∈[a－c，a＋c]，即a－c≤2a1＋e≤a＋c，解得：e∈[2－1,1]．5．解析：选C．显然EF∥AB，A′B′∥EF，故在选P点时，面PEF内不能再有直线与棱平行，而选B′时只有AB一条棱与平面PEF平行．故选C．6．解析：选A．对于选项A：∵p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d，∴p⇒/ q，q⇒p．对于选项B：p⇒q，q⇒/ p，p是q的充分不必要条件．对于选项C：p⇒q，q⇒/ p，p是q的充分不必要条件．对于选项D：p⇔q，p是q的充要条件．二、填空题7．8．答案：③④解析：①∵|A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→|＝|A 1C →|＝3|A 1B 1→|， ∴正确；②∵A 1C →·（A 1B 1→－A 1A →）＝A 1C →·AB 1→，由三垂线定理知A 1C →⊥AB 1→，∴正确；③AD 1与A 1B 两异面直线的夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°． ④AB →·AA 1→＝0，正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD →|．三、解答题9．解：（1）a 1＝S 1＝14（a 1＋1）2，∴a 1＝1，又a 1＋a 2＝14（a 2＋1）2，∴a 2＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14[（a n ＋1）2－（a n －1＋1）2]＝14（a n 2－a n －12）＋12（a n －a n －1），由此得（a n ＋a n －1）（a n －a n －1－2）＝0． ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列，即a n ＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝1，满足a n ＝2n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1（n ∈N ＋）．（2）b n ＝21－2n ，b 1＞0，{b n }是递减数列，令⎩⎨⎧b n ＝21－2n ＞0b n ＋1＝19－2n ＜0，∴n ＝10．即{b n }的前10项和最大．10．x ax x f 63)(2-=' （0≠a ）（I ）∵函数)(x f 在1-=x 时取到极值 ∴063)1(=+=-'a f 解得2-=a经检验2-=a 函数)(x f 在1-=x 时取到极小值（不检验扣1分） ∴实数a 的值－2 （II ）由0)(='x f 得0=x 或ax 2=①当0<a 时，02<a 由0)(>'x f 得02<<x a由0)(<'x f 得02><x ax 或 ∴函数)(x f 得单调增区间为)0,2(a，单调减区间为),0()2,(+∞-∞和a②当0>a 时，02>a ，同理可得函数)(x f 得单调增区间为),0()2,(+∞-∞和a ，单调减区间为)0,2(a（II ）假设存在满足要求的两点A ，B ，即在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，则0==B A k k 即063)(2=-='x ax x f 解得0=x 或ax 2=∴A )31,0(a -,B )314,2(2aa a -+- 又线段AB 与x 轴有公共点，∴0≤⋅B A y y ，即0)314)(312≤-+--a aa （又1>a ，解得43≤≤a 所以当43≤≤a 时，存在满足要求的点A 、 B ．11．（１）∵l 与m 垂直，且31-=m k ，∴3l k =，故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=∵圆心坐标（0，3）满足直线l 方程， ∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C（２）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意 ②当直线l 与x 轴不垂直时,∵32=PQ ，∴134=-=CM ，则由11|3|2=++-=k k CM ，得34=k , ∴直线l ：0434=+-y x ．故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x （３）∵CM MN ⊥,∴ ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5(0,)3AN =- ,又(1,3)AC = ,∴5AM AN AC AN ⋅=⋅=- 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则由⎩⎨⎧=+++=063)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313kAN k k --=++ ∴AM AN AC AN ⋅=⋅ =51551313kk k--+=-++ 综上所述，⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅．。

(免费)2011年高考数学模拟试卷(8)附答案-打印版

2011年高考数学模拟试卷（8）附答案（打印版）一．填空题1．设集合2{||1|1},{|0},A x x x B x x x A B =+=+=+<=则___________.2．复数Z 满足1(1)z z i -=+，则Z 的值是__________.3．双曲线221kx y -=的一条渐进线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是___________.4．某校数学教研组为来了解学生学习教学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的认数分别是___________.5. 按下列程序框图来计算：如果x=5,应该运算_______次才停止。

6．使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)在[4π-,0]上为减函数的θ值为 ___________.7．如果实数x y 、满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值3，那么实数k 的值为___________.8．为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,5,2a b b c c d d +++，例如，明文1,2,3,4对应密文4,7,23,8，当接收方收到密文7,13,38,14时，则解密得到的明文是___________.9. 在数列{a n }中，a 1 = 2，a n + 1 = a n + l n (1 + 1n )，则a n =10. 已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤-,21,22OB OM OA OM则OC OM ⋅的最大值为___________11．设函数21()122x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 ___________否开始结束是x=3×x －2 输入x x>200输出x12．如图所示，是一个由三根细铁杆,,PA PB PC 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是600，一个半径为1的球放在支架上，则球心到P 的距离为 ___________.13. 在),(41,,,,,,222a cb Sc b a C B A ABC -+=∆若其面积所对的边分别为角中 A ∠则= 。

2011年高考数学模拟试题及答案(六)

2011年高三备考数学“好题速递”系列一、选择题1．函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax，x <0在（－∞，＋∞）上单调，则a 的取值范围是（）A ．（－∞，－2]∪（1，2]B ．[－2，－1）∪[2，＋∞）C ．（1，2]D ．[2，＋∞）2．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的（）A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项3．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是（）A ．（1,2）B ．（1，3）C ．（2，2）D ．（2，3） 4．已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≤－3 5．已知椭圆的中心为原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆方程为（）A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝6．f （x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf ′（x ）＋f （x ）≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有（）A ．af （b ）≤bf （a ）B ．bf （a ）≤af（b ）C ．af （a ）≤f （b ）D ．bf （b ）≤f（a ）二、填空题7．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．8、若直线ax ＋by ＋1＝0（a ＞0，b ＞0）过圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b 的最小值为________．三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－a 2＋bc ＝0，（1）求角A 的大小；（2）若a ＝3，求bc 的最大值；（3）求a sin(30°－C )b －c的值．10．在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形OABC 是平行四边形，(4,0),(1A C ，点M是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动（包括端点），如图（Ⅰ）求∠ABC 的大小；（II ）是否存在实数λ，使()OA OP CM λ-⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。

2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题(二) 理(广东卷)

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z •在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()x y a=（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是（）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值范围是（）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f的解集是（）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9）（6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是（） A ．21B ．22 C ．21-D ． -22 （8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为（）A ．1BC．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为（）A ．36πBC ．9π D ．6π （10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）. 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是（） A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2011高数(下)模拟试题答案

高等数学(下)模拟试题一答案一、1. 2, 0;2.}[)33,1,2; 3 1,3; 4 , 1. 2︒-二、1. C; 2. A; 3 C ；4 D 三、1. （6分）解：f f f df dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂ 11111221111ln zzzx x x x x dx dy dz z y y z y y y y z--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,1,1)df dx dy ∴=-2. （6分）解：在方程两端对x 求偏导数得2210,u z uz x x ∂∂+-=∂∂而2zy x∂=∂ 代入得2122u zy x u∂-=∂ 因此2222222(2)(12)24u u y y zy ux xu ∂-⋅--⋅∂∂=∂将2122u zy x u∂-=∂，代入化简得 22422234(12)4u u y zy x u ∂+-=∂ 3. （6分）解：在原积分路径上添加从O 到A 的一段使之为逆时针方向的封闭曲线，在该封闭曲线上的积分用格林公式，有2(sin )(cos )/8x x De y my dx e y m dy mdxdy a m π-+-==⎰⎰⎰而从O 到A 的积分为0，故2(sin )(cos )/8x x Le y my dx e y m dy a m π-+-=⎰4. （6分）解：由高斯公式得211122230() 1 2(1)10rx y dxdydz d dr r dz r r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式5. （6分）解：z z xy∂∂==∂∂DDs ∴=== 6. （6分）解：3123(1)23)12211122n nn n n n n n n xxn xn ∞∞∞---======∑∑∑原式'121211()(1)1(n n nx x x x ∞-===--∴=∈∑ 原式四、（7分）解待求直线L 与2L 相交有交点000(,,)P x y z ，此交点在L 2上故可设000(,,)P x y z =(2,,)P t t t 因直线L 上有两点{}(1,2,1),(2,,),21,2,1A p t t t L s t t t =---故直线方向又由1L L ⊥，得{}3,2,1s ⊥,即83(21)2(2)(1)09t t t t -+-+-=⇒= 得 {}7101,,//7,10,1999s ⎧⎫=----⎨⎬⎩⎭故直线L 的议程为：1217101x y z ---==--。

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第七章模拟试题《高等数学》模拟试题一一、填空题 1．=-+---→231lim22x x x x ．2．已知函数)(x f 在x 0处可导，且2)(0='x f ．则=--→hh x f x f h )()(lim000．3．函数xxex f -=)(的拐点为． 4．幂级数12nnn xn∞=⋅∑的收敛区间为．5．微分方程21x y xy -='的通解为．6．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=-+-0020321321321ax x x x x x x x x 当a=______时,方程组有非0解．二、选择题1．下列极限中正确的是（）．A 、 ∞=→x x e 1l i m B 、 0l i m 1=→x x e C 、 01s i nl i m 0=→xx D 、 11s i nl i m =∞→xx x2．曲线y=11+x 在点(1,21)处的切线方程是（）．A 、x+4y-3=0B 、4x+y-3=0C 、x-4y-3=0D 、4x+4y-3=03．若函数)(x f 在),(b a 内恒有,0)(,0)("'><x f x f 则曲线在),(b a 内（）． A 、单增且凸的 B 、单减且凹的 C 、单增且凹的 D 、单减且凸的4．以下结论正确的是（）．A 、方程个数少于未知数个数的线性方程组一定有解B 、方程个数等于未知数个数的线性方程组一定有唯一解C 、方程个数多于未知数个数的线性方程组一定有无穷多个解D 、线性方程组解的存在情况和未知数个数与方程个数之关系没有直接联系．三、计算应用与证明题 1．计算dx xx ⎰3ln ． 2．计算x x x x sin cos 1lim32-→．3．计算121)11(lim +→+xx x． 4．计算dx x x ⎰++5132．5．求]7,1[,4122)(23-∈+-=x x x x f 的最值． 6．设2yx eZ xy+=，求yx zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂22222,,． 7．求微分方程022=+'-''y y y 的通解． 8．判断级数12sin3n nn π∞=∑的敛散性．9．求曲线x e y =与其过原点的切线和y 轴所围成的平面图形的面积以及该平面图形绕x 轴旋转所围成旋转体的体积． 10．计算Dy dxdy x⎰⎰，其中D 有,2,24y x y x x x ====及所围的平面区域．11．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=363242121A ，用初等变换法求矩阵A 的秩． 12．讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-++-=-++-03647505347024253432143214321x x x x x x x x x x x x 的解的情况．13．证明当0≥x 时，221)1ln(1x x x x +≥+++．《高等数学》模拟试题二一、单项选择题1．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)21(2)10()0(1)(2x x x x x x x f ，则f(x)在（）．（A ）x =0，x=1处都间断（B ）x =0，x=1处都连续（C ）x =0处间断，x=1处连续（D ）x =0处连续，x=1处间断 2．曲线42246x x x y +-=的凸区间是（）．（A ）)2,2(- （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),(+∞-∞ 3．微分方程0=-''y y 的通解是（其中C 1、C 2是任意常数）（）．（A ）xeC x C y -+=21 （B ）x e C C y 21+= （C ）xx eC e C y -+=21 （D ）xe C x C y 21+=4．如果级数()∑∞=-11n n u 收敛，那么下列级数收敛的是（）．（A ）11-∑∞=n n u （B ）()∑∞=+11n n u （C ）()∑∞=++11n n n u u （D ）()∑∞=-133n n u5．设A,B 均为n 阶矩阵，则必有（）．（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA （C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A 二、填空题1．设函数)0(,1)2()0(lim)(0f xx f f x f y x '=-=→则满足=________________．2．极限202sin limxdttt xx ⎰→=____________． 3．幂级数∑∞=+1)12(n nnx 的收敛区间是_____________．4．设A 为3阶矩阵,且23,__________2A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭则．5．行列式11111234_______13610141020D ==．三、计算、应用与证明题 1．计算()10lim xxx x e→+． 2．设y y '=求．3．计算22arctan 1xxdx x+⎰． 4．计算22sin cos 1cos x x dx xπ+⎰．5．设抛物线⎪⎭⎫⎝⎛=12122，与该曲线在点x y 处的法线所围成平面图形为D ，求D 的面积． 6．设2,xyzzz xye x x y∂∂=∂∂∂，求．7．求⎰⎰--Ddxdy y x )1(22，其中D 是由y=x ，y=0，x 2+y 2=1在第一象限内所围成的区域．8．一家药品生产企业的生产成本y （单位：万元）和生产收入z 都是产量x （单位：吨）的函数，分别为 .181033923x z x x x y =++-=和当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 9．求微分方程y x y y '+='-1的通解． 10．判断级数∑∞=1!5n nnn n的敛散性．11．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=641452121A 的逆矩阵．12．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+-+322212432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．13．证明方程23101x dt x t--=+⎰在区间（0，1）内有唯一的实根．《高等数学》模拟试题三一、单项选择题1．当x →0时，与x 等价的无穷小量是（）．（A ）xx 1sin（B ）2sin x （C ）x x --+11 （D ）)31ln(x +2．若)()(x g x f ='，则（）．（A ）C x g dx x f +=⎰)()( （B ）C x f dx x g +=⎰)()( （C ）C x f dx x g +='⎰)()( （D ）C x g dx x f +='⎰)()(3．微分方程096=+'-''y y y 的通解是（其中C 1、C 2是任意常数）（）．（A ）x e C x C y 321+=（B ）x e x C C y 321)(-+=（C ）x e x C C y 321)(+=（D ）x e x C x C y 3221)(+= 4．下列命题正确的是（）．（A ）若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则必有1lim1<=+∞→ρnn n u u（B ）),2,1(11 =<+n u u nn ，则正项级数∑∞=1n n u 必收敛（C ）若),2,1( =≤n v u n n 且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 必收敛（D ）若1lim1<=+∞→ρnn n u u ，则正项级数∑∞=1n n u 必收敛5．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（）满足即可．（A ）A 中有r 阶子式不为0 （B ）A 中任何r+1阶子式为0（C ）A 中不为0的子式的阶数小于等于r （D ）A 中不为0的子式的最高阶数等于r ．二、填空题 1．定积分4121sin ln ________1x x dx x-⋅=+⎰． 2．设=+=dz y x z 则),ln(2___________．3．级数∑∞=1!3n nnnn 的敛散性是___________． 4．设11110,___________11aa a a==则． 5．矩阵11113211()_______01225433A r A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩．三、计算、应用与证明题1．计算1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+． 2．0lim x →．3．计算．22ln(1)x dx x+⎰． 4．计算83⎰．5．求⎰⎰Ddxdy y x，其中D 是由曲线2,x y x y ==所围成的区域．6．设y x e xy x y y +==由方程)(所确定，求隐函数y 的导数y '．7．求曲线x x y 33-=的单调区间、极值以及此函数曲线的凹凸区间和拐点． 8．已知xxe 为f(x)的一个原函数，求1()xf x dx '⎰．9．求微分方程)0(22>-+='x y x y y x 的通解．10．求幂级数∑∞=-12)1(n nnnx 的收敛半径与收敛区间．11．求行列式3883933173191614229154123=D 的值． 12．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解． 13．证明：,:A A I =+2若A 试证明可逆．《高等数学》模拟试题四一、填空题 1．2sin 3lim sinx x x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 2．椭圆cos ,sin 4x a y b πθθθ===在处的切线方程为．3．函数32()2f x x ax b =++在x=1处取得极值３，则a= ，b=_____；是极____值．4．幂级数13nnn n x ∞=⋅∑的收敛区间为．5．方程组123123130200x x x x x x x x λ-+=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩有非零解，则λ=_______．二、单选题 1．由曲线y =与直线y=x 围成的平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积V=（）． A23π B3π C6π D π2．微分方程22y xy '=-的通解是( ) ．A ． 21y x=B ． 21y x c=+ C ． 23y x c=+ D ． 21x y x =+3．下列数项级数收敛的是（）．A13n n∞=∑B1122n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑C1n ∞=∑D1n ∞=∑4．下列等式正确的是（）．（A ）A 、B 为n 阶方阵，则()333AB A B =．(B) A 、B 为n 阶方阵，若,.A B A B ==则(C) A 、B 为n 阶方阵，则()()22.A B A B A B -=-+(D) A 、B 为n 阶方阵，若0,.AB A b =O ≠=O 且则 5．方程()32201,1x x x ++-=-在内（）．(A)只有一个实根 (B) 有两个实根 (C) 有３个实根 (D)无实根三、计算应用与证明题 1．计算143lim 43x x x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭． 2．计算011lim 1xx e x →⎛⎫-⎪-⎝⎭． 3．若()sin 221,xy xy '=+求． 4．已知2arctan(),z xy dz =求．5．求函数32391y x x x =--+的凹凸区间与拐点． 6．计算0π⎰．7．若sin2x 是f(x)的一个原函数,计算()xf x dx '⎰．8．计算二重积分22122,:4x yDedxdy D x y +++≤⎰⎰．9．判断级数12!nn n n n ∞=∑的收敛性． 10．求矩阵321431124A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵1A -． 11．确定m 的值,使方程组123412341234212427411x x x x x x x x x x x x m-++=⎧⎪+-+=⎨⎪+-+=⎩有解,并求出解．12．设一曲线过原点,它在(x,y)处的切线的斜率等于3x+y ,求曲线的方程． 13．证明：当x>0时,()1ln(1)arctan x x x ++>．14．求a 的值使曲线()21(0)y a x a =->与在点(-1,0)和(1,0)处的法线所围成的平面图形的面积最小．《高等数学》模拟试题五一、填空题1．sin 3(0)()(0)1sin (0)xx x f x b x x a x x ⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩在x=0处连续，则a= ，b=______．2．曲线2ln 40xy y x +-=在点（１，－２）处的切线方程为． 3．点（１，３）是曲线321y ax bx =++的拐点，则a= ，b=_____．4．幂级数2131n nn xn ∞=+∑的收敛半径R= ． 5．微分方程230y y y '''--=的通解是_______．二、单选题1．0()y f x x x ==在点的某邻域内有意义，若000()0()0()f x f x x x f x '''===且在处（）． A ．必有极值 B ．图形可能有拐点 C ．没有极值 D ．图形必有拐点 2．函数y=1(0)()10(0)x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩在［－５，５］上( ) ．A ．有一个第一类间断点B ．有一个第二类间断点C ．连续有界D ．连续且无界3．若1lim 0,n n n n a a ∞→∞==∑则级数（）．A ．收敛且和为０B ．收敛且和一定不为０C ．发散D ．可能收敛可能也发散 4．下列命题正确的是（）．（A ）B 为３n 阶矩阵，则22B B =．(B)()11211222132333,ij A a a A a A a A A ⨯=++=则．(C) 若12,X X 为非齐次线性方程组A X b =的两个不同解向量，秩（A ）＝３，未知数个数为４，则121()()X K X X X K AX b =-+=为任意常数为的通解．(D) 3213223233243253260.327328329≠5．若f(x)二阶可导，且0()(0)0,lim3,(0)x f x f f x→''==-且则必为（）． (A)极大值 (B) 极小值 (C) 非极值 (D) ０三、计算应用与证明题1．计算0lim x → 2．计算lim arctan 2x x x π→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭． 3．若45),(1)x y y x -'=+求． 4．已知2,,yx z z e dz x y∂=∂∂求．5．要做一个带盖的长方体盒子，其容积为723cm ，其底边成1∶2，问此盒子各边长为多少时,所用材料最省(表面最小)． 6．计算dx x⎰． 7．计算．8．计算二重积分22,2,1Dx dxdy D x y x xy y===⎰⎰其中是由直线以及曲线围成．9．用定义证明级数11ln 1n n ∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑发散． 10．求矩阵021114213A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵1A -． 11．试确定λ的值,使方程组123123132x x x x x x x x λ-=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩有非零解,并求出解．12．求方程2(2)dy x x y y dx+=满足初值条件22x y==的特解．13．证明方程sin 1,22x x ππ⎛⎫+=--⎪⎝⎭在区间内至少有一个实根． 14．求由抛物线218,22y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与在其点处的法线所围成的平面图形的面积以及绕y 轴旋转所得旋转体的体积．《高等数学》模拟试题六一、填空题1．幂级数13nnn n x ∞=∑的收敛半径R= ______． 2．222sin x x dx ππ-=⎰．3．()1lim 13x x x →-= ． 4．5140y y y '''--=，通解为．5．矩阵1420231537150111-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦的秩为_______．二、单选题1．33y x x =-的单调减区间是（）．A ．(),1-∞-B ．()1,+∞C ．()1,1-D ． (),-∞+∞ 2．若3,5n n n nu v ==( ) ．A ．11,.n n n n u v ∞∞==∑∑收敛发散 B ．11,.n n n n u v ∞∞==∑∑均发散C ．11,.n n n n u v ∞∞==∑∑发散收敛 D ．11,.n n n n u v ∞∞==∑∑均收敛3．设0()(0)0lim1,(0)x f x f f x→''==-且则必为（）．A ．极大值B ．极小值C ．非极值D ．０4．函数1()cos cos 223f x a x x x π=-=在处取得极值，则 a ＝（）．（A ）０ (B)12(C) １ (D) ２5．齐次线性方程组有无穷解的条件是（）．(A) r n = (B) r n > (C) r n < (D) r n ≥ 三、解答题与证明题 1．计算21cos limx x x x→--． 2．计算1ln x x xe dx x ⎛⎫+⎪⎝⎭⎰． 3．求4322669y x x x x =---+的凹凸区间． 4．求4⎰．5．设sin(),xz y xy dz =+求． 6．求002150,7,5x x y y y y y==''''--===的特解．7．若曲线y =(－1,0)点,求该切线与曲线y =x 轴围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．8．计算二重积分22,:,2Dy dxdy D y x y x x===⎰⎰区域围成．9．求线性方程组123412341234123423132233542759108x x x x x x x x x x x x x x x x-+-=⎧⎪--+=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩的通解．10．证明题：I 为n 阶单位矩阵，A 、B 为n 阶矩阵．已知A B AB I ++=．证明：B I +为逆矩阵且()()112B I A I -+=+．《高等数学》模拟试题七一、单项选择题1．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππ,2,cos )(x x x x f 是（）．（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）有界函数（D ）单调函数 2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>=)0(1)0(2)0(sin )(x xe x x x xx f x若，则=→)(lim 0x f x （）．（A ）1 （B ）不存在（C ）2 （D ）-e 3．设函数f(x)在x=x 0的某邻域内具有二阶连续导数，则=-'-+'→hh x f h x f h )()(lim000（）．（A ）0 （B ）)(0x f ' （C ）)(0x f '' （D ）)(20x f '' 4．函数32cos 21cos )(π=-=x x x a x f 在处取得极值，则a=（）．（A ）0 （B ）21 （C ）1 （D ）25．若==')(cos)(sin22x f x x f ，则（）．（A ）x 2sin（B ）C x +2cos（C ）C x +-1 （D ）C xx +-22二、填空题 6．设21211ln ,ln eeI xdx I xdx ==⎰⎰，则1I 与2I 的大小关系是____________________．7．若(,)(2,1)x f x y f '==则____________________．8．微分方程0=+''y y 的通解是y =____________________． 9．设D 是由0,12=-=y x y 所围成的区域，则(2)Dx dxdy +=⎰⎰____________________．10．函数)1ln(22y x z ++=在点（1，2）处当2.0,1.0-=∆=∆y x 时的全微分是_____________． 11．f(x)在x 0处左、右极限存在且相等是f(x)在x 0处连续的____________________条件． 12．若(10)()ln(1),()f x x f x =+=则____________________．三、计算、应用与证明题13．求1331lim 2x x x -→⎛⎫ ⎪-⎝⎭． 14．求22lim cos 1x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭． 15．求300limsinx x x dt →⎰⎰． 16．求2⎰．17． 0()2()(1)()xxf x f t dt x e f x -+=+⎰设，求． 18．求10⎰．19．若lndy y dx=求． 20．()1yz z xy y∂=+∂设，求．21．计算1,2Dx dxdy D y x y y yx===⎰⎰，其中是由和围成．22．求函数141232)(23+-+=x x x x f 的单调区间与极值．23．求曲线y=x 2在点（1，1）处的切线与x=y 2所围成的平面图形的面积S ．24．要做一个带盖的长方体的盒子，其容积为72cm 3，底边成1∶2．问此盒子各边长为多少时，所用材料最省？25．证明：当x>0时，arctan ln(1)1x x x+>+．《高等数学》模拟试题八一、单项选择题1．已知偶函数f(x)在[0，4]上单增，则)(π-f 与)8(log 21f 的大小关系是（）．（A ）)(π-f <)8(log21f （B ）)(π-f =)8(log21f （C ）)(π-f >)8(log21f （D ）不能确定2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=)0(2tan )0(3)0()1ln()(x xx x x xx x f 若，则x=0为f(x)（）．（A ）连续点（B ）第二类间断点（C ）第一类不可去间断点（D ）第一类可去间断点 3．下列等式不成立的是（）．（A ）.arctan arctan x xdx dx d =⎰ （B ）arctan 0.b a d xdx dx =⎰（C ）.arctan arctan x xdx dxd b a=⎰（D ）arctan arctan .badxdx a da=-⎰4．A ，B ，C 均为n 阶方阵，0为n 阶零矩阵，下列命题正确的是（）．（A ）若AB=0则A=0或B=0；（B ）(A+B)2=A 2+2AB+B 2；（C ）若AB=AC 且A ≠0，则B=C ；（D ）若AB=0且0≠A ，则B=0． 5．若在(a,b)内0)(0)(<''>'x f x f 且，则(a,b)内f(x)为（）．（A ）单调增加且图形上凸（B ）单调增加且图形下凹（C ）单调减少且图形上凸（D ）单调减少且图形下凹二、填空题 6．设01sin 3lim sinx x x xx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 7．f(x)在x 0处可导，则若02200()()limx x f x f x x x →-=-_________．8．设函数22124()f x f x x x ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，则__________． 9．设12()()f x x f x dx =-⎰，则1()f x dx =⎰_________． 10．212f dx xx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰___________． 11．微分方程40y y '''+=的通解是_______________．12．函数222arcsinz x y=+的定义域是________________．三、计算、应用与证明题 13．求limn →∞． 14．21lim2,,1x x ax b a b x→-+=-求．15．求sin 0lim xx x+→． 16．求微分方程012=-+dy x xydx 的通解．17．设2(,)ln 0zz z x y e x y z dz =++=由方程所确定，求．18．求2246x dx x x +-+⎰． 19．求0π⎰．20．计算22()22,:1xy De dxdy D x y -++≤⎰⎰．21．已知点（2，4）是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且在点x=3处取得极值，求a 、b 、c ． 22．已知曲线x y x xy 42,1===和所围成的图形．求：（1）该图形的面积；（2）该图形绕x 轴旋转而得的旋转体的体积． 23．已知310100410,010,0,48201A E E A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求． 24．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+-+0302042143214321x x x x x x x x x x x 的一个基础解系并用该基础解系线性表出方程组的通解．25．设f(x)为连续函数，证明0(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰，并计算3sin x xdx π⎰的值．《高等数学》模拟试题九一、单项选择题1．设二元函数=∂∂=xz xy z ，则)sin(2（）．（A ）)cos(2xy xy （B ）)cos(2xy xy - （C ）)cos(22xy y - （D ）)cos(22xy y 2．当0→x 时，与2x 等价的无穷小是（）．（A ）x ex-2；（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+21ln x ；（C ）)cos 1(2x -；（D ）x arctan3．设 )0(,1)(lim0)0(0f xx f f x 则且-='='→必为（）．（A ）极大值（B ）极小值（C ）非极值（D ）0 4．微分方程22xy y -='的通解是（）．（A ）cx y -=21 （B ）21xy =（C ）cx x y +=2（D ）112+=xy5．设D 为圆域)0(222>≤+a ax y x ，化积分σd y x f D⎰⎰),(为累次积分的正确作法是（）．（A ）0(,)a a adx f x y dy -⎰⎰（B ）2cos 0(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰（C）202(,)a dx f x y dy ⎰（D ）2cos 202(cos ,sin )a d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰二、填空题 6．325(21)(32)lim(1)x x x x →∞-+=+_________．7．设A ，B 均为3阶方阵且212,32()T A B A B -===，则__________． 8．[][]123,112,,TTTA B C AB C ==-==则_________．9．函数32)(x x f -=的驻点是____________．10．函数x x x f ln )(=在[1，2]上满足拉格朗日定理条件的ξ=_________． 11．220(,)x xI dx f x y dy =⎰⎰交换积分次序后I =_____________．12．微分方程022=+'+''y y y 的通解是______________．三、计算、应用与证明题 13．求0ln(1tan 3)limsin 5x x x→-． 14．求222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 15．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=)1()1(12)(2x b ax x x x f 在x=1处可导，求a ，b 的值．16．求4201sin 2cos x dx x π-⎰． 17．讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0(0)0(1)(1x x e xx f x 在x=0处的连续性与可导性． 18．若C x x dx x f +=⎰ln )(，求()xf x dx '⎰．19．求曲线1ln (0)xt y dt x t=>⎰的极值与拐点． 20．求微分方程y xy x y x =+'tan的通解．21．求由曲线x y x x y =-=与22围成的平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积．22．求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321A 的逆矩阵． 23．计算行列式1111222111122211112221111222D =的值．24．求二重积分221,sin x y x y x D dxdy xx D===⎰⎰和，是由其中所围成的右边区域．25．证明双曲线)0(2≠=a a xy 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积为一常数2a 2．《高等数学》模拟试题十一、单项选择题 1．如果,31lim e n knn =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→则k=（）．（A ）31-（B ）3 （C ）-3 （D ）312．方程0133=+-x x 在（-1，1）内（）．（A ）没有根（B ）有且仅有一个根（C ）有且仅有两个互异的根（D ）有3个根3．下列命题正确的是（）．（A ）f(x)在x 0处可导则)(lim 0x f x x →存在；（B ）f(x)在x 0处连续则f(x)在x 0处可微；（C ）)(lim 0x f x x →存在则f(x)在x 0处连续；（D ）f(x)在x 0处不可导则f(x)在x 0处不连续．4．设f(x,y)在(x 0,y 0)处偏导数存在则=--+→hy h x f y h x f h ),(),2(lim00000（）．（A ）),(300y x f x ' （B ）),2(00y x f x ' （C ）),(00y x f x ' （D ）0 5．设D 为圆域π8)()0(22222=+>≤+⎰⎰Ddxdy y x a a y x 且则a=（）．（A ）2 （B ）4 （C ）34 （D ）36 二、填空题 6．设232131)(x x x f -=的凸区间为______________．7．已知f(x)是有任意阶导数的函数，且)()(2x f x f ='， n 为大于2的正整数，则()()n fx =______．8．设0()()sin ,()xf x x t tdt f π'=+=⎰则___________．9．设{(,)01,01},x yDD x y x y edxdy +=≤≤≤≤=⎰⎰则___________．10．11(x -+=⎰__________．11．⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0()0(21sin 2sin )(x a x xx x xx f 在x=0处连续，则a =__________． 12．若Tm Tn n m ij b b b B x x x X a A )(,)(,)(2121===⨯，线性方程组AX=B 能使用克莱姆法则的前提是_________________．三、计算、应用与证明题13．求21lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭． 14．求2011lim sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭． 15．求22tan x x x x dx e e -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰． 16．求117．求21tanxdx x-⎰． 18．先交换积分10xy I dx dy y=⎰的积分次序再求积分．19．求点（0，1）到曲线x x y -=2的最短距离． 20．求微分方程dx xy dy x )1(2+=的通解．21．已知,1221,2110,2513⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A 求矩阵方程TC B AX 2+=中的未知矩阵X ． 22．设22sin(),z x y dz =+求．23．计算行列式33221111110011001b b b b b b ------的值．24．要做一个容积为V 的圆柱形容器，问高与底面半径成怎样的比例才能使用料最省？ 25．证明方程122arctan 2sin 01x x x dx tdt x--=+⎰⎰在区间（0，π）内有唯一实根．《高等数学》模拟试题十一一、填空题1．极限23lim 25xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭=___________． 2．2cos x dx x ⎰ =___________． 3．微分方程223(1)dy x y dx=+满足初始条件01x y==的特解是___________．4．设函数1arctan ,0(),0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续，则a =___________． 5．行列式313023429722203-的值是___________．二、选择题6．若函数()f x 在（a ，b ）内恒有()0,()0f x f x '''<>，则曲线在（a ，b ）内（）． (A)单增且上凸 (B) 单减且上凸 (C) 单增且下凸 (D) 单减且下凸 7．定积分3141cos 1x x dx x-+⎰的值是（）． (A)-1 (B) 1 (C) 0 (D) 2 8．设二元函数2sin()z xy =，则z x∂∂等于（）．(A)22cos()y xy (B) 2cos()xy xy (C) 2cos()xy xy - (D) 22cos()y xy - 9．设1,5n n nn u v ==）．(A)1n n u ∞=∑发散，1n n v ∞=∑收敛 (B)1nn u∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散(C)1nn u∞=∑，1n n v ∞=∑均发散 (D)1nn u∞=∑，1n n v ∞=∑均收敛10．设,,,A B C E 均为n 阶矩阵，则下列结论中不正确的是（）．(A)若A B C E =，则,,A B C 都可逆 (B)若0A B =，且0A ≠，则0B = (C)若A B A C =，且A 可逆，则B C = (D) 若A B A C =，且A 可逆，则B A C A =三、计算、应用与证明题 11．求极限02limsin xxx e exx x-→---． 13．求定积分40⎰．12．设函数21ln(1)arctan 2xxxy ex e e -=+-+求dy ．14．计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,,22x y x y y ===所围成的区域．15．求微分方程440y y y '''-+=满足初始条件03,8x x yy =='==的特解．16．求幂级数113nnn x n ∞=⋅∑的收敛半径和收敛区域．17．求线性方程组12345123452345123457323222623543312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+-+-=⎩的通解．18．求矩阵223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵1A -． 19．讨论函数32()62f x x x =+-的单调性与凹凸性，并求出极值和拐点． 20．已知,a b 为实数，且e a b <<，证明b a a b >．《高等数学》模拟试题十二一、选择题1．函数()()x x x f cos 12+=是（）．()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2．设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（）．()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导 ()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3．设函数()x f 在[]1,0上022>dxf d ，则成立（）． ()A ()()0101f f dxdf dx df x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf ()D ()()1001==>>-x x dxdf dxdf f f4．设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导，()()b f a f =，则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（）． ()A 至少有一条 ()B 仅有一条 ()C 不一定存在 ()D 不存在二、填空题 1．计算01limsin2x x x→=____________．2．设函数()x f 在1=x 可导，且()11x df x dx==，则()()121limx f x f x→+-=____________．3．设函数()2ln f x x =，则()dfx dx=_________． 4．曲线x x x y --=233的拐点坐标_________．5．设x arctan 为()x f 的一个原函数，则()=x f ____________． 6．()2xdf t dt dx=⎰____________． 7．定积分()2xx dx ππ-+=⎰____________．8．设函数()22cos y x z +=，则z x∂=∂____________．9．交换二次积分次序()100,_________x dx fx y dy=⎰⎰．三．计算、应用与证明题 1．计算xe xx 1lim-→．2．设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ，求dx dy ． 3．计算不定积分⎰． 4．设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ，求()⎰-12dx x f ．5．设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=102dt t f e x f x ，求()x f ．6．设函数()yx y x y x f +-=,，求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分．7．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中1:22≤+y x D ．8．设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成，()1求此平面图形的面积；()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积．9．求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间． 10．求证：当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11．《高等数学》模拟试题十三一、选择题1．当0→x 时,1sec -x 是22x的（）．.A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2．下列四个命题中成立的是（）．.A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数3．设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dxd等于( ) ． .A ()C x f + .B ()x f .C ()dxx df D .()C dxx df +4．函数()x x x f sin 3=是（）．.A 偶函数 .B 奇函数 .C 周期函数 D .有界函数5．行列式ab bba b bba=（）． (A)3()a b - (B) 2(2)()a b a b ++ (C) 2(2)()a b a b +- (D) 2(2)()a b a b -+ 6．设A 、B 为n 阶方阵，则（）．(A) A 或B 可逆，必有AB 可逆； (B) A 或B 不可逆，必有AB 不可逆； (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆； (D) A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆； 7．若非齐次线性方程组A X b =中方程个数少于未知数个数，那么（）．(A) A X b =必有无穷多解 (B) 0A X =必有非零解 (C) 0A X =仅有零解 (D)0A X =一定无解二、填空题1．设函数()⎩⎨⎧>+≤=0,0,x x a x e x f x 在0=x 处连续，则a =____________．2．()()()221sin1lim 13x x x x →-=-+ ___________． 3．lim x x x→-∞-= ___________．4．设xe 为()xf 的一个原函数，则()f x =________．5．幂级数()212nn x n∞=-∑的收敛半径为_______．6．方程23111112301491827x x x=的全部根是_______． 7．设A 为3阶方阵，且3A =-，则2A =____．8．若A 为m n ⨯阶矩阵，齐次线性方程组0A X =有非零解的充要条件是____________．三.计算题 1．求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2．求极限()nnnnnn 75732lim+-++∞→． 3．设()b ax ey +=sin ，求dy ．4．设函数xxe y =，求22=x dxy d ．5．设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数，求(1)0=x y; (2)0=x dxdy ．6．计算不定积分⎰+dx x x132． 7．设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f ．8．计算()xdte exttx cos 12lim--+⎰-→． 9．求微分方程022=+dxdy dxy d 的通解．10．求过曲线x xe y -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程．（注：由使函数取极大值的点0x 和函数的极大值()0x f 所构成的一对数组()()00,x f x 称为曲线()x f y =上的极大值点）． 11．设函数()x f y =在点0x 处可导，证明它在点0x 处一定连续，并举例説明其逆不真． 12．解线性方程组123412341234123423132233542759108x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩．13．若n 阶方阵A 满足3222A A A =-，试证E A -可逆，并求1()E A --． 14．若123101110A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求1A -．《高等数学》模拟试题十四一、单项选择题1．下列极限中正确的是（）．（A ）10lim 2xx →=∞ （B ）1lim 20x x →= （C ）01lim sin0x x→= （D ）sin lim0x x x→∞=2．函数1,01()2,13x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处间断是因为（）．（A ）()f x 在1x =处无定义（B ）1lim ()x f x -→不存在（C ）1lim ()x f x →不存在（D ）1lim ()x f x +→不存在3．ln(1)y x =+在点（0，0）处的切线方程是（）．（A ）1y x =+ （B ）y x = （C ）1y x =- （D ）y x =-4．若函数()f x 在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''><，单调且上凸则曲线在(,)a b 内（）．（A ）单增且上凸（B ）单减且上凸（C ）单增且下凸（D ）单减且下凸 5．微分方程cot 0y y x '-=的通解是（其中C 是任意常数）（）．（A ）sin C y x=（B ）sin y C x = （C ）cos C y x=（D ）cos y C x =6．n 元线性方程组0A X =有非零解的充要条件是（）．（A ）方程个数m n < （B ）方程个数m n > （C ）方程个数m n =（D ）秩()A n < 二、填空题1．设函数()y f x =满足0(0)(2)lim1x f f x x→-=，则(0)f '=_____________．2．函数23(1)y x x =-的极值点为________． 3．4sin x xdx ππ-=⎰_________．4．设A 为n 阶方阵且3A =，则1A A -=_________． 5．微分方程1xy '=的通解为_________．三、计算、应用与证明题 1．计算32lim3x x →-． 2．57lim 53xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭． 3．设2(1)arctan y x x =+，求y '． 4．设2sin(103)y x =+，求dy ． 5．求函数321()2313f x x x x =-++的增减区间与极值．6．计算3ln x xdx ⎰． 7．计算30dx ⎰．8．设44224z x y x y =+-，求dz ． 9．计算sin Dx dxdy x⎰⎰，其中D 是由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域．10．求曲线xy e =与其过原点的切线和y 轴所围成的平面图形的面积以及该平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积． 11．求矩阵133143134A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵． 12．求线性方程组1231235224x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的通解． 13．证明：当0x >时，31arctan 3x x x >-．《高等数学》模拟试题十五一、单项选择题1．当0x →时，下列各无穷小量与x 相比是高阶无穷小量的是（）．（A ）22x x + （B ）2sin x （C ）sin x x + （D ）2sin x x + 2．下列极限中正确的是（）．（A ）sin lim1x x x→∞=（B ）01lim sin1x x x→=（C ）0sin 2lim2x x x→=（D ）1lim 2x x →=∞3．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()3f x '=，则000(5)()lim h f x h f x h→+-=（）．（A ）6 （B ）0 （C ）15 （D ）104．如果000(,),()0,()0x a b f x f x '''∈=<，则0x 一定是()f x 的（）．（A ）极小值点（B ）极大值点（C ）最小值点（D ）最大值点 5．微分方程0dy x dx y+=的通解是（）．（A ）22()x y C C R +=∈（B ）22()x y C C R -=∈（C ）222()x y C C R +=∈（D ）222()x y C C R -=∈6．三阶行列式231503201298523-等于（）．（A ）82 （B ）-70 （C ）70 （D ）63 二、填空题1．设A 为5阶方阵，且16A *=，则A =_____________．2．若函数()y f x =在点0x 处的二阶导数0()f x ''存在，且点00(,)x y 为拐点，则0()f x ''=________．3．21211xxedx x-=+⎰______．4．设2xz y=，则z y∂=∂______．5．微分方程y x '=的通解为_______．三、计算、应用与证明题 1．计算2cos x dx x⎰． 2．计算311ln limxx x x e e→-+-．3．设arcsin y x =+y '． 4．计算23lim 25xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭． 5．求函数3()3f x x x =-的增减区间与极值． 6．设2xyz e yx =+，求dz ．7．设2cos(523)y x x =++，求dy ． 8．40⎰．9．求曲线ln y x =的一条切线，其中[2,6]x ∈，使切线与直线2,6x x ==和曲线ln y x =所围成面积最小．10．计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,2x y x y ==和2y =所围成的区域．11．求矩阵223110121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵． 12．求线性方程组13412341234312262414720x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪-++-=⎨⎪-++-=⎩的通解． 13．证明：当0x >时，21ln(1)2x x x +>-．《高等数学》模拟试题十六一、单项选择题1、设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=（）．(A) 2 (B) -1 (C) 1 (D) -22、已知()xx d e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则f(x)=（）． (A) 2x x e e + (B) 2x x e e - (C) 2x x e e -+ (D) 2x x e e -- 3、曲线42246y x x x =-+的凸区间是（）．(A) (2,2)- (B) (,0)-∞ (C) (0,)+∞ (D) (,)-∞+∞ 4、若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（）．(A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D)221(1)2x C -+5、函数x y z x y+=-的全微分dz =（）．(A)22()()xdx ydy x y -- (B)22()()ydy xdx x y -- (C)22()()ydx xdy x y -- (D)22()()xdy ydx x y --6、0(,)ady f x y dx ⎰⎰化为极坐标形式为（）．(A)20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰ (B)2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰(C)sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰(D)200(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθ⎰⎰7、下列微分方程中，可分离变量的方程是（）． (A)tandy y y dxxx=+ (B) 22()20x y dx xydy +-= (C)220x yx dx edy y++= (D)2xdy y e dx+=8、若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是（）．(A)110nn u ∞=∑ (B) 1(10)nn u∞=+∑ (C)110n nu∞=∑ (D)1(10)nn u∞=-∑9、设f(x)为连续函数，1()()ttyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '=（）． (A) 2(2)f (B) (2)f (C) (2)f - (D) 010、设A ，B ，A+B ，11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则111()A B ---+=（）． (A) 11A B --+ (B) 1()A A B B -+ (C) A+B (D) 1()A B -+ 二、填空题11、当0x →时，f(x)与1cos x -等价，则0()limsin x f x x x→=______________．12、若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a=________． 13、微分方程(1)y x y x -'=的通解是______________． 14、函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=_______． 15、函数()f x x =-的单调减少区间是______________．16、已知(0)2,(2)3,(2)4f f f '===，则2()xf x dx ''=⎰______________．17、设区域D 为229x y +≤，则2Dx yd σ=⎰⎰_____________．18、已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，n u =_____________．19、设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA=B+2E ，则B =_____________． 20、设n 阶可逆矩阵A 满足2,0A kA k =>，则k=_____________．三、计算、应用与证明题 21、计算011lim 1xx xe →⎛⎫-⎪-⎝⎭．。