6章弹性与塑性力学的基本解法
6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
w ij ij Eijkl kl 线性关系 各向同性 ij
指标符号表示
ij 2G ij ij kk
E ( ij ij kk ) (1 ) 1
2019/1/3 7
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
X l x m yx n zx n1 11 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n1 12 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n1 13 n2 23 n3 33
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内
力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，
从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）
所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
2019/1/3
1
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题；
当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
2019/1/3
11
§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、 ij 、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界 条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由 物理量所满足的方程组中显示出来）。
2
yz
xy
y yz zx xy ( )2 y x y z zx
2
2 zx z yz xy ( )2 z x y z yx
2019/1/3
6
(完整word版)弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
塑性力学和弹性力学的区别和联系
塑性力学和弹性力学的区别和联系固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。
塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。
弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。
大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。
所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。
因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。
塑性材料或塑性物体的含义与此相类。
如上所述。
大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。
本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。
以及相应的“破坏”准则或失效难则。
塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。
一、基本假定1、弹性力学：（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。
但是，当所考察的物体(结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面（二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标（如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知,弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的. 1。
1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6.1-1）1.2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε （6.1-2） 由式(6.1-2）可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 (6.1—3） 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。
(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 （6.1—4a)或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。
7-弹塑性力学-弹性问题的求解
第六章 弹性问题的求解
轴对称问题(axi-symmetrical problem) 的求解
轴对称：几何与载荷场均中心对称。 应力函数 (r , ) ，由于轴对称， (r )
1 d r , r dr
2
d 2 2 , dr
2
r r 0
第六章 弹性问题的求解
厚壁筒受均压的应力解： 讨论： 2 2 qa q 常数（与r无关） （1） r 2 2 2 2 b b / a 1 1 a / b
从而 z ( r ) 常数 E
表明：厚壁筒变形后各载面（垂直z轴）仍为平面。（平面应力与平面应 变问题的转换条件） （2）当 qb 0 ，即只受内均压 作用时，
其中：
E1
E 1 2
, 1
1
这就是平面应变问题的广义虎克定律。
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
不难证明：
1 1 1 E1 E ,G E1 E 2(1 1) 2(1 )
x xy X 0 y x y xy Y 0 y x
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
x 2G x y 2G y 由物理方程可得应力分量 z 2G z G xy xy 0 zx yz
其中
E （拉梅常数）， (1 )(1 2 )
平面应变问题（长轴类问题）(plane strain problem)
ห้องสมุดไป่ตู้
第六章 弹性问题的求解
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xl1 xyl2 0, zxl1 yzl2 0, yxl1 yl2 0
（1）
在两端部：
l1 cos(z, x) 0
l2 cos(z, y) 0
l3 1
例 6-2 设有图6-4所示等直杆，两端受
集中力P作用，直杆侧表面为自由表面。求其
应力场和位移场。
解： 1）确定体力和面力： 首先选取坐标系Oxyz，
两端x=0，z=l处有外力作用，
其合力为P。假定体力略去不计， 且杆件侧面的面力等于零。 2．写出边界条件： 在杆件侧面，因任一点的外法线方向n均垂直于z轴，故
§6—1 概述
?
ij ij (x, y, z)
ij
ij
(x,
y,
z)
ui ui (x, y, z)
(i、j x, y, z)
（6-1）
关于求解这15个基本未知量所需的 15个基本方程式
一. 静力平衡微分方程
?
x
x
xy
y
xz
z
FX
0(
2u
t
2
)
yx
x
y
y
yz
z
Fy
弹塑性理论问题的基本解法
?
直接解法：
应力法 位移法
逆解法 间接解法：
半逆解法
?
弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的 作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部 分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平 衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是 唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分 量也是唯一的。
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
(6 4)
或
ij
1
E
ij
E
ij
(i、j x, y, z)
其中： ( ii )
（3）应变表示应力的本构方程
?
x
2G( x
v 1 2v
e),
y
2G( y
v 1 2v
e),
z
2G( z
v 1 2v
e),
xy
G xy
yz
G
yz
zx
G zx
2
(a)理想弹塑, 性材料
1
3d P
deij 2G dSij 2 Sij ,
dm 3Kdm （6-7）
(b)等向强化材料
deij
1 2G
dSij
3d 2 '
Sij
d m 3Kdm
（6-8）
②Levy-Mises（
1）：
2
?
理想刚塑性材料
d ij
3 2
d
Sij ,
等向强化材料
dm 0
三、本构方程－广义胡克定律
?
各向同性体的本构方程的几种形式
1.以应变表示应力
x e 2x y e 2 y z e 2z xy xy yz yz zx zx
三．本构方程
?
2.
x
1 E
x
(
y
z ) ,
y
1 E
y
( z
x ) ,
z
1 E
z
( x
y ) ,
xy
1 G
xy
弹塑性力学15个基本方程解15个未知量 问题称为求解边值问题
1. 应力边界条件：
Fi ijl j （在边界 S 上）
2. 位移边界条件：
ui ui
（在边界 Su 上）
三类问题
?
第一类边值问题： 已知弹性体内的体力和其表面的面力，求 平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，即所谓边界 应力已知的问题。
0(
2v t 2
)
zx
x
zyyzz NhomakorabeaFz
0(
2w t 2
)
（6-2）
或 ij' j Fi 0 (i、j x, y, z)
二．几何方程
?
x
u x
,
y
v y
,
z
w , z
xy
u y
v x
yz
v z
w
y
zx
w x
u
z
（6-3）
或
ij
1 2 (ui' j
u j'i )
(i、j x, y, z)
2. 迭加原理
?
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于满足
小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用下所得到
的弹性力学解相加等于这两组外力同时作用于弹性体的
解答。
§6-3 弹性力学的最简单问题· 求解弹性力学问题简例
弹性力学的最简单问题： 只用
1.平衡方程 2.边界条件求解。
如：纯拉伸、纯扭转、平面弯曲、厚壁筒 问题等
h/2
h / 2
(
x
) dy xl
0,
h/2
( h/2
x
) xl
ydy
M
h/2
h / 2
( xy
) dy xl
0
圣文南原理中所指出的“局部表面”面积的二维尺寸 中，应至少有一个不大于物体的最小特征尺寸，而图 工字梁薄壁杆件外力作用的表面积的两个尺寸b及h皆 远大于其腹板厚度t，故原理不能应用。因此，应用圣 文南原理的一个必要条件，即只有当力作用区域的尺 寸比物体最小尺寸小的条件下才能应用。
(6 5)
或
ij
(1
E
)(1
2
)
ij
e
1
E
ij
ije 2Gij
(e ii )
?
为便于与塑性变形本构方程对比，也可 将本构方程表示为：
（4） eiej
1 2G
Sij
3 e 2
Sij ,
m 3K m
2 .在弹塑性变形阶段，屈服函数 f ( ij ) 0 ?
（1）增量理论（流量理论） ①Prandtl-Reuss（ 1 ）：
§6—2 圣文南原理.叠加原理
?
1. 圣维南(局部影响)原理
如作用在弹性体表面某一局部面积上的力系， 为作用在同一局部面积上的另一静力等效力系所 替代，则载荷的这种重新分布，只在离载荷作用 处附近的地方，才使应力的分布发生显著的变化， 而在离载荷较远处则只产生极小的局部影响。
?
此问题端部的积分形式的边界条件为：
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移 分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量 ， 即所谓边界位移已知的问题。
第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面 的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各 点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部 分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称 为混合边值问题。
（6-9）
dij
3d 2 '
Sij ,
dm 0
('
d 2 P
)
（6-10）
（2）全量理论（形变理论） ?
以A.Aильющин为代表（强化材料），则
3 eij 2 Sij
( 1) ,
2
m 3Km
( 1)
2
其中： ( ) 或 A n
（6-11）
三、弹塑性力学基本问题
?
弹性力学的基本未知量为三个位移 分量，六个应力分量和六个应变分量， 共计十五个未知量。基本方程为三个 平衡微分方程，六个几何方程和六个 物理方程，也是十五个基本方程